Aula 6 Estatística e Probabilidade

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Prof. Lucio Borges de Araújo
Distribuições de Probabilidade
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4.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
� Imagine que um laboratório cria ratos de uma só 
raça e mesma progênie, em condições controladas 
de alimentação e manejo. 
� É razoável considerar que os pesos dos ratos 
variam de acordo com o sexo e idade. No entanto, 
mesmo ratos de um só sexo, nascidos no mesmo 
dia, têm pesos variáveis.
� Essa variabilidade ocorre ao acaso (soma de 
fatores não controlados). Toda vez que uma 
variável é influenciada pelo acaso, diz-se que é 
uma variável aleatória. 2
� Definição: É uma função de X, que associa a cada 
elemento S um número x(s).
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� Exemplo: O número de coroas obtidas no 
lançamento de duas moedas
� Observação:
1) Uma variável aleatória X será discreta (VAD) 
se o número de valores de x(s) assumir valores 
enumerável. 
2) Caso x(s) assuma valores em um conjunto não 
enumerável, teremos uma variável aleatória 
contínua (VAC.). 
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4.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
� Função de probabilidade (fp): É uma função 
que atribui cada valor VAD sua probabilidade:
� ou ainda, o conjunto de todos os valores que 
podem ser assumidos pela VAD, com as suas 
respectivas probabilidades:
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� Exemplo: Os resultados que podem ocorrer no 
lançamento de um dado:
� Gráfico é:
� Observação: Para ser uma fp é necessário
satisfazer as seguintes condições:
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X 1 2 3 4 5 6
P(X = xi)
� Exemplo: Fundação de 15m. A cada 5 m 
observa-se se houve alteração no ritmo de 
perfuração (mudança da resistência do subsolo). 
Admita que a probabilidade de ocorrer alteração 
é 0,1. O custo inicial é de R$ 100,00 e será 
acrescido R$50,00 no custo para cada alteração. 
Como se comporta esta variável? (assumindo que 
as variações ocorrem independentemente)
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� Assim, a função de probabilidade será:
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� Calcule:
a) P(X ≤ 200)
b) P(X < 200)
c) P(100 < X ≤ 200)
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� A Função de probabilidade acumulada é 
definida como: 
F(X) = P(X≤ x)
� Exemplo: Obtenha a Função de distribuição 
acumulada para o Exemplo de fundação.
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X 100 150 200 250
F(X)
� Exemplo: Calcular
a) P(150<X≤250)
b) P(150 ≤ X ≤ 250)
c) P(150<X<250)
d) P(X=200)
e) P(X=225)
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4.2.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA DE V.A.D.
� Definição: Seja X uma V.A.D., com valores
possíveis ��, ��, … , �� . Seja ���	
 � ��� � �	
 ,
 � 1,2,… , � . Então, E(X) é definido como:
� Obs: este número é também denominado o valor
médio de X.
� Exemplo: Obtenha a esperança matemática no
Exemplo de Fundações. 12
4.2.2 VARIÂNCIA DE UMA V.A.D.
� Definição: Define-se a variância de X, denotada
por V(X) ou	�� , como:
ou
Em que:
Obs: A raiz quadrada positiva de V(X) é o desvio
padrão de X . 13
� Exemplo: Obtenha a variância, desvio padrão e
coeficiente de variação, para distribuição de
probabilidade obtida no Exemplo de fundações.
� Exemplo: Considere uma urna contendo três
bolas vermelhas e cinco bolas pretas. retire três
bolas pretas, sem reposição, e defina a v.a. X
igual ao número de bolas pretas.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X ;
b) Obtenha a distribuição acumulada de X;
c) Obtenha o numero médio de bolas pretas e sua
variância;
d) Obtenha as distribuições das v.a.s de 3X e ��;
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� Exemplo: Um vendedor de equipamentos
elétricos, pode visitar, num dia, um ou dois
clientes com probabilidade de 1/3 e 2/3,
respectivamente. De cada contanto, pode resultar
a vendo de um equipamento por R$ 50.000,00
(com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com
probabilidade 9/10). Indicando Y o valor total de
vendas diárias desse vendedor, escreva a função
de probabilidade de Y e calcule o valor esperado
de vendas diárias.
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4.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
� Dizemos que f(x) é uma Função densidade de 
probabilidade (fdp) se:
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� Exemplo: Seja X, uma VAC , que tem a fdp:
� Verifique se f(x) é uma fdp e calcule P(0<X<1/2)
� Observação:
3. Note que f(x), não é probabilidade. É probabilidade somente
quando a fdp for integrada entre dois limites 17
� A Função de distribuição acumulada é definida 
por:
� Observação:
� Exemplo: Para o exemplo anterior, calcule F(X).
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4.3.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA DE UMA
V.A.C.
� Definição: Seja X uma V.A.C. com f.d.p. f(x) . O 
valor esperado de X é definido como:
� Exemplo: Para o exemplo anterior calcule E(X) .
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4.3.2 VARIÂNCIA DE UMA V.A.C.
� Definição: Seja X uma V.A.C. com f.d.p. f(x) . A 
variância de X é: 
ou
Exemplo: Para o Exemplo anterior, calcule V(X) .
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� Exemplo: O erro na temperatura de reação (em 
ºC) é VAC X, que tem a fdp: 
verifique se f(x) é uma fdp e calcule P(0<X<1), 
F(X), E(X), V(X) e os quartis.
Exemplo: Seja X com densidade
Determine o valor de c, para que seja uma fdp.
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� Exemplo: Seja
a função acumulada do tempo de vida útil de uma
lâmpada, em anos. Determine que f(x), faça o
gráfico de f(x), determine P(0<X<1), P(X>3), E(X),
V(X) e os quartis.
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