Roteiro para Calculo I

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APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
 
14/11/2012 versão 2013 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL 
PAULISTA 
UNICEP 
 
 
 
 
 
ROTEIRO DE AULASDE CÁLCULO 1 
 
 
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO, 
ENGENHARIA ELÉTRICA, 
 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
Edson de Oliveira 
 
 
 
2013 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
 
Índice 
Limites e continuidade ...................................................................................................... 03 
Conceito intuitivo de limite ................................................................................. 03 
 Definição informal de limite ....................................................................... 03 
 Limite da função constante e da função identidade ..................................... 04 
Leis básicas dos limites ....................................................................................... 05 
Continuidade ........................................................................................................ 07 
Limites laterais ..................................................................................................... 08 
Funções elementares contínuas ............................................................................ 10 
Leis básicas das funções contínuas ....................................................................... 10 
Propriedade do Valor Intermediário ..................................................................... 11 
 Definição (continuidade num intervalo) ...................................................... 11 
 Teorema do Valor Intermediário ................................................................. 11 
Exercícios propostos ............................................................................................. 11 
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 14 
Derivadas ............................................................................................................................ 15 
Taxa de variação média ....................................................................................... 15 
Taxa de variação instantânea ou derivada ........................................................... 16 
Função derivada ................................................................................................... 18 
Regras de derivação ............................................................................................. 19 
Derivadas de ordem superior ............................................................................... 23 
Função inversa ...................................................................................................... 24 
Derivada da função inversa................................................................................... 25 
Exercícios propostos ............................................................................................ 27 
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 32 
Aplicações das derivadas .................................................................................................. 34 
Crescimento e decrescimento ............................................................................... 34 
Encontrando extremos relativos .......................................................................... 35 
Concavidade ........................................................................................................ 37 
Teste da derivadas segunda .................................................................................. 38 
Esboço do gráfico de uma função ........................................................................ 39 
Problemas de otimização ..................................................................................... 41 
Exercíciospropostos .............................................................................................. 44 
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 49 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
 
Limites infinitos; Teorema da Média; Funções hiperbólicas ........................................ 51 
Limites quando x tende ao infinito ....................................................................... 51 
Limites finitos quando x ±∞→ ............................................................................ 52 
Funções polinomiais e racionais quando x tende ao infinito ................................ 54 
O limite exponencial fundamental e os juros capitalizados continuamente ......... 57 
Teorema do Valor Médio (TVM) ......................................................................... 58 
Interpretação geométrica do TVM ................................................................................... 58 
Teorema de Rolle .................................................................................................. 59 
Conseqüências Matemáticas ................................................................................. 59 
Uma interpretação física do TVM ........................................................................ 59 
Funções hiperbólicas ............................................................................................ 59 
Gráficos ................................................................................................................. 60 
Identidade básica ......................................................................................... 60 
Outras funções hiperbólicas ........................................................................ 61 
 Outras identidades ...................................................................................... 61 
 Fórmulas de derivadas ................................................................................ 62 
Funções hiperbólicas inversas .............................................................................. 63 
Funções hiperbólicas inversas e suas derivadas ................................................... 63 
Exercícios propostos ............................................................................................. 64 
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 66 
Referências bibliográficas .............................................................................................. 66 
Apêndice I – Tabela de derivadas ................................................................................. 67 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
3
 
Capítulo 1 
Limites e continuidade 
 
 
 
 Trata-se a seguir, de forma intuitiva, uma idéia sobre limites a qual é usada para estudar a 
noção de continuidade. A noção de limites tem também grande uso na formulação das definições de 
derivada e integral, temas essenciais no desenvolvimento do Cálculo. 
1.1Conceito intuitivo de limite 
 Considere a função real y = f(x) definida por: 
 1
1
1)(
2
+=
−
−
= x
x
x
xf , 1≠x 
 Observe na Tabela 1 o comportamento da função quando a variável x assume valores cada vez 
mais próximos de 2, isto é, quando x tende a 1. 
Tabela 1 – Comportamento da função f(x) para valores de x próximos de 1 
x tende a 1 assumindo valores inferiores a 1 
x 0,5 0,9 0,99 0,995 0,9999 0,99999 
f(x) 1,5 1,9 1,99 1,995 1,9999 1,99999 
x tende a 1 assumindo valores superiores a 1 
x 1,5 1,2 1, 1 1,01 1,001 1,0001 
f(x) 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001 
 
 A tabela indica que quando x tende a 1, o que quer dizer x se aproxima de 1, e indica-se
1→x , tem-se que f(x)tende a 2 e denota-se 2)( →xf . Isto significa que para valores de xbastante 
próximos de 1, f(x) estará tão próximo de 2 quanto quisermos. 
 Simbolicamente se expressa este fato por: 
 2)(lim
1
=
→
xf
x
ou 2
1
1lim
2
1
=
−
−
→ x
x
x
 
1.1.1Definição informal de limite 
 Seja y = f(x) definida em um intervalo aberto em torno de um ponto 0x , mas não 
necessariamente no próprio 0x . Caso |)(| Lxf − se torne arbitrariamente pequeno quando x assumir 
qualquer valor suficientemente próximo de (mas não igual a) 0x , diz-se que: 
o limite de f(x) quando x tende a 0x é igual a L 
 Nessa situação, escreve-se: 
 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
4
 
1.1.2 Observações 
 i) Se existe o limite de f(x) quando x tende a 0x então esse valor L é único. 
 ii) Na determinação do limite de f(x), quando x tende 0x , não importa como f está definida 
em 0x (nem mesmo se f está realmente definida) mas sim, como f se comporta para valores de x nas 
proximidades de 0x . 
 Por exemplo, considere as funções: 
 ,1)( += xxf
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xg 
 Seus gráficos estão representados na Figura 1. 
 
 Figura 1.Os gráficos de f e g são idênticos, exceto em x = 1 onde g não está definida 
 
 As funções f e g são iguais para todo Rx ∈ , exceto para 1=x , onde a função g não está 
definida. Apesar disso: 
 2)(lim)(lim
11
==
→→
xgxf
xx
 
1.1.3Limite da função constante e da função identidade 
 Apresentam-se abaixo duas funções que possuem limites em todos os pontos. 
a) Na Figura 2 está representado o gráfico da função constante kxf =)( , k∈R. 
 
Figura 2. Função constante y = f(x) = k 
 Do modo geométrico como foi introduzida a idéia de limite tem-se que kxf →)( se 0xx →
, fato que se simboliza da seguinte forma: 
 
kk
xx
=
→ 0
lim
 
 Assim 
 
55lim
0
=
→xx
, pipi =
→ 0
lim
xx
, para qualquer valor de 0x 
b) Considere a função f definida por xxf =)( (função identidade) cujo gráfico está 
representado na Figura 3. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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5
 
 
Figura 3. Função identidade f(x) = x 
 
Da mesma maneira: 
 0
0
lim xx
xx
=
→
 
 Assim 
 7lim
7
=
→
x
x
, 4lim
4
−=
−→
x
x
 
 
1.2Leis de básicas dos limites 
 Suponha que existam Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 e Mxg
xx
=
→
)(lim
0
. Então: 
 (i)Lei da soma e da diferença 
 
)]()([lim
0
xgxf
xx
±
→
 = )(lim
0
xf
xx→
± )(lim
0
xg
xx→
 = ML ± 
 ((ii)Lei do múltiplo constante 
 
)(lim
0
xfk
xx→
 = )(lim
0
xfk
xx→
 = k L 
 (iii)Lei do produto 
 
)]()([lim
0
xgxf
xx→
 = )(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
 = ML 
 iv)Lei do quociente 
 )(
)(lim
0 xg
xf
xx→
 = )(lim
)(lim
0
0
xg
xf
xx
xx
→
→
 = 
M
L
se 0≠M 
v) Lei da potenciação 
 Se r es são números inteiros e 0≠s então: 
( ) sr
xx
xf )(lim
0→
 = 
s
r
L 
desde que s
r
L seja um número real. 
 Note-se que as leis da soma e da diferença e do produto foram apresentadas para duas funções, 
no entanto, elas se estendem para qualquer quantidade finita de funções. 
 Desta forma, se n é um número inteiro e positivo: 
 
n
xx
x
0
lim
→
 = )....(lim
0
xxx
xx→
= xxx
xxxxxx 000
lim...lim.lim
→→→
= 000 .... xxx = 
nx0 
 Consequentemente, sek é uma constante tem-se: 
 
n
xx
xk
0
lim
→
 = 
n
xx
xk
0
lim
→
 = 
nxk 0 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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6
 
 
Exemplos 
a) Obter o valor de )174(lim 2
0
−+
→
xx
xx
. 
 )174(lim 2
0
−+
→
xx
xx
 = 1lim7lim4lim
000
2
xxxxxx
xx
→→→
−+ = 174 0
2
0 −+ xx 
 De um modo geral tem-se o seguinte resultado: 
 Se p(x) é um polinômio então o limite )(lim
0
xp
xx→
 obtém-se substituindo xpor 0x na expressão 
de p(x), 
 Isto quer dizer que: 
 
)(lim
0
xp
xx→
= p( 0x ) 
b) Calcular )453(lim 23
2
−+−
→
xx
x
. 
)453(lim 23
2
−+−
→
xx
x
 = 42.52.3 23 −+− = – 8 
 
 Na situação de função racional (quociente de dois polinômios): 
 Se )(
)(
xq
xp
 é uma função racionalentão o limite )(
)(lim
0 xq
xp
xx→
 obtém-se substituindo x por 0x nas 
expressões de p(x) e )(xq , desde que 0)( 0 ≠xq 
 Isto significa: 
 )(
)(lim
0 xq
xp
xx→
= )(
)(
0
0
xq
xp
 , 0)( 0 ≠xq 
c) Obter 3
2
1 2
3106lim
x
xx
x
−
−+
−→
 
3
2
1 2
3106lim
x
xx
x
−
−+
−→
 = 3
2
)1(2
3)1(.10)1(.6
−−
−−+−
 = 
3
7
− 
d) Calcular 
2
65lim
2
2
−
+−
→ x
xx
x
. 
 Se x for substituído por 2 na expressão do limite tem-se a fração 
0
0
, impossível de se calcular 
e que é chamada de forma indeterminada. 
 Pode-se tentar calcular o limite usando fatoração. Observe que para 2≠x : 
 
2
652
−
+−
x
xx
 = 
2
)3(.)2(
−
−−
x
xx
 = 3−x 
 Conforme 1.1.2 (ii), visto que no cálculo do limite não interessa o que acontece quando x = 2, 
vem: 
 
2
65lim
2
2
−
+−
→ x
xx
x
 = )3(lim
2
−
→
x
x
 = –1 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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7
 
1.3Continuidade 
 Na determinação do limite )(lim
0
xf
xx→
 não importa como f está definida em 0x (nem mesmo se 
f está realmente definida). A única coisa que interessa é o comportamento de )(xf nas proximidades 
de 0x . 
 Considere os gráficos das funções da Figura 4. 
 
