Lista Exercícios - Anéis

Prévia do material em texto

Álgebra I
Lista de exercícios - 1
(i) Seja (A,+, ·) um anel. Mostre as seguintes afirmações:
(a) A unidade 1A é única em A, o zero 0A é único em A e o oposto (−a) é único
para a ∈ A fixo.
(b) prove que, em um anel (A,+, ·), se 1A = 0A então A = {0A} (verifq´ue que {0}
é um anel).
(c) ∀a, b ∈ A; (−a)(−b) = ab.
(d) ∀a, b ∈ A e ∀m,n ∈ Z; (ma)(nb) = (mn)ab.
(ii) Suponha que exista un inteiro positivo par n tal que an = a para todo elemento a de
um anel A. Mostre que −a = a para todo a ∈ A.
(iii) Mostrar que os seguintes conjuntos (com as oprações naturais) são aneis: Zn, C =
{a + ib|a, b ∈ R, i2 = −1}, Z[x], Z[i] = {a + ib|a, b ∈ Z, i2 = −1}, Zn[x] (polinômios
em uma indeterminada com coeficientes em Zn), Q2 = {m2 /m ∈ Z}.
(iv) Verifíque se R∪{∞} é um anel, se as operações são definidas por: a⊕b := min{a, b},
x⊗ y := x + y.
(v) Consideramos (N0×N0∼ ,⊕,⊗), onde ∼ é uma equivalência dada por (a, b) ∼ (c, d), se,
e somente se, a + d = b + c. A soma ⊕ e a multiplicação ⊗, de duas classes ¯(a, b) e
¯(c, d), definidas como seguinte:
¯(a, b)⊕ ¯(c, d) = (a + c, b + d) ¯(a, b)⊗ ¯(c, d) = (ac + bd, ad + bc).
Mostre que (N0×N0∼ ,⊕,⊗), é um anel comutativo. [ Em particular escreve, en geral
quais são a unidade, o zero e o elemento oposto de (a, b) e dê um representante].
(vi) Prove que um anel comutativo com a propriedade de cancelamento (com respeito à
multiplicação) não tem divisores de zero.
1
(vii) Um elemento e em um anel A é chamado idempotente se existe um inteiro positivo n
tal que en = e. Um elemento z em anel A é chamado nilpotente se existe um inteiro
positivo n tal que zn = 0.
(a) Mostre que, em um domínio, os únicos idempotentes são 1A e 0A e o único
nilpotente é 0A.
(b) Em Z8, Z12, Z24, liste todos os elementos idempotentes e os elementos nilpo-
tentes.
(viii) Seja V o espaço vetorial sobre R, gerado pelos vetores 1, I, J,K (1 ∈ R). Definí-
mos soma em V como a soma de vetores e a multiplicação por: I · I = J · J =
K ·K = −1 ∈ R. Mostre que (V,+, ·) é um anel. Além disso, mostre que ele é
um anel de divisão.
(ix) Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F. Consideremo (EndF(V ),+, ◦),
onde EndF(V ) := {f : V → V |f é F-linear}, + a soma de aplicações lineares e
◦ a composição de aplicações lineares. Mostre que (EndF(V ),+, ◦), é um anel.
Ele e anel de divisão? senão, quando isso é possível? (nesse caso ele é um corpo?
de qual caracteristica? ).
(x) Se (A,+, ·) é um anel, prove que o subconjunto Z = {x ∈ A|x·y = y ·x,∀y ∈ A},
de A, dotado das mesmas operações, é um corpo. Prove nesse caso que A é um
Z−espaço vetorial.
(xi) Se A1, A2 são aneis com carecteristicas m, n, respectivamente, então o anel
produto tem característica MMC(m,n).
(xii) Prove que
(a) Z é um subanel de Q, e também que Z é um subanel de Z[x],
(b) Q2 = {m2 /m ∈ Z} é um subanel de Q.
(xiii) Ache todos os subaneis de Z.
(xiv) Seja S o subconjunto de M2×2(Z) com entradas em Z da forma
(
a b
0 0
)
.
(a) Mostre que S é um subanel de M2×2. S tem unidade? tem elementos
unitários?
(b) Mostre que existe um elemento neutro (para a multinplicação) a esquerda,
mas nenhum a direita.
(c) Mostre que S tem um número infinito de elemntos neutros, com respeito a
multiplicação, a esquerda.
(xv) Mostre que o subconjunto I de Z[x] definido como I = {p(a) = 0, para a ∈
Z fixo} é um subanel de Z
(xvi) Ache todos os subaneis de Z6 Z12, Z24. e analize quais deles são domínios (nesse
caso, são corpos também?).
(xvii) Seja (D,+, ·) um domínio:
2
(a) Prove que se naão existe uma sequência infinita, de elementos em D,
a1, a2, · · · , ai, · · ·
tal que todo ak+1 é divisor próprio de ak, entãoD tem elementos irredutíveis.
Encontre um exemplo onde essa condição está satisfeita.
(b) Prove que MDC(ac, bc) é associado a MDC(a, b)c, e que MDC(MDC(a, b), c)
é associado a MDC(a,MDC(b, c))
3