Cálculo - Lista Aplicações TFC

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Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis
iplina: Cál
ulo I
Instituto de Matemáti
a e Estatísti
a Gyn, 25/11/15 Turma: Físi
a
LISTA 18�Apli
ações-TFC.
• Vimos que dado uma 
urva do tipo y = f(x), para a ≤ x ≤ b, ao rotar
ionarmos esta 
urva em torno do eixo X,
obtemos um um sólido de rotação 
ujo VOLUME é dado pela fórmula
A = pi
∫
b
a
R2(x) dx,
onde R(x) é o RAIO DE ROTAÇ�O! Isto é, a distãn
ia do ponto até o eixo de rotação. No 
aso a
ima, R(x) = f(x).
1) Considere a região R do plano R2 de�nida por R = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x ≥ 0}.
a) Esboçe a região R no plano. (Faça um desenho de R.)
b) En
ontre o volume do sólido gerado quando rota
ionarmos R i) em torno do eixo X; ii) em torno do eixo Y.
2) Um 
opo de 
oquetel, 
om a forma de um hemisfério de diâmetro de 8 cm, 
ontém uma 
ereja esféri
a 
om 2 cm de
diâmetro.
Se o 
opo for preen
hido até uma profundidade de h cm, qual é o volume de líquido que ele 
ontém!
a) Considere PRIMEIRO o 
aso em que a 
ereja está totalmente submersa.
b) Considere agora o 
aso em que a 
ereja está par
ialmente submersa.
3) Considere a região(do primeiro quadrante) abaixo da 
urva, y = 1
xp
. En
ontre o volume do sólido gerado pela rotação
da região, em 
ada 
aso.
a) 1 ≤ x ≤ 2 rota
ionada em torno do eixo X. b) 1 ≤ x ≤ 2 rota
ionada em torno do eixo Y.
) x ≥ 1 rota
ionada em torno do eixo X. d) x ≥ 1 rota
ionada em torno do eixo Y.
OBS. Em 
ada 
aso vamos obter uma fórmula que depende de p > 0. Estude 
ada 
aso!
4) Um modelo para o estudo da velo
idade v(t) de um pára-quedista é supor que a força de resistên
ia do ar seja igual
a b v(t)2, isto é, propor
ional ao quadrado da velo
idade. Nesse 
aso, supondo os valores de b = 700 kg/s, da a
eleração
da gravidade g = 10 m/s2 e da massa 
onjunta do pára-quedas e do pára-quedista m = 70 kg, pode-se mostrar que v(t)
é solução da equação
(∗)
v′(t)
v(t)2 − 1
= −10, t > 0.
a) Use a substituição u = v(t) para transformar a integral
∫
v′(t) dt/(v(t)2 − 1) em uma outra que não envolve a
derivada v′(t).
b) Cal
ule a integral na variável u do item anterior. ( Di
a: en
ontre 
onstantes A,B de modo que
1
z2 − 1
=
A
z − 1
+
B
z + 1
.)
) Supondo v(t)− 1 > 0, use a equação (∗) e os itens anteriores para determinar uma expressão de v(t) em termos da
função exponen
ial e uma 
onstante arbitrária K.
d) Se o salto for efetuado de uma altura su�
ientemente grande, a velo
idade 
om que o pára-quedista al
ança o solo
é aproximadamente igual ao limite lim
t→∞
v(t). Cal
ule esse limite e veri�que que o resultado é independente da
onstante arbitraria K.
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