TOPOLOGÍA GENERAL II Universidad de Zaragoza

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TOPOLOGI´A GENERAL II
Jose´ Luis Navarro
Departamento de Matema´ticas
Universidad de Zaragoza
(1) Introduccio´n
(2) Topolog´ıa Producto
(3) Topolog´ıa Cociente
(4) Separacio´n
(5) Compacidad
(6) Conexio´n
(7) Espacios Homoge´neos
(8) Grupos Lineales
1 INTRODUCCIO´N
La Topolog´ıa General tiene sus propios objetivos, pero tambie´n nutre los fun-
damentos de muchas a´reas matema´ticas como el Ana´lisis, la Geometr´ıa y
otros campos de la topolog´ıa (Topolog´ıa Algebraica, Topolog´ıa Geome´trica
o´ Topolog´ıa Diferencial).
Tomando como modelos los espacios me´tricos, se ha definido sobre un conjunto
X una topolog´ıa τ ⊂ P(X) y el par (X, τ) se dice espacio topolo´gico (e.t.)
Las aplicaciones relevantes entre dos e.t. son las aplicaciones continuas y el
concepto de equivalencia en topolog´ıa se llama homeomorfismo.
Uno de los objetivos de cualquier a´rea matema´tica es clasificar y contar. En
particular, para clasificar es necesario saber discernir cua´ndo dos objetos son
o´ no equivalentes (en nuestro caso, cua´ndo dos e.t. son o´ no homeomorfos).
En general, e´ste es un problema muy dif´ıcil y esta´ muy lejos de ser resuelto.
La (corta) duracio´n del curso hace necesario optar entre los diferentes caminos
a seguir tras un primer cuatrimestre de generalidades. La opcio´n elegida aqu´ı
es un curso ba´sico sobre las diferentes propiedades de un espacio topolo´gico,
tanto en su versio´n local como global, con aplicaciones a espacios usuales
(eucl´ıdeos, proyectivos, grupos lineales,...) y estudiar si estas propiedades se
conservan o´ no bajo operaciones usuales (productos, cocientes,...). Definiremos
Preprint submitted to Elsevier Science 12 December 2006
pues una serie de propiedades (separacio´n, compacidad, conexio´n,...) que
sera´n invariantes topolo´gicos de los espacios (es decir, si un e.t. tiene una
de estas propiedades, tambie´n la tienen todos los que son homeomorfos a e´l).
Es ma´s ”fa´cil” dar una respuesta negativa al problema del homeomorfismo que
una respuesta positiva: por ejemplo Rn y Rm tienen los mismos invariantes
topolo´gicos mencionados pero no son homeomorfos si n 6= m (Teorema de la
Dimensio´n). En este curso probaremos parcialmente este resultado, dejando
para cursos posteriores una respuesta general.
En ellos se definira´n otro tipo de invariantes, los invariantes algebraicos,
que consiste en asociar a todo e.t. X ciertas estructuras algebraicas (como por
ejemplo el grupo fundamental pi1(X) o´ los grupos de homolog´ıa Hn(X), n ≥ 0)
que nos dara´ ma´s criterios para una respuesta negativa al problema: si los
invariantes algebraicos son no isomorfos, los espacios no son homeomorfos.
La respuesta afirmativa sigue siendo dif´ıcil: Uno de los grandes problemas de la
Topolog´ıa es saber si una 3-variedadM3 con los mismos invariantes topolo´gicos
y algebraicos que S3 es homeomorfa a S3 (Conjetura de Poincare´, 1904).
Esta conjetura no pudo ser resuelta durante todo el siglo XX y paso´ a ser
uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics
Institute. En 2002 el matema´tico ruso Gregori Perelman anuncio´ una solucio´n
a trave´s de dos publicaciones en internet. En el XXV Congreso Internacional
de Matema´ticas celebrado en Madrid en agosto de 2006 se reconocio´ como
correcto el trabajo de Perelman y dicha conjetura paso´ a ser un teorema.
Volviendo al contenido de este curso, lo primero que cabe destacar es que
en un e.t. (X, τ) es ma´s relevante la topolog´ıa τ que el conjunto X: entre la
topolog´ıa indiscreta τI = {∅, X} y la topolog´ıa discreta τD = P(X) pueden
definirse muchas topolog´ıas sobre un mismo conjunto X t.q. los (X, τ) tienen
propiedades distintas y por tanto no son homeomorfos mientras que conjuntos
distintos pueden ser topolo´gicamente equivalentes.
En el curso previo se dieron una serie de topolog´ıas no usuales sobre espacios
usuales (recta de Sorgenfrey, plano de Moore, plano del semidisco,...) que
conviene recordar por ser u´tiles ejemplos (ma´s bien contraejemplos) de que
ciertas propiedades no se conservan en subespacios, productos o´ cocientes.
2 TOPOLOGI´A PRODUCTO
Dado un conjunto X y una aplicacio´n f : X −→ (Y, τY ), la familia
f−1(τY ) = {f−1(V )|V ∈ τY }
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es la menor topolog´ıa sobre X t.q. f es continua: si τX es otra topolog´ıa sobre
X t.q. f es continua entonces es claro que f−1(τY ) ⊂ τX . Tal topolog´ıa f−1(τY )
se denomina topolog´ıa de´bil inducida por f .
Dados dos e.t. X e Y , consideramos el producto cartesiano X×Y y queremos
definir una topolog´ıa sobre e´l t.q. las proyecciones cano´nicas p1 y p2 sean
continuas, es decir p−11 (U) = U × Y y p−12 (V ) = X × V deben ser abiertos en
X × Y para todo U ∈ τX y V ∈ τY . Es claro que la menor topolog´ıa sobre
X × Y que hace continuas las proyecciones es la que tiene a dichos conjuntos
como subbase, es decir
Sp = {U × Y |U ∈ τX} ∪ {X × V |V ∈ τY }
es subbase de una topolog´ıa τp sobre X × Y que se denominara´ topolog´ıa
producto.
Dadas f : Z −→ X y g : Z −→ Y , existe una aplicacio´n h : Z −→ X × Y
u´nica t.q. t.q. p1h = f y p2h = g (propiedad universal del producto directo).
Notar que h(z) = (f(z), g(z)) y es usual denotar h = (f, g).
2.1 Proposicio´n h es continua si y so´lo si lo son f y g. En particular, la
diagonal ∆ : X −→ X ×X es continua.
Dem. Si h es continua, entonces f = p1h y g = p2h tambie´n lo son, por serlo las
proyecciones. Rec´ıprocamente, si f y g son continuas y U×V es un abierto en
X×Y , entonces h−1(U×V ) = h−1(U×Y ∩X×V ) = h−1(p−11 (U)∩p−12 (V )) =
h−1p−11 (U)∩h−1p−12 (V ) = (p1h)−1(U)∩(p2h)−1(V ) = f−1(U)∩g−1(V ) abierto
en Z, luego h continua.
Ejercicio 01 Probar los siguientes homeomorfismos
(1) X × Y ≈ Y ×X.
(2) (X × Y )× Z ≈ X × (Y × Z).
(3) X × {pt} ≈ X ≈ {pt} ×X.
Ejercicio 02 Dados A ⊂ X y B ⊂ Y , probar las siguientes afirmaciones:
(1) A×B = A×B.
(2) (A×B)′ = A′ ×B ∪ A×B′
(3) Int(A×B) = Int(A)× Int(B).
(4) Fr(A×B) = [A× Fr(B)] ∪ [Fr(A)×B].
(5) A×B es denso en X × Y si y so´lo si A denso en X y B denso en Y .
Ejercicio 03 Sean Bx y By bases de entornos de x ∈ X e y ∈ Y , probar que
{Ux × V y|Ux ∈ Bx, V y ∈ By} es una base de entornos de (x, y) en X × Y .
Ejercicio 04 Probar que X×Y es I-AN, II-AN y separable, respectivamente,
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si y so´lo si lo son ambos factores.
Ejercicio 05 Sea RS la recta de Sorgenfrey. ¿Cual es la topolog´ıa producto
en RS × RS? ¿Cual es la topolog´ıa inducida en A = {(x, y) ∈ R2|x+ y = 1}?
Ejercicio 06 En R2, con la topolog´ıa usual, se consideran los subespacios
A = {(x, y) ∈ R2|xy = 0} y B = {(x, y) ∈ R2|xy = 1}. Estudiar si A es
abierto en R2 y en M = A ∪ B. Estudiar si U = {(x, 0) ∈ R2|x ∈ R} es
entorno del origen en R2 y en M .
Ejercicio 07 En R2, con la topolog´ıa usual, se consideran los subespacios
C = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1} y D = {(x, y) ∈ R2|x = y} y sea N = C ∪D.
Estudiar si C es entorno de (
√
2,
√
2) y de (0, 1) en N .
Sea X un conjunto, {(Xi, τi)}i∈J una familia de e.t. y {fi : X −→ Xi}i∈J una
familia de aplicaciones. Definimos la topolog´ıa de´bil sobre X inducida por
la familia {fi}i∈J como la menor topolog´ıa que hace continuas las fi.
El conjunto S = ⋃i∈J Si con Si = {f−1i (Ui)|Ui ∈ τi} es una subbase para dicha
topolog´ıa.
2.2 Teorema Sea X con la topolog´ıa de´bil inducida por {fi}i∈J , entonces una
aplicacio´n h : Y −→ X es continua si y so´lo si fih es continua para todo i ∈ J .
Dem. Si h es continua, entonces fih es continua para todo i ∈ J , ya que las
fi son continuas. Rec´ıprocamente, sea U abierto en X, entonces U es unio´n
arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma f−1i (Ui), por tanto
h−1(U) sera´ unio´n arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma
h−1f−1i (Ui) = (fih)
−1(Ui), abiertos en Y si las fih son continuas para todo
i ∈ J , luego h−1(U) abierto y por tanto h continua.
Sea ahora X =
∏
Xi, un punto del producto es una |J |-tupla(xi) y denotamos
por pk :
∏
Xi −→ Xk t.q. pk((xi)) = xk la proyeccio´n cano´nica sobre el k-simo
factor, entonces definimos la topolog´ıa producto τp sobre
∏
Xi como la
topolog´ıa de´bil inducida por las proyecciones {pi}i∈J .
Si U ∈ τk notar que p−1k (U) =
∏
Ui, donde Uk = U y Ui = Xi para todo i 6= k.
Una subbase de τp viene dada por
Sp = {p−1i (U)|U ∈ τi, i ∈ J} =
⋃
i∈J
{p−1i (U)|U ∈ τi}
y, si F recorre los subconjuntos finitos de J , una base para τp viene dada por
Bp = {
∏
Uj|Uj ∈ τj, Uj = Xj,∀j ∈ J − F}
Dada una familia de aplicaciones {fi : X −→ Xi}i∈J , existe una aplicacio´n
f : X −→ ∏Xi definida por f(x) = (fi(x)), u´nica t.q. pif = fi. Entonces
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2.3 Corolario f es continua si y so´lo si cada fi = pif lo es.
La topolog´ıa caja sobre
∏
Xi esta´ definida por
∏
τi = {∏i∈J Ui|Ui ∈ τi}.
Es claro que τp ⊆ ∏ τi y notar que τp = ∏ τi si J = {1, 2, ...n} (es decir, si
|J | <∞). Pero estas topolog´ıas no coinciden en el caso de una familia infinita.
Ejemplo Dada una familia infinita {(Xi, τi)}i∈J t.q. cada Xi es un espacio
discreto con ma´s de un punto, entonces la topolog´ıa caja
∏
τi es la topolog´ıa
discreta mientras que la topolog´ıa producto τp no es discreta.
2.4 Proposicio´n Dada una familia arbitraria {(Xi, τi)}i∈J de e.t. entonces:
(1) Las proyecciones pj :
∏
Xi −→ Xj son continuas, abiertas y sobre.
(2) Si Ai ⊂ Xi, entonces ∏Ai = ∏Ai.
(3) Int(
∏
Ai) ⊂ ∏ Int(Ai) y en general el contenido es estricto.
(4)
∏
Di denso en
∏
Xi si y so´lo si Di denso en Xi para todo i ∈ J
Ejercicio 08 Sea {fi : Xi −→ Yi}i∈J una familia de aplicaciones y definimos
f :
∏
Xi −→ ∏Yi por f((xi)) = (fi(xi)), es decir f = ∏ fi. Probar que f es
continua si y so´lo si fi es continua para todo i ∈ J .
3 TOPOLOGI´A COCIENTE
Sea (X, τ) un e.t. y f : X −→ Y una aplicacio´n suprayectiva o´ sobre, entonces
la coleccio´n de partes de Y
τ(f) = {U ⊂ Y |f−1(U) ∈ τ}
es una topolog´ıa sobre Y llamada topolog´ıa identificacio´n o´ topolog´ıa
cociente inducida sobre Y por f .
Ejercicio 09 Sea R con la topolog´ıa usual τU , Y = {a, b, c} un conjunto y
f : R −→ Y una aplicacio´n dada por f(x) = a si x > 0, f(x) = b si x < 0 y
f(0) = c. Hallar la topolog´ıa identificacio´n τ(f) sobre Y inducida por f .
