Fundamentos lista 1

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Universidade Federal da Bahia
Fundamentos I
Prof. Oscar Ocampo
1o Semestre de 2016
LISTA DE EXERCI´CIOS 1
12/07/2016
1. Seja P = {1, 2, 3, . . .} o conjunto formado pelos nu´meros inteiros positivos. Liste os
elementos dos seguintes conjuntos:
(a) A = {x | x ∈ P , 3 < x < 12},
(b) B = {x | x ∈ P , x e´ par, x < 15},
(c) C = {x | x ∈ P , 4 + x = 3},
(d) D = {x | x ∈ P , x e´ um mu´ltiplo de 5}.
2. Consideremos os seguintes conjuntos: ∅, A = {1}, B = {1, 3},
C = {1, 5, 9}, D = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {1, 3, 5, 7, 9}, U = {1, 2, . . . , 8, 9}.
Determine o s´ımbolo correto ⊆ ou 6⊆ em cada par de conjuntos:
(a) ∅, A
(b) A,B
(c) B,C
(d) B,E
(e) C,D
(f) C,E
(g) D,E
(h) D,U
3. Mostre que A = {2, 3, 4, 5} na˜o e´ um subconjunto de
B = {x | x ∈ P , x e´ par}.
4. Determine se (ou na˜o) cada um dos seguintes conjuntos e´ o conjunto vazio.
(a) X = {x | x2 = 9, 2x = 4},
(b) Y = {x | x 6= x},
(c) Z = {x | x+ 8 = 8}.
5. Consideremos o conjunto universal U = {1, 2, . . . , 9} e os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5},
B = {4, 5, 6, 7} C = {5, 6, 7, 8, 9}, D = {1, 3, 5, 7, 9}, E = {2, 4, 6, 8} e F = {1, 5, 9}.
(a) Especifique os seguintes conjuntos:
i. A ∪B e A ∩B,
ii. B ∪D e B ∩D,
iii. A ∪ C e A ∩ C,
iv. D ∪ E e D ∩ E,
v. E ∪ E e E ∩ E,
vi. D ∪ F e D ∩ F .
(b) Especifique os seguintes conjuntos:
i. Ac, Bc, Dc, Ec;
ii. Uc, ∅c.
(c) Especifique os seguintes conjuntos:
i. A \B, B \ A, D \ E, F \D;
ii. A4B, C4D, E4F .
(d) Especifique os seguintes conjuntos:
i. A ∩ (B ∪ E),
ii. (A \B)c,
iii. (A ∩D) \B,
iv. (B ∩ F ) ∪ (C ∩ E).
6. Ilustre a lei de DeMorgan (A ∪B)c = Ac ∩Bc usando diagramas de Venn.
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7. Ilustre a lei distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) usando diagramas de Venn.
8. Suponhamos que A e D sejam afirmac¸o˜es verdadeiras e que B e C sejam afirmac¸o˜es falsas.
Quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras? Quais sa˜o falsas?
(a) A ∨ C.
(b) (C ∧D) ∨B.
(c) ¬(A ∧B).
(d) ¬D ∨ ¬C.
(e) (D ∧ A) ∨ (B ∧ C).
(f) C ∨ [D ∨ (A ∧B)].
9. Escreva a tabela de verdade das seguintes afirmac¸o˜es.
(a) P ∧ ¬Q.
(b) (A ∨B) ∧ (A ∨ C).
(c) X ∨ (¬Y ∨ Z).
(d) X → ¬Y .
(e) (E ↔ F )→ (E ↔ G).
(f) ¬M → (N ∧ L).
10. Quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o tautologias, quais sa˜o contradic¸o˜es e quais na˜o sa˜o
nenhuma das duas?
(a) P ∨ (¬P ∧Q).
(b) (X ∨ Y )↔ (¬X → Y ).
(c) (A ∧ ¬B) ∧ (¬A ∨B).
(d) [Z ∨ (¬Z ∨W )] ∧ ¬(W ∧ U).
(e) [L→ (M → N)]→ [M → (L→ N)].
