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Engenharia Civil - Campus Estoril
Geometria Analítica e Álgebra Linear - Lista de Exercícios Professor: Luiz Carlos Fernandes
Vetores
Questão 1. Dados os vetores ~u = (1,−1), ~v = (2, 0) e ~w = (3,−2) determine:
(a) |~u+ ~v|
(b) |~u− ~v|
(c) |~u|+ |~v|
(d) |3~u|+ 5|~v|
(e) |~u|+ | − 2~v|+ | − ~w|
(f ) |~u|+ 2~v
Questão 2. Represente no sistema de coordenadas cartesianas o vetor com origem em A e extremidade
em B. A seguir determine seu módulo e seu versor. Represente novamente o vetor e seu versor com origem
na origem do sistema de coordenadas.
(a) A = (2, 3) e B = (−1, 0)
(b) A = (5,−2) e B = (−2, 1)
(c) A = (3,−5) e B = (0, 0)
(d) A = (2, 0, 5) e B = (0, 5, 5)
(e) A = (2, 3, 0) e B = (0, 0, 4)
Questão 3. Dado o vetor ~u = (1, 2) determine o valor de k tal que |k~u| = 5.
Questão 4. Determine os escalares c1 e c2 tais que c1(2,−1) + c2(−1,−1) = (5, 1).
Questão 5. Dados os vetores ~u = (1, 2), ~v = (4,−2) e ~w = (6, 0), determine
(a) ~u · (7~v+ ~w)
(b) |(~u · ~w)~w|
(c) |~u|(~v · ~w)
(d) (|~u|~v) · ~w
Questão 6. O que se pode afirmar sobre o ângulo formado entre os vetores ~u e ~v quando
(a) ~u · ~v > 0 (b) ~u · ~v < 0
(Dica: lembre-se que o produto escalar pode ser calculado por ~u · ~v = |~u||~v| cos θ e analise o sinal do cosseno
no ciclo trigonométrico.)
Questão 7. Determine se o ângulo formado entre os vetores ~u e ~v é agudo, obtuso ou se os vetores são
ortogonais.
(a) ~u = (0, 0, 1) e ~v = (8, 3, 4)
(b) ~u = (−7, 1, 3) e ~v = (5, 0, 1)
(c) ~u = (2, 6, 0) e ~v = (−9, 3, 0)
(d) ~u = (−1, 3, 3) e ~v = (9, 1, 2)
Questão 8. Deterimine um vetor simultaneamente ortogonal a ~u e ~v
(a) ~u = (−1,−1,−1) e ~v = (2, 0, 2) (b) ~u = (−7, 3, 1) e ~v = (2, 0, 4)
Questão 9. Determine a área do paralelogramo de vértices
(a) A(0, 1), B(3, 0), C(5,−2) e D(2,−1). Dica: considere cada ponto (x, y) do plano como o ponto (x, y, 0)
do espaço tridimensional.
(b) A(1, 1, 0), B(3, 1, 0), C(1, 4, 2) e D(3, 4, 2).
Questão 10. Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores ~u e ~v nos seguintes casos.
(a) |~u| = 3, |~v| = 4 e o ângulo entre eles é 60o.
(b) ~u · ~v = 3√2, |~u| = 2 e |~v| = 3.
(c) ~u ⊥ ~v, ~u e ~v unitários.
(d) ~u · ~v = −1, ~u é unitário e |~v| = 2|~u|.
1
Questão 11. Determine a área do triângulo de vértices:
(a) A(2, 6,−1), B(1, 1, 1), C(4, 6, 2).
(b) A(2, 2, 0), B(−1, 0, 2), C(0, 4, 3).
(c) A(1, 2), B(3, 5), C(2,−4).
Dica: Lembre-se que todo triângulo é metade de um paralelogramo.
Questão 12. Determine k para que o triângulo de vértices A(1, 2, 3), B(0,−1,−1) e C(k, 1, 1) seja
retângulo em A.
Questão 13. Determine o volume do tetraedro ABCD de arestas AB, AC e AD e vértices A(1, 1, 1),
B(2, 0, 3), C(4, 1, 7) e D(3,−1,−2). (Dica: Um tetraedro é uma pirâmide de base triangular e seu volume é 1
6
do volume do paralelepípedo gerado pelas arestas dadas. )
Questão 14. Verifique se os pontos A(4, 0,−1), B(1, 1, 1), C(−1, 1,−4) e D(2, 1, 3) são coplanares.
(Dica: use o produto vetorial.)
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Algumas respostas
1. (a)
√
10; (c)
√
2 + 2; (e)
√
2 + 4 +
√
13; (f) impossível.
2. (a) 3
√
2 e 1√
2
(−1,−1); (b) √58 e 1√
58
(−7, 3); (e) √29 e 1√
29
(−2,−3, 4).
3. k = ±√5.
4. c1 = 2 e c2 = −1.
5. (a) 6; (b) 36; (c) 24
√
5; (d) 24
√
5.
7. (a) agudo; (b) obtuso; (c) ortogonais; (d) ortogonais.
8. ~u× ~v.
9. (a) 4; (b) 2
√
3.
10. (a) 6
√
3; (b) 3
√
2; (c) 1; (d)
√
3.
11. (a)
√
374
2 ; (c)
15
2 .
12. k = 12.
13. 21.
14. Não.
Bibliografia
SANTOS, Fabiano José, FERREIRA, Silvimar F. Geometria Analítica, Bookman, 2009.
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