Análise de Sistemas Dinâmicos - Diagrama de Blocos

Prévia do material em texto

Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Instituto de Engenharias e Desenvolvimento Sustentável – UNILAB
Engenharia de Energias
Diagrama de Blocos
Disciplina: Análise de Sistemas Dinâmicos
Prof. Lígia Sousa Cordeiro
Introdução
• Diagrama de blocos: É um método gráfico de representação dos modelos 
matemáticos dos sistemas. 
• Existem dois problemas básicos relativos a esse método:
– Dado um sistema, construir um diagrama que o represente;
– Dado um diagrama, que pode ser mais ou menos complexo, reduzi-lo ao 
diagrama equivalente mais simples possível, um único bloco. Tal diagrama 
fornece diretamente a respectiva função de transferência.
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Diagrama de Blocos
• É considerada uma forma conveniente de representar as equações que 
descrevem o comportamento dinâmico do sistemas.
• Representação pictórica ou figurativa das operações e demais relações entre as 
variáveis do sistemas, incluindo as variáveis de entrada e saída. 
• Destinam-se primordialmente ao estudo de sistemas lineares, podendo ser 
estendido ao caso em que há não linearidades.
• Para representar os sistemas lineares por meio de diagrama de blocos são 
necessários três símbolos gráficos
– Bloco operacional ou bloco dinâmico
– Somador 
– Ramificação
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Diagrama de Blocos
• O bloco operacional contém uma função de transferência que, multiplicada pela 
variável de entrada ܺ ݏ , fornece a variável de saída ܻሺݏሻ.
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Diagrama de Blocos
• No somador, a variável de saída é a soma algébrica das variáveis de entrada, de 
acordo com os sinais algébricos associados a cada uma das variáveis, junto à 
entrada do somador. 
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Diagrama de Blocos
• A ramificação indica a identidade entre a variável de entrada e as de saída.
– Um caso particular é a bifurcação: um ramo de chegada e apenas dois de 
saída.
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Representação de um sistema usando diagrama de blocos
• Exemplo 1: Construir um diagrama de um circuito RC-série, conforme a figura 
abaixo, tendo como entrada a tensão aplicada ଵܸ ݐ e como saída a tensão ଶܸሺݐሻ
no capacitor. As condições iniciais são nulas. 
Solução
No domínio da frequência, temos as seguintes equações:
• ଵܸ ݏ ൌ ோܸሺݏሻ+ ஼ܸ ݏ
• ோܸ ݏ ൌ ܴ. ܫ ݏ
• ஼ܸ ݏ ൌ
ଵ
஼௦
. ܫ ݏ
• ଶܸ ݏ ൌ ௖ܸሺݏሻ
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Representação de um sistema usando diagrama de blocos
A primeira equação ோܸ ݏ ൌ ଵܸ ݏ െ ஼ܸ ݏ é representada pela figura
E o diagrama pode ser construído sucessivamente através das demais equações
ோܸ ݏ ൌ ܴ. ܫ ݏ
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Representação de um sistema usando diagrama de blocos
Finalmente a igualdade que denota a realimentação permite completar o diagrama.
஼ܸ ݏ ൌ ଶܸ ݏ ൌ
1
ܥݏ
. ܫ ݏ
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Representação de um sistema usando diagrama de blocos
• É importante observar que um mesmo sistemas pode, em geral, ser 
representado por mais de um diagrama de blocos.
• Se escrevermos a equação da seguinte forma
ଵܸ ݏ ൌ ோܸ ݏ + ஼ܸ ݏ → ஼ܸ ݏ ൌ ଵܸ ݏ െ ோܸ ݏ
• O diagrama que resulta é dado por:
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Representação de um sistema usando diagrama de blocos
• Exemplos 5.2, 5.3 e 5.4
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Reduções Básicas
• Objetivo: reduzir um diagrama de blocos a um único bloco equivalente ao 
diagrama dado. 
• Três casos de reduções:
– Blocos em série
– Ramos em paralelo
– Malhas de realimentação
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Reduções Básicas – Blocos em Série
• Blocos operacionais em série podem ser reduzidos a um único bloco cuja função 
de transferência é o produto das funções de transferências dos vários blocos. 
• Eliminando ଵܺ e ܺଶ nas fórmulas, temos:
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
ଵܺ ൌ ܩଵ ݏ ܺ ܺଶ ൌ ܩଶ ݏ ଵܺ ܻ ൌ ܩଷ ݏ ܺଶ
ܻ ൌ ܩଵ ݏ ܩଶ ݏ ܩଷ ݏ ܺ
Reduções Básicas – Ramos em Paralelo
• Observando a figura abaixo podemos observar
• Os sinais junto ao somador podem ser + ou – e afetam a soma equivalente.
