Resistência dos materiais - apostila com exercícios resolvidos

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Resistência dos 
Materiais
Mauro Noriaki Takeda
Aparecido Edilson Morcelli
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Resistência dos Mate-
riais, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autô-
nomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) 
uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO .................................... 7
1.1 Distribuição da Tensão Normal Média .....................................................................................................................9
1.2 Exercícios Resolvidos ......................................................................................................................................................9
1.3 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................12
1.4 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................13
2 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG ................................................................................. 15
2.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica .......................................................................................15
2.2 Módulo de Resiliência (µr) .........................................................................................................................................17
2.3 Módulo de Tenacidade (µt) .......................................................................................................................................18
2.4 Exercício Resolvidos .....................................................................................................................................................18
2.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................23
2.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................23
3 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES ....................................................................... 25
3.1 Tensão-Deformação .....................................................................................................................................................25
3.2 Módulo de Cisalhamento ..........................................................................................................................................26
3.3 Exercícios Resolvidos ...................................................................................................................................................27
3.4 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................29
3.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................29
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 31
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 33
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 45
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Esta apostila destina-se a estudantes de graduação, para os cursos de Engenharia Ambiental, En-
genharia de Produção ou afins, para o acompanhamento do conteúdo de Resistência dos Materiais, nos 
cursos a distância.
Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes ao conceito de tensão, compressão e cisalhamen-
to, deformação, lei de Hooke, módulo de Young, módulo da elasticidade volumétrica, módulo de cisalha-
mento e análise das tensões e deformações. 
Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma lin-
guagem simples, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são apresentadas 
questões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolução das ativi-
dades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, são propos-
tas, ao final de cada capítulo, várias atividades, com grau de dificuldade gradativo.
Além desta apostila, você terá como material de estudo as aulas web, o material de apoio e as aulas 
ao vivo. Serão utilizadas como avaliação as atividades, podendo ser atribuída uma nota ou não, e a prova 
presencial.
Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realiza-
ção das atividades propostas.
Finalmente, desejamos que você tenha um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seu 
conhecimento, consultando as referências indicadas no final da apostila.
Mauro Noriaki Takeda
Aparecido Edilson Morcelli
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Caro(a) aluno(a),
Você já ouviu falar em acidentes causados 
pela ruptura de alguma estrutura? Você deve ter 
se perguntado: por quê? A resposta está no con-
ceito físico aplicado na engenharia, cuja denomi-
nação é resistência dos materiais. Alguns mate-
riais resistem mais do que outros, em função da 
sua estrutura e concepção de produção. 
A resistência dos materiais é um ramo da 
mecânica que estuda as relações entre as cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável e a in-
tensidade das forças que agem no seu interior. 
Você deve observar que o assunto também 
envolve o cálculo das deformações do corpo, pro-
porcionando o estudo de sua estabilidade quan-
do sujeito a forças externas.
A intensidade da força, ou força por unidade 
de área, que age perpendicularmente à variação 
da área, é definida como tensão normal, σ (sig-
ma), uma vez que zF

∆ é normal à área, ou seja:
A
Fz
Az ∆
∆
=
→∆ 0
limσ
Agora, devemos observar o seguinte:
ƒƒ se a força normal ou tensão existir para 
tracionar o elemento de área A∆ , ela 
será denominada tensão de tração;
ƒƒ se a força normal ou tensão existir para 
comprimir o elemento de área A∆ , ela 
será denominada tensão de compres-
são.
CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E 
CISALHAMENTO1
Professor Aparecido, e a tensão de cisalha-
mento? Já ouvi falar muito dela. Bom! É importan-
te analisar a seguinte situação: a tensão de cisa-
lhamento é a intensidade da força, ou força por 
unidade de área, que age tangente a A∆ . Aqui, 
vamos designá-lapela letra grega ‘tau’, ou seja, 
a tensão de cisalhamento τ . Vamos analisar os 
componentes da tensão de cisalhamento:
A
Fx
Azx ∆
∆
=
→∆ 0
limτ
A
Fy
Azy ∆
∆
=
→∆ 0
limτ
AtençãoAtenção
A notação do índice z em 
�
�
��
 $)[$][ '' o' �OLPW 
 $)\$]\ '' o' �OLPW 
 
ATENÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de 
Unidades (SI) para os valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são 
especificadas nas unidades básicas: 3DP1 � 
 
Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que as forças de superfície 
desenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos. 
$�QRWDomR�GR�tQGLFH�]�HP� ]V �p�XVDGD�SDUD�LQGLFDU�D�GLUHomR�GD�UHWD�QRUPDO�GLULJLGD�SDUD�IRUD��TXH�HVSHFLILFD�D�RULHQWDomR�GD�iUHD� $' ��1D�WHQVmR�GH�FLVDOKDPHQWR��VmR�XVDGRV�GRLV�tQGLFHV�SDUD�RV�FRPSRQHQWHV� ][W �H� ]\W ��2EVHUYH�TXH�R�HL[R�]�HVSHFLILFD�D�RULHQWDomR�GD�iUHD�H�[�H�\�UHIHUHP�VH�jV�UHWDV�TXH�LQGLFDP�D�GLUHomR�GDV�WHQV}HV�GH�FLVDOKDPHQWR�� é usada para in-dicar a direção da reta normal dirigida para fora, que especifica a orientação da área �
�
��
 $)[$][ '' o' �OLPW 
 $)\$]\ '' o' �OLPW 
 
ATENÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de 
Unidades (SI) para os valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são 
especificadas nas unidades básicas: 3DP1 � 
 
Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que as forças de superfície 
desenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos. 
$�QRWDomR�GR�tQGLFH�]�HP� ]V �p�XVDGD�SDUD�LQGLFDU�D�GLUHomR�GD�UHWD�QRUPDO�GLULJLGD�SDUD�IRUD��TXH�HVSHFLILFD�D�RULHQWDomR�GD�iUHD� $' ��1D�WHQVmR�GH�FLVDOKDPHQWR��VmR�XVDGRV�GRLV�tQGLFHV�SDUD�RV�FRPSRQHQWHV� ][W �H� ]\W ��2EVHUYH�TXH�R�HL[R�]�HVSHFLILFD�D�RULHQWDomR�GD�iUHD�H�[�H�\�UHIHUHP�VH�jV�UHWDV�TXH�LQGLFDP�D�GLUHomR�GDV�WHQV}HV�GH�FLVDOKDPHQWR��Na tensão de cisalhamento, são usados dois ín-dices para os componentes 
�
�
��
 $)[$][ '' o' �OLPW 
 $)\$]\ '' o' �OLPW 
 
ATENÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de 
Unidades (SI) para os valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são 
especificadas nas unidades básicas: 3DP1 � 
 
Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que as forças de superfície 
desenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos. 
$�QRWDomR�GR�tQGLFH�]�HP� ]V �p�XVDGD�SDUD�LQGLFDU�D�GLUHomR�GD�UHWD�QRUPDO�GLULJLGD�SDUD�IRUD��TXH�HVSHFLILFD�D�RULHQWDomR�GD�iUHD� $' ��1D�WHQVmR�GH�FLVDOKDPHQWR��VmR�XVDGRV�GRLV�tQGLFHV�SDUD�RV�FRPSRQHQWHV� ][W �H� ]\W ��2EVHUYH�TXH�R�HL[R�]�HVSHFLILFD�D�RULHQWDomR�GD�iUHD�H�[�H�\�UHIHUHP�VH�jV�UHWDV�TXH�LQGLFDP�D�GLUHomR�GDV�WHQV}HV�GH�FLVDOKDPHQWR��. Observe que o eixo z especifica a orientação da área e x e 
y referem-se às retas que indicam a direção das 
tensões de cisalhamento.
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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Você deve lembrar que as unidades utili-
zadas no Sistema Internacional de Unidades (SI) 
para os valores da tensão normal e da tensão de 
cisalhamento são especificadas nas unidades bá-
sicas:
Pa
m
N
=2
Agora, vamos analisar as reações de apoio. 
Note que as forças de superfície desenvolvem-se 
nos apoios ou pontos de contato entre os corpos.
Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto.
�
�
��
 
Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto. 
 