 ( i ) ( ii) ( iii) ( iv) 
Figura 4. Algumas funções reais 
 Constata-se que: 
• No caso (i), quando 0xx → tem-se )()( 0xfLxf ≠→ ; 
• Em (ii) não existe )(lim
0
xf
xx→
; 
• Na situação (iii)existe Lxf
xx
=
→
)(lim
0
, porém, 0(xf ) não está definida; 
• Em (iv) tem-se que )()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
. 
 Com exceção do caso (iv) todas as outras funções apresentam interrupções em algum ponto. O 
que caracteriza a ausência de interrupções é o fato de, para todo ponto 0x do domínio, existir 
)(lim
0
xf
xx→
 e esse valor ser igual à imagem )( 0xf . 
 Isso sugere a seguinte definição: 
 Uma função )(xf definida em um intervalo aberto contendo 0x é contínua em 0x se 
)()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
. 
 Desta maneira, três condições devem ser satisfeitas por :)(xfy = 
1.Existe )(lim
0
xf
xx→
; 
2. )( 0xf existe, ou seja, f é definida no ponto 0x ; 
3. O valor do limite coincide com o valor da imagem )( 0xf . 
 Portanto, a noção intuitiva de continuidade decorre da análise de seu gráfico. O gráfico de uma 
função contínua não apresenta interrupções. Pontos onde ocorrem interrupções denominam-se pontos 
de descontinuidade. 
 Uma função contínua em todos os pontos de seu domínio se diz contínua. Caso contrário ela é 
descontínua. 
Exemplos 
1. A função 2)( xxf = é contínua para todo Rx ∈ . 
De fato: 
 
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8
 
)(lim
0
xf
xx→
= )(lim 0202
0
xfxx
xx
==
→
 
 
2. A função 



=
≠
=
2,0
2,)(
2
x
xx
xf não é contínua no ponto 2=x . 
 Com efeito, 
 
42)(lim 2
2
==
→
xf
x
, porém, 0)2( =f que é um valor diferente do limite. 
 3. Analise a continuidade da função 




≥−
<
=
31
3
3)(
xsex
xse
x
xg . 
 Observe o gráfico da função )(xg , esboçado na Figura 5. 
 
Figura 5. Gráfico dafunção g(x) 
 Conclui-se que não existe o limite)(lim
3
xg
x→
.Portanto a função não é contínua no ponto x = 3. 
1.4Limites laterais 
 No estudo da continuidade é conveniente a introdução de limite lateral, isto é, um limite de 
)(xf quando x tende a um ponto 0x , através de valores em um único lado de 0x . 
 O gráfico da Figura 5 mostra claramente que 1)( →xf quando 3→x para valores menores 
que 3 e, 2)( →xf quando 3→x por valores maiores que 3. 
 De um modo geral, fixado 0x sobre a reta real x pode se aproximar de 0x de duas maneiras: 
pela direita ou pela esquerda. Indica-se essas aproximações, respectivamente, por +→ 0xx e 
−→ 0xx
. 
 Se 1)(lim
0
Lxf
xx
=
+→
 e 2)(lim
0
Lxf
xx
=
−→
 então os números 1L e 2L denominam-se, 
respectivamente, limite à direita de f em 0x e limite à esquerda de fem 0x e são referidos 
coletivamente como limites laterais f em 0x . 
 Se )(lim
0
xf
xx→
existe, os dois limites laterais )(lim
0
xf
xx +→
 e )(lim
0
xf
xx −→
 existem e os três limites 
têm o mesmo valor. Consequentemente, se os dois limites laterais existem, porém têm valores 
diferentes então )(lim
0
xf
xx→
 não pode existir. 
 Pode-se mostrar que o limite lateral satisfaz leis básicas similares às enunciadas em 1.2para 
limites. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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9
 
 Por exemplo, se que existem Lxf
xx
=
+→
)(lim
0
 e Mxg
xx
=
+→
)(lim
0
, então: 
 )]()([lim
0
xgxf
xx
±
+→
 = )(lim
0
xf
xx +→
± )(lim
0
xg
xx +→
 = ML ± 
e, assim por diante. 
Exemplos 
 1. Investigue os limites laterais da função 
x
x
xf ||)( = quando 0→x . Existe )(lim
0
xf
x→
? 
 A Figura 6 ajuda bastante nessa investigação. Nota-se que quando x se aproxima de zero pela 
direita, f(x) se aproxima de 1 e, quando x se aproxima de zero pela esquerda, f(x) se aproxima de –1. 
 
Figura 6–Função com limites laterais diferentes e, portanto, sem limite em x = 0 
 
 Vê-se pois que os limites laterais existem: 
 )(lim
0
xf
x
+→
= 1, )(lim
0
xf
x
−→
= –1 
 Entretanto, esses limites laterais não coincidem, portanto não existe )(lim
0
xf
x→
. 
2. Considere a função 



>−
≤
=
1,3
1,2)(
2
xx
xx
xf . Analise a continuidade da função parax = 1. 
 Solução 
 A Figura 7 mostra o gráfico de f(x). 
 
Figura 7 -Função contínua no ponto x = 1 
 Tem-se: 
 )(lim
1
xf
x
+→
 = 2 = )(lim
1
xf
x
−→
 
 Como os dois limites laterais existem e possuem o mesmo valor 2, segue que )(lim
1
xf
x→
= 2. 
Ainda, visto que 21.2)1( 2 ==f então f está definida em x = 1. Desde que: 
 )(lim
1
xf
x→
 = 2 = )1(f 
conclui-se que f é contínua em x = 1. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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10
 
1.5Funções elementares contínuas 
 A partir das leis básicas dos limites enunciadas em 1.2justifica-se que as funções polinomiais e 
as funções racionais são contínuas. A partir da lei da potenciação justifica-sea continuidade da função 
n xxf =)( , x >0 . 
 A continuidade das funções seguintes,dadas como informação, são fáceis de serem aceitas em 
virtude de suas representações gráficas não apresentarem interrupções: 
• Função modular ||)( xxf = ; 
• A função seno e a função cosseno; 
• Funções exponenciais; 
• Funções logarítmicas em •+R . 
1.6Leis de básicas das funções contínuas 
 Seja Rc ∈ uma constante, fe g funções contínuas com domínio comum D e Dx ∈0 . Então: 
 a) gf ± , gf . são contínuas em 0x ; 
 b)Se 0)( 0 ≠xg então g
f
 é contínua em 0x ; 
 c)A composta fog é contínua em 0x ; 
 d) fc é contínua em 0x . 
 
Exemplos 
1. Em cada caso, f é contínua em seu domínio pelo motivo justificado. 
a) 0|,ln5)( >+= xxxxf ( f é soma de funções contínuas) 
b) xsenxxxf .)275()( 23 +−= (fé produto de funções contínuas) 
c) Zkkx
xsen
x
xxf ∈≠== ,,coscot)( pi (fé quociente de funções contínuas) 
2. As seguintes funções são contínuas por serem compostas de funções contínuas. 
a) )1(ln)( 2 += xxf 
 f = hog ; xxg ln)( = ,x> 0; 1)( 2 += xxh 
 b) )32()( 23 −+= xxsenxf 
 f = hog ; xsenxg =)( ; 32)( 23 −+= xxxh 
1.7Propriedade do Valor Intermediário 
 Funções contínuas em intervalos fechados apresentam propriedades de muita utilidade em 
matemática e suas aplicações. Uma delas é a propriedade do Valor Intermediário que assegura: 
se uma função contínua assume dois valores também assume todos os valores intermediários. 
 Para enunciar formalmente essa propriedade necessita-se da seguinte definição. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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11
 
1.7.1Definição (Continuidade num intervalo fechado) 
 Um função fdefinida em um intervalo fechado [a, b] se diz contínua em [a, b] se é contínua 
em ]a, b[ e, além disso: 
 )()(lim afxf
ax
=
+→
e )()(lim bfxf
bx
=
−→
 
1.7.2Teorema do Valor Intermediário (TVI) 
 Se )(xfy = é contínua em [a, b]e z está entre )(af e )(bf então existe c∈]a, b[ tal que 
)(cfz = . 
 Uma prova deste teorema encontra-se no Apêndice B de (ROGAWSKI, 2008). 
Exemplo 
 1. O polinômio 3)( 3 −+= xxxf tem valor– 1 para x = 1 e tem valor 7 para x = 2 . Como f é 
contínua segue do TVI que 0)( =xf para algum xentre 1 e 2, isto é, a equação 033 =−+ xx 
possui pelo menos uma solução entre 1 e 2. 
1.8Exercícios propostos 
1. 12lim
5→x
é igual a 5 ou 12? 
2. Determine: 
a) )83(lim
5
+
→
x
x
b) )10(lim
2
+
−→
yy
y
c)
1
123lim
2 +
−
→ x
x
x
d)
xx
x
x 2
lim 31 +−→
 
3. Suponha que .3)(lim
5
=
→
xf
x
Calcule: 
 a) 2
5
)]([lim xf
x→
b) )(lim
5
xfx
x→
c) )(
1lim
5 xfx→ 
4. Suponha que 5)(lim
2
=
→
xf
x
e 3)(lim
2
−=
→
xg
x
.Calcule: 
 a) )()(lim
2
xgxf
x→
b) 32 )]([
)(lim
xf
xg
x→
c) )](7)(4[lim
2
xgxf
x
−
→
 
5. Calcule os limites: 
a)
12
34lim 2
2
3
−+
+−
→ xx
xx
x
b)
5
25lim
2
5
−
−
→ x
x
x
c)
9
3lim 23
−
+
−→ x
x
x
 
d)
2
4lim
2
2
−
−
→ x
x
x
 e)
1
12lim
2
1
−
+−
→ x
xx
x
f)
4
127lim
2
4
−
+−
→ x
xx
x
 
6. Considere a função 
x
xsen
xh =)( . 
 a)Faça uma tabela de valores de h quando x se aproxima de 0, em ordem decrescente; 
 b) Estime o valor de )(lim
0
xh
x→
; 
 c) Fundamente a conclusão do item (b)construindo um gráficode h próximo de. 0=x 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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12
 