Si τY es una topolog´ıa sobre Y t.q. f es continua notar que τY ⊆ τ(f), entonces
3.1 Lema τ(f) es la mayor topolog´ıa sobre Y que hace continua a f .
Dada una aplicacio´n continua y sobre f : (X, τX) −→ (Y, τY ), diremos que
f es una identificacio´n si τY = τ(f). Es claro que todo homeomorfismo
es una identificacio´n y, como (gf)−1(U) = f−1g−1(U), es claro tambie´n que
composicio´n de identificaciones es identificacio´n.
Ejercicio 10 Sea I = [0, 1] con la topolog´ıa usual, S0 = {0, 1} con la topolog´ıa
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de Sierpinski y sea χ : I −→ S0 la funcio´n caracter´ıstica de A = [1/2, 1].
Probar que χ es una identificacio´n pero que no es abierta ni cerrada.
3.2 Proposicio´n Sea f : X −→ Y una aplicacio´n sobre, continua y abierta
(o´ cerrada), entonces f es una identificacio´n. En particular, una biyeccio´n
continua es una identificacio´n si y so´lo si es un homeomorfismo.
Dem. Sabemos que τY ⊆ τ(f). Rec´ıprocamente, sea U ∈ τ(f), entonces
f−1(U) ∈ τX y por ser f abierta ff−1(U) ∈ τY . Pero f sobre implica que
ff−1(U) = U , luego U ∈ τY y por tanto τ(f) ⊆ τY . Concluimos que τY =
τ(f). Por otra parte, si f es una identificacio´n biyectiva y U ∈ τX , como
f−1f(U) = U se sigue que f(U) ∈ τ(f) = τY , luego f abierta y sabemos que
toda biyeccio´n continua y abierta es un homeomorfismo.
Dada una aplicacio´n continua f : X −→ Y llamaremos seccio´n de f a una
aplicacio´n continua s : Y −→ X t.q. fs = 1Y .
3.3 Proposicio´n Sea f : X −→ Y una aplicacio´n continua. Si f admite una
seccio´n entonces f es una identificacio´n.
Dem. Notar que fs = 1Y implica que f es sobre. Sea U ∈ τ(f), entonces
f−1(U) ∈ τX y s continua implican que s−1f−1(U) ∈ τY , pero s−1f−1(U) =
(fs)−1(U) = 1−1Y (U) = U , luego U ∈ τY y por tanto τ(f) ⊆ τY . Concluimos
que τ(f) = τY y en consecuencia f es una identificacio´n.
3.4 Proposicio´n Sea f : X −→ Y una identificacio´n y g : Y −→ Z una
aplicacio´n. Entonces g es continua (identificacio´n) si y so´lo si la composicio´n
gf es continua (identificacio´n).
Dem. Sea U ∈ τZ , si gf continua entonces f−1g−1(U) = (gf)−1(U) ∈ τX ,
pero f identificacio´n implica que g−1(U) ∈ τ(f) = τY , por tanto g continua.
Notar que U ∈ τ(gf) s´ı y so´lo si f−1g−1(U) = (gf)−1(U) ∈ τX , lo cual ocurre
s´ı y so´lo si g−1(U) ∈ τ(f) = τY , o´ equivalentemente si U ∈ τ(g). Por tanto
τ(gf) = τ(g) y es claro que gf es identificacio´n s´ı y so´lo si g es identificacio´n.
Dada una aplicacio´n continua f : X −→ Y y A ⊂ X, en general se tiene que
A ⊆ f−1f(A). Diremos que A es un conjunto f-saturado si A = f−1f(A).
Notar que una identificacio´n f es abierta (cerrada) si y so´lo si f−1f(U) es
abierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) en X.
3.5 Teorema Sea f : X −→ Y una identificacio´n y h : X −→ Z una
aplicacio´n continua. Si h es constante sobre f−1(y), para cada y ∈ Y , entonces
g : Y −→ Z, dada por g(y) = hf−1(y), es continua (notar que gf = h).
Adema´s g es abierta (cerrada) si y so´lo si h(U) es abierto (cerrado) para todo
U abierto (cerrado) y f -saturado.
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Dem. Sea U ∈ τZ , entonces f−1g−1(U) = (gf)−1(U) = h−1(U) ∈ τX luego
g−1(U) ∈ τ(f) = τY , ya que f es identificacio´n, por tanto g continua. Por
otra parte, sea U = f−1f(U) abierto en X, como f es identificacio´n se sigue
que f(U) ∈ τ(f) = τY , entonces si g es abierta, tambie´n h(U) = gf(U) es
abierto. Rec´ıprocamente, si V es abierto en Y se sigue que g(V ) = hf−1(V )
sera´ abierto en Z, ya que f−1(V ) es un abierto f -saturado (en efecto, f sobre
implica que f−1(A) es f -saturado para todo A ⊂ Y ), por tanto g es abierta.
Sea (X, τ) un e.t. yR una relacio´n de equivalencia sobreX, denotaremosX/R
el conjunto cociente y q : X −→ X/R, dada por q(x) = [x], la proyeccio´n.
Entonces X/R con la topolog´ıa identificacio´n τ(q) inducida por q se dira´
espacio cociente de X por R.
Ejemplo Definimos una relacio´n de equivalenciaR sobre R3−{0} como sigue:
x ∼ y si y so´lo si existe t ∈ R−{0} t.q. y = tx. El espacio cociente R3−{0}/R
se llama plano proyectivo real y lo denotaremos RP 2.
Ejercicio 11 Sea D2 = {x ∈ R2|‖x‖ ≤ 1} el disco unidad, definimos una
relacio´n de equivalencia R sobre D2 como sigue: x ∼ y si y so´lo si x = y o´ son
antipodales (es decir, x, y ∈ S1 y y = −x). Probar que D2/R ≈ RP 2.
Sean X1, X2 e.t. con relaciones de equivalencia R1 y R2, respectivamente.
Diremos que una aplicacio´n f : X1 −→ X2 conserva la relacio´n si para todo
x ∼ y se sigue que f(x) ∼ f(y). En tal caso, se sigue que f induce una
aplicacio´n en los cocientes f∗ : X1/R1 −→ X2/R2 dada por f∗[x] = [f(x)].
3.6 Proposicio´n Si f es continua entonces tambie´n f∗ es continua. Si f es
identificacio´n, tambie´n f∗ es identificacio´n.
Dem. Notar que f∗q1 = q2f , entonces dado U ∈ τ(q2) se tiene que q−11 f−1∗ (U) =
f−1q−12 (U) ∈ τX1 ya que f continua. Entonces f−1∗ (U) ∈ τ(q1) y por tanto f∗ es
continua. Por otra parte, f identificacio´n implica que tambie´n lo es q2f = f∗q1,
es decir τ(f∗q1) = τ(q2), pero τ(f∗) = τ(f∗q1) por (3.4), ya que q1 es una
identificacio´n. Entonces τ(f∗) = τ(q2) y por tanto f∗ es identificacio´n.
Una aplicacio´n f : X −→ Y define una relacio´n R(f) en X como sigue:
x1 ∼ x2 si y so´lo si f(x1) = f(x2). Claramente R(f) es de equivalencia. El
espacio cocienteX/R(f) se llama espacio descomposicio´n de f . Denotamos
por q : X −→ X/R(f) la identificacio´n, como f es constante sobre cada fibra
q−1([x]) = f−1f(x), se sigue por (3.5) que la aplicacio´n fˆ : X/R(f) −→ Y ,
dada por fˆ([x]) = f(x), es continua. Notar que f = fˆ q y que fˆ es inyectiva.
3.7 Teorema Sea f : X −→ Y continua y sobre, entonces fˆ : X/R(f) −→ Y
es un homeomorfismo si y so´lo sif es una identificacio´n.
Dem. Si fˆ es un homeomorfismo entonces f = fˆ q es una identificacio´n, ya
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que q lo es. Rec´ıprocamente, notar que si f = fˆ q es sobre, tambie´n lo es fˆ ,
por tanto fˆ es una biyeccio´n continua. Como τ(f) = τ(fˆ q) = τ(fˆ), si f es
identificacio´n tambie´n lo es fˆ y el teorema se sigue por (3.2).
Coproductos
Dados dos espacios X1, X2 definimos la el coproducto o´ suma topolo´gica
X1
∐
X2 como la unio´n disjunta de X1 y X2. Definimos una topolog´ıa sobre
X1
∐
X2 como sigue: U ⊂ X1∐X2 es abierto si y so´lo si U ∩X1 y U ∩X2 son
abiertos en X1 y X2 respectivamente. Es claro que esta topolog´ıa es la mayor
t.q. las inclusiones i1 : X1 −→ X1∐X2 y i2 : X2 −→ X1∐X2 son continuas
(en efecto, notar que U ∩Xk = i−1k (U), para k = 1, 2).
Dadas fk : Xk −→ Z (k = 1, 2) existe una aplicacio´n f : X1∐X2 −→ Z u´nica
t.q. fi1 = f1 y fi2 = f2 (propiedad universal del coproducto)
3.7 Teorema f es continua si y so´lo si f1 y f2 son continuas.
Dem. Sean f1 y f2 continuas y U abierto en Z, notar que f
−1(U) es abierto
en X1
∐
X2 s´ı y so´lo s´ı f
−1(U) ∩Xk es abierto en Xk para k = 1, 2, pero
f−1(U) ∩Xk = i−1k (f−1(U)) = (fik)−1(U) = f−1k (U)
el cual es abierto en Xk por ser fk continua. El rec´ıproco es obvio.
Sean A,B ⊂ X con la topolog´ıa inducida, las inclusiones jA y jB de A y B
en A ∪ B respectivamente, son continuas e inducen por tanto una aplicacio´n
continua y sobre j : A
∐
B −→ A ∪ B. Si f : A −→ Y y g : B −→ Y son
dos aplicaciones t.q. f(x) = g(x) para todo x ∈ A∩B, definimos la aplicacio´n
”pegamiento” de f y g como la aplicacio´n f ∪ g : A ∪ B −→ Y dada por
(f ∪ g)(x) = f(x) si x ∈ A y (f ∪ g)(x) = g(x) si x ∈ B.
3.8 Lema Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas, si A y B son cerrados
(o´ abiertos) en A ∪B entonces f ∪ g : A ∪B −→ Y es tambie´n continua.
Dem. Por (3.7) la composicio´n (f ∪ g)j : A∐B −→ Y es continua si lo
son f y g. Si A y B son cerrados en A ∪ B se sigue que j aplica cerrados
en cerrados luego es cerrada. Por (3.2) se sigue que j es una identificacio´n,
entonces (f ∪ g)j continua y (3.4) implican que f ∪ g es continua.
Sea A un subespacio cerrado de X y f : A −→ Y una aplicacio´n continua,
definimos una relacio´n de equivalencia R sobre X ∐Y como sigue: a ∼ f(a)
para todo a ∈ A. El espacio cociente X ∐Y/R se llama adjuncio´n o´ pegado
de X e Y a trave´s de f y lo denotaremos X ∪f Y . Si A cerrado en X y
f : A −→ Y continua t.q. Y = {∗} entonces X ∪f {∗} se denota usualmente
por X/A. Este u´ltimo espacio denota tambie´n el espacio cociente X/R, donde
R es la siguiente relacio´n de equivalencia: xRy s´ı y so´lo si x = y o´ x, y ∈ A.
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4 SEPARACIO´N
Un e.t. X se dice T0-espacio si para todo par de puntos x 6= y en X, existe un
abierto que contiene a uno de ellos y no al otro (es decir, ∃ U ∈ τ t.q. x ∈ U ,
y ∈ (X − U) o´ bien ∃ V ∈ τ t.q. y ∈ V , x ∈ (X − V )).
Ejemplo Espacios indiscretos no son T0-espacios. El espacio de Sierpinski
(X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X}) es un T0-espacio.
Un e.t. X se dice T1-espacio si para todo par de puntos x 6= y en X, existen
entornos de cada uno de ellos que no contienen al otro (es decir, ∃ U, V ∈ τ
t.q. x ∈ U ∩ (X − V ), y ∈ V ∩ (X − U)).
Ejemplo Todo T1-espacio es T0-espacio pero no rec´ıprocamente: Notar que el
espacio de Sierpinski es un T0-espacio pero no T1-espacio.
4.1 Proposicio´n Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es un T1-espacio.
(2) Todo punto en X es cerrado.
(3) Todo subespacio de X es interseccio´n de abiertos que lo contienen.
Dem. Sea X un T1-espacio, x ∈ X y sea y ∈ X − {x}, como existe U entorno
abierto de y que no contiene a x se sigue que y ∈ U ⊂ X−{x}, luego X−{x}
es abierto y por tanto {x} es cerrado. Si todo punto es cerrado y A ⊂ X es
claro que A = ∩{X − {x}|x ∈ X − A}. Finalmente, sea x 6= y y supongamos
que se satisface (3), entonces para A = {x} es claro que existe un entorno
abierto de x que no contiene a y y ana´logamente, tomando A = {y}, existira´
un entorno abierto de y que no contiene a x, por tanto X es un T1-espacio.
Notar que la menor topolog´ıa que hace de un conjunto X un T1-espacio es la
que tiene como subbase a S = {X−{x}|x ∈ X}, es decir la topolog´ıa cofinita
τCF = {U ⊂ X|card(X −U) <∞}. En particular, si X es un conjunto finito,
la u´nica topolog´ıa que hace de X un T1-espacio es la discreta.