 
Em muitas situações, analisamos o corpo na condição de equilíbrio, exigindo um 
equilíbrio de forças, para impedir a translação ou o movimento acelerado do corpo ao 
longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o 
corpo gire. Essas condições podem ser expressas pelas equações: 
 ¦ �GG) 
e ¦ �GG R0 
 
Para um sistema de coordenadas x, y e z, com origem no ponto o, os vetores força e 
momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, sendo 
as equações escritas da seguinte forma: 
 ¦ �GG[) , ¦ �GG\) e ¦ �GG]) 
\)G � [)G ��0G �
Em muitas situações, analisamos o corpo na 
condição de equilíbrio, exigindo um equilíbrio de 
forças, para impedir a translação ou o movimen-
to acelerado do corpo ao longo de uma trajetória 
reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para 
impedir que o corpo gire. Essas condições podem 
ser expressas pelas equações:
∑ = 0

F
e
∑ = 0

oM
Para um sistema de coordenadas x, y e z, 
com origem no ponto o, os vetores força e mo-
mento podem ser resolvidos em componentes ao 
longo dos eixos coordenados, sendo as equações 
escritas da seguinte forma:
∑ = 0

xF , ∑ = 0

yF e ∑ = 0

zF
e
∑ = 0

xM , ∑ = 0

yM e ∑ = 0

zM
Na prática da engenharia, muitas vezes, 
a carga sobre um corpo pode ser representada 
através de um sistema de forças coplanares.
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1.1 Distribuição da Tensão Normal Média
 Vamos, agora, analisar uma barra que es-
teja submetida a uma deformação uniforme e 
constante. Essa deformação é o resultado de uma 
tensão normal constante σ . Você deve observar 
que cada área A∆ da seção transversal está sub-
metida a uma força dada por:
AF ∆⋅=∆ σ
Observe que a soma dessas forças que 
agem em toda a área da seção transversal deve 
ser equivalente à força resultante interna P

.
�
�
��
e ¦ �GG [0 , ¦ �GG \0 e ¦ �GG ]0 
 
Na prática da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode ser 
representada através de um sistema de forças coplanares. 
 
1.1 Distribuição da Tensão Normal Média 
 
 Vamos, agora, analisar uma barra que esteja submetida a uma deformação 
uniforme e constante. Essa deformação é o resultado de uma tensão normal constante V . Você deve observar que cada área $' da seção transversal está submetida a uma 
força dada por: $) '˜ ' V 
 
Observe que a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversal 
deve ser equivalente à força resultante interna 3G . 
 ³ ³ ˜ $3 G$G) V 
 
ou $3 V 
 
 A tensão normal média, em qualquer ponto da área da seção transversal, será dada 
por: 
 
A tensão normal média, em qualquer ponto 
da área da seção transversal, será dada por:
A
P
=σ
1.2 Exercícios Resolvidos
1. Uma tábua uniforme de 50 N suporta duas crianças, que pesam 500 N e 400 N, respectivamen-
te, conforme a figura. Estando o suporte da gangorra sob o centro de gravidade da tábua e a 
criança de 500 N a 1,2 m do centro, determine:
a) a força para cima, em N, exercida pelo suporte sobre a tábua;
b) onde a criança de 400 N deve sentar-se, a fim de equilibrar o 
sistema.
�
�
��$3 V 
 
1.2 Exercícios Resolvidos 
 
1. Uma tábua uniforme de 50 N suporta duas crianças, que pesam 500 N e 400 N, 
respectivamente, conforme a figura. Estando o suporte da gangorra sob o centro de 
gravidade da tábua e a criança de 500 N a 1,2 m do centro, determine: 
a) a força para cima, em N, exercida pelo suporte sobre a tábua; 
b) onde a criança de 400 N deve sentar-se, a fim de equilibrar o sistema. 
 
Figura 2 – Gangorra. 
 
Fonte: Serway (1996). 
 
Resolução: 
a) A somatória das forças na direção y deverá ser igual a zero, ou seja, ΣFy = 0; portanto, 
temos: � � � � � � �3331 �������� ��� ���������1 ��� ����1 � 1���1 
 
Figura 2 – Gangorra.
Fonte: Serway (1996). 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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Resolução:
a) A somatória das forças na direção y deverá ser iguala zero, ou seja, ΣFy = 0; portanto, temos:
( ) ( ) ( ) 0PPPN 40050500 =−−−
040050500N =−−−
0900N =−
N900N =
b) Para que o sistema fique em equilíbrio, a somatória dos momentos deverá ser igual a zero, ou 
seja, ∑Mo = 0. Considerando o polo no ponto em que o suporte da gangorra está apoiado (cen-
tro de gravidade da tábua), os momentos das duas crianças serão:
dFM ⋅=
( ) 2,1500M 500 ⋅=
( ) mN600M 500 ⋅=
e
( ) x400M 400 ⋅−=
Portanto:
0x400600 =⋅−
600x400 =⋅
400
600x =
m5,1x =
2. Imagine uma caixa de 200 kg de massa, suspensa utilizando cordas entre o ponto de apoio, a 
caixa e a tração na horizontal. Cada corda pode suportar uma força máxima de 10 kN antes de 
se romper. Qual é o menor ângulo θ em que a caixa pode ser suspensa, sem que uma das cor-
das rompa-se? Adote g = 9,81 m/s2.
Resolução:
Antes de iniciarmos a resolução, vamos analisar o esquema a seguir. Você sempre deve realizar um 
esquema do problema, para verificar as forças que estão atuando.
�
�
���
 
 
 
 
 Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem três forças 
atuando nele. A intensidade de ')G é igual ao peso da caixa, ou seja: 
 1)' ����������� ˜ 
 
 Agora, vamos analisar as equações de equilíbrio. Analisando as equações de 
equilíbrio ao longo dos eixos x e y temos: 
 x� para o eixo x: ¦ �[) �FRV �� %& )) T 
 TFRV%& )) 
')G � %)G �&)G � T �
T �& � $ � % �' �
�
�
���
 
 
 
 
 Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem três forças 
atuando nele. A intensidade de ')G é igual ao peso da caixa, ou seja: 
 1)' ����������� ˜ 
 
 Agora, vamos analisar as equações de equilíbrio. Analisando as equações de 
equilíbrio ao longo dos eixos x e y temos: 
 x� para o eixo x: ¦ �[) �FRV �� %& )) T 
 TFRV%& )) 
')G � %)G �&)G � T �
T �& � $ � % �' �
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 Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem três forças atuando nele. A 
intensidade de DF