7.Calcule 
x
x
x
22lim
0
−+
→
. 
 Solução 
 Não se pode substituir 0=x e o numerador não apresenta fatores comuns evidentes. Uma 
dica para resolver o limite é multiplicar tanto o numerador, quanto o denominador, pela expressão 
conjugada 22 ++x obtida pela mudança de sinal entre as raízes quadradas: 
x
x 22 −+
=
x
x 22 −+
.
22
22
++
++
x
x
=
)22(
22
++
−+
xx
x
= 
)22( ++xx
x
=
22
1
++x
 
 Então: 
 
x
x
x
22lim
0
−+
→
= 
22
1lim
0 ++→ xx
 = 
220
1lim
0 ++→x
 = 
22
1
 
8. Calculeos limites: 
a)
33
lim
0
−+→ x
x
x
b)
34
5lim
5
−+
−
→ x
x
x
c)
4
2lim
4
−
−
→ x
x
x
 
9. Em vista de sua ligação com retas tangentes e taxas de variação instantânea os limites da forma: 
 
h
xfhxf
h
)()(lim
0
−+
→
 
sãode suma importância, principalmente no estudo de derivada. 
 Calcule os limites a seguir para 0x ef dados: 
i) 1;52)( 0 =+= xxxf ii) 3;1)( 0 −== x
x
xf iii) 7;)( 0 == xxxf 
10. Esboce o gráfico da função 



≥
<−
=
1,
1,4)(
xx
xx
xf . 
 a) Determine )(lim1
xf
x +→
 e )(lim
1
xf
x −→
;b) Existe )(lim
1
xf
x→
? Justifique. 
 c) Determine )(lim
2
xf
x +→
 e )(lim
2
xf
x −→
;d) Existe )(lim
2
xf
x→
? Qual é esse valor? 
11. Verifique se a funções abaixo são contínuas nos pontos indicados: 
a)



>−
≤+
=
1,14
1,12)(
xx
xx
xf ; 1=x ; b)



=
≠−
=
2,7
2,1)(
2
x
xx
xf
 ; 2=x 
c) 
3
9)(
2
−
−
=
x
x
xf ; 3=x 
12. Determine a para que a função 



=
≠−
=
3,
3,12)(
xa
xx
xf seja contínua para 3=x . 
13. Justifique por que f é contínua nos casos: 
 a) xxxf ln32)( ++= b) xxsenxf cos)( = c) 
1
)( 2 += x
e
xf
x
 
14. Usando o resultado 1lim
0
=
→ x
xsen
x
 encontre: 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
13
 
a) 
x
xsen
x
)(lim
0
−
→
b) 
x
pxsen
x 0
lim
→
c) 
x
xsenx
x
43lim
0
−
→
d)
qxsen
pxsen
x 0
lim
→
 
15. Seja )(xp o preço para postar uma encomendapesando xquilogramas. Custa 10 reais por 1 kg ou 
menos, 12 reais para pesos entre1 kg e 1,5 kg, inclusive para o último, 14 reais para pesos entre 
1,5 kg e 2kg, inclusive o último, e assim por diante. 
 a)Esboce o gráficodafunção )(xp para ;30 << x 
 b) )(xp é uma função contínua? Justifique a sua resposta. 
16. Um determinado país permite uma importação individual limitada a 600 dólares. O valor 
)(xfy = do frete a ser pago, em função do valor x em dólares da importação é dada pela tabela: 
 
 
 
a)Represente graficamente a função )(xfy = ; 
 b) Especifique os pontos de descontinuidade no intervalo ]0, 500[. 
17. Considere um corpo que se movimenta numa trajetória com lei de movimento ).(tfs = A 
velocidade instantâneav, no instante t é obtida por v = 
h
tfhtf
h
)()(lim
0
−+
→
. Uma pedraem 
quedalivre a partir do repouso próximo à superfície da Terra cai s = 4,9 2t metros em t 
segundos. Encontre a velocidade instantânea da pedra no instante t = 2. 
18. Um foguete é lançado ao espaço e t segundos após decolar a sua altura é 3 2t pés. Qual é a 
velocidade de ascensão do foguete 10 segundos após a decolagem? 
19. Seja )(xC a função custo de produção de x unidades de um produto. Chama-se customarginal para 
a quantidade x = 0x o limite mC = h
xChxC
h
)()(lim 00
0
−+
→
. 
 Dada a função custo )(xC = 1000050 +x obtenha o custo marginal para x = 100. 
20. Mostre que a equação 5,0=xsen possui pelo menos uma solução no intervalo [0, 
2
pi ]. 
21. Teorema do ConfrontoSe )()()( xhxfxg ≤≤ para todo x em um intervalo aberto contendo 0x , 
exceto possivelmente em 0x , e se: 
 
)(lim
0
xg
xx→
 = )(lim
0
xh
xx→
 = Lentão )(lim
0
xf
xx→
=L. 
 Como exemplo, mostra-se que 
x
senx
x
1lim
0→
 = 0 utilizando o Teorema do Confronto. 
 Observe que não se obtém o limite por substituição de x por 0, nem por manipulações 
algébricas. Como todos os valores da função seno encontram-se entre -1 e 1 então 11 ≤
x
sen e,daí, 
para todo 0≠x : 
 ||1||1 x
x
senx
x
senx ≤= ⇒ – || x ≤ ||1 x
x
senx ≤ 
x 600 ≤< x 12060 ≤< x 240120 ≤< x 500240 ≤< x 
f(x) 12 18 25 35 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
14
 
 Desde que 0|| →x quando 0→x segue do Teorema do Confronto que
x
senx
x
1lim
0→
 = 0. 
22. Usando o Teorema do Confronto calcule os seguintes limites: 
 a) 
x
x
x
1
coslim
0→
 b) xx
x
7coslim 2
0→
 
2.9 Respostas dos exercícios propostos 
1. 12 2.a) 23 b) -16 c) -2 d)
3
1 3.a)9b) 15 c)
3
1
 
4.a) -15 b) -
125
3
c) 41 5.a)
7
2 b) 10 c)
6
1
− d) 4e) 0 f) 1 
 
6.a)b) 1 c) 
 
8. a) 32 b)6c) 
4
1 9. a)2b)
9
1
− c) 
72
1
 
10. a) 1, 3 b) não existe c) 2, 2 d) 2 
 
 
 
11. a) Sim; pois 3)1()(lim
1
==
→
fxf
x
;b) Não; 7)2(3)(lim
2
=≠=
→
fxf
x
c) Não; não existe f(3)12. a 
= 5 13. a) soma de funções contínuas b) produto de funções contínuas 
c) quociente de funções contínuas 14.a) -1 b) p c) -1 d)
q
p
 
15. a) b) Não;não existe )(lim xp
ax→
, para a = 1,1,5, 2, 2,5 e 3 
 
 
 
16. a) b) 60, 120, 24017. 19,6 m/s 18. 60 pés/s 19. 50 
 
 
 
 
20. f(x) = sen x é contínua no intervalo [0, ]
2
pi
 e z = 0,5 está entre 0 e 
2
pi
= 1,57.... Daí, pelo TVI existe 
c ∈[0, ]
2
pi
 tal que sen c = 0,5. 22. a) 0 b) 0 
 
 
 
 
 
 
 
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 
h(x) 0,993 0,973 0,941 0,897 0,841 
 
 
 
 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
15
 
Capítulo 2 
Derivadas 
 
 
 
Seja Q a quantidade vendida de um produto em função do tempo, isto é, Q = f(t). A taxa de 
variação média dessa função representa uma medida de rapidez com que ela varia, em média, entre 
dois valores t1 e t2, considerada da mesma forma que a velocidade média de um carro mede a rapidez 
média com que ele se move entre dois instantes fixados. 
Em muitos problemas deseja-se obter a rapidez com que a quantidade vendida varia, em um 
dado instante t1, que corresponde ao conceito de velocidade de um carro em um instante fixado. 
Para se resolver problemas como este é necessário o conceito de derivada, que será 
desenvolvido neste capítulo. 
 
2.1 Taxa de variação média 
Uma partícula se movimenta de acordo com a equação horária s = f(t) = –50 + 4t, com a 
posição média em metros e o tempo em segundos, no intervalo de tempo de t1 até t2, t1< t2. O aumento 
de deslocamento é: 
s∆ =f(t2) – f(t1) 
Para se ter o aumento por unidade de tempo, divide-se por t∆ = t2 – t1: 
12
12 )()(
tt
tftf
t
s
−
−
=
∆
∆
 
Este quociente é chamado taxa de variação média de f(t) entre t1 e t2,ou velocidade média no 
intervalo entre t1 e t2. 
A idéia de taxa de variação média da distância em relação ao tempo pode ser generalizada e, 
assim, aplicada para quaisquer variáveis de quaisquer espécies. 
Considere o seguinte problema: 
Um cubo de metal com aresta x, medida em centímetros, é expandido uniformemente como 
conseqüência de ter sido aquecido. 
Sendo V o volume do cubo então V = f(x) = x3. Com x aumentando, V também aumenta e 
pode-se perguntar: como muda V em relação a uma variação de x? Para se responder essa pergunta, 
considere duas medidas x1 e x2 da aresta com x1< x2 . Então, ∆ x = x2 – x1é o aumento de x e ∆ V = 
f(x2) – f(x1) é o aumento correspondente de V. A relação: 
12
12 )()(
xx
xfxf
x
V
−
−
=
∆
∆
 
 
é o aumento do volume por unidade de aumento da aresta. 
Diz-se que 
x
V
∆
∆ é a taxa de variação de V quando x aumenta de x1 até x2. Por exemplo, se 
x1 = 2 ex2 = 4, então ∆ x = 4 – 2 = 2 cm e ∆ V = 43 – 23 = 64 – 8 = 56 cm3. 
Logo: 
x
V
∆
∆
= 
2
56
= 28 cm3/cm 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
16
 
Isso quer dizer que, em média, o volume cresceu 28 cm3 para cada cm de aumento da aresta. 
De um modo geral, seja y = f(x) qualquer função e sejam x1, x∈ D(f) com x1 ≠ x. A variação 
de y no intervalo entre x1 ex é ∆ y = f(x1) – f(x). Seja ∆ x = x1 – x. Então a razão : 
1
1 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
 
é chamada taxa de variação média de f(x) entre x1 e x e representa a variação média (aumento ou 
diminuição)no valor de f(x) por unidade que se acrescenta a x, entre x1 e x. 
Do ponto de vista geométrico a razão 
x
y
∆
∆
 é dada por 
x
y
∆
∆
 = tg 1α onde 1α é o ângulo 
que a reta secante ao gráfico de y = f(x) pelos pontos (x1,f(x1))e (x,f(x)) forma com o eixo x, medido 
no sentido anti-horário. O valor tg α é chamado declividade ou coeficiente angular da reta. 
Figura8. O coeficiente angular de uma reta 
 