Ejercicio 12 Sea X un T1-espacio y A ⊆ X. Si A es finito probar que A′ es
cerrado. Si A infinito y x ∈ A′, probar que todo entorno de x contiene infinitos
puntos de A.
Ejercicio 13 Una relacio´n de equivalencia R se dice cerrada si las clases
Rx = {y|y ∼ x} son subconjuntos cerrados de X. Sea R una relacio´n de
equivalencia sobre un e.t. X, probar que X/R es T1 si y so´lo si R es cerrada.
Ejercicio 14 Sea X un T1-espacio y A ⊂ X, entonces probar: (1) A′ cerrado.
(2) (A′)′ ⊂ A′. (3) (A)′ = A′.
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Espacios Hausdorff o´ T2-espacios.
Un e.t. X se dice T2-espacio o´ que es Hausdorff si para todo par de puntos
distintos existen abiertos disjuntos que los contienen (es decir, para todo x 6= y
en X, existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅).
Es claro que todo T2-espacio es un T1-espacio. Un conjunto de cardinal infinito
X con la topolog´ıa cofinita es T1 pero no T2. La propiedad de ser un Tk-espacio
(k = 0, 1, 2) es hereditaria: subespacios de un Tk-espacio son Tk-espacios.
4.2 Proposicio´n Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es Hausdorff.
(2) Sea x ∈ X, para todo y 6= x existe U ∈ τ t.q. x ∈ U , y /∈ U .
(3) Para todo x ∈ X, ⋂{U |U ∈ τ, x ∈ U} = {x}.
(4) La diagonal ∆ = {(x, x)|x ∈ X} es cerrado en X ×X.
Dem. Sea x 6= y y suponer que X es Hausdorff, entonces existen U, V ∈ τ t.q.
x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅, en particular y ∈ Int(X − U) = X − U . Que (2)
implica (3) es inmediato. Notar que U ∩ V = ∅ s´ı y so´lo si U × V ∩ ∆ = ∅.
Sea (x, y) ∈ X × X − ∆ y supongamos que existe U entorno abierto de
x t.q. y ∈ X − U , entonces (x, y) ∈ U × (X − U) ⊂ X × X − ∆, luego
X×X−∆ es abierto y por tanto ∆ es cerrado. Finalmente, si ∆ es cerrado su
complementario es abierto, entonces dados x 6= y existira´n abiertos U, V t.q.
(x, y) ∈ U × V ⊂ X ×X −∆, por tanto U × V ∩∆ = ∅ o´ equivalentemente
U ∩ V = ∅ y se sigue que X es Hausdorff.
Ejercicio 15 Sea X un espacio Hausdorff y F = {x1, ....xn} un conjunto
finito. Probar que existen entornos Ui de xi, 1 ≤ i ≤ n, disjuntos dos a dos.
4.3 Proposicio´n Sea Y Hausdorff y f, g : X −→ Y continuas, entonces
C = {x ∈ X|f(x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso en
X y f |D = g|D entonces se sigue que f = g.
Dem. Veamos que X−C es abierto. Si x ∈ X−C entonces f(x) 6= g(x) y como
Y es Hausdorff existira´n U, V abiertos t.q. f(x) ∈ U , g(x) ∈ V y U ∩ V = ∅.
Como f y g continuas se sigue que f−1(U) ∩ g−1(V ) abierto y es claro que
x ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ) ⊂ X − C (en efecto, si z ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ) entonces
f(z) 6= g(z), ya que f(z) ∈ U , g(z) ∈ V y U ∩ V = ∅, luego z ∈ X − C). Sea
D denso en X y f |D = g|D entonces D ⊂ C y X = D, como C es cerrado se
sigue que X = C, es decir f(x) = g(x) para todo x ∈ X y por tanto f = g.
Ejercicio 16 Diremos que un A ⊂ X es un retracto de X si existe r : X −→ A
continua t.q. ri = 1A, siendo i : A −→ X la inclusio´n. Probar que A es
un retracto de X si y so´lo si para todo espacio Y , toda aplicacio´n continua
f : A −→ Y se extiende a X, es decir existe g : X −→ Y continua t.q. gi = f .
10
Probar que si X es un espacio Hausdorff y A es un retracto de X, entonces A
es cerrado en X
Ejercicio 17 Diremos que un espacio X tiene la propiedad del punto fijo si
para toda aplicacio´n continua f : X −→ X existe x ∈ X t.q. f(x) = x. Probar
que si X tiene la propiedad del punto fijo, tambie´n la tiene todo retracto de X.
Sea X un espacio Hausdorff y f : X −→ X continua. Probar que el conjunto
de puntos fijos de f es cerrado en X.
Ejercicio 18 Sea f : X −→ Y una aplicacio´ncontinua, definimos el grafo de
f como el conjunto Γf = {(x, f(x))|x ∈ X} ⊂ X × Y . Probar que Γf , con la
topolog´ıa inducida por la topolog´ıa producto, es homeomorfo a X.
Ejercicio 19 Sea Y un e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicacio´n continua.
Probar que Γf es cerrado en X × Y .
4.4 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicacio´n continua. Si Y es Hausdorff
entonces C = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X ×X.
Dem. Veamos que el complementario de C es abierto. Si (x1, x2) ∈ X×X−C
entonces f(x1) 6= f(x2) y como Y es Hausdorff, existira´n abiertos disjuntos
U1, U2 t.q. f(x1) ∈ U1 y f(x2) ∈ U2. Entonces f−1(U1)× f−1(U2) es abierto y
(x1, x2) ∈ f−1(U1)× f−1(U2) ⊂ X ×X −C (probaremos el u´ltimo contenido:
si (z1, z2) ∈ f−1(U1) × f−1(U2) se sigue que f(z1) ∈ U1 y f(z2) ∈ U2, luego
f(z1) 6= f(z2), ya que U1 ∩ U2 = ∅, y por tanto (z1, z2) ∈ X ×X − C).
Si f es abierta y sobre, entonces se satisface el rec´ıproco:
4.5 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicacio´n continua, abierta y sobre, si
C = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X ×X, entonces Y es Hausdorff.
Dem. Sean f(x1) 6= f(x2), entonces (x1, x2) ∈ X ×X − C, abierto por ser C
cerrado, luego existen abiertos U1, U2 t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂ X ×X − C y
por tanto U1 × U2 ∩ C = ∅ y esto implica U1 ∩ U2 = ∅, ya que ∆ ⊂ C. Si f
es abierta, se sigue que f(U1) y f(U2) son dos abiertos disjuntos que separan
a f(x1) y f(x2) y concluimos que Y es Hausdorff (probaremos que f(U1) y
f(U2) son disjuntos: si y ∈ f(U1) ∩ f(U2) existira´n x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q.
f(x1) = y = f(x2), luego U1 × U2 ∩ C 6= ∅ y llegamos a una contradiccio´n).
4.6 Proposicio´n Dada una familia no vac´ıa {Xi}i∈J , entonces el producto∏
Xi es un Tk-espacio (k = 0, 1, 2) si y so´lo si cada factor Xi lo es.
Dem. Lo probaremos para el caso k = 2. Supongamos que Xi es un T2-espacio
para todo i ∈ J , si (xi) 6= (zi) en ∏Xi, tales puntos diferira´n al menos una
coordenada, es decir existe k ∈ J t.q. xk 6= zk. Como Xk es Hausdorff existira´n
Uk, Vk ∈ τk t.q. xk ∈ Uk, zk ∈ Vk y Uk ∩ Vk = ∅. Entonces (xi) ∈ p−1k (Uk),
11
(zi) ∈ p−1k (Vk) abiertos en
∏
Xi t.q. p
−1
k (Uk) ∩ p−1k (Vk) = p−1k (Uk ∩ Vk) = ∅.
Rec´ıprocamente, si
∏
Xi es Hausdorff y k ∈ J , elegimos un punto x0i ∈ Xi
para cada i 6= k y sea ik : Xk −→ ∏Xi, dada por ik(xk) = (xi) con xi = x0i
para todo i 6= k. Como la propiedad ”Hausdorff” es hereditaria se sigue que
ik(Xk) es Hausdorff, pero ik(Xk) es homeomorfo a Xk, y esto para todo k ∈ J .
Cocientes de espacios Hausdorff no son necesariamente Hausdorff.
Ejemplo Sea X = R2 con la topolog´ıa usual y definimos la siguiente relacio´n
de equivalencia (x1, y1)R(x2, y2) s´ı y so´lo si y1, y2 < 0 o´ y1, y2 ≥ 0. Sean
A = {(x, y)|y ≥ 0} y B = {(x, y)|y < 0} y consideremos la identificacio´n
q : X −→ X/R, denotamos q(A) = a y q(B) = b. Entonces X/R = {a, b}.
Como q−1(b) = B abierto en la topolog´ıa usual, se sigue que {b} es abierto en
X/R, luego la topolog´ıa cociente es τ(q) = {∅, {b}, X/R}, es decir (X/R, τ(q))
es el espacio de Sierpinski, que no es Hausdorff.
Dada una relacio´n de equivalencia R sobre un e.t. X, podemos mirarla como
un subespacio del producto: R = {(x1, x2)|x1 ∼ x2} ⊂ X ×X. La aplicacio´n
q × q : X ×X −→ X/R×X/R es continua y es claro que R = (q × q)−1(∆).
Notar que si X/R es Hausdorff entonces R debe ser un cerrado en X ×X.
4.7 Proposicio´n Sea X un e.t., R una relacio´n de equivalencia sobre X. Si R
es cerrado en X×X y q : X −→ X/R es abierta, entonces X/R es Hausdorff.
Dem. Sean [x1] 6= [x2] en X/R, es decir (x1, x2) ∈ X×X−R, el cual es abierto
por ser R cerrado, entonces existen U1, U2 abiertos t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂
X ×X −R. Como q abierta, q(U1) y q(U2) son dos abiertos t.q. [x1] ∈ q(U1),
[x2] ∈ q(U2) y q(U1) ∩ q(U1) = ∅ (en efecto, si [x] ∈ q(U1) ∩ q(U1) entonces
existen x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q. [x] = q(x1) = q(x2) o´ bien [x1] = [x2], y por
tanto (x1, x2) ∈ R, lo cual es una contradiccio´n ya que U1×U2 ⊂ X×X−R).
4.8 Proposicio´n Si Y es un espacio Hausdorff y f : X −→ Y es una aplicacio´n
continua e inyectiva entonces tambie´n X es Hausdorff. En particular, si Y
Hausdorff y f : X −→ Y continua entonces X/R(f) es Hausdorff.
Dem. Sean x1 6= x2 en X, si f es inyectiva entonces f(x1) 6= f(x2) y como
Y es Hausdorff, existira´n abiertos U1 y U2 t.q. f(x1) ∈ U1, f(x2) ∈ U2 y
U1 ∩ U2 = ∅. Entonces, si f es continua, f−1(U1) y f−1(U2) son abiertos t.q.
x1 ∈ f−1(U1), x2 ∈ f−1(U2) y f−1(U1)∩f−1(U2) = f−1(U1∩U2) = f−1(∅) = ∅,
luego X ∈ T2. La segunda parte se sigue inmediatamente ya que f continua
implica que fˆ : X/R(f) −→ Y es continua e inyectiva.
Espacios regulares y T3-espacios.
Un e.t. (X, τ) se dice regular si para todo F cerrado en X y x /∈ F existen
U, V ∈ τ t.q. x ∈ U , F ⊂ V y U ∩V = ∅. En general, un espacio regular no es
12
necesariamente un T1-espacios (en efecto, un espacio indiscreto es regular pero
no es T0, por tanto tampoco T1). Un T1-espacio regular se dira´ T3-espacio.
Ejemplo Todo T3-espacio es Hausdorff pero no rec´ıprocamente. Sea X = R
con la topolog´ıa τ definida como sigue: los entornos ba´sicos para cada punto
x 6= 0 son los usuales y los entornos ba´sicos del 0 son de la forma (−ε, ε)−A,
donde A = {1/n}n∈N. Entonces (R, τ) es Hausdorff, ya que τ es mas fina que
la topolog´ıa usual (es decir, τU ⊂ τ), pero (R, τ) no es un T3-espacio: A es un
cerrado en X que no se puede separar de 0 por abiertos disjuntos.
4.9 Teorema Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X es regular.
(2) Sean U ∈ τ y x ∈ U , entonces existe V ∈ τ t.q. x ∈ V y V ⊂ U .
(3) Todo x ∈ X admite una base de entornos Bx = {Bx} t.q. Bx cerrado.
Dem. Sea U entorno abierto de x, entonces x /∈ X−U cerrado, si X es regular
existira´n V,W abiertos t.q. x ∈ V , X − U ⊂ W y V ∩W = ∅. En particular
V ⊂ X − W ⊂ U y X − W cerrado implica V ⊂ X − W ⊂ U . Que (2)
implica (3) es obvio. Finalmente, si se satisface (3) y F es un cerrado en X
t.q. x /∈ F , notar que X − F es un abierto que contiene a x, luego existe V
entorno cerrado de x t.q. x ∈ V ⊂ X−F . Es claro que x ∈ Int(V ), F ⊂ X−V
y Int(V ) ∩ (X − V ) = ∅, por tanto X es regular.