 é igual ao peso da caixa, ou seja:
 Agora, vamos analisar as equações de equilíbrio. Analisando as equações de equilíbrio ao longo 
dos eixos x e y temos:
ƒƒ para o eixo x:
∑ = 0xF
0cos =+− BC FF θ
θcos
B
C
FF =
ƒƒ para o eixo y:
∑ = 0yF
01962 =− NsenFC θ
A corda em AC atingirá a força de tração máxima de 10 kN antes da corda AB. Portanto, FC = 10 kN 
= 10 x 103 N.
�
�
���
 
 
 
 
 Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem três forças 
atuando nele. A intensidade de ')G é igual ao peso da caixa, ou seja: 
 1)' ����������� ˜ 
 
 Agora, vamos analisar as equações de equilíbrio. Analisando as equações de 
equilíbrio ao longo dos eixos x e y temos: 
 x� para o eixo x: ¦ �[) �FRV �� %& )) T 
 TFRV%& )) 
')G � %)G �&)G � T �
T �& � $ � % �' �
�
�
���x� para o eixo y: ¦ �\) ����� � 1VHQ)& T 
 
A corda em AC atingirá a força de tração máxima de 10 kN antes da corda AB. 
Portanto, FC = 10 kN = 10 x 103 N. 
 � � ��������� � �u 1VHQ1 T 
 � � 1VHQ1 �������� � u T 
 � �11VHQ ���������u T 
 � �11DUFVHQ ���������u T 
 D����� T 
 
Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para 
obter o valor de FB. 
A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC, 
dada a equação: 
 TFRV%& )) 
 TT FRVFRV &%%& )))) Ÿ 
 
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Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para obter o valor de 
FB.
A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC, dada a equação:
θcos
B
C
FF =
θ
θ
cos
cos CB
B
C FF
FF =⇒=
θ
θ
cos
cos CB
B
C FF
FF =⇒=
�
�
���TT FRVFRV &%%& )))) Ÿ 
 N1)) &% ����FRV T 
 
Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força 
máxima para romper a corda de 10 kN. 
 
1.3 Resumo do Capítulo 
 
Caro(a) aluno(a), 
Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo da 
mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo 
deformável e a intensidade das forças que agem no seu interior. Se a força normal ou 
tensão existir para tracionar o elemento de área $' , ela será denominada tensão de 
tração, mas, se existir para comprimir o elemento de área $' , será denominada tensão de 
compressão. 
 
1.4 Atividades Propostas 
 
1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, com o antebraço fazendo ângulo de 90° com o 
braço, como indica a figura. O bíceps exerce a força E)G , aplicada a 3 cm da articulação O 
do cotovelo. O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine: 
a) o módulo da força E)G ; 
b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força máxima para 
romper a corda de 10 kN.
1.3 Resumo do Capítulo
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda 
as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que 
agem no seu interior. Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área A∆ , ela será 
denominada tensão de tração, mas, se existir para comprimir o elemento de área A∆ , será denominada 
tensão de compressão.
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1.4 Atividades Propostas
1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, com o antebraço fazendo ângulo de 90° com o braço, 
como indica a figura. O bíceps exerce a força bF

, aplicada a 3 cm da articulação O do cotovelo. 
O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine:
a) o módulo da força bF

;
b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo.
2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e massa M = 3 kg está apoiada, nas extremidades, nas 
plataformas de duas balanças, como indica a figura. Uma carga de massa m = 6 kg está sobre a 
prancha, a uma distância x1 = 3 m da extremidade esquerda e x2 = 1 m da extremidade direita. 
Determine as leituras das balanças.
�
�
���
Figura 3 – Antebraço. 
 
Fonte: Serway (1996). 
 
2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e massa M = 3 kg está apoiada, nas extremidades, 
nas plataformas de duas balanças, como indica a figura. Uma carga de massa m = 6 kg está 
sobre a prancha, a uma distância x1 = 3 m da extremidade esquerda e x2 = 1 m da 
extremidade direita. Determine as leituras das balanças. 
 
Figura 4 – Prancha. 
 
Fonte: Tipler (2000). 
 
�Figura 3 – Antebraço.Fonte: Serway (1996).�
�
���
Figura 3 – Antebraço. 
 
Fonte: Serway (1996). 
 
2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e massa M = 3 kg está apoiada, nas extremidades, 
nas plataformas de duas balanças, como indica a figura. Uma carga de massa m = 6 kg está 
sobre a prancha, a uma distância x1 = 3 m da extremidade esquerda e x2 = 1 m da 
extremidade direita. Determine as leituras das balanças. 
 
Figura 4 – Prancha. 
 
Fonte: Tipler (2000). 
 
�
Figura 3 – Prancha.
Fonte: Tipler (2000).
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Caro(a) aluno(a),
Você já estudou a lei de Hooke. Nesse caso, 
vamos aplicá-la em resistência dos materiais.
A lei de Hooke define a relação linear entre 
a tensão e a deformação dentro da região elásti-
ca, sendo dada pela equação:
εσ E=
LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG2
Saiba maisSaiba mais
O módulo de Young somente pode ser utilizado se 
o material apresentar uma relação linear elástica.
Em que:
ƒƒ σ representaa tensão aplicada;
ƒƒ E representa o módulo de Young;
ƒƒ ε representa a deformação sofrida 
pelo corpo.
2.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica
Quando um material é deformado por uma 
carga externa, tende a armazenar energia interna-
mente, em todo o seu volume. Como essa energia 
está relacionada com as deformações no material, 
ela é denominada energia de deformação.
Agora, vamos representar um corpo sofren-
do uma deformação em função da carga aplicada 
ao corpo.
A tensão desenvolve uma força dada por:
( )yxAF ∆∆⋅=∆⋅=∆ σσ
 
Essa variação de força ocorre nas faces su-
perior e inferior do elemento, após ele ter sofrido 
um deslocamento z∆ε . 
�
�
���
 
 A tensão desenvolve uma força dada por: 
 � �\[$) ''˜ '˜ ' VV 
 Essa variação de força ocorre nas faces superior e inferior do elemento, após ele ter 
sofrido um deslocamento ]'H . 
 Agora, vamos relembrar o que é trabalho em física. E o que vamos analisar, 
professor? 
 Você pode definir o trabalho pelo produto entre a força e o deslocamento na 
direção da força. A deformação aumenta uniformemente de zero até seu valor final )G , 
quando é obtido o deslocamento ]'H ; nesse caso, o trabalho realizado pela força sobre 
o elemento é igual ao valor médio da força ¹¸·©¨§ '�) vezes o deslocamento ]'H . 
 Note que esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de 
deformação armazenada no elemento ou corpo de prova, quando do ensaio real. 
V �V �]' � \' � [' �
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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Agora, vamos relembrar o que é trabalho 
em física. E o que vamos analisar, professor? 
Você pode definir o trabalho pelo produ-
to entre a força e o deslocamento na direção da 
força. A deformação aumenta uniformemente de 
zero até seu valor final Fδ , quando é obtido o 
deslocamento z∆ε ; nesse caso, o trabalho rea-
lizado pela força sobre o elemento é igual ao va-
lor médio da força 




