Lista Exercícios - Ideais

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Álgebra I
Lista de exercícios - 3
(i) Prove os seguintes fatos:
(a) No anel das n×n−matrízesMn(K) sobre um corpo K os únicos ideais bilaterais
são os ideais imprp´rios.
(b) Todo ideal em Z é da forma {nx|x ∈ Z}, for a given n ∈ Z, i.e., Z é um domínio
de ideais principais.
(c) O centro de um anel A é um ideal se, e somente se, A é comutativo.
(d) Z ⊆ Q não é um ideal.
(ii) Em Z[x] descreve o ideal gerado por um número finito de polinômios p1(x), p2(x), · · · , pn(x).
(iii) Seja (A,+, ·) um anel comutativo; Considere o subconjunto I = {x ∈ A|n ∈
N tal que xn = 0} ⊂ A dos elements nilpotentes em A. Prove que I é um ideal.
(iv) Em (Zn,+, ·) prove que o ideal formado pelos elementos nilpotentes é um ideal próprio
se, e somente se, n é primo.
(v) Seja A = C(R,R) o anel de todas as funções reais contínuas sobre R, com as operações
evidentes. Prove que I = {f ∈ A|f(0) = 0} é um ideal maximal.
(vi) Sejam A,B aneis e C = A × B o anel produto. Descreve os ideais maximais de C.
Em particular, encontre todos os ideais maximais de Z8 × Z30.
(vii) Sejam (A,+, ·) um anel comutativo e Ii, i = 1, 2, 3 ideais em A. Prove que
(a) Se I2 ⊆ I2 ou I3 ⊆ I1, então I1 ∩ (I2 + I3) = I1 ∩ I2 + I1 ∩ I3.
(b) (I1 + I2) · (I1 ∩ I2) ⊆ I1 · I2.
(c) Concluir que se (I1 + I2) = A então (I1 ∩ I2) = I1 · I2.
(d) A igualdade do item anterior está satisfeita em Z[x] para I1 =< (x + 1) >,
I2 =< (x− 2) >?
1
(viii) Descreve o anel quociente1 nos seguintes casos:
(a) Z[i]/ < (3 + i) > .
(b) R[x]/ < (x2 + 1) > .
(c) Q[x]/ < xn > .
(viii) verifíque nos seguintes casos se o ideal I é primo:
(a) I =< x2 + 14x+ 49 > ⊂ Z[x]
(b) I =< p(x) > ⊂ C[x]; gr(p(x)) > 1.
(c) I =< x2 > ⊂ Z30[x].
(d) I =< xn > ⊂ (K[x]/ < xm >); com m > n, K corpo.
Em quais caso, acima, Ié maximal?
1ver se o quociente é domínio, corpo, se tem divisores de zero,...etc.
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