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ME210 - Lista de Exercícios 06 Solução

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ME-210A: Resoluc¸a˜o da Lista 06
Resoluc¸a˜o extra-oficial feita por um dos monitores.
Questa˜o 1:
a Ja´ que f(x) e´ uma func¸a˜o densidade de probabilidade, ela deve satisfazer a condic¸a˜o∫ ∞
−∞
f(x) dx = 1
Logo ∫ 1
0
f(x) dx = 1⇒ k
3
(1− 0) = 1⇒ k = 3
b
P
(
1
4
< X <
1
2
)
=
∫ 1
2
1
4
f(x) dx =
∫ 1
2
1
4
3x2 dx =
1
23
− 1
43
Logo
P
(
1
4
< X <
1
2
)
∼= 0, 1094
c • Esperanc¸a:
E[X] =
∫ ∞
−∞
xf(x) dx =
∫ 1
0
3x3 dx =
3
4
(14 − 04)⇒ E[X] = 3
4
• Variaˆncia: Como
V ar[X] = E[X2]− E[X]2
precisamos apenas calcular E[X2].
E[X2] =
∫ ∞
−∞
x2f(x) dx =
∫ 1
0
3x4 dx =
3
5
(15 − 05)⇒ E[X2] = 3
5
Logo
V ar[X] =
3
5
−
(
3
4
)2
⇒ V ar[X] = 3
80
• Esperanc¸a de eX:
E[eX ] =
∫ ∞
−∞
exf(x) dx =
∫ 1
0
ex3x2 dx = 3
∫ 1
0
exx2 dx
Integrando por partes, temos
E[eX ] = 3
[
(12e1 − 02e0)− 2
∫ 1
0
xex dx
]
Integrando novamente por partes
E[eX ] = 3
[
e− 2
(
1e1 − 0e0 −
∫ 1
0
ex dx
)]
= 3[e− 2(e− e+ 1)]⇒ E[eX ] = 3(e− 2)
d.
FX(x) =
∫ x
−∞
f(y) dy =
∫ x
0
3y2 dy = x3 − 03 ⇒ FX(x) = x3, se 0 ≥ x < 1,
e FX(x) = 0 para x ≤ 0, FX(x) = 1 para x ≥ 1.
Questa˜o 2:
A equac¸a˜o de 2o grau de x tera´ duas ra´ızes reais se, e somente se, ∆ ≥ 0, onde ∆ = (4Y )2 −
4× 4× (Y + 2). Logo, Y deve satisfazer
16Y 2 − 16Y 2 − 32 ≥ 0⇒ Y 2 − Y − 2 ≥ 0
Esta desigualdade e´ satisfeita para os valores Y ≤ −1 e Y ≥ 2. Logo, a probabilidade desejada e´
P (equac¸a˜o ter ambas as ra´ızes reais) = P (Y ≤ −1) + P (Y ≥ 2)
Como Y ∼ U(0, 5), Y ∈ [0, 5]. Enta˜o
P (equac¸a˜o ter ambas as ra´ızes reais) = 0 + 1−
∫ 2
0
1
5
dx = 0 + 1− 2
5
Portanto
P (equac¸a˜o ter ambas as ra´ızes reais) =
3
5
Questa˜o 3:
Seja X ∼ U(0, 60) a varia´vel aleato´ria correspondente ao tempo (em minutos) que Andre´ chega
no terminal apo´s as 18:00h.
a Andre´ visita sua namorada em Guara´ se ele chegar ao terminal nos hora´rios: entre 18:05h e
18:15h, entre 18:20h e 18:30h, entre 18:35h e 18:45h ou entre 18:50h e 19:00h. Isso pode ser
traduzido em
P (visitar a namorada em Guara´) = P (5 < X ≤ 15) + P (20 < X ≤ 30) + P (35 < X ≤ 45)
+P (50 < X ≤ 60)
Como
P (a < X ≤ b) =
∫ b
a
1
60
dx =
b− a
60
Temos
P (visitar a namorada em Guara´) =
10 + 10 + 10 + 10
60
P (visitar a namorada em Guara´) =
2
3
2
b A probabilidade de, em um dado dia do meˆs, Andre´ visitar a namorada do Centro e´
p = 1− P (visitar a namorada em Guara´) = 1
3
Seja Y o nu´mero de vezes que Andre´ visita a namorada do Centro em um meˆs. Assim,
Y ∼ bin(30, 1
3
). O nu´mero esperado de vezes que ele a visita e´ a esperanc¸a de Y . Logo
E[Y ] = np = 30× 1
3
⇒ E[Y ] = 10
Questa˜o 4:
E|X − a| =
∫ a
0
(a− x)λe−λxdx+
∫ ∞
a
(x− a)λe−λxdx
= a(1− eλa)−
∫ a
0
xλe−λxdx+
∫ ∞
a
xλe−λxdx− ae−λa.
Derivando em a, temos
1− e−λa(1− λa)− λae−λa − λae−λa − e−λa(1− λa) = 1− 2e−λa.
Portanto, E|X − a| e´ minima no ponto a = ln 2
λ
.