 ∆
2
F vezes o deslocamento z∆ε .
Note que esse trabalho externo é equiva-
lente ao trabalho interno ou energia de deforma-
ção armazenada no elemento ou corpo de prova, 
quando do ensaio real.
Agora, vamos considerar que nenhuma 
energia foi perdida na forma de calor. Nesse caso, 
a energia de deformação é:
zFU ∆⋅⋅




 ∆=∆ ε
2
1
ou 
zyxU ∆⋅⋅




 ∆∆=∆ εσ
2
1
Lembre-se de que o volume do elemento é 
dado por:
zyxV ∆∆∆=∆
Portanto, a energia será dada por:
VU ∆⋅⋅=∆ εσ
2
1
 
Vamos definir a densidade de energia de 
deformação, que é dada pela equação:
εσµ ⋅=
∆
∆
=
2
1
V
U
Se o comportamento do material for linear 
elástico, a lei de Hooke aplica-se e a equação é 
dada por:
εσ ⋅= E
 
Veja que podemos expressar a densidade 
de energia de deformação em termos de tensão 
uniaxial, como:
εσµ ⋅




=
2
1
ou 
E
σ
σµ ⋅




=
2
1
Portanto, temos:
EE
2
2
1
2
1 σσ
σµ =⋅




=
Quando um material homogêneo e isotró-
pico é submetido a um estado de tensão triaxial, 
a deformação em uma das direções da tensão é 
influenciada pelas deformações produzidas por 
todas as tensões. 
Saiba maisSaiba mais
Quando uma barra é confeccionada em material 
homogêneo e isotrópico e submetida a uma força 
axial que age no centroide da área de seção trans-
versal, o material no interior da barra é submetido 
somente à tensão normal, admitindo-se que essa 
tensão é uniforme ou média na área da seção trans-
versal.
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17
Você sabe o que é módulo de resiliência?
Em particular, quando a tensão σ atinge 
o limite de proporcionalidade, a densidade de 
2.2 Módulo de Resiliência (µr)
�
�
���
 Você sabe o que é módulo de resiliência? 
 Em particular, quando a tensão V atinge o limite de proporcionalidade, a 
densidade de energia de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo de 
resiliência é dado por: 
 DGHRUFLRQDOLG/LPLWHSURSGHRULRQDOLGD/LPLWHSURSDUHVLOLrQFL HVP ˜¹¸·©¨§ �� 
ou (/SU ��� VP 
 
Figura 5 – Curva de tensão-deformação. 
 
 
 Atenção 
 
 
 
DUHVLOLrQFLP �� OSH �OSV � V � H �$�UHVLOLrQFLD�GH�XP�PDWHULDO�UHSUHVHQWD�D�VXD�FDSDFLGDGH�GH�DEVRUYHU�HQHUJLD��VHP�VRIUHU�TXDOTXHU�GDQR�SHUPDQHQWH��
energia de deformação é denominada módulo 
de resiliência. O módulo de resiliência é dado por:
Figura 5 – Curva de tensão-deformação.
AtençãoAtenção
A resiliência de um material representa a sua ca-
pacidade de absorver energia, sem sofrer qual-
quer dano permanente.
�
�
���
 Você sabe o que é módulo de resiliência? 
 Em particular, quando a tensão V atinge o limite de proporcionalidade, a 
densidade de energia de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo de 
resiliência é dado por: 
 DGHRUFLRQDOLG/LPLWHSURSGHRULRQDOLGD/LPLWHSURSDUHVLOLrQFL HVP ˜¹¸·©¨§ �� 
ou (/SU ��� VP 
 
Figura 5 – Curva de tensão-deformação. 
 
 
 Atenção 
 
 
 
DUHVLOLrQFLP �� OSH �OSV � V � H �$�UHVLOLrQFLD�GH�XP�PDWHULDO�UHSUHVHQWD�D�VXD�FDSDFLGDGH�GH�DEVRUYHU�HQHUJLD��VHP�VRIUHU�TXDOTXHU�GDQR�SHUPDQHQWH��tensão deformação
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O módulo de tenacidade é representado 
pela área inteira no diagrama de tensão-deforma-
ção; portanto, indica a densidade de deformação 
do material um pouco antes da ruptura. Essa pro-
priedade é importante no projeto de elementos 
de estruturas que possam ser sobrecarregadas 
acidentalmente.
Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tena-
cidade.
�
�
���
2.3 Módulo de Tenacidade � �WP 
 
 O módulo de tenacidade é representado pela área inteira no diagrama de tensão-
deformação; portanto, indica a densidade de deformação do material um pouco antes da 
ruptura. Essa propriedade é importante no projeto de elementos de estruturas que possam 
ser sobrecarregadas acidentalmente. 
 
Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade. 
 
 
 Materiais com alto módulo de tenacidade sofrem grande distorção devido à 
sobrecarga, porém podem ser preferíveis aos que possuem baixo valor de módulo de 
tenacidade; já os que possuem módulo de tenacidade baixo podem sofrer ruptura 
repentina, sem nenhum sinal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar sua 
resiliência e tenacidade. 
 
2.4 Exercícios Resolvidos 
 
1. Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/m m2 e apresenta uma estricção 
de 77%. Calcule: 
a) a tensão verdadeira de ruptura; 
b) a deformação verdadeira 9H na ruptura. 
$�iUHD�UHSUHVHQWD�R�YDORU�GR�PyGXOR�GH�WHQDFLGDGH�WP �
2.3 Módulo de Tenacidade (µt)
 Materiais com alto módulo de tenacida-
de sofrem grande distorção devido à sobrecarga, 
porém podem ser preferíveis aos que possuem 
baixo valor de módulo de tenacidade; já os que 
possuem módulo de tenacidade baixo podem 
sofrer ruptura repentina, sem nenhum sinal dessa 
ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar 
sua resiliência e tenacidade.
2.4 Exercício Resolvidos
1. Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2 e apresenta uma estricção de 
77%. Calcule:
a) a tensão verdadeira de ruptura;
b) a deformação verdadeira Vε na ruptura.
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Resolução:
a)
�
�
���
 
Resolução: 
a) �$3 V 
Isolando a carga P e sendo ���PPNJI V , temos: �� $3$3 ˜ Ÿ VV 
 
 
Substituindo os valores, obtemos a expressão dada por: 
 �� �� $3$3 ˜ Ÿ˜ V 
 
A área final após a estricção de 77% é dada pela relação: 
 � � ������ $$ILQDO ˜� 
 
A tensão verdadeira de ruptura é expressa por:� � ��� ����� �� $$$3YHUGDGHLUD ˜� ˜ V 
 
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b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira Vε na ruptura. Lembre-se de que a deforma-
ção instantânea é dada pela derivada εd ; portanto, temos:
�
�
���
Portanto, temos: 
 ��� ������ $$$3YHUGDGHLUD ˜˜ V 
 
e 
 ������������� PPNJIYHUGDGHLUD V 
 
b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira 9H na ruptura. Lembre-se de que a 
deformação instantânea é dada pela derivada HG ; portanto, temos: 
 OGOG H 
 
A elongação verdadeira é dada pela integral: 
 ³ ³ OGOGH 
 
Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os 
membros. A solução é: 
 
�
�
���
Portanto, temos: 
 ��� ������ $$$3YHUGDGHLUD ˜˜ V 
 
e 
 ������������� PPNJIYHUGDGHLUD V 
 
b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira 9H na ruptura. Lembre-se de que a 
deformação instantânea é dada pela derivada HG ; portanto, temos: 
 OGOG H 
 