2.2 Taxa de variação instantânea ou derivada 
Em muitos problemas, não é satisfatório considerar a média de uma taxa de variação, mas 
sim uma taxa de variação instantânea, ou seja, a rapidez com que y = f(x) varia em um dado ponto x1. 
Considere a função f(x) = 5 x2. A taxa de variação média entre x1 e x, x1 ≠ xé: 
1
1 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
 = 
1
2
1
2 55
xx
xx
−
−
 =
1
2
1
2 )(5
xx
xx
−
−
 = 
1
11 ))((5
xx
xxxx
−
+−
 = )(5 1xx + 
Figura 9. Taxa de variação média de uma função 
Conforme foi visto acima: 
x
y
∆
∆
 = tg 1α . 
Como se quer caracterizar a rapidez com que f(x) varia no ponto x, fixa-se o valor de x1 e 
calcula-se a taxa de variação média entre x1 e x, para valores de x cada vez mais próximos de x1 e 
distintos dex1. 
 À medida que x se aproxima de x1, o ponto variável Q(x, f(x) ) se aproxima do ponto P = 
(x1, f(x1)). Quando isso acontece, a reta secante por P e Q muda de direção e se aproxima de uma reta 
especial que passa pelo ponto P e é chamada de reta tangente ao gráfico de y = f(x) neste ponto. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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17
 
Égeometricamente intuitivo também que a declividade m1= tg α 1 da reta secante se aproxima da 
declividade m = tg α da reta tangente. 
 
Figura 10. Reta tangente ao gráfico de uma função 
Em outras palavras: 
m1 = α
→
tg
xx 1
lim
 
Visto que m1= tg α 1 = 
1
1)()(
xx
xfxf
−
−
 então tg α 1 =
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx
−
−
→
. 
 
Étambém conveniente escrever x como x = x1 + h, h ≠ 0. Assim,se x1 + h → x1, então h → 
0. Daí, pode-se reescrever a expressão acima como: 
tg α 1 = h
xfhxf )()( 11 −+
 
Em muitas aplicações, a razão 
x
y
∆
∆
e seu limite não são interpretados como coeficiente 
angular de uma reta tangente e sim como taxa de variação. Daí define-se : 
 
 Sejay = f(x) uma função e seja x1 ∈ D(f). Admita que exista: 
0
lim
→h h
xfhxf )()( 11 −+
 
Então este valor é chamado taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de variação, 
ou ainda, derivada de f(x) emx1 e é denotado por f ′ (x1).Portanto: 
f ′ (x1)= 
0
lim
→h h
xfhxf )()( 11 −+
 
As notações y′ (x1)ou )( 1xdx
dy
 também são usadas. 
Exemplos 
1) a) Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x = x1 real. 
 b)Obter f ′ (2) e f ′ (–3) 
a) 
h
xhx
h
xfhxf 212111 )()()( −+
=
−+
 = 
h
xhhxx 21
2
1
2
1 2 −++
 = 
h
hxh )2( 1 +
 = 2x1 + h 
 Logo: 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
18
 
f ′ (x1)= 
0
lim
→h h
xfhxf )()( 11 −+
 = 2x1 
b) Para se obter f ′ (2) e f ′ (–3) é só substituir os valores 2 e 3 por x1 na última expressão. Assim, 
f ′ (2) = 4e f ′ (–3) = –6. 
 2)Em um lago, a pressão p varia com a profundidade x de acordo com a fórmula p = f(x) 
= 0,1 x + 1, p em atmosferas e x em metros. Qual é a taxa de variação da pressão em relação à 
profundidade quando x = 2 ? 
Solução A taxa de variação é a derivada f’ (2). Assim: 
h
fhf )2()2( −+
 = 
h
h 2,11)2(1,0 −++
 = 
h
h 2,11,02,1 −+
 = 
h
h1,0
= 0,1 
ou seja, f ′ (2) = 0,1. 
 Isso significa que o valor de p aumenta de 0,1 unidade a cada unidade de x, isto é, a pressão 
aumenta de 0,1 a cada metro de profundidade. 
 A taxa de variação é, pois, 0,1 atmosfera/m. 
 
3) Obter a derivada da função y = f(x) = |x| no ponto x = 0. 
Solução 
h
fhf )0)0( −+
 = 
h
hf )(
= 
h
h ||
 
• para h > 0 tem-se 
0
lim
→h h
h ||
 = 
0
lim
→h h
h
 = 1 
• para h < 0 tem-se 
0
lim
→h h
h ||
 = 
0
lim
→h h
h−
 = –1. 
 Isso quer dizer que, quando x se aproxima de 0 pelo lado direito, encontra-se a reta tangente 
t1 de coeficiente angular 1 e, quando x se aproxima de 0 do lado esquerdo, encontra-se a reta tangente 
t2 de coeficiente angular –1. Assim, tem-se duas posições limite para a reta tangente no ponto x = 0. 
Nesse caso, diz-se que não existe a reta tangente e, conseqüentemente, não existe a derivada da função 
y = | x | no ponto x = 0 
Figura 11. A função y = |x| não é derivável em x = 0 onde o gráfico tem um bico 
 
Observe que o gráfico da função forma um bico no ponto de abscissa x = 0. Em geral, 
funções com esta característica em algum ponto não possuem derivada nesse ponto. 
2.3. Função derivada 
 No caso da função f(x) = x2, foi visto que para cadax1 real, f ′ (x1) = 2 x1, isto é, a derivada 
depende do valor de x1. 
 Para cadax número real arbitrário, pode-se considerar a função real f ′ definida por f ′ (x) 
= 2x. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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19
 
 Deum modo geral, se y = f(x) tem derivada em todos os pontos de um subconjunto A ⊂ 
D(f), pode-se definir uma função, chamada função derivada de f e indicada por 'f , do seguinte 
modo: 
'f : A → R 
x → f ′ (x) = 
0
lim
→h h
xfhxf )()( −+
 
 Sey = f(x) tem derivada em cada ponto de seu domínio D(f), então f ′ (x) é uma função de x 
de mesmo domínio D(f). 
 
Exemplo 
 Uma população constituída de 25000 indivíduos cresce de acordo com a fórmula N(t) = 
25000 + 45t2, onde o tempo é medido em dias. Encontrar a taxa de crescimento da população em 
qualquer instante t. 
 SoluçãoDeve-se obter a função derivada N ′ (t). Tem-se então: 
h
tNhtN )()( −+
 = 
h
tht )4525000(])(4525000[ 22 +−++
 =90t + 45h 
 Daí, N ′ (t) = 90t e, por conseguinte, a taxa de crescimento da população num instante 
arbitrário t é 90t indivíduos por dia. 
2.4. Regras de derivação 
 Nos exemplos acima, foram calculadas derivadas usando a definição. Viu-se, por exemplo, 
que, se y = x2, então y′ = 2x. 
 De um modogeral, usando a definição de derivada e o desenvolvimento de (a + b)n, chamado 
binômio de Newton, pode-se mostrar que: 
( )'nx = n xn-1 sen ∈N* (derivada da potência) 
ou seja, a derivada de xn com relação a x é igual a n vezes a potência (n – 1) de x . 
 Com o auxílio de logaritmos, consegue-se mostrar que esta fórmula continua verdadeira para 
todos os valores reais de n e todos os valores de x que pertencem ao domínio de y = xn. 
 Assim: 
( )4x ′ = 4x3 , ( )′7x = 7x6 
 Ainda: 
21)(1 −− −=′=
′






xx
x
 
32
2 2)(
1
−−
−=′=
′






xx
x
 
( ) 2121
2
1 −
=
′








=
′
xxx ( ) 31323 2
3
2 −
=
′








=
′
xxx 
 Se y = f(x) = ax + b é uma função polinomial de 1º grau, então a sua derivada é o seu 
coeficiente angular, ou seja: 
 y = f(x) = ax + b ⇒ )(xfy ′=′ = a(derivada da função polinomial de 1º grau) 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
20
 
 Em particular, se f(x) é uma função constante, então a sua derivada é nula, isto é: 
 y = f(x) = b , b constante ⇒ )(xfy ′=′ = 0 ( derivada da função constante) 
 Além das regras acima, pode-se estabelecer outras que permitem calcular as derivadas de 
funções de forma automática sem recorrer diretamente à definição. Suas demonstrações são feitas 
utilizando a definição de derivada e as técnicas de limites e são, em sua maioria, omitidas aqui.Sejam as funções f(x) = sen x e g(x) = cos x, onde x é medido em radianos. Então: 
 (sen x)´ = cos x (cos x)´ = – sen x (funções trigonométricas) 
 Para a função exponencial e logarítmica, tem-se: 
(ex)´ = ex (ax)´ = ax ln a, a > 0 (exponencial) 
(ln x)´= 
x
1
 (loga x)´ = 
x
1
 loga e, a > 0, a ≠ 1 (logarítmo) 
 Admita que as derivadas das funções y = g(x) e y = h(x) sejam conhecidas. Então, a função 
y = g(x) + h(x), isto é, a soma de g(x) e h(x) tem derivada: 
( )′+ )()( xhxg = ´( ) ´( )g x h x+ ( regra da soma) 
Exemplos 
1) Se y = sen x – cos x + ex, então y′ = cos x + sen x + ex 
2)Se y = 5 x – x3 + ln x, então y′ = 
5
1
 x 5
4
−
 – 3x2 + 
x
1
 
 Para se derivar a função y = x3sen x, tem-se que aplicar a regra para derivar o produto y = 
g(x) . h(x) de duas funções y = g(x) e y = h(x), isto é: 
( )( ) . ( ) '( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x h x g x h x′ ′= + (regra do produto) 
Exemplos 
1) Obter a derivada da função y = x3 sen x. 
y′ = (x3)´ sen x + x3 (sen x)’ = 3x2 sen x + x3 cos x 
2) Suponha que os lados u e v de um retângulo variem independentemente com o tempo, ou 
seja, u = g(t) e v = h(t), onde u e v são medidos em metros e t em segundos. Assim, a sua 
área é uma função do tempo dada por f(t) = g(t) . h(t). Suponha que num certo instante u 
= 30 e esteja crescendo à razão de 3 metros por segundo e, v = 20 e esteja decrescendo 
à taxa de 4 metros por segundo. Nesse instante qual é a taxa de variação da área ? 
SoluçãoDeve-se obter f ′ (t), ou seja: 
f ′ (t)= g ′ (t) h(t) + g(t) h′ (t) = 3 . 20 + 30 . (–4) = 60 – 120 = –60 
 Portanto, a área decresce à razão de 60 m2/s. 
 Como caso particular da regra do produto, tem-se: 
( )′)(xfc =c f ′ (x) , c ∈R(produto de uma constante por uma função) 
 De fato, ( )′)(xfc = c′ f(x)+ c f ′ (x) = 0 . f(x)+ c f ′ (x) = c f ′ (x) 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
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21
 
Exemplo 
1) Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Achar a taxa na qual a área A da 
superfície da mancha varia em relação ao raio r, quando r = 150m. 
SoluçãoA área é uma função de seu raio dada por A = A(r) = pi r2. Quer-se achar A′ (150). 
Tem-se: 
A′ (r)= pi (r2)´ = 2 pi r, A′ (150) = 2 . pi . 150= 300 pi 
 Logo, para cada aumento de 1m no raio a área aumenta de 300 pi m3. 
 
2) Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em cinco unidades da posição de repouso 
e solto no instante t = 0 para oscilar para cima e para baixo. Sua posição, num instante t, 
é dada por s = 5 cos t , onde s é medida em metros. Qual é a sua velocidade v no instante 
t = 
4
pi
segundos ? 
SoluçãoTem-se v = s′ (
4
pi ) . Sendo s′ = – 5 sen t, entãov = s′ (
4
pi ) = –
2
25
. 
 Portanto,sua velocidade é v = – 
2
25
 m/s. 
Será apresentada a seguir uma regra importante, chamada regra da cadeia. Seja, por exemplo, 
a função y = f(x) = 6x – 15 = 3( 2x – 5). Ela pode ser vista como a composta das funções y = 3u e u 
= 2x – 5. Tem-se que: 
3=
du
dy
, 2=
dx
du
, 6=
dx
dy
 
Uma vez que 3. 2 = 6, observa-se que 
dx
dy
= 
du
dy
.
dx
du
. Isso não é coincidência. 
Pensando na derivada como taxa de variação, é razoável esperar que y = f(u) muda três vezes 
mais rápido que u e u = g(x) muda duas vezes mais rápido que x e, assim, que y mude seis vezes 
mais rápido que x. 
De um modo geral, tem-se: 
Sey = f(u) e u = g(x) e as derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 existem, então: 
dx
dy
= 
du
dy
. 
dx
du ( regra da cadeia) 
onde
du
dy é calculada em u = g(x). 
 Também, sey = f(u) e u = g(x) e as derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 então a função composta 
definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por: 
 )('))((')(')('' xgxgfugufy == 
Exemplos 
1) A temperatura s em graus Fahrenheit de uma lata de soda limonada, que é posta para 
esfriar em uma geladeira é dada como função do tempo por s = 40 + 30 e-2t, onde t é 
medido em horas. Achar a taxa a qual está variando a temperatura da soda limonada no 
instante t = 3 horas. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
22
 
Solução Tem-se que s é uma função composta: 
s = 40 + 30 eu, u = –2t 
 Então: 
dt
ds
= 
du
ds
. 
dt
du
 =30 eu . (–2)= – 60e-2t⇒
dt
ds (3) = –0,149 
ou seja, a taxa de variação da soda limonada é –0,1490F /h. 
2) Dada y = f(x) = 24 +x , obter y′ . 
Solução 
Tem-se que y = f(x) é a composta das funçõesy = u 2
1
 e u = 4x + 2. 
Assim: 
y′ = 
du
dy
. 
dx
du
= 
2
1
 u 2
1
−
 . 4= 
u
2
 , isto é, y′ = 
24
2
+x
 
 Uma aplicação importante da regra da cadeiaé a derivação de y = )(
1
xg
. Ela pode ser vista 
como uma função composta das funçõesy = 
u
1
 = u
-1
 e u = g(x). Daí: 
dx
dy
= 
du
dy
. 
dx
du
= –1 .u-2 . g ′ (x)= – 2
1
u
. g ′ (x)= – 2)(
1
xg
. g ′ (x) 
 Portanto: 
′






)(
1
xg
 =– 2)(
1
xg
. g´ (x) (regra da função recíproca) 
 Combinando esta fórmula com a regra do produto, pode-se obter a regra do quociente: 
′






)(
)(
xg
xf
 = 2)(
)().()().(
xg
xgxfxgxf ′+′ ( regra do quociente) 
 De fato: 
′






)(
)(
xg
xf
= 
′






)(
1
.)(
xg
xf = f ′ (x) . 





)(
1
xg
 + ( )f x .
′






)(
1
xg
 
 = f ′ (x) . 





)(
1
xg
 – 2)(
1
xg
. g ′ (x) . ( )f x = 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x f x
g x g x
′ ′
− = 2)(
)().()().(
xg
xgxfxgxf ′−′
 
Exemplos 
1) Obter a derivada de y = tg x. 
(tg x) ´ = 
′






x
x
cos
sen
 = 2
cos .cos sen .( )
cos
x x x senx
x
− −
= 
2 2
2
cos
cos
x sen x
x
+
 = 
x2cos
1
 
isto é, (tg x)´ = 
x2cos
1
. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
23
 
2) Uma curva de concentração de droga é dada por C = f(t) = 
te
t
04,0
20
 com C em mg/ml e t 
em minutos. Obter f ′ (30). 
SoluçãoDeve-se calcular f ′ (30) . Tem-se: 
f ′ (30)= 204,0
04,004,0
)(
.)04,0(.20.20
t
tt
e
ete −
 = 204,0
04,0
)(
)04,01(.20
t
t
e
te −
 = 
te
t
04,0
)04,01(20 −
 
 Portanto, f ′ (30) = –1,2 mg/ml/min. 
 
2.5 Derivadas de ordem superior 
 A derivada f ′ de uma função também é uma função e, como tal, a derivada de f ′ pode ser 
considerada. Assim, a função f ′ tem uma derivadaem x ∈ D( f ′ ) se existe: 
0
lim
→h h
xfhxf )()( '' −+
 
 Em outras palavras, é a derivada da derivada primeira. A nova função obtida dessa maneira é 
chamada derivada segunda da função y = f(x). Procedendo de modo análogo, pode-se considerar 
aderivada terceira, quarta, etc. Notações para essas derivadas no ponto x são : 
y′′ (x), y′′′ x),y )4( (x), ... , y )(n (x) ou f ′′ (x), f ′′′ (x),f )4( (x), ..., f )(n x) 
Exemplos 
1) Determinar a derivada de ordem três da funçãoy = f(x) = x
2
3
. Qual é o seu domínio? 
Solução 
y′ = 3
1
3
2 −
x ; y′′ =(–
3
1 ) (
3
2 ) 3
4−
x = (
9
2− ) 3
4−
x 
 y′′′ =( 
3
4− ) (
9
2− ) 3
7−
x = 
27
8 3
7−
x 
Asfunções y′ , y′′ e y′′′ têm como domínio o conjunto de todos os números reais exceto 
x = 0. O domínio da funçãoy = f(x) = x
2
3
 é R. 
 
2) Uma certa espécie de tartarugaestá ameaçada de extinção em virtude de comerciantes 
estarem vendendo seus ovos como afrodisíaco. Após serem tomadas várias medidas de 
preservação espera-se que a população de tartarugasaumente de acordo com a regra 
N(t) = 2t3 + 3t2 – 4t + 1000, 0 ≤ t ≤ 10, onde N(t) representa o tamanho da 
população ao final do ano t. A que razão estará aumentando a taxa de crescimento da 
população de tartarugas ao final do terceiro ano? 
SoluçãoDeve-se calcular N′′ (3). Tem-se: 
N ′ (t) = 6t2 + 6t – 4, N′′ (t) = 12t + 6, N′′ (3) = 42 
Logo, a taxa de crescimento da população de tartarugas estará aumentando à razão de 42 
tartarugas/ano/ano. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
24
 
2.6 Função inversa 
Comumente, em aplicações, certa grandeza é dada em função do tempo. Muitas vezes, no 
entanto, deseja-se saber o instante no qual esta grandeza atinge um determinado valor. Nessa situação, 
é conveniente obter a função inversa que exprime o tempo como função da grandeza considerada. 
Suponha )(xfy = uma função de tal maneira que a correspondência entre os valores do 
domínio e da imagem seja biunívoca. Então uma nova função 1−f , chamadafunção inversa de f 
pode ser criada permutando o domínio e a imagem de f . 
Sintetiza-se essa informação mediante a forma )(1 yfx −= . Quando se trabalha com a função 
inversa é conveniente mudar o nome da variável do domínio para x e usar y para representar a 
imagens o que leva à notação: 
)(1 xfy −= 
Isto permite a representação gráfica da inversa com o seu domínio sobre o eixo horizontal. 
Para a função 3)( xxfy == tem-se: 
3xy = ⇔ 3 yx = 
Assim, a inversa da função 3)( xxf = é a função 31 )( xxf =− . Como é de se esperar, o 
procedimento inverso de “elevar ao cubo” é “extrair a raiz cúbica”. 
A função 2)( xxg = definida em toda a reta não apresenta uma correspondência biunívoca 
entre os pontos do domínio e da imagem. 
 Por exemplo, 4)2()2( ==− gg 
Portanto, ela não tem inversa. Porém, restringindo-se o domínio dessa função ao intervalo 
[0,+∞[ esta função tem inversa: 
2xy = ⇔ yx = , 0≥x 
Assim, xxg =− )(1 é a inversa de 2)( xxg = , com domínio restrito a [0,+∞[. 
 