Questa˜o 5:
Seja X o tempo que o aparelho funciona (ate´ quebrar). Uma vez que a me´dia da distribuic¸a˜o
exponencial e´ de 8 anos, sua taxa e´ de λ = 1
8
anos−1. Enta˜o, X ∼ exp(1
8
). Lembrando que a
varia´vel aleato´ria exponencial na˜o tem memo´ria, temos que
P (X > t+ 4|X > t) = P (X > 4) = 1− P (X ≤ 4) = 1− FX(4)
onde t e´ o tempo de uso da TV antes de Jose´ teˆ-la comprado. Como
FX(4) =
∫ 4
0
1
8
e−
1
8
x dx = 1− e− 12
obtemos
P (X > t+ 4|X > t) = e− 12
Questa˜o 6:
a
P (ser defeituoso) = 1− P (d1 < D < d2) =
= 1− P
(
d1 − (d1 + d2)/2
(d2 − d1)/4 <
D − (d1 + d2)/2
(d2 − d1)/4 <
d2 − (d1 + d2)/2
(d2 − d1)/4
)
= 1− P (−2 < X < 2)
Logo
P (ser defeituoso) = 1− (Φ(2)− Φ(−2)) = 1− Φ(2) + (1− Φ(2)) = 2(1− Φ(2))
Substituindo os valores
P (ser defeituoso) ∼= 0, 0456
3
b
P (ser defeituoso) = 0, 1 = 1− P (d1 < D < d2)⇒ 0, 9 = P (40 < D < 50)
Mas
P (40 < D < 50) = P
(
40− 45
σ
<
D − 45
σ
<
50− 45
σ
)
= Φ
(
5
σ
)
− Φ
(−5
σ
)
Enta˜o
P (40 < D < 50) = 2Φ
(
5
σ
)
− 1
Voltando a` igualdade inicial
0, 9 = 2Φ
(
5
σ
)
− 1⇒ Φ
(
5
σ
)
= 0, 95
Olhando na tabela da distribuic¸a˜o acumulada da varia´vel aleato´ria normal padra˜o, temos
5
σ
∼= 1, 65⇒ σ ∼= 3, 03 mm
Ja´ que V ar[D] = σ2, conclu´ımos que
V ar[D] ∼= 9, 18 mm2
Questa˜o 7:
Seja X o tempo de viagem entre a casa e a Unicamp e t o momento em que sai de casa (em
minutos antes das 10:00h). Sabemos que X ∼ N(40, 25) e queremos determinar t tal que
P (X > t) ≤ 0, 01
. Ou seja
1− P
(
X − 40
5
≤ t− 40
5
)
≤ 0, 01⇒ 0, 99 ≤ P
(
X − 40
5
≤ t− 40
5
)
= Φ
(
t− 40
5
)
Olhando na tabela da distribuic¸a˜o acumulada da varia´vel aleato´ria normal padra˜o, temos
t− 40
5
≥ 2, 33⇒ t ≥ 51, 65 min
Assim, deve-se sair de casa cerca de 51, 65 minutos ou mais antes das 10:00h, ou seja, aproxima-
damente antes das 09h08min.
Questa˜o 8:
Seja X ∼ bin(86, 0, 2) o nu´mero de acidentes causados por falta de revisa˜o perio´dica dos carros.
Queremos calcular a probabilidade P (10 ≤ X ≤ 20). Ja´ que np(1 − p) = 0, 2 × 86(1 − 0, 2) =
4
17, 2×0, 8 = 13, 76 > 10, podemos utilizar a aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o binomial pela distribuic¸a˜o
normal. Assim
P (10 ≤ X ≤ 20) = P (9, 5 < X < 20, 5) ∼= P
(
9, 5− 17, 2√
13, 76
<
X − 17, 2√
13, 76
<
20, 5− 17, 2√
13, 76
)
P (10 ≤ X ≤ 20) ∼= P
(
−2, 0758 < X − 17, 2√
13, 76
< 0, 8896
)
∼= Φ(0, 8896)− (1− Φ(2, 0758))
Substituindo os valores
P (10 ≤ X ≤ 20) ∼= 0, 8133− 1 + 0, 9812⇒ P (10 ≤ X ≤ 20) ∼= 0, 7945
Questa˜o 9:
Seja X ∼ bin (1000, 1
2
)
o nu´mero de caras obtidas em 1000 lanc¸amentos de uma moeda honesta.
Queremos calcular a probabilidade P (k < X < 510) = 0, 5. Ja´ que np(1−p) = 1000×0, 5(1−0, 5) =
500× 0, 5 = 250 > 10, podemos utilizar a aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o binomial pela distribuic¸a˜o
normal. Assim
0, 5 = P (k < X < 510) = P
(
k − 500√
250
<
X − 500√
250
<
510− 500√
250
)
∼= Φ(0, 6325)− Φ
(
k − 500
15, 8114
)
Logo
0, 5 ∼= 0, 7357− Φ
(
k − 500
15, 8114
)
⇒ Φ
(
k − 500
15, 8114
)
∼= 0, 2357
Uma vez que este valor na˜o existe na tabela da distribuic¸a˜o acumulada da varia´vel aleato´ria normal
padra˜o, devemos fazer
1− Φ
(
500− k
15, 8114
)
∼= 0, 2357⇒ Φ
(
500− k
15, 8114
)
∼= 0, 7643
Enta˜o
500− k
15, 8114
∼= 0, 72⇒ k ∼= 488, 62
Ja´ que o nu´mero de lanc¸amentos deve ser um nu´mero inteiro, temos que
k ∼= 489
Questa˜o 10:
Y = aX + b, a < 0. Enta˜o,
FY (y) = P (aX + b ≤ y) = P (X ≥ (y − b)/a) = 1− FX((y − b)/a),
fY (y) = −1
a
fX((y − b)/a) = 1|a|fX((y − b)/a).
5

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