A elongação verdadeira é dada pela integral: 
 ³ ³ OGOGH 
 
Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os 
membros. A solução é: 
 
Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os membros. 
A solução é:
�
�
���¹¸·©¨§ �OQ OO ILQDOYHUGDGHLUDH 
 
Mas temos: 
 II O$O$ ˜ ˜ �� 
e 
 �� OO$$ II 
 
Portanto, temos: 
 ¸¸¹·¨¨©§ IYHUGDGHLUD $$�OQH 
 
A área final será dada por: 
 � � �� ��������� $$$I ˜ ˜� 
 
Agora, vamos substituir o valor final obtido na deformação verdadeira: 
 ¹¸·©¨§ ¹¸·©¨§ ˜ ¸¸¹·¨¨©§ �����OQ����OQOQ ��� $$$$IYHUGDGHLUDH 
 
Portanto: 
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Mas temos: 
ff lAlA ⋅=⋅ 00
e
0
0
l
l
A
A f
f
=
Portanto, temos:




=
f
verdadeira A
A0lnε
A área final será dada por:
�
�
���¹¸·©¨§ �OQ OO ILQDOYHUGDGHLUDH 
 
Mas temos: 
 II O$O$ ˜ ˜ �� 
e 
 �� OO$$ II 
 
Portanto, temos: 
 ¸¸¹·¨¨©§ IYHUGDGHLUD $$�OQH 
 
A área final será dada por: 
 � � �� ��������� $$$I ˜ ˜� 
 
Agora, vamos substituir o valor final obtido na deformação verdadeira: 
 ¹¸·©¨§ ¹¸·©¨§ ˜ ¸¸¹·¨¨©§ �����OQ����OQOQ ��� $$$$IYHUGDGHLUDH 
 
Portanto: 
�
�
���
 � � ����������OQ�����OQ # ¹¸·©¨§ YHUGDGHLUDH 
Em porcentagem, corresponde a: 
 ���� YHUGDGHLUDH 
 
2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é 
tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a 
deformação sofrida pela haste de latão. 
 
Resolução: 
 Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica 
o sentido e a direção da tração aplicada à haste. 
 
Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra. 
 
 
 A variação do comprimento é dada por: 
 LQLFLDOILQDO OOO � ' 
 
 A deformação é dada pela equação: 
 OO' H 
 
50 mm 
%147=verdadeiraε
Em porcentagem, corresponde a:
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2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é ten-
sionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a deformação 
sofrida pela haste de latão.
Resolução:
 Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica o sentido e a 
direção da tração aplicada à haste.
Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra.
 A variação do comprimento é dada por:
inicialfinal lll −=∆
 A deformação é dada pela equação:
l
l∆
=ε
 
 Agora, vamos substituir os valores dados:
�
�
���
 � � ����������OQ�����OQ # ¹¸·©¨§ YHUGDGHLUDH 
Em porcentagem, corresponde a: 
 ���� YHUGDGHLUDH 
 
2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é 
tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a 
deformação sofrida pela haste de latão. 
 
Resolução: 
 Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica 
o sentido e a direção da tração aplicada à haste. 
 
Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra. 
 
 
 A variação do comprimento é dada por: 
 LQLFLDOILQDO OOO � ' 
 
 A deformação é dada pela equação: 
 OO' H 
 
50 mm �
�
���
 Agora, vamos substituir os valores dados: 
 PPPPOO ��������� �������� � ' H 
 
 A deformação, em porcentagem, é: 
 ���������������� u u' OOH 
 
2.5 Resumo do Capítulo 
 
 Caro(a) aluno(a), 
Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma 
carga externa é secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e 
mantém cada segmento do corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um 
ponto do corpo é denominada tensão. A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão 
e a deformação dentro da região elástica. 
 
2.6 Atividades Propostas 
 
1. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elatão = 100 GPa. 
Considerando a haste com 3 m de comprimento e sendo submetida a uma carga axial de 2 
kN, determine: 
a) seu alongamento para o diâmetro de 8 mm; 
b) o alongamento, se o diâmetro for de 6 mm. 
 
2. Um corpo de prova de aço, com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de 
referência de 50 mm, foi submetido a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados 
na tabela, construa uma nova tabela descrevendo a tensão e a deformação em cada ponto 
dado. 
 
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Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma carga externa é 
secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e mantém cada segmento do 
corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um ponto do corpo é denominada tensão. A 
lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica.
2.5 Resumo do Capítulo
2.6 Atividades Propostas
1. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elatão = 100 GPa. Con-
siderando a haste com 3 m de comprimento e sendo submetida a uma carga axial de 2 kN, 
determine:
a) seu alongamento para o diâmetro de 8 mm;
b) o alongamento, se o diâmetro for de 6 mm.
2. Um corpo de prova de aço, com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de 
50 mm, foi submetido a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados na tabela, cons-
trua uma nova tabela descrevendo a tensão e a deformação em cada ponto dado.
Carga (kN) Alongamento (mm)
0 0
11,1 0,0175
31,9 0,0600
37,8 0,1020
40,9 0,1650
43,6 0,2490
53,4 1,0160
62,3 3,0480
64,5 6,3500
62,3 8,8900
58,8 11,9380
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Caro(a) aluno(a),
A resistência de um material depende de 
sua capacidade de suportar uma carga, sem de-
formação excessiva ou ruptura. Essa propriedade 
é inerente ao próprio material e deve ser determi-
nada por métodos experimentais, como o ensaio 
de tração ou compressão.
Uma máquina de teste é projetada para ler 
a carga exigida, para manter o alongamento uni-
forme.
ANÁLISE DAS TENSÕES E 
DEFORMAÇÕES3
Figura 8 – Esquema de máquina de tração ou com-
pressão.
3.1 Tensão-Deformação
A tensão nominal σ , ou tensão de enge-
nharia, é determinada pela divisão da carga apli-
cada P pela área original da seção transversal do 
corpo de prova A0. 
A tensão é dada pela equação:
0A
P
=σ
A deformação nominal ε , ou deforma-
ção de engenharia, é determinada pela razãoda 
variação δ , no comprimento de referência do 
corpo de prova, pelo comprimento de referência 
original do corpo de prova L0. A equação é dada 
por:
0L
δε =
 
