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37 3. EQUILÍBRIO RELATIVO Um líquido esta em equilíbrio relativo quando as suas partículas embora em movimento, se encontram em repouso umas em relação às outras, e em relação às paredes do recipiente que o contém. É o caso do líquido dentro de um tanque transportado por um caminhão. 3.1. Movimento uniformemente acelerado sobre um plano Horizontal. Pode-se demonstrar que a superfície de nível tem inclinação constante de angulo em relação à horizontal, sendo: Figura 3.1 g a tg [3.1.] sendo: a = aceleração (m/s 2 ); g = aceleração da gravidade (m/s 2 ) Exemplo3.1: Calcular a altura da água em cada extremidade um tanque com 3 m de comprimento, 2 m de largura e 2,5 m de altura contendo 1,8 m de água, se o mesmo é movimentado com aceleração de 1,5 m/s 2 . Figura 3.2 38 3.2. Movimento uniforme acelerado sobre um plano inclinado. No caso de plano inclinado a inclinação da superfície do nível dágua é dado por: Figura 3.3 gsena cosa tg onde : = ângulo de inclinação da superfície de nível do líquido (º); a = aceleração (m/s²); g = aceleração da gravidade (m/s²); = ângulo de inclinação da superfície (º). Exemplo 3.2: Um recipiente aberto é acelerado num plano inclinado de 12 º a 3,8 m/s². Qual a inclinação da superfície da água? 3.3. Movimento vertical Para o movimento vertical a pressão em qualquer ponto do líquido é dada por: Figura 3.4 39 g a hP 1 [3.4.] onde: p = Pressão (N/m³) = peso específico do líquido (N/m³); h = altura da coluna de líquido (m); a = aceleração do movimento (m/s²); g = aceleração da gravidade (m/s²); O sinal positivo é usado para movimento ascendente e o sinal negativo com uma movimento descendente. Exemplo 3.3. Um tambor de 80 cm de diâmetro e 1,2 m de altura contendo óleo de densidade 0,86 é elevado verticalmente (a = 2,8 m/s²). Comparar a pressão total exercida no fundo do tanque com a pressão deste em repouso. 3.4. Pressão exercida pelos líquidos em repouso Nos projetos de estruturas que devem resistir a pressões exercidas pelos líquidos, como por exemplo projetos de comportas, barragens, canalizações, etc., deve-se conhecer a grandeza do empuxo e o centro do empuxo. A pressão total exercida pelo líquido sobre uma superfície de área A é dada por: F = hG A [3.5] onde: F = pressão total ou empuxo (N/m 2 ); = peso específico do líquido (N/m3); hG = profundidade do centro de gravidade em relação com a superfície (m); A = área da superfície (m 2 ); 40 Empuxo é a força resultante da pressão hidrostática sobre uma superfície plana imersa no líquido. É dado pelo produto da área pela pressão relativa ao centro de gravidade da área. O empuxo exercido sobre uma superfície plana e imersa é perpendicular a esta superfície. Figura 3.5. 3.5.Centro de Pressão ou de Empuxo É o ponto de aplicação da pressão total (P) que atua sobre as superfícies. Nas superfícies planas e horizontais o centro de pressão coincide com o centro de gravidade, mas se a superfície é horizontal ou inclinada o centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade. A profundidade do centro de pressão pode ser calculada pela fórmula: G O GP hA I hh [3.6] onde: hP = profundidade do centro de pressão (m); hG = profundidade do centro de pressão (m); IO = momento de inércia que passa pelo centro de gravidade (tabela 3.1); A = área da figura (m 2 ) Na equação 3.6 as profundidades hp e hG são medidas ao longo do plano a partir do eixo situado na interseção do plano com a superfície do líquido, ambos prolongados se necessário. Para o cálculo da área e do centro de inércia das principais figuras geométricas pode-se utilizar a tabela 3.1. 41 Tabela 3.1. Momento de Inércia e centro de gravidade para figuras geométricas. Formato Figura Momento de inércia -Io Área da figura - A Distância do centro de gravidade ao bordo superior da figura - hg Retângulo 12 3bd I o bdA 2 d hg Triangulo 36 3bd I o 2 bd A 3 2d hg Triangulo 36 3bd I o 2 bd A 3 d hg Círculo 64 d I 4 o 4 2d A 2 d hg Semi- círculo 400686,0 dI o 8 2d A d2144,0hg 400686,0 dI o 8 2d A d2878,0hg Elipse 4 3ba I o baA ahg Trapézio 36 4 322 d bB bBbB I o d bB A 2 )bB( )bB2( 3 d hg Trapézio 36 4 322 d bB bBbB I o d bB A 2 )bB( )b2B( 3 d hg 42 Parábola 3 o db 175 8 I 3 db2 A d 5 3 hg Parábola 3 o db 175 8 I 3 db2 A d 5 2 hg Meia Parábola 3 o db 175 8 I 3 db2 A d 5 3 hg Exemplo 3.4: Determinar a pressão e a profundidade do centro de pressão em um comporta de 1,4 m de largura e 1,6 de altura colocada perpendicularmente em uma barragem de modo que o topo da comporta fique a 6 m da superfície? Figura 3.6 43 Exemplo 3.5: Determinar a pressão e o centro de pressão para o caso da comporta circular com 50 cm de diâmetro colocada verticalmente numa barragem com 8 m de água sobre o topo da comporta. Figura 3.7 Exemplo 3.6. Calcular o esforço exercido pela água sobre uma comporta retangular de 1,5 m de largura e 2,0 m de altura colocada inclinada em 45 ° numa barragem de modo que a superfície da água esteja a 3 m de profundidade(Figura 3.8). Calcular também a profundidade do centro de pressão. 44 Figura 3.8. 3.6. Dimensionamento de Barragens de Gravidade. Nas barragens de gravidade é o peso da estrutura que deve resistir as forças de tombamento. Considerando uma barragem triangular da figura 3.8, a resultante das forças F e W deve cair no terço médio da base. Figura 3.9. Assim pode-se escrever: 3 b W 3 h F [3.7] Para a largura unitária de 1 m, pode-se escrever: F = hG A = 1h 2 h a [3.8] b1 2 hb W [3.9] Substituindo as equações 3.8 e 3.9 na equação 3.7 tem-se: 45 b ahb [3.10] onde: b = largura da base da barragem (m); h = altura da barragem (m) a = peso específico do líquido representado na barragem (N/m³) ; b = peso específico da barragem (N/m³). Esta expressão é válida para outros modelos de barragem conforme figura 3.10 Figura 3.10. Perfisde barragem por gravidade estáveis. Exemplo 3.6. Calcular a espessura da base de uma barragem triangular a ser construída em terra compactada ( 18130 N/m³) com a altura do nível de água de 3,0 m. Exemplo 3.7. Uma barragem construída com material de densidade 2,25, com talude 1:1. Sabendo que esta barragem tem 8,0 m de profundidade de água e 40 m de largura, pede-se: a) calcular a pressão exercida pela água sobre a barragem; b) calculara profundidade do centro de aplicação; c) qual deve ser a espessura mínima da barragem para ser considerada barragem de gravidade. Figura 3.11.
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