2.6.1 Observação 
 Se )(xfy = é uma função crescente então cada y do conjunto imagem provém de um único 
x
 do domínio de f . Desse modo pode-se definir 1−f : Im(f) → Dom(f). O mesmo acontece se 
)(xfy = é uma função decrescente. 
Exemplo 
Determinar a inversa da função real y = f(x) = 2x – 1. 
Solução 
Observando a Figura 12, vê-se que esta função é crescente e, portanto, possui uma inversa. 
Para obter a lei que a define: 
•••• Tira-se o valor de x 
y = 2x – 1 ⇒ 2x – 1 = y ⇒ 2x = 1 + y ⇒ x = 
2
1 y+
 
•••• Troca-se x por y, pois o usual é indicar elemento do domínio pela letra x. 
y= 1−f (x) = 
2
1 x+
. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
25
 
 Os gráficos de f e 1−f estão representados na Figura 12. Observe que eles são simétricos 
em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 
FIGURA 12. O gráfico de f(x) = 2x – 1 e de sua inversa 1−f (x) = 
2
1+x
 
2.6.2 Derivada da função inversa 
Finalmente, será determinada a derivada de uma função inversa. Facilmente se constata que a 
inversa da função f(x) = 
2
1
x + 1 é a função 1−f (x) = 2x – 2. Calculando as suas derivadas, tem-se : 
f ′ (x) = 
2
1
 e ( )′−1f (x) = 2 
ou seja, são recíprocas entre si. 
 Este fato pode ser demonstrado de um modo geral, isto é: 
( )′−1f (x)= )(
1
xf ′ 
 O resultado fica fácil de ser memorizado mudando-se a notação: 
dx
dydy
dx 1
= ( derivada da função inversa) 
Exemplo 
 Daday = f(x) = 7x – 5 obter 
dy
dx
. 
Solução 
dx
dy
 = 7. Daí 
dy
dx
 = 
7
1
. 
2.6.4 Funções trigonométricas inversas 
 Conhece-se que 1
2
=
pi
sen . Portanto, se se pede para achar um ângulo (medido em radianos) 
cujo seno vale 1, imediatamente responde-se que um desses ângulos é 
2
pi
 . Existem, no entanto, 
infinitos outrosângulos com essa propriedade De fato, 
2
5pi
sen = sen (–
2
pi ) = 1. Isto significa que a 
x y = f(x) =2x–1 
1 1 
2 3 
 
 
x y = 
1−f (x) = 
2
1+x
 
1 1 
3 2 
 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
26
 
função de domínio R definida por y = sen xnão admite inversa. Ela não é crescente nem decrescente 
em R pois diversos valores reais possuem o mesmo seno. 
 Porém, restringindo o domínio da função seno ao intervalo [– 
2
pi
, 
2
pi ] tem-se uma função 
crescente e, portanto, é possível definir a sua inversa, denominada função arco seno edenotada por por 
arc sen. 
 Por exemplo, a igualdade: 
 1
2
senarc=
pi
 
equivale a dizer: 
 
2
pi é o arco cujo seno é 1 
 Define-se parax ∈ [–1, 1] e y ∈ [– 
2
pi
, 
2
pi ] função arco seno através da sentença: 
y = arc sen x ⇔ sen y = x 
Exemplos 
a) 
2
1
6
senarc=
pi
,pois 
2
1
6
=
pi
sen ; b) – )1(
2
−= senarc
pi
, pois 1
2
−=





−
pi
sen 
 
O gráfico da função arco seno está esboçado na Figura 13. 
 
FIGURA 13. Gráfico da função y = arc sen x 
 
Observe que como inversa da função y = sen x o gráfico da função y = arc sen x é simétrico 
ao gráfico de y = sen x em relação à reta bissetriz y = x , do primeiro e terceiro quadrantes. Esta 
propriedade de simetria, como citado anteriormente, é geral para todas as funções inversas. 
A exemplo da função seno, para definir as inversas das funções cosseno e tangente, é 
necessário restringir seus domínios a intervalos convenientes. 
As inversas das funções y = cos x e y = tg x , denotadas por arc cos x e arc tgx, 
respectivamente, são definidas por: 
arc cos : [–1, 1] → [0, pi ] 
x → y = arc cos x ⇔ cos y = x 
arc tg : R → ] –
2
pi
, 
2
pi [ 
x → y = arc tg x ⇔ tg y = x 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
27
 
Seus gráficos estão esboçados nas Figura 14. 
 
(i) (ii) 
 FIGURA 14.( i ) Gráfico da função y = arc cos x; ( ii ) gráfico da função y = arc tg x 
 Se se quiser usar a calculadora para obter a medida do ângulo cujo seno vale 0,875, ou seja, o 
valor de arc sen 0,875, utiliza-se a tecla sin-1. Tecla-se: 
 shift sin 0.875 = 
e obtém-se, aproximadamente, 61,040. 
 Para calcular arc cos 0,672: 
 shift cos 0.672 = 
 e obtém-se, 47,780. 
Para arc tg 2: 
 shift tan 2 = 
cujo resultado é 63,430. 
 Para as funções trigonométricas inversas demonstra-se as seguintes regras: 
 1) arcsenxy = ⇒
21
1
'
x
y
−
= , 1|| <x 
 2) xy arccos= ⇒
21
1
'
x
y
−
−
= , 1|| <x 
 3) arctgxy = ⇒ 21
1
'
x
y
+
= , Rx ∈ 
Exemplo 
 Se 3xarctgy = encontre y’. 
 )()(1
1
'
3
23 xdx
d
x
y ⋅
+
= = 6
2
1
3
x
x
+
 
2.7 Exercícios propostos 
1. A massa M do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t conforme a expressão M = 
30 – 4t, M em quilogramas e t em horas. Qual é a taxa de variação da massa em relação ao tempo? 
2. O volume de um cone circular reto de raio da base 0,6m depende da altura h. 
a) Determinar V em função de h. 
b) Determinar a taxa de variação de V em relação a h. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
28
 
3. Uma caixa de água recebe água à razão de 12 l/min e, ao mesmo tempo há um escoamento de água 
à razão constante de 5 l/min. Num dado instante, o volume de água contido na caixa é 300 l. 
a) Qual é o volume de água na caixat minutos após esse instante? 
b) Em quantos litros por minuto está aumentando o volume da caixa? 
4. Dada a função y = 3x2 calcular a taxa de variação média de f(x) entre x1 = 1 e x2 = 3. 
5. Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre em metros a distância D, que varia com o 
tempo, em segundos, conforme a fórmula D = 6t2. 
 a) Qual é a taxa de variação média de D entre os instantes t1 = 2 e t2 = 7? 
b) Qual é a taxa de variação de D em relação a t no instante t = 2? 
6. Dada a função f(x) = 
3
1
x
3
– 
2
5
x
2
 + 6x + 8. 
a) Calcular f ′ (x) 
b) Determinar o valor de x para que se tenha f ′ (x) = 0. 
7.Um móvel se desloca obedecendo a função horária s = 4t2 + 12t + 25, onde s é dado em quilômetros 
e t em horas. Determinar a sua velocidade no instante t = 4. 
8.Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo em que havia bactérias crescendo, a população de 
bactérias continuou a crescer, mas em seguida, começou a decrescer. O tamanho da população no 
instante t, em horas, era dado por P = 105 + 103t – 102t2. Determinar a taxa de decrescimento da 
população nos instantes: 
a) t = 0 b) t = 4 c) t = 10 
9.O volume V = 
3
4
pi r3 de um balão de forma esférica varia de acordo com o seu raio, medidoem 
centímetros. Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio quando r = 40cm? 
10. O numero de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, é dado 
por q(t) = 30( 40 – t )2. A que taxa a água escoará ao final de 15 minutos? 
11. A lei de Boyle diz que, a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V de um gás 
confinado varia segundo a fórmula P = 
V
C
, onde C é uma constante. Se, para um determinado 
gás, C = 180 e o volume V está aumentando, determinar a taxa de variação de P em relação a V 
para um volume V = 15. 
12.A lei de Charles para os gases afirma que, a uma pressão constante, o volume V ocupadopor um 
gás a uma temperatura T, em graus Celsius, é dado p or V = C (1 + 
273
1
T), C constante. 
Determinar a taxa de variação de T em relação a V. 
13.O volume V de água em um reservatório durante o degelo da primavera é dado pela fórmulaV = 
5000( 1 + t)2, onde 0 ≤ t ≤ 3, V medido em m3 e t em meses. A taxa de variação do volume em 
relação a t é chamada taxa de fluxo para o reservatório. 
a) Obter a taxa de fluxo no instante t = 1,5. 
b) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250m3 ? 
14.Um determinado tipo de peixe tem seu peso W relacionado com o seu comprimento através da 
fórmula W = 10,375 L3, em que W é medido em quilogramas e L em metros. A taxa de 
crescimento do comprimento é 
dt
dL
 = 0,36 – 0,18 L, onde o tempo é medido em anos. Estimar a 
taxa de crescimento de um peixe que pesa 20 kg. 
15.Quando um prato de metal, de forma circular, é aquecido, seu raio aumenta a uma taxa de 
0,0125cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio é de 40cm? 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
29
 
16.Se um gás for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressão e o volume estarão 
relacionados pela fórmulaP = 2
2
V
bk
kaV
kRT
−
−
, onde k, a, b e R são constantes. Obter 
dV
dP
. 
17.A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta é dada por s = t41+ , com s em 
metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no instante t = 6 
segundos. 
18.Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então sua 
intensidade I(x) à profundidade de x metros é I(x) = k e-1,4x . A que taxa de intensidade está 
variando em relação à profundidade a 3 metros? 
19.Um objeto move-se ao longo de uma reta segundo a equaçãos = 34 2 +t , t ≥ 0. Para que valores 
de t sua velocidade é 1m/s? 
20.Umaproteína de massa m sedecompõe em aminoácidos segundo a fórmula m(t) = 
3
24
+t
, onde t é 
medido em horas. 
a) Determinar a taxa de variação média no intervalo [1, 2]. 
b) Qual é a taxa de variação no instante t = 3 ? 
21.Quando um corpo é envolvido por um líquido gelado de temperatura constante K, a temperatura T 
do corpo decresce segundo a lei T = K + C e-at, onde K, C e a são constantes positivas e t o 
tempo. Obter a taxa de crescimento de T. 
22. Partindo de uma quantidadeinicial de 60mg, a quantidade de radio existente após t anos é dada 
por q = 60 e-0,0004t. A que taxa estará decrescendo o radio daqui a 100 anos? 
23.O crescimento do número de bactérias, numa certa cultura,varia com o tempo de acordo com a lei 
f(t) = 1500 e0,04t, onde t é medido em horas. A que velocidade está crescendo o número de 
bactérias no instante t = 6? 
24. Um barco ancorado no mar está indo para cima e para baixo. A distância vertical y, em pés, entre o 
fundo do mar e o barco é dada pela função do tempo t, onde t é medido em minutos, pory = 15 + 
sen(2 pi t). Achar a velocidade vertical v do barco no instante t = 5. 
25. Uma partícula se desloca ao longo do eixo x de modo que, no instante t ≥ 0, a sua posição é dada 
por s = sen (t2 + 1), s medido em metros e t em segundos. Determinar a velocidade da partícula 
nos instante t = 3s. 
26.Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento limitado 
de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial N(t) = 
te 16,0391
400
−+
, onde t 
denota o número de dias transcorridos desde o começo do experimento. Qual é a velocidade da 
variação dessa população no vigésimo dia? 
 