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
ܻ ൌ ܩଵ ݏ ܷ ݏ ൅ ܩଶ ݏ ܷ ݏ
ܻ ൌ ܩଵ ݏ ൅ ܩଶ ݏ ܷሺݏሻ
Reduções Básicas – Malhas de Realimentação
• Caso de realimentação negativa
onde ߝሺݏሻ é a variável de saída do somador chamada de erro atuante. 
• A álgebra desse problema é dada por:
• Eliminando ߝሺݏሻ entre as duas equações e isolando ܻሺݏሻ no primeiro membro
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
ߝሺݏሻ ൌ ܷ ݏ െ ܪ ݏ ܻ ݏ
ܻ ݏ ൌ ܩሺݏሻߝሺݏሻ
ܻ ݏ ൌ
ܩ ݏ
1 ൅ ܩ ݏ ܪ ݏ
ܷሺݏሻ
Reduções Básicas – Malhas de Realimentação
• O diagrama de blocos que representa a malha de realimentação negativa pode 
ser reduzido, no caso, a um bloco cuja função de transferência ܨ ݏ é a que 
acabamos de obter.
• No caso de uma realimentação positiva, temos:
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
ܨ ݏ ൌ
ܩ ݏ
1 ൅ ܩ ݏ ܪ ݏ
ܨ ݏ ൌ
ܩ ݏ
1 െ ܩ ݏ ܪ ݏ
Reduções Básicas – Malhas de Realimentação
• Caso especial: Nos sistemas que estamos estudando, as funções de 
transferência são da forma ܩ ݏ ൌ ேሺ௦ሻ
஽ሺ௦ሻ
. E caso ܪ ݏ ൌ 1, temos:
• O numerador da função de transferência de malha fechada permanece o 
mesmo.
• O denominador é a soma do numerador como denominador de ܩ ݏ .
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
ܨ ݏ ൌ
ܩ ݏ
1 ൅ ܩ ݏ ܪ ݏ
ൌ
ܩ ݏ
1 ൅ ܩ ݏ
ൌ
ܰሺݏሻ
ܦሺܵሻ
1 ൅
ܰሺݏሻ
ܦሺݏሻ
ൌ
ܰሺݏሻ
ܦ ݏ ൅ ܰሺݏሻ
Exemplos de Redução de Diagrama de Blocos
• Exemplos 5.6 e 5.7
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Artifícios em Redução de Diagrama de Blocos
• Deslocando para frente um somador situado atrás de um bloco
• Deslocando para trás um somador situado a frente de um bloco
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Artifícios em Redução de Diagrama de Blocos
• Deslocando para frente um ponto de junção situado atrás de um bloco
• Deslocando para trás um ponto de junção situado a frente de um bloco
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Artifícios em Redução de Diagrama de Blocos - Exemplo
• Reduza o diagrama de blocos abaixo
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Artifícios em Redução de Diagrama de Blocos - Exemplo
• Solução
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Artifícios em Redução de Diagrama de Blocos - Exemplo
• Solução
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Artifícios em Redução de Diagrama de Blocos - Exemplo
• Solução
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Fórmula de Mason
• Método anterior: simplifica os diagramas de blocos através de reduções 
sucessivas. Desvantagem: método trabalhoso.
• S. J. Mason desenvolveu um processo que permite redução imediata dos 
diagramas, evitando o trabalho e os artifícios de redução.
• A fórmula de Mason é dada por:
ܨሺݏሻ é a função de transferência do sistema representado pelo diagrama de blocos.
̅ܩ௞ é o ganho do caminho de avanço de número ݇ que liga a entrada à saída.
∆ é dado por ∆ൌ 1 ൅ ∑ ܮ௜௜ ൅ ∑ ܮ௜ܮ௝ ൅௜,௝ ∑ ܮ௜ܮ௝ܮ௥ ൅ ⋯௜,௝,௥ , onde ܮ௜, ܮ௝, 	ܮ௥ ,⋯ são os 
ganhos das malhas ݅, ݆, ݎ, ⋯ do diagrama com os sinais trocados.
• No cálculo de ∆, o produto dos vários ganhos não devem incluir malhas que se 
tocam.
• No numerador, o termo ∆௞	se diferente de ∆ por nãoconter o ganho das malhas 
que tenham um ou mais pontos de contato com o caminho de avanço ݇. 
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
ܨ ݏ ൌ
∑ ̅ܩ௞∆௞
∆
Resumo – Diagrama de Blocos
• Símbolos gráficos dos diagramas de blocos
• Representação de sistemas por meio de diagramas de blocos usando exemplos
• Redução de diagrama de blocos à um único bloco que contém a função de 
transferência do sistema dado. 
• Reduções básicas: bloco em série, ramo em paralelo e malha de realimentação
• Fórmula de Mason: fórmula geral para redução direta de diagramas
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos
Bibliografia
• Capítulo 5:
– Controle Essencial, Paulo Maya e Fabrizio Leonardi, 2ª edição, Pearson.
• Exercícios Propostos
Profa. Lígia M. C. S. Cordeiro Análise de Sistemas Dinâmicos