Ejercicio 20 Si X es un T3-espacio probar que para todo par de puntos x 6= y
existen entornos U de x y V de y t.q. U ∩ V = ∅.
La regularidad es hereditaria y se conserva en productos:
4.10 Proposicio´n Dada una familia {Xi}i∈J , entonces el producto ∏Xi es
regular (T3-espacio) si y so´lo si cada factor Xi es regular (T3-espacio).
Dem. Si
∏
Xi es regular tambie´n lo sera´Xk ≈ ik(Xk) ⊂ ∏Xi. Rec´ıprocamente,
suponer que Xk es regular para todo k ∈ J y sean (xi) ∈ ∏Xi y U = ∏Ui ∈ τp
t.q. (xi) ∈ U (recordar que Ui = Xi para todo i ∈ J−F ). Para cada xi elegimos
Vi ∈ τi t.q. xi ∈ Vi ⊂ Vi ⊂ Ui de forma que Vi = Xi cuando Ui = Xi, entonces
(xi) ∈ ∏Vi ⊂ ∏Vi = ∏Vi ⊂ ∏Ui = U . Por (4.9) se sigue que ∏Xi es regular.
Por (4.5) la proposicio´n se satisface tambie´n para T3-espacios.
Cocientes de T3-espacios no son necesariamente regulares:
Ejemplo Sea X = {(x, 0)|x ∈ R}∪ {(x, 1)|x ∈ R} y sea Y el espacio cociente
de X obtenido al identificar los puntos p0 ≡ (x, 0) con p1 ≡ (x, 1) para todo
0 6= x ∈ R. Claramente X es T3 y la proyeccio´n q : X −→ Y es continua sobre
y abierta pero los puntos p0 y p1 no se pueden separar por abiertos. Por tanto
Y es T1 pero no T2 y como los puntos son cerrados, tampoco es regular.
13
4.11 Lema Sea f : X −→ Y una aplicacio´n continua y cerrada, B ⊂ Y y
U ∈ τX t.q. f−1(B) ⊂ U , entonces existe V ∈ τY t.q. B ⊂ V y f−1(V ) ⊂ U .
Dem. Definimos V = Y −f(X−U) que es abierto si f cerrada. Si f−1(B) ⊂ U ,
entonces B ⊂ V (en efecto, si y ∈ B entonces f−1(y) ⊂ U o´ equivalentemente
f−1(y) ∩ (X − U) = ∅, luego y = ff−1(y) ∈ Y − f(X − U) = V ). Adema´s,
f−1(V ) = f−1(Y − f(X − U)) = X − f−1f(X − U) ⊂ X − (X − U) = U .
4.12 Teorema Sea X un T3-espacio y f : X −→ Y una aplicacio´n continua,
sobre, abierta y cerrada. Entonces Y es Hausdorff.
Dem. Notaren primer lugar que si f es continua, sobre y abierta se sigue en
particular que f es una identificacio´n. Para que Y sea Hausdorff, por (4.4)
bastara´ probar que R(f) = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X × X o´
bien que su complementario es abierto: sea (x1, x2) ∈ X×X−R(f), entonces
f(x1) 6= f(x2) y por tanto x1 /∈ f−1f(x2). Notar que este u´ltimo conjunto
es cerrado ya que X es T1-espacio (en particular {x2} sera´ cerrado) y f es
cerrada, entonces como X es regular existira´n abiertos U, V en X t.q. x1 ∈ U ,
f−1f(x2) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Aplicando (4.11) para B = f(x2), existira´ un
abiertoW t.q. f(x2) ∈ W y f−1f(x2) ⊂ f−1(W ) ⊂ V y como U ∩f−1(W ) = ∅
se sigue que (x1, x2) ∈ U × f−1(W ) ⊂ X ×X −R(f), luego R(f) cerrado.
Sea A un subespacio cerrado de X, notar que la identificacio´n q : X −→ X/A
es una aplicacio´n cerrada. En efecto, sea F cerrado en X, como X/A tiene la
topolog´ıa cociente, notar que q(F ) sera´ cerrado en X/A s´ı y so´lo si q−1q(F )
es cerrado en X. Pero q−1q(F ) = F , si F ∩ A = ∅ y q−1q(F ) = F ∪ A, si
F ∩A 6= ∅. Por tanto q−1q(F ) es cerrado en ambos casos, supuesto A cerrado.
4.13 Teorema Si X es un T3-espacio y A es cerrado en X, entonces X/A con
la topolog´ıa cociente es un espacio Hausdorff.
Dem. Si [x1] 6= [x2] caben dos casos: x1, x2 /∈ A o´ x1 /∈ A y x2 ∈ A. En el
primer caso, como X−A es Hausdorff, existira´n U, V abiertos en X−A y por
tanto en X, ya que X − A abierto en X, t.q. x1 ∈ U , x2 ∈ V y U ∩ V = ∅.
Notar que U = q−1q(U) y V = q−1q(V ), por tanto q(U) y q(V ) son abiertos
en X/A t.q. [x1] ∈ q(U), [x2] ∈ q(V ) y q(U)∩ q(V ) = ∅. En el segundo caso, si
x1 /∈ A existira´n U, V abiertos en X t.q. x1 ∈ U , A ⊂ V y U ∩ V = ∅, ya que
A cerrado y X es un T3-espacio. Como U ⊂ X −A se sigue que U = q−1q(U),
luego [x1] ∈ q(U) abierto en X/A. Es claro tambie´n que V = q−1q(V ) y por
tanto [x2] = {A} ∈ q(V ) abierto en X/A. Como q(U) ∩ q(V ) = ∅ concluimos
que X/A es Hausdorff.
Espacios normales y T4-espacios
Un e.t. (X, τ) se dice normal si para todo par de subespacios cerrados y
disjuntos A y B, existen abiertos U y V t.q. A ⊂ U , B ⊂ V y U ∩ V = ∅.
14
Ejemplo Un espacio normal no es necesariamente regular. En efecto, sea R
con la siguiente topolog´ıa τ = {∅,R} ∪ {(a,+∞)|a ∈ R}, entonces (R, τ)
es trivialmente normal, ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es
regular ya que 1 ∈ R y el cerrado (−∞, 0] no se pueden separar por abiertos
disjuntos (el u´nico abierto que contiene a (−∞, 0] es R).
Notar que (R, τ) es T0-espacio pero no T1-espacio. Ana´logamente, el espacio
de Sierpinski es normal ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es
un T1-espacio. Un T1-espacio normal se dira´ T4-espacio. En un T1-espacio,
normalidad implica regularidad, luego todo T4-espacio es T3-espacio.
Ejemplo La recta de Sorgenfrey (R, τS) es un T4-espacio: dados dos cerrados
disjuntos A,B ⊂ R, para todo a ∈ A existe ra > a t.q. [a, ra) ∩ B = ∅ y
para todo b ∈ B existe sb > b t.q. [b, sb) ∩ A = ∅. Sean UA = ⋃a∈A[a, ra) y
UB =
⋃
b∈B[b, sb). Entonces UA y UB son abiertos t.q. A ⊂ UA, B ⊂ UB y
UA∩UB = ∅. En efecto, si x ∈ UA∩UB existen a, b ∈ R t.q. x ∈ [a, ra)∩ [b, sb)
luego a ≤ x < ra y b ≤ x < sb. Pero si suponemos a < b entonces b ∈ [a, ra) lo
cual contradice que [a, ra) ∩ B = ∅. Concluimos que (R, τS) es normal. Como
τS ⊃ τU , es claro que (R, τS) es un T1-espacio y por tanto es un T4-espacio.
Ejemplo Todo espacio me´trico (X, d) es un T4-espacio: sean A,B cerrados
disjuntos, para cada x ∈ A existe δx > 0 t.q. B(x, δx) ∩ B = ∅ y para cada
y ∈ B existe εy > 0 t.q. B(y, εy) ∩ A = ∅. Definimos U = ⋃x∈AB(x, δx/3)
y V =
⋃
y∈B B(y, εy/3), entonces U, V son abiertos en (X, d) t.q. A ⊂ U ,
B ⊂ V . Supongamos que z ∈ U ∩ V , entonces d(x, z) < δx/3, d(z, y) < εy/3
y por la desigualdad triangular d(x, y) < δx/3 + εy/3 < δx, suponiendo δx =
max{δx, εy}, se sigue que y ∈ B(x, δx) y esto contradice que B(x, δx)∩B = ∅.
Por tanto U ∩ V = ∅ y en consecuencia (X, d) es normal. Claramente todo
espacio me´trico es un T2-espacio y por tanto un T1-espacio.
4.14 Proposicio´n Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es normal.
(2) Para todo cerrado A y abierto U t.q. A ⊂ U , existe un abierto V t.q.
A ⊂ V ⊂ V ⊂ U .
(3) Para todo par de cerrados disjuntos A,B existe un abierto U t.q. A ⊂ U
y U ∩B = ∅.
(4) Todo par de cerrados disjuntos admiten entornos cuyas clausuras son
disjuntas.
Dem. Sea A cerrado y U abierto t.q. A ⊂ U , entonces X − U es cerrado y
A∩(X−U) = ∅. Si X es normal existen abiertos V,W t.q. A ⊂ V , X−U ⊂ W
y V ∩W = ∅. En particular V ⊂ X −W y como X −W es cerrado se sigue
A ⊂ V ⊂ V ⊂ X −W ⊂ U , luego (1) =⇒ (2). Supongamos cierto (2) y sean
A,B cerrados disjuntos, entonces A ⊂ X − B abierto implica que existe un
abierto U t.q. A ⊂ U ⊂ U ⊂ X − B, en particular U ∩ B = ∅ y por tanto
15
(2) =⇒ (3). Sean A,B cerrados disjuntos, por (3) existe U abierto t.q. A ⊂ U
y U ∩ B = ∅, aplicando de nuevo (3) a los cerrados disjuntos B y U , existira´
un abierto V t.q. B ⊂ V y V ∩ U = ∅, luego (3) =⇒ (4). Finalmente, que
(4) =⇒ (1) es obvio.
El siguiente resultado debido a F.B. Jones es u´til para construir espacios que
no sean normales.
4.15 Lema Si un e.t. X contiene subespacios D,S t.q. D denso, S cerrado y
discreto (con la topolog´ıa inducida) y |S| ≥ 2|D|, entonces X no es normal.
Dem. Sea T ⊂ S, como τS es la topolog´ıa discreta es claro que T es cerrado
en S y por lo tanto en X. Entonces T y S − T son cerrados disjuntos y si
suponemos que X es normal existira´n abiertos UT , VT t.q. T ⊂ UT , S−T ⊂ VT
y UT ∩ VT = ∅. Sean T1, T2 ∈ P(S) y notar que si T1 6= T2 entonces tambie´n
UT1 ∩ D 6= UT2 ∩ D (en efecto, T1 6= T2 implica T1 ∩ (S − T2) 6= ∅ o´ bien
T2 ∩ (S − T1) 6= ∅. Supongamos T1 ∩ (S − T2) 6= ∅, entonces UT1 ∩ VT2 6= ∅ y
como D es denso UT1 ∩ VT2 ∩ D 6= ∅, pero como UT1 ∩ VT2 ∩ D ⊂ UT1 ∩ D y
UT1 ∩ VT2 ∩D ∩ UT2 = ∅, ya que UT2 ∩ VT2 = ∅, se sigue UT1 ∩D 6= UT2 ∩D).
Entonces la aplicacio´n Φ : P(S) −→ P(D), dada por Φ(T ) = UT ∩ D, es
inyectiva y por tanto |S| < |P(S)| ≤ |P(D)| = 2|D|, lo cual contradice la
hipo´tesis, luego X no puede ser normal.
Ejercicio 21 Probar que el plano de Moore es T3-espacio pero no T4-espacio.
La normalidad no es hereditaria en general paro s´ı para cerrados.
4.16 Proposicio´n Sea X un espacio normal (T4-espacio) y F cerrado en X,
entonces F con la topolog´ıa inducida tambie´n es normal (T4-espacio).
Dem. Sean A,B cerrados disjuntos en F , entonces A y B son cerrados en X
y como X es normal, existira´n U, V abiertos en X t.q. A ⊂ U , B ⊂ V y
U ∩ V = ∅. Entonces F ∩ U y F ∩ V son abiertos en F t.q. F ∩ U ∩ V = ∅,
por tanto F es normal.
El producto de espacios normales no es necesariamente normal
Ejercicio 22 Sea RS = (R, τS) la recta de Sorgenfrey, probar que RS ×RS no
es normal.
En general, la normalidad no se conserva en cocientes.
4.17 Proposicio´n Sea X un espacio normal (T4-espacio) y f : X −→ Y una
aplicacio´n continua, cerrada y sobre, entonces Y es normal (T4-espacio).
Dem. Sea f : X −→ Y una aplicacio´n continua, sobre y cerrada, dados A,B
cerrados disjuntos en Y se sigue que f−1(A) y f−1(B) son cerrados disjuntos
16
en X, como X es normal existira´n U, V abiertos en X t.q. f−1(A) ⊂ U ,
f−1(B) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Por (4.11) existira´n UA, VB abiertos en Y t.q.