27.Derivação implícita Uma equação f(x, y) = 0, em geral, define y implicitamente como função de 
x em algum intervalo. Por exemplo, a equação x y = 2, com x ≠ 0, define a função y = 
x
2
. A 
derivada dessa funçãoé y′ = 2
2
x
−
.Uma outra maneira de se obter essa derivada é pensar em y 
como função de x na equação x y = 2, derivar ambos os lados da equação com relação a x e 
resolver a relação obtida, explicitando y′ . Assim: 
x y = 2 ⇒ x′ y + x y′ = 2′ ⇒ y + x y′ = 0 ⇒ x y′ = –y ⇒ y′ = 
x
y−
 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
30
 
Para conferir esse resultado como obtido pela derivação direta,lembre que y =
x
2
. 
 Daí, y′= 2
2
x
−
. 
 Como um outro exemplo, encontrar-se-á y′ se xy – 2x – 3y – 2 = 0. Derivando ambos os 
membros em relação a x, tem-se y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 . Explicitando o valor de y′ , vem: 
x y′ – 3 y′ =2 – y ⇒ (x – 3) y′ = 2 – y 
isto é, y’ = 
3
2
−
−
x
y
 , x ≠ 3. 
28. Calcular y′ se: a) x2 – y2 – x = 1 b) 2x2 + 3x + y2 = 12 
29.A área total da superfície de um paralelepípedo retangular com base quadrada de lado 
 y e altura x é dado por S = 2y2 + 4xy. Se S é constante, calcular 
dx
dy
 sem explicitar y. 
30. Aárea total de da superfície de um cilindro circular reto de raio r e altura h é dada por S = 2 pi 
r2 + 2 pi rh. SeS é constante, obter 
dh
dr
. 
31.No decorrer de uma experiência em um laboratório, derrama-se um líquido sobre uma lâmina que 
toma a forma circular cujo raio r aumenta a uma taxa constante de 1,6 m/s. Qual será a taxa de 
crescimento da área ocupada pelo líquido quando r = 4m ? 
32.O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1200 cm3/min no instante em que suas arestas têm 
20cm de comprimento. A que taxa as arestas variam nesse momento? 
33. A área de um triângulo eqüilátero decresce à razão de 4 cm2/min.Determine a taxa na qual o 
comprimento do lado está variando quando a área do triângulo é 200 cm2. 
34. Esboçar os gráficos das seguintes funções: 
a) y = x3 – 3x2 + 3 b) y = 16x2 + 50x + 5 c) y = –x3 + 4x + 6 
35. Funções marginais Em Economia e Administração a variação de uma quantidade em relação a 
outra pode ser descritapor um conceito médio ou marginal. Se C(x) é a função custo de produção 
de x unidadeso custo médio mC de produção de uma mercadoria define-se por 
x
xCCm
)(
= . O 
custo marginal )(xCM é a derivada de C(x), ou seja, )(xCM = )(' xC . De maneira análoga, se 
R(x) representa a função receita de vendas de dex unidades de um produto definem-se 
x
xRRm
)(
= (receita média) e )(xRM = )(' xR (receita marginal). 
 Considere a função custo total C(x) = 
x
x
504015 ++ , em reais, na produção de dex molduras, 
para 0≥x . Encontre: 
 a) A função custo marginal; 
 b) A função custo marginal quando ;50=x 
 c) O custo para produzir a quadragésima primeira moldura. 
 Solução 
 a) )(xCM = )(' xC = 2
5040
x
− ; 
 b) )50(CM =39,98 reais 
 c) O valor em reais da produção da .41a moldura é: 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
31
 
 =− )40()41( CC 39,97reais 
 Observe que as respostas de (b) e (c) diferem de 0,01. Este valor ínfimo ocorre visto que, 
sendo )(xCM = )(' xC =
h
xChxC
h
)()(lim
0
−+
→
, então )(xCM ≅
h
xChxC )()( −+
 para h pequeno. 
Desta forma, para h = 1 tem-se )(xCM ≅ ).()1( xCxC −+ Portanto, o custo marginal é 
aproximadamente igual à variação do custo ao se produzir uma unidade adicioanal a partir de x 
unidades. Daí: 
 ).40()41()40()140()41( CCCCCM −=−+≅ 
36.O valor em reais do custo total da produção dex unidades de uma certa mercadoria é 
xxxC 29340)( ++= . Ache: 
 a) O custo marginal quando 72 unidades são produzidas; 
 b) O número de unidades produzidas quando o custo marginal é R$ 5,25. 
37.Suponha que um líquido é produzido por um certo processo químico e a função custo, em 
reais, de x litros do líquido dada por xxC 46)( += . Determine: 
 a) o custo marginal quando 18 litros são produzidos; 
 b) O número de litros produzidos quando o custo marginal é80 centavos o litro. 
38. Dada a função receita xxxR 9902)( 2 +−= obtenha: 
 a) A receita marginal quando ;50=x 
 b) A receita média. 
39. Obtenha a receita marginal e a receita média: 
 a) xxR 8)( = b) xxxR 5002)( 2 +−= 
40. Regra de L’Hôpital Certos limites cujos valores não são evidentes podem ser obtidos usando a 
derivada, de acordo com uma regra especial denominada Regra de L’Hôpital, que é a seguinte: 
 Se =
→
)(lim
0
xf
xx
0)(lim
0
=
→
xg
xx
 a expressão )(
)(
xg
xf
 denomina-se forma indeterminada 
0
0
 e se 
)(
)(lim
0 xg
xf
xx→
 existe então: 
 )(
)(lim
0 xg
xf
xx→
 = )('
)('lim
0 xg
xf
xx→
 
 Por exemplo, calcule o limite 
x
e
x
x
1lim
2
0
−
→
. 
 O limite rtem a forma indeterminada da forma 
0
0
. Assim: 
 
x
e
x
x
1lim
2
0
−
→
 = 
1
2lim
2
0
x
x
e
→
 =2. 
Calcule os limites: 
a) 20
cos1lim
x
x
x
pi−
→
b) 
x
xsen
x 0
lim
→
c) 
x
e
x
x
1lim
0
−
→
 
d) 2
2
0
1coslim
x
x
x
−
→
e) )1ln(lim0 +
−
−
→ x
ee xx
x
f) 
x
x
x 2cos1
lim
2
0
−
→
 
41. Calcule as derivadas das seguintes funções: 
 a) xsenxf 7)( = b) xxxf cos6)( = c) xsenxxxf 2)( −= 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
32
 
 d) 
xsen
x
xf
−
=
1
cos)( e) xxf sec)( = f) xxf seccos)( = 
g) xgxf cot)( = h) xtgxxxxf 32 sec4)( −= i) 
3
2)(
−
−
=
x
x
xf 
 j) 27ln5)( +−= xxxf k) xxxf ln)( 2= l) xexf x ln)( = 
 m) 53
75)(
xx
xf −= n) 3 2)( xxf = o) 5
3
2)( xxxf −= 
42. Calcule as derivadas das seguintes funções: 
a) 4)53()( −= xxf b) 32 )23()( +−= xxxf c) 2)( xexf = 
d) )34ln()( 2 +−= xxxf e) 132 2)( +−= xxexf f) 22)( 3 xxexf += 
g) 374)( 23 +−−= xxxxf h) )4cos()()( 2 xxsenxf = i) 
xe
x
xf ln)( =
 
k) 3 942)( +++= xxxf l) )2()( 32 += xsenxxf m) )(ln)( xsenxf = 
n) )57(ln)( −= xxf o) ( )432 3)( −= xxf p) )3()( xtgxf = 
43. Calcule as derivadas das seguintes funções: 
a) )53()( −= xarcsenxf b) )
3
arccos()( xxf = c) )1()( 2 −= xarctgxf 
44.Dada a função 
1
)47()( 2
2
+
+
=
x
x
xf obtenha: a) )0('f ; b) )1('f . 
45.Dada a função 
x
xsen
xf
2cos
3)( = obtenha )
6
(' pif . 
46.Dada a função 3 25ln)( += xxf obtenha )2('f . 
47. Obtenha a derivada terceira das seguintes funções: 
 a) xsenxf 3)( = b) xx eexf −+=)( c) xxsenxf 2cos2)( += 
48.Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas. 
 a) 3)( xxf = , 1−=x b) 3)( xexf = , 1=x 
49. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1543 34 +=−+ xxyy no ponto 
P(1, –2). 
50. Calcule ''y no ponto em que x = 0 e y = 1 dado 1543 34 +=−+ xxyy . 
51. Se xxy 45 3 += calcule 'y , ''y e '''y . 
 
2.7 Respostas dos exercícios propostos 
1.-4 kg/h 2.a) 0,12 pi h b) 0,12 pi m3/m 3. a) V = 300 + 7t b) 7l/min 
4.12 5. a) 54m/s b) 24m/s 6. a) x2– 5x + 6 b) x = 2 ou x = 3 
7.44km/h8.a) 103 bactérias/h b) 2 . 102 bactérias/h c) –103 bactérias/h 
9. 6400 picm3/min 10. –1500 galões/min 11. –0,8 12.
C
273
 
13. a) 25000m3/mês b) 15000m3/mês 14. 6,55 m/ano 15.pi cm/min 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
33
 
16. 2)( kaV
kRT
−
−
+ 3
22
V
bk 17. a) v = 0,4m/s b) a = –
125
4
 m/s2 
18. –0,021k u.i./m19. 0,5 s 20.a) – 6
5
 u.m./h b) –
3
2
 u.m./h 
21. –aC e-at22.–0,023 mg/ano23. 76 bactérias/h 24. 2 pi pés/min 
25. –5,03 m/s 26. 15 diosófilas/dia28.a) 2 1, 0
2
x y
y
−
≠ b) 0,
2
34
≠
−− y
y
x 29.
yx
y
+
−
xy −≠ 30. 
dh
dr
 = 
hr
r
+
−
2
31. 12,8 pim2/s 
32. 1 cm/min33.–0,2149 cm/min36. a) R$ 3,75 b) 8 
37. a) R$ 0,47 b) 6,25 litros 38. a) 790 b) 890 
39. a) 8; 8 b) -4x + 500; –2x + 500 40. a) 
2
2pi
 b) 1c) 1 d)0e)2f)
2
1
 