Para um comportamento elástico, temos 
que:
ƒƒ a tensão é proporcional à deformação;
ƒƒ o material é linearmente elástico.
O escoamento ocorre quando um pequeno 
aumento na tensão, acima do limite de elasticida-
de, resulta no colapso do material, fazendo com 
que ele se deforme permanentemente.
Você deve observar que pode ocorrer um 
endurecimento por deformação, quando o es-
coamento tiver terminado. Aplicando uma carga 
adicional ao corpo de prova, obtém-se uma cur-
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va que cresce continuamente, mas se torna mais 
achatada, até atingir a tensão máxima, denomi-
nada limite de resistência.
Você vai constatar que, no limite de resis-
tência, a área da seção transversal começa a dimi-
nuir em uma região localizada do corpo de prova, 
causando o que denominamos estricção. 
Figura 9 – Máquina de ensaio de tração da marca 
Panambra.
Nesse caso, o corpo de prova quebra-se 
quando atinge a tensão de ruptura.
Devemos notar que os valores da tensão 
e da deformação calculados por essas medições 
são denominados tensão real e deformação real.
O comportamento da tensão-deformação 
de materiais dúcteis e frágeis... Mas, professor, o 
que é um material dúctil? Calma!
Um material dúctil é aquele que pode ser 
submetido a grandes deformações antes de so-
frer ruptura. Já um material frágil exibe pouco ou 
nenhum escoamento antes da falha.
Colocação do 
corpo de prova
3.2 Módulo de Cisalhamento
Olá, aluno(a)! Vamos, agora, pensar em fixar 
um parafuso na parede, utilizando uma chave de 
fenda. Elementos de fixação, como pregos e para-
fusos, frequentemente estão sujeitos a cargas de 
cisalhamento. Note que a intensidade de uma for-
ça de cisalhamento sobre o elemento de fixação é 
maior ao longo de um plano que passa pelas su-
perfícies interconectadas. 
A tensão de cisalhamento média distribuída 
sobre cada área secionada é definida por:
A
V
média =τ
Em que:
ƒƒ média
τ : tensão de cisalhamento mé-
dia na seção, que consideramos a mes-
ma em cada ponto localizado na seção;
ƒƒ V : força de cisalhamento interna re-
sultante na seção, determinada pelas 
equações de equilíbrio;
ƒƒ A : área na seção.
O comportamento de um material submeti-
do a cisalhamento puro pode ser estudado em la-
boratório, por meio de corpos de prova na forma 
de tubos finos submetidos à carga de torção. Se o 
torque aplicado e os ângulos de torção resultan-
tes forem medidos, os dados podem ser utiliza-
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dos para determinar a tensão de cisalhamento e a 
deformação por cisalhamento. 
Vamos admitir que a maioria dos materiais 
de engenharia apresente um comportamento li-
near elástico; portanto, a lei de Hooke para cisa-
lhamento pode ser expressa por:
γτ G=
Em que: 
ƒƒ G: módulo de elasticidade ao cisalha-
mento ou módulo de rigidez.
Uma tensão de cisalhamento aplicada a 
um material homogêneo e isotrópico somente 
produz deformação por cisalhamento no mesmo 
plano.
3.3 Exercícios Resolvidos
1. Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15 cm2 e 
uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície superior, 
esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de cisalhamento?
Resolução:
Dados fornecidos pelo problema:
ƒƒ V = 0,50 N;
ƒƒ A = 15 cm2 = 15 x 10-4 m2.
A tensão de cisalhamento τ é dada por:
�
�
���
1. Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15 
cm2 e uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície 
superior, esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de 
cisalhamento? 
 
Resolução: 
Dados fornecidos pelo problema: 
 x� V = 0,50 N; x� A = 15 cm2 = 15 x 10-4 m2. 
 
A tensão de cisalhamento W é dada por: $9 W ����� ���� �˜ W �P1��� W 
 
2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1 
mm quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. 
Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o módulo de Young para a barra. 
 
Resolução: 
Os dados fornecidos pelo problema são: 
 x� L = 4 m; x� A = 0,5 cm2; x� PP�/ ' ; x� m = 225 kg. 
 
Efetuando as conversões de unidades para o SI, temos: 
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2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1 mm 
quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8 
m/s2, calcule o módulo de Young para a barra.
Resolução:
Os dados fornecidos pelo problema são:
ƒƒ L = 4 m;
ƒƒ A = 0,5 cm2;
ƒƒ mm1L =∆ ;
ƒƒ m = 225 kg.
Efetuando as conversões de unidades para o SI, temos:
�
�
���P��PP�/ �� ' 
A = 0,5 cm2 = 0,5.10�4 m2 = 5.10�5 m2 
 
A deformação H é dada por: 
 //' H ��� �� H PP����� ��˜ H 
A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja: JP3 ˜ ������3 ˜ 1����3 
A tensão aplicada V é dada por: $3 V ���������˜ V �� P1�����˜ V �� P1������ ˜ V 
O módulo de Young é dado por: HV ( ������� ������ �˜ ˜ ( ��� P1������ ˜ ( 
 
A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja:
gmP ⋅=
8,9225P ⋅=
N2205P =
A tensão aplicada σ é dada por:
�
�
���P��PP�/ �� ' 
A = 0,5 cm2 = 0,5.10�4 m2 = 5.10�5 m2 
 
A deformação H é dada por: 
 //' H ��� �� H PP����� ��˜ H 
A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja: JP3 ˜ ������3 ˜ 1����3 
A tensão aplicada V é dada por: $3 V ���������˜ V �� P1�����˜ V �� P1������ ˜ V 
O módulo de Young é dado por: HV ( ������� ������ �˜ ˜ ( ��� P1������ ˜ ( 
 
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O módulo de Young é dado por:
�
�
���P��PP�/ �� ' 
A = 0,5 cm2 = 0,5.10�4 m2 = 5.10�5 m2 
 
A deformação H é dada por: 
 //' H ��� �� H PP����� ��˜ H 
A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja: JP3 ˜ ������3 ˜ 1����3 
A tensão aplicada V é dada por: $3 V ���������˜ V �� P1�����˜ V �� P1������ ˜ V 
O módulo de Young é dado por: HV ( ������� ������ �˜ ˜ ( ��� P1������ ˜ ( 
 
3.4 Resumo do Capítulo
3.5 Atividades Propostas
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibem comportamento inicial 
linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e definida pela lei de Hooke. Quando o mate-
rial sofre tensão além do ponto de escoamento, ocorre deformação permanente. O comportamento de 
um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos de 
prova na forma de tubos finos submetidos à carga de torção.
1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15 kN. Ad-
mitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor dessas tensões, em 
qualquer uma das seções transversais mn ou pq?
�
�
���
3.4 Resumo do Capítulo 
 
 Caro(a) aluno(a), 
Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibem 
comportamento inicial linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e 
definida pela lei de Hooke. Quando o material sofre tensão além do ponto de escoamento, 
ocorre deformação permanente. O comportamento de um material submetido a 
cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos de prova na 
forma de tubos finossubmetidos à carga de torção. 
 
3.5 Atividades Propostas 
 
1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15 
kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor dessas 
tensões, em qualquer uma das seções transversais mn ou pq? 
 