A ⊂ UA y f−1(UA) ⊂ U , B ⊂ VB y f−1(VB) ⊂ V . Notar que f−1(UA ∩ VB) =
f−1(UA) ∩ f−1(VB) ⊂ U ∩ V = ∅, por tanto UA ∩ VB = ∅ y concluimos que Y
es normal. Como la imagen de un T1-espacio bajo una aplicacio´n continua y
cerrada es un T1-espacio, la proposicio´n se sigue para T4-espacios.
4.18 Corolario Si X es normal y A cerrado en X entonces X/A es normal.
Dem. Notar que si A cerrado entonces q : X −→ X/A es una aplicacio´n
continua, sobre y cerrada.
Finalizamos el cap´ıtulo con dos u´tiles caracterizaciones de la normalidad
Lema de Urysohn Un espacio X es normal si y so´losi para todo par A,B
de cerrados disjuntos, existe una aplicacio´n continua f : X −→ [0, 1] t.q.
f(A) = 0 y f(B) = 1.
Teorema de extensio´n de Tietze Un espacio X es normal si y so´lo si para
todo A cerrado en X y toda aplicacio´n continua f : A −→ R existe una
aplicacio´n continua F : X −→ R extendiendo a f (es decir, tal que F |A = f).
5 COMPACIDAD
Un recubrimiento abierto de X es una coleccio´n de abiertos U = {Ui}i∈J t.q.
X =
⋃
i∈J Ui. Diremos que un espacio X es compacto si todo recubrimiento
abierto U = {Ui}i∈J de X admite un subrecubrimiento finito, es decir si existe
un conjunto finito de ı´ndices F ⊂ J t.q. X = ⋃i∈F Ui.
Ejemplos Con la topolog´ıa usual, R no es compacto: en efecto, si Un = (−n, n)
entonces U = {Un}n∈N es un recubrimiento abierto de R que no admite un
subrecubrimiento finito. Todo espacio finito es obviamente compacto. En un
espacio discreto, vale el rec´ıproco: compacto ⇐⇒ finito. Un espacio X con la
topolog´ıa cofinita es compacto.
Diremos que un e.t. X tiene la propiedad de interseccio´n finita (p.i.f.)
si para toda familia de cerrados {Ci}i∈J t.q. cualquier nu´mero finito de ellos
tiene interseccio´n no vac´ıa entonces tambie´n
⋂
i∈J Ci 6= ∅.
5.1 Teorema Un espacio topolo´gico es compacto si y so´lo si tiene la p.i.f..
Dem. Sea X compacto y {Ci}i∈J una familia de cerrados t.q. ⋂i∈F Ci 6= ∅ para
todo conjunto finito de ı´ndices F ⊂ J y suponer ⋂i∈J Ci = ∅, entonces X =
X−∅ = X−⋂i∈J Ci = ⋃i∈J(X−Ci), es decir {X−Ci}i∈J es un recubrimiento
17
abierto de X y como X compacto, existe un conjunto finito de ı´ndices F ⊂ J
t.q. {X − Ci}i∈F recubre X. Entonces X = ⋃i∈F (X − Ci) = X − ⋂i∈F Ci y
por tanto
⋂
i∈F Ci = ∅, llegando a contradiccio´n. Rec´ıprocamente, sea X con la
p.i.f. y supongamos que X no es compacto, entonces existira´ un recubrimiento
abierto U = {Ui}i∈J de X que no admite un subrecubrimiento finito, es decir
∅ 6= X − ⋃i∈F Ui = ⋂i∈F (X − Ui) para todo subconjunto finito de ı´ndices
F ⊂ J , entonces ∅ 6= ⋂i∈J(X −Ui) = X −⋃i∈J Ui y llegamos a contradiccio´n.
Ejercicio 23 Probar que en un espacio compacto todo subconjunto infinito
tiene punto de acumulacio´n (Teorema de Bolzano-Weierstrass).
Un subespacio K ⊂ X se dice compacto si (K, τ |K) es compacto o´ bien si
para todo recubrimiento abierto U = {Ui}i∈J de K, es decir t.q. K ⊂ ⋃i∈J Ui,
existe algu´n conjunto finito de ı´ndices F ⊂ J t.q. K ⊂ ⋃i∈F Ui.
5.2 Teorema Todo subespacio cerrado en un espacio compacto es compacto.
Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de K, como K es cerrado
es claro que U ′ = U ∪ {X − K} es un recubrimiento abierto de X. Como
X compacto, existira´ un subrecubrimiento finito {X − K,U1, ..., Un} de X,
entonces es claro que K ⊂ U1 ∪ · · ·Un y por tanto que K es compacto.
El rec´ıproco no es cierto en general: sea X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X} el
espacio de Sierpinski, entonces X y K = {a} son compactos por ser finitos
pero K no es cerrado en X.
5.3 Lema Sea X un e.t. Hausdorff, K compacto en X y x ∈ X−K. Entonces
existen abiertos U, V t.q. x ∈ U , K ⊂ V y U ∩ V = ∅.
Dem. Sea x ∈ X −K, si X es Hausdorff para todo y ∈ K existira´n abiertos
disjuntos Uyx , Vy t.q. x ∈ Uyx y y ∈ Vy. Es claro que {Vy}y∈K es un recubrimiento
abierto deK y por serK compacto existira´ un subrecubrimiento finito, es decir
K ⊂ Vy1∪· · ·∪Vyn . Definimos U = Uy1x ∩· · ·∩Uynx y V = Vy1∪· · ·Vyn , entonces
U, V abiertos, x ∈ U , K ⊂ V y U ∩ V = ∅ (en efecto, U ∩ Vyk ⊂ Uykx ∩ Vyk = ∅
para 1 ≤ k ≤ n, por tanto U ∩ V = (U ∩ Vy1) ∪ · · · ∪ (U ∩ Vyn) = ∅).
5.4 Corolario En un espacio Hausdorff todo subespacio compacto es cerrado.
Dem. Sea X Hausdorff y K un subespacio compacto de X, si x ∈ X − K
por 5.3 existira´n U, V abiertos disjuntos t.q. x ∈ U y K ⊂ V . En particular
x ∈ U ⊂ X−V ⊂ X−K, es decir X−K es abierto y por tanto K es cerrado.
5.5 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff y K1, K2 dos subespacios compactos y
disjuntos. Entonces existen abiertos U, V t.q. K1 ∈ U , K2 ⊂ V y U ∩ V = ∅.
Dem. Por 5.3, para todo y ∈ K2 existira´n abiertos Uy, Vy t.q. y ∈ Uy, K1 ⊂ Vy
18
y Uy∩Vy = ∅. Notar que {Uy}y∈K2 es un recubrimiento abierto de K2 y por ser
K2 compacto existira´ un subrecubrimiento finito, es decir K2 ⊂ Uy1∪· · ·∪Uym .
Sean U = Uy1∪· · ·∪Uym y V = Vy1∩· · ·∩Vym , es claro que U y V son abiertos
t.q. K1 ⊂ U , K2 ⊂ V y, como en 5.3, es fa´cil probar que U ∩ V = ∅.
Una consecuencia inmediata de 5.5 es el siguiente resultado
5.6 Corolario Todo espacio compacto y Hausdorff es un T4-espacio.
Ejercicio 24 Sea A = {an}n∈N una sucesio´n de puntos en un e.t. X que
converge a un punto a ∈ X. Probar que K = A ∪ {a} es compacto.
Ejercicio 25 Sea X un e.t. Hausdorff y A ⊂ X un subespacio compacto.
Probar que el derivado A′ tambie´n es compacto.
Ejercicio 26 Sea {Ki}ni=1 una familia finita de subespacios compactos de un
e.t. X. Probar que la unio´n K = K1 ∪ · · · ∪Kn es un compacto.
5.7 Proposicio´n Sea X compacto y f : X −→ Y una aplicacio´n continua,
entonces f(X) es compacto. Si adema´s Y es Hausdorff entonces f es cerrada.
Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de f(X), como f continua se
sigue que {f−1(Ui)}i∈J es un recubrimiento abierto de X y siendo X compacto
existira´ un conjunto finito F ⊂ J t.q. X = ⋃i∈F f−1(Ui), entonces f(X) =
f(
⋃
i∈F f−1(Ui)) =
⋃
i∈F ff−1(Ui) ⊆
⋃
i∈F (Ui), por tanto f(X) compacto. Sea
C cerrado en X, entonces C es compacto y tambie´n f(C) compacto, por tanto
cerrado cuando Y es Hausdorff. Concluimos que f es una aplicacio´n cerrada.
Se sigue inmediatamente un importante resultado
5.8 Corolario Toda biyeccio´n continua de un espacio compacto en un espacio
Hausdorff es un homeomorfismo.
Es tambie´n inmediato probar (ver 3.5)
5.9 Corolario Si f : X −→ Y es una identificacio´n, h : X −→ Z continua
y constante sobre las fibras f−1(y), X compacto, Z Hausdorff y g : Y −→ Z,
dada por g(y) = hf−1(y), es biyectiva entonces g es un homeomorfismo.
5.10 Teorema Si Y es compacto, entonces la proyeccio´n pX : X × Y −→ X
es una aplicacio´n cerrada.
Dem. Sea C cerrado en X × Y y vamos a probar que X − pX(C) es abierto.
Si x ∈ X − pX(C) es claro que {x} × Y ∩ C = ∅, luego (x, y) ∈ X × Y − C
para todo y ∈ Y . Como X × Y −C es abierto, existira´n abiertos Uyx y Vy t.q.
x ∈ Uyx , y ∈ Vy y (x, y) ∈ Uyx ×Vy ⊂ X ×Y −C. Es claro que {Uyx ×Vy}y∈Y es
un recubrimiento abierto de {x} × Y y siendo este u´ltimo compacto, por ser
19
homeomorfo a Y , admitira´ un subrecubrimiento finito {Uy1x ×Vy1 , ..., Uynx ×Vyn}.
Entonces U = Uy1x ∩ ... ∩ Uynx es un abierto t.q. x ∈ U ⊂ X − pX(C), ya que
U∩pX(C) = ∅. Concluimos que X−pX(C) es abierto, luego pX(C) es cerrado.
5.11 Corolario Sea Y compacto, A ⊂ X y U un abierto en X × Y t.q.
A× Y ⊂ U , entonces existe un abierto V en X t.q. A× Y ⊂ V × Y ⊂ U .
Dem. Como p−1X (A) = A × Y y pX es cerrada, se sigue de (4.11) que existe
V abierto en X t.q. A ⊂ V y V × Y = p−1X (V ) ⊂ U .
5.12 Corolario Sea Y un e.t. compacto y Hausdorff, entonces f : X −→ Y
es continua si y so´lo si su grafo Γf es cerrado en X × Y .
Dem. Sea C cerrado en Y , si Γf es cerrado entonces p
−1
Y (C)∩Γf = X×C∩Γf
sera´ cerrado en X×Y . Notar que pX(X×C ∩Γf ) = {x|f(x) ∈ C} = f−1(C),
como pX cerrada se sigue que f
−1(C) es cerrado y por tanto que f es continua.
Para el rec´ıproco ver Ej.19
5.13 Teorema Un producto finito de espacios es compacto si y so´lo si lo son
cada uno de sus factores.
Dem. Sea X×Y es compacto, entonces por (5.7) tambie´n X, Y son compactos
ya que pX y pY son continuas. Rec´ıprocamente, sean X, Y compactos y sea
U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de X × Y . Dado x ∈ X es claro que
{x} × Y es compacto, ya que es homeomorfo a Y , entonces {x} × Y admite
un subrecubrimiento finito {U1, ..., Un}. Sea Ux = U1 ∪ · · · ∪ Un, por (5.11)
existira´ un abierto Vx t.q. {x} × Y ⊂ Vx × Y ⊂ Ux. Como X es compacto y
X =
⋃
x∈X Vx, admitira´ un subrecubrimiento finito {Vx1, ..., Vxk}, entonces es
claro que {Vx1 × Y, ..., Vxk × Y } es un recubrimiento abierto de X × Y , pero
Vxi × Y ⊂ Uxi y cada Uxi es unio´n finita de miembros de U , luego X × Y
compacto. Por induccio´n lo podemos extender a cualquier producto finito.
Este u´ltimo resultado se extiende tambie´n al caso infinito (Dugundji, 224)
Teorema de Tychonoff Dada una familia arbitraria {Xi}i∈J entonces el
producto
∏
i∈J Xi es compacto si y so´lo si Xi es compacto para todo i ∈ J .
Espacios me´tricos compactos
5.14 Lema Sea R con la topolog´ıa usual, todo intervalo cerrado [a, b] ⊂ R es
compacto y K ⊂ R es compacto si y so´lo si es cerrado y acotado.
Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de [a, b] y sea c el supremo
de los x ∈ [a, b] t.q. [a, x] ⊂ U1∪ · · · ∪Un, para algu´n nu´mero finito de Ui ∈ U .
Supongamos que c < b y sea U0 ∈ U t.q. c ∈ U0, claramente existira´ ε con
0 < ε < b − c t.q. [c − ε, c + ε] ⊂ U0. Como [a, c − ε] se puede recubrir
20
con un nu´mero finito de abiertos {U1, ..., Un} ⊂ U es claro que [a, c + ε] se
podra´ recubrir con {U0, U1, ..., Un}, lo cual contradice que c sea el supremo.
