Cálculo - Lista Áreas Superficiais - TFC

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Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis
iplina: Cál
ulo I
Instituto de Matemáti
a e Estatísti
a Gyn, 20/11/15 Turma: Físi
a
LISTA 17�Áreas super�
iais-TFC.
• Vimos que dado uma 
urva do tipo y = f(x), para a ≤ x ≤ b, ao rotar
ionarmos esta 
urva em torno do
eixo X, obtemos um um sólido de rotação 
uja área é dada pela fórmula
A = 2pi
∫
b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx.
OBS. Se a 
urva é dada na forma α(t) = (x(t), y(t)), para a ≤ t ≤ b, então A = 2π ∫ b
a
y(t)
√
[x(t)]2 + [y′(x)]2 dt.
• Vimos também o TFC. Isto é ∫ b
a
f(x)dx = F (b)−F (a), onde F ′(x) = f(x), para f(x) 
ontínua. Utilizando
a regra da 
adeia, Temos que
d
dt
(∫
b(t)
a(t)
f(x)dx
)
=
d
dt
[ F (b)− F (a) ] = f(b(t))b′(t)− f(a(t))a′(t).
1) En
ontre a área da superfí
ie gerada ao rota
ionarmos as 
urvas abaixo em torno do eixo X onde:
a) y =
√
R2 − x2, para −R ≤ x ≤ R. b) y = √x, para 1 ≤ x ≤ 4 
) x = 3√y, para 1 ≤ y ≤ 8.
d) α(t) = (t2, 2t), para 0 ≤ t ≤ 4 e) α(t) = (R cos t, R sin t), para 0 ≤ t ≤ pi
2) Considere F : R→ R dada por F (x) =
∫
x
0
t− 3
t2 + 7
dt.
a) A
he os intervalos onde F é 
res
ente e onde F é de
res
ente.
b) A
he os intervalos onde F é 
�n
ava para 
ima e onde F é 
�n
ava para baixo.
) Classi�que, 
aso existam, os pontos 
ríti
os de F.
3) Veri�que se a função F : R\{0} → R dada por F (x) =
∫
x
0
dt
t2 + 1
+
∫ 1
x
0
dt
t2 + 1
é 
onstante.
4) Quais são os pontos 
ríti
os da função F (x) =
∫
ex
1
ln (t) cos(ln(t)) dt ?
5) Mostre que as integrais impróprias abaixo 
onvergem, 
al
ulando o valor da 
ada integral.
Ou seja, veri�que que 
ada integral abaixo é �nita!
a)
∫ 1
0
dx√
1− x2 b)
∫ 1
0
ln x dx c)
∫
∞
0
e−x dx d)
∫ 1
0
x2e−x dx e)
∫
∞
1
dx
x
√
1 + x2
f)
∫
∞
1
ln x
x2
dx
Solução da letra b): Note que o problema aqui é quando nos aproximamos de x = 0! (Pois, lim
x→0+
ln(x) = −∞!!!)
∫
1
0
lnx dx = lim
ǫ→0+
∫
1
ǫ
lnx dx = lim
ǫ→0+
[x ln (x) − x]
∣∣∣1
ǫ
= lim
ǫ→0+
[(−1) − (ǫ ln (ǫ) − ǫ)] =??
Agora, para terminarmos o exer
í
io, resta 
al
ular o limite lim
ǫ→0+
[ǫ ln(ǫ)].Vamos usar a regra de L`HÔPITAL!!!(para o 
aso ∞
∞
)
Assim,
lim
ǫ→0+
ǫ ln ǫ = lim
ǫ→0+
ln ǫ
1
ǫ
= lim
ǫ→0+
1
ǫ
−1
ǫ
2
= lim
ǫ→0+
(
1
ǫ
)(
ǫ
2
−1
)
= lim
ǫ→0+
−ǫ = 0.
Finalmente,
∫
1
0
lnx dx = lim
ǫ→0+
∫
1
ǫ
lnx dx = lim
ǫ→0+
[(−1) + ǫ− ǫ ln (ǫ)] = −1.
1