 
 
2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura. 
Considerando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a 
tensão normal média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2. 
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30
2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura. Conside-
rando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a tensão normal 
média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2.
�
�
���
 
 
 
 
 
 
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31
CONSIDERAÇÕES FINAIS4
Caro(a) aluno(a),
Espera-se que, com esta apostila, você consiga se envolver na disciplina, entenda como definir os 
conceitos básicos da resistência dos materiais, saiba as grandezas envolvidas no estudo da resistência 
dos materiais, bem como desenvolva o raciocínio lógico e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentes 
aos vários assuntos abordados e estudados na presente apostila, no âmbito profissional e, consequente-
mente, na sociedade em que se encontra inserido(a).
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CAPíTUlo 1
RESPOSTAS COMENTADAS DAS 
ATIVIDADES PROPOSTAS
AtençãoAtenção
Olá, aluno(a)! 
Para a resolução das atividades, não se esqueça de realizar uma revisão da teoria. Existem exercícios resolvidos 
que irão auxiliar você, passo a passo, na resolução das atividades. Você poderá utilizar a sua calculadora cientí-
fica para facilitar os cálculos.
�
�
���
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
Atenção 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
1. O esquema de forças é: 
 
 
 
 
 
Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 
0. 
Considerando o polo em O, temos: �0 R�)D ����)0 ER�)E ˜ P1�������0 R�3 ˜� ˜� 
Portanto: ���)����� E �˜� ��)���� E ˜ ������)E 1���)E 
 
2. O esquema das forças que atuam no sistema é: 
 
2Oi��DOXQR�D����3DUD� D� UHVROXomR� GDV� DWLYLGDGHV�� QmR� VH� HVTXHoD� GH� UHDOL]DU� XPD�UHYLVmR�GD�WHRULD��([LVWHP�H[HUFtFLRV�UHVROYLGRV�TXH�LUmR�DX[LOLDU�YRFr��SDVVR� D� SDVVR�� QD� UHVROXomR� GDV� DWLYLGDGHV�� 9RFr� SRGHUi� XWLOL]DU� D�VXD�FDOFXODGRUD�FLHQWtILFD�SDUD�IDFLOLWDU�RV�FiOFXORV��2� � FP �� FPD)G E)G 3G
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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�
���
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
Atenção 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
1. O esquema de forças é: 
 
 
 
 
 
Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 
0. 
Considerando o polo em O, temos: �0 R�)D ����)0 ER�)E ˜ P1�������0 R�3 ˜� ˜� 
Portanto: ���)����� E �˜� ��)���� E ˜ ������)E 1���)E 
 
2. O esquema das forças que atuam no sistema é: 
 
2Oi��DOXQR�D����3DUD� D� UHVROXomR� GDV� DWLYLGDGHV�� QmR� VH� HVTXHoD� GH� UHDOL]DU� XPD�UHYLVmR�GD�WHRULD��([LVWHP�H[HUFtFLRV�UHVROYLGRV�TXH�LUmR�DX[LOLDU�YRFr��SDVVR� D� SDVVR�� QD� UHVROXomR� GDV� DWLYLGDGHV�� 9RFr� SRGHUi� XWLOL]DU� D�VXD�FDOFXODGRUD�FLHQWtILFD�SDUD�IDFLOLWDU�RV�FiOFXORV��2� � FP �� FPD)G E)G 3G
�
�
���
 
 
 
 
Em que: 
 x� �1G e �1G são as forças normais sobre a prancha; x� 33G é o peso da prancha; x� &3G é o peso do corpo. 
 
A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0; portanto, 
temos: 
 �3311 &3�� ��� ���������11 �� ��� �����11 �� �� 1����11 �� � 
 
Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 
0. 
Considerando o polo em N2, temos: 
 �10 �R�1� ˜� �0 R�1� �����0 R�33 ˜ P1����0 R�33 ˜ �����0 R�3& ˜ P1����0 R�3& ˜ ����������1� ��˜� 
�1G � �1G �33G � &3G � �
�
��������1� � � �����1� 1����1� 
 
Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos: 
 1����11 �� � ����1���� � � ��������1� � 1����1� 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro. 
Lembre-se de que a área transversal é dada por: 
 ��� G$ ˜¹¸·©¨§ S 
Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por: 
 ������ PP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Então: 
 �� �������� PPPP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Resistência dos Materiais
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�
�
���
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
Atenção 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
1. O esquema de forças é: 
 
 
 
 
 
Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 
0. 
Considerando o polo em O, temos: �0 R�)D ����)0 ER�)E ˜ P1�������0 R�3 ˜� ˜� 
Portanto: ���)����� E �˜� ��)���� E ˜ ������)E 1���)E 
 
2. O esquema das forças que atuam no sistema é: 
 
2Oi��DOXQR�D����3DUD� D� UHVROXomR� GDV� DWLYLGDGHV�� QmR� VH� HVTXHoD� GH� UHDOL]DU� XPD�UHYLVmR�GD�WHRULD��([LVWHP�H[HUFtFLRV�UHVROYLGRV�TXH�LUmR�DX[LOLDU�YRFr��SDVVR� D� SDVVR�� QD� UHVROXomR� GDV� DWLYLGDGHV�� 9RFr� SRGHUi� XWLOL]DU� D�VXD�FDOFXODGRUD�FLHQWtILFD�SDUD�IDFLOLWDU�RV�FiOFXORV��2� � FP �� FPD)G E)G 3G
�
�
��������1� � � �����1� 1����1� 
 
Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos: 
 1����11 �� � ����1���� � � ��������1� � 1����1� 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro. 
Lembre-se de que a área transversal é dada por: 
 ��� G$ ˜¹¸·©¨§ S 
Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por: 
 ������ PP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Então: 
 �� �������� PPPP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
CAPíTUlo 2
1. 
a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro. Lembre-se 
de que a área transversal é dada por:
2
14
dA ⋅




=
π
Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por:
�
�
��������1� � � �����1� 1����1� 
 
Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos: 
 1����11 �� � ����1���� � � ��������1� � 1����1� 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro. 
Lembre-se de que a área transversal é dada por: 
 ��� G$ ˜¹¸·©¨§ S 
Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por: 
 ������ PP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Então: 
 �� �������� PPPP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
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�
�
���
Portanto, a área em metros é: 
 ��� ��������������� P$ �u 
 
A tensão é dada por: 
 $3 V 
 
O valor da carga P = 2.000 N; portanto: 
 ���������� ���� P1$3 �u V 
 
Ou seja: 
 3DP1 ������������������� ���� �� u �V 
 
Lembre que: 
 3D*3D ���� 
 
A deformação é dada pela equação: 
 
�
�
���ODWmR(VH � 
 
Então, temos: 
 ��� ������������ ����������� �u u ODWmR(VH 
 
Ou, ainda: 
 PPPPPP ���������������� �� u �H 
 
Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por: 
 OO ˜ ' HG 
Portanto, temos: 
 PPO ������������������ ˜ ˜ HG 
 
b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm: 
 
 ������ PP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Então: 
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�
�
���ODWmR(VH � 
 
Então, temos: 
 ��� ������������ ����������� �u u ODWmR(VH 
 
Ou, ainda: 
 PPPPPP ������������������ u �H 
 
Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por: 
 OO ˜ ' HG 
Portanto, temos: 
 PPO ������������������ ˜ ˜ HG 
 
b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm: 
 
 ������ PP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Então: 
b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm:
22)6(
4
mmA ⋅




=
π
Então:
�
�
���
 �� �������� PPPP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Portanto, a área em metros é: 
 ��� ��������������� P$ �u 
 
A tensão é dada por: 
 $3 V 
 
O valor da carga P = 2.000 N; portanto: 
 ���������� ���� P1$3 �u V 
 
Ou seja: 
 3DP1 ������������������� ���� �� u �V 
 
Lembre que: 
 
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�
�
���
 �� �������� PPPP$ ˜¹¸·©¨§ S 
 
Portanto, a área em metros é: 
 ��� ��������������� P$ �u 
 
A tensão é dada por: 
 $3 V 
 
O valor da carga P = 2.000 N; portanto: 
 ���������� ���� P1$3 �u V 
 
Ou seja: 
 3DP1 ������������������� ���� �� u �V 
 
Lembre que: 
 
�
�
���3D*3D ���� 
 
A deformação é dada pela equação: 
 ODWmR(VH � 
 
Então, temos: 
 ��� ������������� ����������� �u u ODWmR(VH 
 
Ou, ainda: 
 PPPPPP ������������������ �� u �H 
 
Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por: 
 OO ˜ ' HG 
Portanto, temos: 
 PPO ������������������� ˜ ˜ HG 
 
2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpo 
de prova. Os dados são: 
 
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�
�
���3D*3D ���� 
 
A deformação é dada pela equação: 
 ODWmR(VH � 
 
Então, temos: 
 ��� ������������� ����������� �u u ODWmR(VH 
 
Ou, ainda: 
 PPPPPP ������������������ �� u �H 
 
Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por: 
 OO ˜ ' HG 
Portanto, temos: 
 PPO ������������������� ˜ ˜ HG 
 
2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpo 
de prova. Os dados são: 
 
2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpo de 
prova. Os dados são:
ƒƒ diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm; 
ƒƒ comprimento do corpo de prova: l = 50 mm. 
A área da seção transversal é dada por:
�
�
���x� diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm; x� comprimento do corpo de prova: l = 50 mm. 
 