(f) [(X ↔ Z) ∧ (X ↔ Y )] ∧X.
11. Sejam P,Q,R e S afirmac¸o˜es. Verifique as seguintes tautologias com tabelas de verdade.
(a) ¬(P → Q)⇒ P .
(b) (P ↔ R) ∧ (Q↔ S)⇒ (P ∨Q)↔ (R ∨ S).
(c) P ⇔ P ∧ (P ∨Q).
(d) P → (A ∨B)⇔ (P ∧ ¬A)→ B.
12. Escreva a negac¸a˜o de cada uma das seguintes afirmac¸o˜es.
(a) e5 > 0.
(b) 3 < 5 ou 7 ≥ 8.
(c) sen (pi/2) < 0 e tan (0) ≥ 0.
(d) Se y = 3 enta˜o y2 = 7.
(e) w − 3 > 0 implica que w2 + 9 > 6w.
(f) a− b = c se, e somente se, a = b+ c.
13. Suponhamos que os poss´ıveis valores de x sa˜o as pessoas no mundo. Sejam Y (x) =“x
tem cabelo preto”, Z(x) =“x gosta de acaraje´” e W (x) =“x tem um cachorro”. Escreva
as seguintes afirmac¸o˜es em palavras.
(a) (∀x)Y (x).
(b) (∃x)Z(x).
(c) (∀x)[W (x) ∧ Z(x)].
(d) (∃x)[Y (x)→ W (x)].
(e) (∀x)[W (x)↔ ¬Z(x)].
14. Suponhamos que os poss´ıveis valores de x sa˜o todos os carros. Sejam L(x, y) =“x e´ ta˜o
ra´pido quanto y”, M(x, y) =“x e´ ta˜o caro quanto y” e N(x, y) =“x e´ ta˜o velho quanto
y”. Escreva as seguintes afirmac¸o˜es em palavras.
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(a) (∃x)(∀y)L(x, y).
(b) (∀x)(∃y)M(x, y).
(c) (∃y)(∀x)[L(x, y) ∨N(x, y)].
(d) (∀y)(∃x)[¬M(x, y)→ L(x, y)].
15. Suponhamos que os poss´ıveis valores de y sa˜o vacas. Sejam P (y) =“y e´ marrom”,
Q(y) =“y tem quatro anos” e R(y) =“y tem manchas brancas”. Escreva as seguintes
afirmac¸o˜es em palavras.
(a) Existe uma vaca marrom.
(b) Todas as vacas teˆm quatro anos.
(c) Existe uma vaca marrom com manchas brancas.
(d) Todas as vacas de quatro anos teˆm manchas brancas.
(e) Existe uma vaca tal que se ela tem quatro anos, enta˜o ela na˜o tem manchas brancas.
(f) Todas as vacas sa˜o marrons se, e somente se, elas na˜o tem quatro anos.
(g) Na˜o existem vacas marrons.
16. Escreva as seguintes afirmac¸o˜es, que na˜o teˆm quantificadores expl´ıcitos, em afirmac¸o˜es
com quantificadores expl´ıcitos, tanto em s´ımbolos como em palavras.
(a) Pessoas sa˜o bacanas.
(b) Algue´m me deu um presente.
(c) Gatos gostam de comer peixe e dormir.
(d) Eu gosto dos livros de Jorge Amado.
(e) Ningue´m gosta de abacate e sal juntos.
17. Escreva a negac¸a˜o das seguintes afirmac¸o˜es.
(a) A equac¸a˜o x2 − 2x > 0 e´ va´lida para todos os nu´meros reais x.
(b) Existe um inteiro n tal que n2 e´ um nu´mero perfeito.
(c) Todo acaraje´ tem vatapa´.
(d) Toda casa tem uma porta branca.
(e) Existe uma casa em morro de Sa˜o Paulo tal que toda pessoa que entra sai feliz.
(f) Para todo nu´mero real � > 0 existe um inteiro positivo k tal que para todos os
inteiros positivos n e´ va´lido que
∣∣an − k2∣∣ < �.
(g) Existe uma pessoa na Ufba que leu todos os livros de Castro Alves.
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