41. a) 7 cos xb) 6 cos x – 6x sen xc) 1 – 2x sen x – x2 cos x 
d) 
xsen−1
1
e) sec x tg xf) –cossec x cotg xg)–cossec2x 
h) 8sec x – 4 x2sec xtgx – 3 x2 tg x – x3sec xi) 2)3(
1
−
−
x
j) 75 −
x
k)x (2 ln x+ 1) 
l)ex ln x + 
x
e
x
m) 64
3515
xx
+
−
n)
3
2
x
o) 
5 25
31
xx
− 42. a) 3)53(12 −x 
b) 22 )23)(32(3 +−− xxx c) 22 xex d)
34
)2(2
2 +−
−
xx
x
e) 132 2)34( +−− xxex f) xe x 23 3 + g)
2ln23 13
2
xe
xx ++ i) )4()(4)4(cos)cos(2 22 xsenxsenxxx − j)
xex
xx
x ln2
ln1−
k) 
3 2)94(3
4
22
1
+
+
+ xx
l) )2cos(3)2(2 343 +++ xxxsenxx m) cotg x n)
57
7
−x
o)
4 2 34
3
−x
p) 3 sec2(3x)43. a) 
24309
3
2
−+− xx
b)
29
1
x−
−
c) 
22
2
24 +− xx
x
 
44. a) 56 b)
2
33 45. 34 46.
36
5 47.a) – 27 cos 3x b)ex – e-xc) – 8 cos 2x + 8 sen 2x48.a)y = 3x 
+2b)y = 3 e x +e– 349. 
29
17−
 
50. 
343
300)1,0('';)34(
)512(12)24()34(
33
22223
−
=
+
+−+ y
y
xyxy
 
51. 
x
xy 215' 2 += ; 
3
230''
x
xy −= ; 
52
330'''
x
xy +=
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
34
 
Capítulo 3 
Aplicações das Derivadas 
 
 
 Neste capítulo desenvolvem-se diversas aplicações cujas ferramentas básicas são as derivadas. 
Utiliza-se a derivada primeira e segunda para analisar funções e seus gráficos. Incluem-se também, 
técnicas para modelagem e resolução de problemas de otimização, ou seja, problemas nos quais 
intervém a procura de máximos ou de mínimos.Por exemplo, ao se aplicar uma droga a um paciente, 
busca-se maximizar seu potencial de ação e, ao mesmo tempo, minimizar possíveis efeitos colaterais. 
Quando uma epidemia está em curso, as autoridades tratam de otimizar uma estratégia para detê-la o 
mais rapidamente possível. 
 
3.1 Crescimento e decrescimento 
 Verifica-se a seguir como o crescimento e o decrescimento de funções se vincula com o 
conceito de derivadas. 
 Dada uma função y = f(x) derivável em um intervalo J = ]a, b[ tem-se: 
• Se y = f(x) admite derivada positiva em todos os pontos de J então, nesses pontos, a 
declividade é positiva, isto é, f ′ (x) > 0 e, portanto, a função é crescente. 
• Se y = f(x) admite derivada negativa em todos os pontos de J então, nesses pontos, a 
declividade é negativa, isto é, f ′ (x) < 0 e, portanto, a função é decrescente. 
Figura 15.O sinal da derivada primeira de uma função informa como a curva sobe ou desce 
Exemplos 
1) Determinar os intervalos onde f(x) = x2 é crescente e onde é decrescente. 
SoluçãoA derivada de f(x) = x2 é f ′ (x) = 2x. 
 Desde que f ′ (x) = 2x > 0,se x > 0 , e f ′ (x) = 2x < 0, se x < 0, então: 
f é crescente no intervalo ]0, + ∞ [; é decrescente no intervalo ] – ∞ ,0[. 
 
Figura 16 -A curva representativa de y = x2 decresce em ] – ∞ ,0[ 
e cresce em ]0, + ∞ [ 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
35
 
2) O preço de uma certa ação na Bolsa de Valores, em função do tempo t decorrido após a 
sua compra por um investidor é dado por: 
 y = p(t) = 1)4(
160
2 ++ t
t
, 0≥t 
(t em anos, p(t) em reais). Determine os intervalos onde o preço da ação está aumentando e 
onde está diminuindo. 
Solução 
Tem-se: 
y′ = 4
2
)4(
)4(2).160()4(160
t
ttt
+
+−+
= 4)4(
)4)(4(160
t
tt
+
−+
 = 3)4(
)4(160
t
t
+
−
 
 Daí, conclui-se que, no domínio de p(t), isto é, para t ≥ 0: 
y′> 0se 0 ≤ t < 4 e y′< 0 se t> 4 
 Assim, o preço cresce no intervalo [0, 4[ e decresce no intervalo ]4, + ∞ [. 
3.2 Encontrando extremos relativos 
 Além de ser útil na determinação dos intervalos onde uma função é crescente ou decrescente, a 
primeira derivada também é útil na localização de certos pontos do gráfico onde a função atinge 
valores mais altos ou mais baixos que os correspondentes de pontos localizados em sua proximidade. 
Os pontos onde localmente a função atinge valores mais altos, são chamados pontos de máximos 
relativos e os pontos onde a função atinge valores mais baixos denominam-se pontos de mínimos 
relativos. 
 A figura abaixo mostra alguns pontos com essas propriedades. 
Figura 17. Existência de extremos relativos (i) e (ii) e ausência de extremos relativos (iii) 
• No caso (i), f(x) atinge um valor máximo em x1 e, assim, x1 é um ponto de máximo 
relativo. 
• No caso (ii), f(x) atinge um valor mínimo em x2 e, assim, x2 é um ponto de mínimo 
relativo. 
• No caso (iii), a tangente atravessa o gráfico e o ponto x3 não é nem ponto de máximo nem 
de mínimo relativo. 
 Como primeiro passo na procura de extremos relativos de uma função, considere uma função 
y = f(x) derivável em um intervalo ]a, b[ que contém o ponto x = c, no qual f tem um mínimo relativo. 
Observe que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f deve mudar de negativa para positiva 
quando é passada do lado esquerdo para o lado direito dex = c e, assim, no ponto x = c, a reta tangente 
deve ser horizontal e, conseqüentemente, f ′ (c) = 0 (Figura 18). 
De modo semelhante, se f tem um ponto de máximo em x = c, então f ′ (c) = 0. 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
36
 
 
 
Figura 18. Retas tangentes mostrando o sinal da derivada nas 
 proximidades de um ponto de mínimo relativo 
 Esta análise fornece uma característica importante dos extremos relativos de uma função 
derivável. 
 Em todo ponto x = c em que f tem um extremo relativo, deve-seter f ′ (c) = 0. 
 Observe que, se x é um ponto que satisfaz a condição f ′ (c) = 0, não necessariamente f tem 
um extremo relativo nesse ponto. 
 Por exemplo, a função y = x3 tem derivada y′ = 3x2e f ′ (0) = 0. No entanto, f não tem 
extremo relativo em x = 0. 
 
Figura 19. A função y = x3 é derivável quando x = 0 mas não possui 
 um extremo nesse ponto 
 Considere a função y = f(x) = |x|. Ela não é derivável no ponto x = 0, porém, a função possui 
um mínimo relativo nesse ponto. 
 Referiu-se a um ponto x ∈ D(f) que possa ser um extremo relativo como um ponto crítico, 
isto é: 
 Um ponto crítico de uma função é qualquer x ∈D(f)tal que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) não existe. 
 A Figura 20apresenta o gráfico de uma função que possui pontos críticos em x = x1, x2, 
x3 e x4. Observe que f ′ (x1) = f ′ (x2) = f ′ (x3) = 0e f ′ (x4) não existe. Além disso f tem um 
máximo relativo em x1 ex4 e um mínimo relativo em x3 ; o ponto x2 não dá origem a extremo relativo. 
Figura 20. Algumas possibilidades para pontos críticos de uma função contínua 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
37
 
3.3 Concavidade 
O crescimento da bactéria E. Coli em uma cultura pode ser representado pela equação: 
y= f(t) = 100 + 90t – 9t2, 0 ≤ t ≤ 10 
t expresso em dias e y = f(t) mede o volume de microorganismos no instante t. 
Tem-se f ′ (t) = 90 – 18t. Daí f ′ (t) = 0 se t = 5. O gráfico de f(t) está esboçado na Figura 21. 
Figura 21.O gráfico da função f(t) = 100 + 90t – 9t2 é côncavo para baixo 
 Analisando as taxas de variação de f(t) para t nas proximidades de t = 5, desde que a 
inclinação da reta tangente ao gráfico mede a taxa de variação neste ponto conclui-se que: 
• À esquerda de t = 5, quando t aumenta, a taxa de variação do número de microorganismos 
diminui; 
• À direita de t = 5, quando t aumenta, a taxa de variação do número de microorganismos 
aumenta. 
Observe que o gráfico da curva se situa sempre abaixo de suas retas tangentes. Neste caso, 
diz-se que ela é côncava para baixo. 
 No caso em que a curva se situa sempre acima de suas retas tangentes, diz-se que ela é 
côncava para cima. Dessa maneira, pode-se caracterizar a concavidade de uma curva do seguinte 
modo. Seja f derivável no intervalo ]a, b[. Então: 
• fé côncava para cima em ]a, b[ se f ′ é crescente em ]a, b[; 
• fé côncava para baixo em ]a, b[ se f ′ é decrescente em ]a, b[. 
 Se uma função f tem derivada segunda pode-se usá-la para determinar os intervalos de 
concavidade da função. Como f ′′ (x) mede a taxa de variação da inclinação f ′ (x) dareta tangente ao 
gráfico de f no ponto (x , f(x)) então, se f ′′ (x) > 0 em um intervalo ]a, b[ as inclinações das retas 
tangentes ao gráfico de f são crescentes em ]a, b[ e daí f é côncava para cima em ]a, b[. 
 Analogamente, se f ′ (x) < 0 em ]a, b[, então f é côncava para baixo em ]a, b[. Isso pode ser 
resumido no seguinte: 
• se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é côncava para cima em ]a, b[; 
• se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é côncava para baixo em ]a, b[. 
 Pode ocorrer que o valor da derivada f ′′ (x) passe, por exemplo, de decrescente em um 
intervalo ]a, c[ para crescente em um intervalo adjacente ]c, b[, como na Figura 22. Neste caso, diz-se 
que em x = c a função f possui um ponto de inflexão. 
 
Figura 22. Ponto de inflexão 
 
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I 
 
Edson de Oliveira 
38
 
Diz-se que um pontox = c é ponto de inflexão se f ′′ não é definida ou se tem f ′′ (x) = 0 e 
f ′′ muda de sinal quando x passa pelo ponto c. 
 
3.4 Teste da derivada segunda 
 Será visto a seguir como a derivada segunda f ′′de uma função f pode ser usada para 
determinar se um ponto crítico é um extremo