Entonces necesariamente c = b y por tanto [a, b] es compacto. Sea K un
subespacio compacto, como (R, τU) es Hausdorff, se sigue que K es cerrado.
Es claro que U = {(−n, n)}n∈N es un recubrimiento abierto de K, por tanto
existira´ n0 ∈ N t.q. K ⊂ (−n0, n0), luego K esta´ acotado. Rec´ıprocamente,
supongamos que K es cerrado y acotado, por ser K acotado existira´n a, b ∈ R
t.q. K ⊂ [a, b], si K es cerrado en R tambie´n sera´ cerrado en [a, b] y siendo
este u´ltimo compacto se sigue por (5.2) que K es compacto.
Claramente K ⊂ Rn es acotado si y so´lo si existen ai, bi ∈ R, para 1 ≤ i ≤ n,
t.q. K ⊂ [a1, b1]× · · · × [an, bn].
5.15 Teorema de Heine-Borel Un subespacio K ⊂ Rn es compacto si y
so´lo si es cerrado y acotado.
Dem. Notar que Rn no es compacto (en otro caso, por (5.13) tambie´n lo
tendr´ıa que ser R). Sea K ⊂ Rn compacto, como Rn es Hausdorff se sigue que
K es cerrado. Por otra parte, pi(K) sera´ compacto en R, para todo 1 ≤ i ≤ n,
luego pi(K) ⊂ [ai, bi], para algu´n ai, bi ∈ R, entoncesK ⊂ [a1, b1]×· · ·×[an, bn]
y por tanto K esta´ acotado. Rec´ıprocamente, sea K cerrado y acotado, por ser
acotado es claro que K ⊂ [a1, b1]×· · ·× [an, bn], y siendo este u´ltimo compacto
y K cerrado, se sigue por (5.2) que K tambie´n es compacto.
Sea (E, d) un espacio me´trico y A ⊂ E, definimos el dia´metro de A como
d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} y diremos que A esta´ acotado si d(A) <∞. Una
funcio´n continua f : X −→ E se dira´ acotada si existe un nu´mero real M ≥ 0
t.q. d(f(X)) ≤M , es decir si f(X) es un subespacio acotado de E.
5.16 Corolario Sea X un e.t. compacto y f : X −→ R una aplicacio´n
continua, entonces f esta´ acotada y alcanza sus cotas.
Dem. Sean m = inf{f(x)|x ∈ X} y M = sup{f(x)|x ∈ X}, claramente m
y M son puntos de acumulacio´n de f(X), es decir m,M ∈ f(X). Entonces
X compacto implica f(X) compacto en R, por tanto cerrado y acotado. En
particular m,M ∈ f(X), es decir ∃ x0, y0 ∈ X t.q. f(x0) = m y f(y0) =M .
5.17 Lema de Lebesgue Sea (E, d) un espacio me´trico compacto y U =
{Ui}i∈J un recubrimiento abierto de E, entonces existe ρ > 0 t.q. toda bola
B(x, ρ) = {y ∈ E|d(x, y) < ρ} esta´ contenida en algu´n Ui ∈ U (llamaremos a
ρ el nu´mero de Lebesgue del recubrimiento U).
Dem. Dado xi ∈ E existe Ui ∈ U t.q. xi ∈ Ui y como las bolas forman
base de la topolog´ıa inducida por la me´trica, existe ri > 0 t.q. B(xi, ri) ⊂
Ui. Notar que {B(xi, ri/2)}xi∈E es un recubrimiento abierto de E y como
E compacto existira´ un subrecubrimiento finito {B(x1, r1/2), ..., B(xn, rn/2)},
21
entonces dado x ∈ E se sigue que x ∈ B(xi, ri/2) para algu´n i ∈ {1, 2, .., n}.
Denotamos ρ = min{r1/2, ..., rn/2}, entonces si z ∈ B(x, ρ) se tiene
d(z, xi) ≤ d(z, x) + d(x, xi) < ρ+ ri
2
≤ ri
luego z ∈ B(xi, ri) y por tanto B(x, ρ) ⊂ B(xi, ri) ⊂ Ui.
Ejercicio 27 Probar que Sn−1 = {x ∈ Rn|‖x‖ = 1} es compacto en Rn.
Ejercicio 28 Sea H2 = S2∩{(x, y, z)|z ≥ 0} ⊂ R3 el hemisferio norte. Probar
que H2 es compacto y si D2 = {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 ≤ 1} es el disco unidad en
R2, entonces h : H2 −→ D2 dada por h(x, y, z) = (x, y) es homeomorfismo.
Ejercicio 29 Sea A = [0, 1) ⊂ R, B = {(x, y) ∈ R2|y = x2, x ≥ 0} ⊂ R2
y C = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1, x ≥ 0} ⊂ R2. Probar que A y B son
homeomorfos pero ninguno de ellos es homeomorfo a C.
Espacios localmente compactos
Un subespacio A de un e.t.X se dice relativamente compacto si su clausura
A es compacta. Un e.t. X se dice localmente compacto si todo punto de X
tiene un entorno abierto relativamente compacto.
Ejemplos (1) Todo espacio compacto es localmente compacto. (2) El espacio
eucl´ıdeo Rn es localmente compacto para todo n ≥ 1. (3) Todo espacio infinito
y discreto es localmente compacto. La recta racional Q y la recta irracional
R−Q no son localmente compactos.
5.18 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff, entonces son equivalentes:
(1) X es localmente compacto.
(2) Para todo x ∈ X y todo abierto U t.q. x ∈ U , existe un abierto V
relativamente compacto t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U .
(3) Para todo subespacio compacto K y todo abierto U ⊃ K, existe un
abierto V relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U .
(4) X tiene una base que consiste en abiertos relativamente compactos.
Dem. Sea x ∈ X y U abierto en X t.q. x ∈ U . Si X localmente compacto, x
admitira´ un entorno W relativamente compacto. Por (5.6), notar que W es
un T4-espacio y en particular sera´ regular, como U∩W es un abierto enW t.q.
x ∈ U ∩W , por (4.9) existira´ A abierto en W t.q. x ∈ A ⊂ ClW (A) ⊂ U ∩W .
Notar que A = B∩W con B abierto en X, definimos entonces V = B∩W y es
claro que x ∈ V ⊂ V ⊂ U , luego hemos probado que (1) =⇒ (2). Supongamos
cierto (2) y seanK compacto y U abierto t.q.K ⊂ U , para cada x ∈ K existira´
un abierto Vx relativamente compacto t.q. x ∈ Vx ⊂ Vx ⊂ U . Es claro que
{Vx}x∈K es un recubrimiento abierto de K y siendo K compacto existira´ un
22
subrecubrimiento finito {Vx1 , ..., Vxn}. Definimos V = Vx1 ∪ · · · ∪Vxn , entonces
es claro que V es un abierto relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U (en
efecto, V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn , compacto por ser unio´n finita
de compactos) por tanto (2) =⇒ (3). Sea B = {V ∈ τ |V compacto}, como
K = {x} es compacto se sigue de (3) que B es una base, luego (3) =⇒ (4).
Finalmente, es evidente que (4) =⇒ (1)
5.19 Corolario Todo e.t. Hausdorff y localmente compacto es un T3-espacio.
Dem. Basta probar que X es regular, pero eso se sigue por (2) en (5.18).
Un subespacio A ⊂ X se dira´ localmente compacto si para todo x ∈ A existe
V abierto en X t.q. x ∈ V y V ∩ A es compacto.
5.20 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff. Si A ⊂ X es localmente compacto
entonces A = U ∩F , con U abierto y F cerrado. Si X es localmente compacto
y A = U ∩F , con U abierto y F cerrado, entonces A es localmente compacto.
Dem. Sea A localmente compacto, para todo x ∈ A existira´ Ux abierto en
X t.q. Ux ∩ A es compacto y por tanto cerrado, por ser X Hausdorff. Como
Ux ∩ A = Ux ∩ (Ux ∩ A), se sigue que Ux ∩ A es cerrado en Ux, para todo
x ∈ A, por tanto A es cerrado en U = ⋃x∈A Ux, es decir A = U ∩ F para
algu´n F cerrado en X. Supongamos ahora que X es localmente compacto y
sea A = U ∩ F con U abierto y F cerrado, para todo punto x ∈ A, como
x ∈ U existe un abierto relativamente compacto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U .
Entonces V ∩ A es un abierto en A t.q. V ∩ A = V ∩ (U ∩ F ) = V ∩ F sera´
cerrado en V y por tanto compacto, luego V ∩ A es relativamente compacto
y en consecuencia A es localmente compacto.
En particular, la propiedad de ser localmente compacto es hereditaria para los
abiertos y para los cerrados de un espacio localmente compacto.
Ejercicio 30 Sea X un e.t. Hausdorff y localmente compacto y sea D denso
en X, probar que entonces D es localmente compacto si y so´lo si es abierto.
5.21Teorema Sean X, Y dos e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicacio´n
continua, sobre y abierta. Si X es localmente compacto tambie´n lo es Y .
Dem. Notar que, en particular, f es una identificacio´n. Sea y ∈ Y y sea U un
abierto t.q. y ∈ U . Elegimos x ∈ f−1(y) ⊂ f−1(U), como f−1(U) es abierto y
X es localmente compacto existira´ un abierto V relativamente compacto t.q.
x ∈ V ⊂ V ⊂ f−1(U). Pero V compacto implica f(V ) compacto y por tanto
cerrado, ya que Y es Hausdorff, entonces f(V ) ⊂ f(V ) = f(V ), por otra parte
f continua implica f(V ) ⊂ f(V ), entonces f(V ) = f(V ) es compacto. Como
f es abierta se sigue que f(V ) es abierto, luego es un abierto relativamente
compacto t.q. y ∈ f(V ) ⊂ f(V ) ⊂ U . Por tanto Y es localmente compacto.
23
5.22 Teorema Dada una familia {Xi}i∈J de espacios Hausdorff, entonces∏
i∈J Xi es localmente compacto si y so´lo si cada Xi es localmente compacto
y todos los factores Xi, salvo un nu´mero finito, son compactos.
Dem. Sea
∏
Xi localmente compacto, como las proyecciones pk :
∏
Xi −→ Xk
son continuas, sobre y abiertas se sigue que Xk es localmente compacto para
todo k ∈ J . Adema´s, si V es un abierto relativamente compacto notar que
V =
∏
Vi t.q. Vi = Xi para todo i ∈ J − F , donde F ⊂ J es un conjunto
finito de ı´ndices, entonces Xi = pi(V ) ⊂ pi(V ) y por tanto Xi = pi(V ),
para todo i ∈ J − F , el cual es compacto por serlo V . Rec´ıprocamente, sea
Xi localmente compacto para todo i ∈ J , compacto para todo i ∈ J − F y
suponer F = {1, 2, ..., n}. Dado (xi) ∈ ∏Xi, para cada k ∈ F existe un abierto
Vk relativamente compacto t.q. xk ∈ Vk. Como ∏Vi = ∏Vi, por el teorema
de Tychonoff se sigue que V =
∏
Vi, con Vi = Xi para i > n, es un abierto
relativamente compacto t.q. (xi) ∈ V . Por tanto ∏Xi localmente compacto.
Compactacio´n de Alexandroff
Una compactacio´n o´ compactificacio´n de un e.t. X es un par (Y, h) donde
Y es un T2-espacio compacto y h : X −→ Y aplica X de manera homeomorfa
sobre un subespacio denso de Y (es decir, X ≈ h(X) denso en Y ).
Ejercicio 31 Probar que X es localmente compacto si y so´lo si h : X −→ Y
es abierta para toda compactificacio´n (Y, h) de X.
5.23 Teorema Un espacio X Hausdorff y localmente compacto se puede
incrustar en un espacio Hausdorff y compacto X̂ t.q. X̂ −X es un punto {p}.
Dem. Definimos X̂ = X
∐{p}, donde p es un punto ideal disjunto de X y sea
τ̂ = τ∪{X̂−K|K ⊂ Xcompacto}. Es fa´cil probar que τ̂ es una topolog´ıa sobre
X̂ y es claro que dos puntos distintos de X̂ se pueden separar por abiertos
disjuntos si ambos esta´n en X. Sea ahora x ∈ X y p = X̂ − X, como X
es localmente compacto existira´ U ∈ τ relativamente compacto t.q. x ∈ U ,
entonces X̂ − U ∈ τ̂ , p ∈ X̂ − U y es claro que U ∩ (X̂ − U) = ∅, por tanto
(X̂, τ̂) es Hausdorff. Finalmente, sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de
X̂ y sea U0 ∈ U un abierto conteniendo a p, entonces U0 = X̂ −K para algu´n
K compacto en X y si {U1, ..., Un} ⊂ U es un subrecubrimiento finito de K es
claro que {U0, U1, ..., Un} es un subrecubrimiento finito de X̂, por tanto (X̂, τ̂)
es compacto.
Sea i : X −→ X̂ la inclusio´n, notar que el par (X̂, i) es una compactacio´n
de X: en efecto, X ≈ i(X) y si U = X̂ − K es un abierto que contiene a p,
entonces U ∩ X 6= ∅, luego p ∈ X y por tanto X = X̂, es decir X es denso
en X̂. Tal compactacio´n (X̂, i) se dira´ compactacio´n a un punto o´ de
Alexandroff de X.