A área da seção transversal é dada por: � � ��� ������ PPG$ ˜ ˜¹¸·©¨§ SS 
 
Portanto, a área é dada por: 
 � � ��� ������������� PPPP$ ˜ S 
 
Em metros, temos: 
 � � ���� ������������������������� PPPPP$ ˜ S 
 
Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação: 
 
Tensão: $3 V Deformação: OGH 
0,0000 0,000000 
90,4509 0,000350 
259,9446 0,001200 
308,0221 0,002040 
333,2832 0,003300 
355,2848 0,004980 
435,1435 0,020320 
507,6661 0,060960 
525,5933 0,127000 
507,6661 0,177800 
479,1455 0,238760 
 
Capítulo 3 
 
1. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq. 
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�
�
���x� diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm; x� comprimento do corpo de prova: l = 50 mm. 
 
A área da seção transversal é dada por: � � ��� ������ PPG$ ˜ ˜¹¸·©¨§ SS 
 
Portanto, a área é dada por: 
 � � ��� ������������� PPPP$ ˜ S 
 
Em metros, temos: 
 � � ���� ������������������������� PPPPP$ ˜ S 
 
Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação: 
 
Tensão: $3 V Deformação: OGH 
0,0000 0,000000 
90,4509 0,000350 
259,9446 0,001200 
308,0221 0,002040 
333,2832 0,003300 
355,2848 0,004980 
435,1435 0,020320 
507,6661 0,060960 
525,5933 0,127000 
507,6661 0,177800 
479,1455 0,238760 
 
Capítulo 3 
 
1. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq. 
Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação:
Tensão: 
A
P
=σ Deformação: 
l
δε =
0,0000 0,000000
90,4509 0,000350
259,9446 0,001200
308,0221 0,002040
333,2832 0,003300
355,2848 0,004980
435,1435 0,020320
507,6661 0,060960
525,5933 0,127000
507,6661 0,177800
479,1455 0,238760
CAPíTUlo 3
1. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq.
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Portanto, a força de cisalhamento corresponde a:
�
�
���
 
Portanto, a força de cisalhamento corresponde a: �39 �N1��9 N1���9 
A área do parafuso é: �U$ ˜S � ���������������$ �˜˜ �� P�������$ �˜ 
 
A tensão de cisalhamento W é: $9 W ������������ �˜ W 03D���� W 
 
2. As forças que agem no sistema são: 
2. As forças que agem no sistema são:
A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx = 0.
�
�
���
 
A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx = 0. 
Os componentes na direção x são [$%7 e [&%7 , e valem: R$%$% ��FRV77 [ ˜ ��77 &%&%[ ˜ 
Assim: �7��7��� &%$% ˜�˜� 
A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0. 
Os componentes na direção y são \$%7 e \&%7 , e valem: R$%$% ��VHQ77 \ ˜ ��77 &%&%\ ˜ 
Assim: �377 \\ &%$% �� �37��7�� &%$% �˜�˜ 
 
A partir das equações das direções x e y, podemos montar o sistema linear: 
 
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�
�
���
 
A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx = 0. 
Os componentes na direção x são [$%7 e [&%7 , e valem: R$%$% ��FRV77 [ ˜ ��77 &%&%[ ˜ 
Assim: �7��7��� &%$% ˜�˜� 
A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0. 
Os componentes na direção y são \$%7 e \&%7 , e valem: R$%$% ��VHQ77 \ ˜ ��77 &%&%\ ˜ 
Assim: �377 \\ &%$% �� �37��7�� &%$% �˜�˜ 
 
A partir das equações das direções x e y, podemos montar o sistema linear: 
 
�
�
���°°¯°°®­ �˜�˜ ˜�˜� ����7���7�� �7���7�� &%$% &%$% 
Multiplicando a primeira equação por � , temos: °°¯°°®­ ˜�˜ ˜˜�˜� ���7���7�� �7����7�� &%$% &%$% 
Somando as duas equações, membro a membro, temos: ���7����� ���7���7�� �7�����7�� &% &%$% &%$% ˜ ˜�˜ ˜�˜� ��������7&% 1������7&% 
Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos: ����������7��� $% ˜�˜� ��� �������7$% 1������7$% 
Portanto, a tensão em cada haste é: $3$% V � ��$% ����� ������˜S V �$% P1������� V 
ou 03D����$% V 
 
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�
�
���°°¯°°®­ �˜�˜ ˜�˜� ����7���7�� �7���7�� &%$% &%$% 
Multiplicando a primeira equação por � , temos: °°¯°°®­ ˜�˜ ˜˜�˜� ���7���7�� �7����7�� &%$% &%$% 
Somando as duas equações, membro a membro, temos: ���7����� ���7���7�� �7�����7�� &% &%$% &%$% ˜ ˜�˜ ˜�˜� ��������7&% 1������7&% 
Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos: ����������7��� $% ˜�˜� ��� �������7$% 1������7$% 
Portanto, a tensão em cada haste é: $3$% V � ��$% ����� ������˜S V �$% P1������� V 
ou 03D����$% V 
 
�
�
���$3&% V � ��&% ����� ������˜S V �&% P1������� V 
ou 03D����&% V 
 
 
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REFERÊNCIAS
ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. v. 2.
AMALDI, U. Imagens da física – as idéias e as experiências do pêndulo aos quarks. São Paulo: Scipione, 
1995.
BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1995.
BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental – 2º grau, volume único. São Paulo: FTD,1993.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São Paulo: Pearson 
Education, 2011.
SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996.
SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 2008. v. 1.
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2.
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1.
YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.
	Resistência dos materiais_online_maio_2012
	INTRODUÇÃO
	1
	CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO
	1.1 Distribuição da Tensão Normal Média
	1.2 Exercícios Resolvidos
	1.3 Resumo do Capítulo
	1.4 Atividades Propostas
	2
	LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG
	2.2 Módulo de Resiliência (µr)
	2.3 Módulo de Tenacidade (µt)
	2.4 Exercício Resolvidos
	2.5 Resumo do Capítulo
	2.6 Atividades Propostas
	3
	ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES
	3.2 Módulo de Cisalhamento
	3.3 Exercícios Resolvidos
	3.4 Resumo do Capítulo
	3.5 Atividades Propostas
	4
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
	REFERÊNCIAS