24
5.24 Teorema Sea Y un espacio Hausdorff y compacto, q ∈ Y un punto no
aislado y X = Y − {q}, entonces Y es homeomorfo a X̂. En particular, la
compactificacio´n de Alexandroff es u´nica salvo homeomorfismo.
Dem. Sea X = Y −{q} y f : X̂ −→ Y t.q. f |X = idX y f(p) = q, claramente f
es una biyeccio´n. Veamos que f es una aplicacio´n abierta o´ equivalentemente
que f−1 es continua: sea U ∈ τ̂ , si U ⊂ X entonces f(U) = U es abierto en
Y ya que X abierto en Y , si U = X̂ −K con K compacto es un abierto que
contiene a {p}, entonces f(U) = f(X̂ − K) = Y − f(K) = Y − K, ya que
K ⊂ X y f |X = idX , como todo compacto en un Hausdorff es cerrado se sigue
que f(U) es abierto. Entonces f−1 : Y −→ X̂ es una biyeccio´n continua de un
espacio compacto en un espacio Hausdorff, por tanto un homeomorfismo.
Ejercicio 32 Probar que R̂n ≈ Sn
6 CONEXIO´N
Sea X un e.t., llamaremos separacio´n de X a un par de abiertos {U, V } t.q.
U 6= ∅, V 6= ∅, U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V . Diremos que X es conexo si no
admite una separacio´n.
Ejemplo El espacio de Sierpinski es conexo. Espacios discretos con mas de un
punto, en particular S0 = Z2 = {0, 1}, no son conexos. Espacios indiscretos
son conexos. La recta racional Q no es conexa: U = (−∞,√2) ∩ Q y V =
(
√
2,+∞) ∩ Q es una separacio´n de Q. La recta de Sorgenfrey no es conexa:
en efecto, {(−∞, a), [a,+∞)} es una separacio´n de (R, τS).
6.1 Lema Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X es conexo.
(2) ∅ y X son los u´nicos que son simulta´neamente abiertos y cerrados en X.
(3) No existe aplicacio´n continua y sobre f : X −→ S0.
(4) Fr(B) 6= ∅ para todo B 6= ∅, X.
Dem. Si A 6= ∅, X es abierto y cerrado entonces {A,X−A} es una separacio´n
deX, luego (1) =⇒ (2). Supongamos que existe f : X −→ S0 continua y sobre,
entonces f−1(0) 6= ∅, X es abierto y cerrado en X, ya que {0} es abierto y
cerrado en S0, lo cual contradice (2), luego (2) =⇒ (3). Supongamos que X
no es conexo y sea {U, V } una separacio´n, entonces la funcio´n caracter´ıstica
cV : X −→ S0, dada por cV (x) = 0 si x ∈ U , cV (x) = 1 si x ∈ V , es continua y
sobre, contradiciendo (3), luegoX debe ser conexo y por tanto (3) =⇒ (1). Sea
B 6= ∅, X y supongamos que Fr(B) = ∅, como X = Int(B) ∪ Ext(B) ∪ Fr(B)
se sigue que {Int(B),Ext(B)} es una separacio´n de X, luego (1) =⇒ (4).
25
Rec´ıprocamente, supongamos X no conexo y sea {U, V } una separacio´n de
X, entonces Fr(U) = U ∩X − U = U ∩V = U ∩V = ∅, por tanto (4) =⇒ (1).
Ejercicio 34 Sean {U, V } una separacio´n de X y sea A un subespacio conexo
de X. Probar que entonces A ⊂ U o´ A ⊂ V .
6.2 Proposicio´n Sea f : X −→ Y una aplicacio´n continua, si X es conexo
entonces f(X) tambie´n es conexo.
Dem. Sea g : X −→ f(X) t.q. g(x) = f(x) la restriccio´n de f a su imagen,
entonces g es continua y sobre. Sea X conexo y supongamos que f(X) no lo
es, es decir supongamos que existe una aplicacio´n h : f(X) −→ S0 continua
y sobre, entonces la composicio´n hg : X −→ S0 tambie´n es continua y sobre,
contradiciendo que X sea conexo. Por tanto, necesariamente f(X) conexo.
En particular, la conexio´n es un invariante topolo´gico.
6.3 Proposicio´n Sea A un subespacio conexo de un e.t. X y sea B t.q.
A ⊆ B ⊆ A, entonces B y en particular A tambie´n son conexos.
Dem. Supongamos que existe una aplicacio´n continua f : B −→ S0 y vamos a
probar que f no puede ser sobre. Como A conexo, la restriccio´n f |A : A −→ S0
es continua, por tanto no puede ser sobre, supongamos f(A) = 0. Por otra
parte B ⊆ A y f continua implican f(B) ⊆ f(A) ⊆ f(A) = {0} = {0}, luego
f : B −→ S0 no es sobre. Por tanto B y A son tambie´n conexos.
Ejercicio 35 Sea C ⊂ X un subespacio conexo y A ⊂ X t.q. C ∩ A 6= ∅ y
C ∩ (X − A) 6= ∅. Probar que entonces C ∩ Fr(A) 6= ∅.
Ejercicio 36 Sea f : X −→ Y una identificacio´n t.q. las fibras f−1(y) son
conexas para todo y ∈ Y . Probar que un abierto (cerrado) B ⊂ Y es conexo
si y so´lo si f−1(B) es conexo. En particular para B = Y , se sigue que X es
conexo si y so´lo si lo es Y .
Ejercicio 37 Sea C un subespacio conexo de un e.t. conexo X. Si {U, V }
forman una separacio´n de X − C probar que C ∪ U y C ∪ V son conexos.
6.4 Teorema Sea C = {Ci}i∈J una familia de subespacios conexos de X y
supongamos que existe C0 ∈ C t.q. C0 ∩ Ci 6= ∅ para todo i ∈ J . Probar que
entonces C =
⋃
Ci es conexo.
Dem. Supongamos que C =
⋃
Ci no es conexo y sean U, V dos abiertos en C
no vac´ıos t.q. C = U ∪ V y U ∩ V = ∅, entonces para todo i ∈ J se tiene
queCi ⊂ U o´ bien Ci ⊂ V , ya que en otro caso {Ci ∩ U,Ci ∩ V } ser´ıa una
separacio´n del conexo Ci. Notar que si C0 ⊂ U , entonces tambie´n Ci ⊂ U para
todo i ∈ J (ya que si existe k ∈ J t.q. Ck ⊂ V entonces C0∩Ck ⊂ U ∩V = ∅),
26
y por tanto se tendr´ıa que V = ∅, lo cual es una contradiccio´n.
Ejercicio 38 Sea C = {Ci}i∈J una familia de subespacios conexos de X t.q.⋂
Ci 6= ∅. Probar que C = ⋃Ci es conexo.
Ejercicio 39 Sea {Cn}n∈N una familia de subespacios conexos de X tales que
Cn ∩ Cn+1 6= ∅ para todo n ∈ N. Probar que C = ⋃Cn es conexo.
6.5 Proposicio´n Un producto de e.t. es conexo si y so´lo si lo es cada factor.
Dem. Si X × Y es conexo entonces por (6.2) lo son X, Y ya que las proyec-
ciones son continuas. Rec´ıprocamente, supongamos que X,Y son conexos y
elegimos x0 ∈ X, entonces C0 = {x0} × Y es conexo por ser homeomorfo a
Y . Ana´logamente, Cy = X × {y} ≈ X son conexos para todo y ∈ Y . En-
tonces X × Y = ⋃y∈Y Cy ∪C0 y (6.4) implican que X × Y es conexo, ya que
C0 ∩ Cy = {(x0, y)} 6= ∅ para todo y ∈ Y . Por induccio´n, la proposicio´n se
sigue para un nu´mero finito de factores.
Tambie´n se satisface (6.5) para un nu´mero infinito de factores pero omitiremos
la demostracio´n por ser mucho ma´s compleja.
6.6 Teorema Sea R con la topolog´ıa usual y A ⊂ R un subespacio conteniendo
mas de un punto, entonces A es conexo si y so´lo si es un intervalo.
Dem. Sea A un subespacio conexo de R con ma´s de un punto y supongamos
que A no es un intervalo, es decir existen a, b ∈ A y c ∈ (a, b) t.q. c /∈ A,
entonces {A∩(−∞, c), A∩(c,+∞)} es una separacio´n de A lo cual contradice
que A es conexo, por tanto A debe ser un intervalo. Rec´ıprocamente, sea A
un intervalo en R y supongamos que {U, V } es una separacio´n de A, elegimos
a ∈ U , b ∈ V y si a < b definimos c = sup{x|[a, x) ⊂ U}, entonces c ≤ b y
por tanto c ∈ A, ya que A es un intervalo. Es claro que c ∈ ClAU y como U
es cerrado en A se sigue que c ∈ U , por otra parte U tambie´n es abierto en
A, luego existira´ ε > 0 t.q. (c− ε, c+ ε) ⊂ U , lo cual contradice que c sea un
supremo. Por tanto A no admite una separacio´n y en consecuencia es conexo.
Una consecuencia de (6.6) es el siguiente resultado conocido como elTeorema
del valor intermedio
6.7 Corolario Sea X conexo y f : X −→ R una aplicacio´n continua, si
a, b ∈ f(X) y c ∈ R es t.q. a < c < b, entonces existe x ∈ X t.q. f(x) = c.
Dem. Por (6.2) y (6.6) se sigue que f(X) es un intervalo, luego si a, b ∈ f(X)
es claro que (a, b) ⊂ f(X), entonces si c ∈ (a, b) existira´ x ∈ X t.q. f(x) = c.
Ejercicio 40 Probar que I = [0, 1] es conexo.
Ejercicio 41 Probar que Rn es conexo para todo n ≥ 1.
27
Ejercicio 42 Si X e Y son conexos y A ⊂ X, B ⊂ Y son subespacios propios,
probar que X × Y − A×B es conexo.
Ejercicio 43 Probar que Rn − {0} es conexo para todo n ≥ 2.
Ejercicio 44 Probar que R y Rn no son homeomorfos si n 6= 1.
Ejercicio 45 Probar que todo intervalo abierto, semiabierto o´ cerrado en R
es homeomorfo, respectivamente, a (−1, 1), (−1, 1] o´ [−1, 1]. Probar tambie´n
que estos intervalos no son homeomorfos entre si.
Ejercicio 46 Sea I = [0, 1] y f : I −→ I una aplicacio´n continua, probar que
f tiene un punto fijo (es decir, que existe x ∈ I t.q. f(x) = x).
Ejercicio 47 Sea n ≥ 2 y Sn−1 = {x ∈ Rn|‖x‖ = 1} la esfera unidad. Probar
que Sn−1 es conexo y que Rn − Sn−1 no lo es.
Ejercicio 48 Probar que A = {(x, y) ∈ R2|y > x2 + 1} es conexo.
Ejercicio 49 Sea p ∈ S1, probar que S1 − {p} es conexo y deducir que S1 no
es homeomorfo a R.
Ejercicio 50 Sea X un conjunto infinito con la topolog´ıa cofinita, notar que
τCF tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X} y es por tanto la menor
topolog´ıa que hace de X un T1-espacio. Probar que (X, τCF ) es conexo.
Ejercicio Sea (X, τCF ) un e.t. infinito con la topolog´ıa co-finita, probar que
los conjuntos {x, y} no son conexos.
Solucio´n Si B = {x, y} es claro que {x} = (X − {y}) ∩ B y ana´logamente
{y} = (X − {x}) ∩B. Como X − {y}, X − {x} ∈ τCF se sigue que {x} e {y}
son abiertos en B, es decir la topolog´ıa inducida en B = {x, y} es la discreta,
por tanto B no es conexo.
Ejercicio Sean A y B dos subespacios conexos de un e.t. X t.q. A ∩ B 6= ∅.
Probar que A ∪B es conexo.
Solucio´n Sea x ∈ A ∩ B, como A ⊂ A ∪ {x} ⊂ A, se sigue por (6.3) que
A ∪ {x} es tambie´n conexo. Como x ∈ (A ∪ {x}) ∩ B 6= ∅ se sigue de (6.4)
que A ∪B = A ∪ {x} ∪B es conexo.
Componentes conexas
Dado x ∈ X, llamaremos componente conexa C(x) de x a la unio´n de todos
los subespacios conexos de X que contienen a x. Claramente X es conexo si
y so´lo si C(x) = X para todo x ∈ X
28
Ejemplo En espacios discretos las componentes de un punto se reducen a
dicho punto. La recta racional Q con la topolog´ıa inducida por la de R no es
un espacio discreto, pero tambie´n en este caso C(x) = {x} para todo x ∈ Q.
Espacios con esta u´ltima propiedad se dicen totalmente inconexos.
Ejercicio 51 Probar las siguientes afirmaciones:
(1) Cada componente C(x) es un conexo maximal en X.
(2) El conjunto de las componentes forman una particio´n de X.
(3) Toda componente conexa es cerrada.
(4) Sea f : X −→ Y continua, entonces f [C(x)] ⊂ C(f(x)).
(5) El nu´mero de componentes conexas de un e.t. es un invariante topolo´gico.
(6) Sea X = X1× · · · ×Xn y x = (x1, ..., xn) ∈ X, entonces C(x) = ∏C(xi).
Ejercicio Sea R con la topolog´ıa usual y Q con la topolog´ıa inducida, probar
que una aplicacio´n f : R −→ Q es continua s´ı y so´lo s´ı es constante.
Solucio´n Si f continua entonces f(R) es conexo por serlo R. Si x0 ∈ f(R) se
sigue que f(R) ⊂ C(x0), peroQ es totalmente inconexo, es decir C(x0) = {x0},
luego f(R) = {x0} y por tanto f es constante. El rec´ıproco es obvio ya que
toda aplicacio´n constante es continua.
Ejercicio Probar que un e.t. X es conexo si y so´lo si para todo par de puntos
x, y ∈ X existe un subespacio conexo A(x, y) ⊂ X t.q. x, y ∈ A(x, y).
Solucio´n 1 Si X es conexo basta tomar A(x, y) = X. Rec´ıprocamente, fijamos
x ∈ X, entonces los subespacios {A(x, y)}y∈X son conexos y tienen interseccio´n
no vac´ıa x ∈ ∩y∈XA(x, y) 6= ∅. Por (6.4) se sigue que la unio´n ∪y∈XA(x, y) es
conexo, pero notar que ∪y∈XA(x, y) = X.
Solucio´n 2 Fijamos x ∈ X, como la componente conexa C(x) es la unio´n
de todos los conexos que contienen a x, en particular A(x, y) ⊂ C(x), para
todo y ∈ X, luego ∪y∈XA(x, y) ⊂ C(x). Pero ∪y∈XA(x, y) = X y por tanto
X = C(x), concluimos que X es conexo.
Ejercicio SeaX = {x, y, z} con la topolog´ıa τ = {∅, {x}, {z}, {x, y}, {x, z}, X}.
¿EsX conexo? ¿Son A = {x, y},B = {y, z} y C = {x, z} subespacios conexos?
Hallar las componentes conexas de cada punto, C(x), C(y) y C(z)
Solucio´n: X no es conexo ya que {z} = X − {x, y} es abierto y cerrado. Sean
τA, τB, τC las topolog´ıas inducidas por τ en A,B y C respectivamente. En-
tonces τA = {∅, {x}, A} luego A conexo ya que los u´nicos subespacios abiertos
y cerrados en A son el vac´ıo y el total, τB = {∅, {y}, {z}, B} luego B no conexo
ya que τB es la topolog´ıa discreta, τC = {∅, {x}, {z}, C} por tanto C es no
conexo pues τC es la topolog´ıa discreta. Como la componente de un punto es el
mayor conexo que lo contiene se sigue que C(x) = A, C(y) = A y C(z) = {z}.
29
Espacios localmente conexos
Un espacio topolo´gico (X, τX) se dice localmente conexo si su topolog´ıa τX
tiene una base formada por abiertos conexos.
Ejemplos (1) Como las bolas B(x, r) ⊂ Rn son conexas, Rn es localmente
conexo. (2) Espacios discretos con ma´s de un punto son localmente conexos
pero no son conexos. (3) Un espacio puede ser conexo y no localmente conexo:
en efecto, si X ⊂ R2 es el espacio que consta de los segmentos que unen el
origen 0 con los puntos del conjunto {(1, 1/n)|n ∈ N} junto con el segmento
(1/2, 1] en el eje
−→
0x, entonces X es conexo mientras que X−{0} no lo es y las
componentes de cada punto es el rayo que lo contiene. Si p ≡ (3/4, 0)∈ X y
U es un abierto que contiene a p, entonces U = B(p, ε)∩X para algu´n ε > 0.
Es claro que U no es conexo, ya que la interseccio´n de U con el segmento que
une el origen 0 con el punto q ≡ (1, 1/n) es a la vez abierto y cerrado en U .
Llamaremos componente de B ⊂ X a un conexo maximal contenido en B.
6.8 Teorema Un e.t. X es localmente conexo si y so´lo si toda componente
de todo abierto en X es abierta.
Dem. Sea C una componente de un abierto U y x ∈ C, como X es localmente
conexo existira´ un abierto conexo V t.q. x ∈ V ⊂ U , entonces x ∈ V ⊂ C y
por tanto C abierto. Rec´ıprocamente, si toda componente de todo abierto U es
abierta es claro que la familia de todas las componentes de todos los abiertos
de X forman una base para su topolog´ıa, luego X es localmente conexo.
En particular las componentes de un espacio localmente conexo son a la vez
abiertas y cerradas, entonces se sigue fa´cilmente
6.9 Corolario Un espacio compacto y localmente conexo tiene a lo ma´s un
nu´mero finito de componentes.
Ejemplo En general, la imagen de un e.t. localmente conexo no es localmente
conexo: Sea X = {0} ∪ N y Y = {0} ∪ {1/n|n ∈ N} como subespacios de R.
Definimos f : X −→ Y t.q. f(0) = 0 y f(n) = 1/n. Como X es discreto f es
continua y sobre, adema´s X es localmente conexo pero Y no lo es.
Pero la propiedad ”localmente conexo” s´ı se conserva en cocientes
6.10 Teorema Sea X localmente conexo y f : X −→ Y una identificacio´n,
entonces tambie´n Y es localmente conexo.
Dem. Sea U abierto en Y y C una componente de U , por (6.8) bastara´ probar
que C es abierto. Como f es una identificacio´n, es decir τY = τ(f), notar que
C es abierto en Y s´ı y so´lo si f−1(C) es abierto enX. Sea pues x ∈ f−1(C) y Cx
30
la componente de x en el abierto f−1(U), entonces f(Cx) conexo y f(Cx) ⊂ U
implican f(Cx) ⊂ C, ya que C maximal. Por tanto x ∈ Cx ⊂ f−1(C) y como
Cx es abierto se sigue que f
−1(C) es abierto y concluimos que C es abierto.
La propiedad ”localmente conexo” tambie´n se conserva en productos finitos.
Ma´s generalmente se tiene
6.11 Teorema Un producto
∏
Xi es localmente conexo si y so´lo si todo factor
es localmente conexo y todo factor, salvo un nu´mero finito, es conexo.
Dem. Sea
∏
Xi localmente conexo, las proyecciones pk :
∏
Xi −→ Xk son
continuas, sobre y abiertas por tanto son identificaciones y se sigue de (6.10)
que Xk es localmente conexo para todo k ∈ J . Adema´s, sea (xi) ∈ ∏Xi y U
un abierto conexo t.q. (xi) ∈ U , entonces U = ∏Ui con Ui = Xi para todo
i ∈ J − F , donde F es un conjunto finito de ı´ndices, por tanto Xi = pi(U)
es conexo para todo i ∈ J − F . Rec´ıprocamente, sea Xi localmente conexo
para todo i ∈ J y conexo para todo i ∈ J − F1, dado (xi) ∈ ∏Xi y U = ∏Ui
un abierto t.q. (xi) ∈ U , notar que Ui = Xi para todo i ∈ J − F2, entonces
existen abiertos conexos Vk t.q. xk ∈ Vk ⊂ Uk para todo k ∈ F1∪F2. Definimos
V =
∏
Vi, con Vi = Xi para todo i ∈ J − {F1 ∪ F2}, entonces por (6.5) se
sigue que V es un abierto conexo y es claro que (xi) ∈ V ⊂ U .
Ejercicio 52 Sea X un espacio localmente conexo, y sea C la componente
conexa de un abierto U de X. Probar que U ∩ Fr(C) = ∅.
Ejercicio 53 Sea X localmente conexo, A ⊂ X y C una componente de A.
Probar: (1) Int(C) = C ∩ Int(A). (2) Si A es cerrado, Fr(C) = C ∩ Fr(A).
Ejercicio 54 Sean A y B subespacios localmente conexos de un e.t. X, probar
que entonces A∩B es localmente conexo. Si adema´s A y B son cerrados, probar
que A ∪B es tambie´n localmente conexo.
Ejercicio 55 Sean A y B cerrados enX t.q.X = A∪B y A∩B son localmente
conexos. Probar que entonces A y B son tambie´n localmente conexos.
Conexio´n por caminos
A lo largo de esta seccio´n denotaremos por I al intervalo cerrado [0, 1] con la
topolog´ıa usual. Dados x, y ∈ X llamaremos camino en X juntando a x con
y a una aplicacio´n continua γ : I −→ X t.q. γ(0) = x, γ(1) = y. Diremos
que X es conexo por caminos o´ arcoconexo si todo par de puntos en X
pueden juntarse por un camino.
Ejemplos (1) El espacio de Sierpinski es arcoconexo. (2) Espacios indiscretos
son arcoconexos mientras que espacios discretos con ma´s de un punto no lo
son. (3) Rn y Sn son arcoconexos.
31
Ejercicio 56 Definimos una relacio´n sobre X como sigue: x ∼ y si y so´lo si
existe un camino en X juntando a x con y. Probar que dicha relacio´n es de
equivalencia. Llamaremos arcocomponente de x a la clase de equivalencia
Cx = {y ∈ X|y ∼ x} y es el mayor subespacio arcoconexo que contiene a x. El
conjunto de las arcocomponentes X/ ∼ se denota usualmente por pi0(X).
Ejercicio 57 Fijado x0 ∈ X, probar que si todo punto de X puede juntarse
con x0, entonces X es arcoconexo.
6.12 Lema Todo espacio arcoconexo es conexo.
Dem. Sea X arcoconexo y x0 ∈ X, entonces para todo x ∈ X existe un camino
γx : I −→ X t.q. γx(0) = x0 y γx(1) = x. Como I conexo y γx continua se
sigue que γx(I) conexo y es claro que x0 ∈ γx(I) para todo x ∈ X, luego⋂
x∈X γx(I) 6= ∅. El lema se sigue por (6.4) ya que X =
⋃
x∈X γx(I).
El rec´ıproco no es cierto
Ejemplo Si C = Γf siendo f : (0, 1] −→ R t.q. f(x) = sin 1/x, entonces
C = C ∪ {(0, y)| − 1 ≤ y ≤ 1} es conexo. Sin embargo C no es arcoconexo ya
que no existe ningu´n camino juntando el origen 0 con p ≡ (1/pi, 0).
Un subespacio A ⊂ X es arcoconexo si todo par de puntos en A pueden
juntarse por un camino γ totalmente contenido en A (es decir, γ(I) ⊂ A).
Diremos que un e.t. X es localmente arcoconexo si cada punto tiene una
base de entornos arcoconexos.
6.13 Lema Un e.t. es localmente arcoconexo si y so´lo si sus arcocomponentes
son abiertas (y por tanto tambie´n cerradas).
Dem. Suponer X localmente arcoconexo y sea Cx la arcocomponente de x,
si U es un abierto arcoconexo t.q. x ∈ U entonces es claro que x ∈ U ⊂ Cx
ya que Cx maximal, luego Cx abierto. Como el conjunto de arcocomponentes
{Cx} definen una particio´n de X, toda arcocomponente es el complementario
de una unio´n de arcocomponentes, por tanto el complementario de un abierto,
luego toda arcocomponente es tambie´n cerrada. El rec´ıproco es obvio.
6.14 Teorema Un e.t. es arcoconexo⇐⇒ es conexo y localmente arcoconexo.
Dem. Si X es arcoconexo entonces es conexo por (6.12) y el propio X sirve
como entorno arcoconexo de todo x ∈ X, luego X es tambie´n localmente
arcoconexo. Rec´ıprocamente, sea X conexo y localmente arcoconexo entonces
la arcocomponente Cx de x es abierta, cerrada y no vac´ıa, como X conexo se
sigue que Cx = X y por tanto X arcoconexo.
En particular todo abierto y conexo en Rn o´ en Sn es arcoconexo.
32
Ejercicio 58 Sea X localmente arcoconexo, probar que la arcocomponente
Cx coincide con la componente C(x) de todo punto x ∈ X.
La relacio´n de Homotop´ıa
Dado un e.t. X llamaremos cilindro de X al producto X × I y cono de X al
cociente CX = X × I/X × {1}. Podemos identificar X con la base del cono
X × {0} y denotamos por i : X −→ CX, dada por i(x) = (x, 0), la inclusio´n.
Dadas dos aplicaciones continuas f, g : X −→ Y , llamaremos homotop´ıa
de f a g a una aplicacio´n continua H : X × I −→ Y t.q. H(x, 0) = f(x)
y H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Si tal aplicacio´n existe diremos que f y
g son homo´topas y lo denotaremos f ' g. La homotop´ıa esta´ estrechamente
relacionada a la conexio´n por caminos: si H es una homotop´ıa de f a g,
entonces notar que γx = H(x,−) : I −→ Y es un camino en Y de f(x) a g(x).
6.15 Proposicio´n La relacio´n de homotop´ıa es de equivalencia en el conjunto
C(X, Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y .
Dem. La relacio´n es reflexiva: dada f : X −→ Y , es claro que H : X×I −→ Y
dada por H(x, t) = f(x) para todo t ∈ I (homotop´ıa esta´tica) es continua
y por tanto f ' f . La relacio´n es sime´trica: dadas f, g : X −→ Y y H una
homotop´ıa de f a g, es claro queG : X×I −→ Y dada porG(x, t) = H(x, 1−t)
es una homotop´ıa de g a f . La relacio´n es transitiva: dadas f, g, h : X −→ Y
y homotop´ıas