Cálculo III- INtegrais duplas e triplas

Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat\u131´stica
Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo 3A \u2013 Lista 14
Exerc´\u131cio 1: Mostre que
I =
\u222b
C
(1 + 2xy + ln x) dx+ x2 dy
e´ independente do caminho e calcule o valor de I onde C e´ dada por \u3b3(t) = = (1 + cos t, sen t),
com \u2212\u3c0/2 \u2264 t \u2264 \u3c0/2.
Soluc¸a\u2dco: Seja ~F (x, y) = (P,Q) = (1 + 2xy + ln x, x2) que e´ de classe C1 no conjunto aberto
U = {(x, y) \u2208 R2; x > 0}.
x
y
U
Como U e´ um conjunto simplesmente conexo e
\u2202Q
\u2202x
= 2x =
\u2202P
\u2202y
, enta\u2dco, pelo teorema das equi-
vale\u2c6ncias, segue que a integral de linha I e´ independente do caminho.
Esboc¸o de C
Temos que \u3b3(\u2212\u3c0/2) = (1,\u22121) e \u3b3(\u3c0/2) = (1, 1). As equac¸o\u2dces de C sa\u2dco x = 1 + cos t e y = sen t,
com \u2212\u3c0/2 \u2264 t \u2264 \u3c0/2. Logo, (x\u2212 1)2 = cos2 t e y2 = sen2 t donde (x \u2212 1)2 + y2 = 1. Enta\u2dco C e´
o arco da circunfere\u2c6ncia (x \u2212 1)2 + y2 = 1, percorrido no sentido anti-hora´rio que vai de (1,\u22121) a
(1, 1).
Ca´lculo 3A Lista 14 213
x
y
U
C
1 2
(1,\u22121)
(1, 1)
Como a integral de linha na\u2dco depende do caminho enta\u2dco vamos substituir a curva C pelo segmento
de reta C1 que liga (1,\u22121) a (1, 1).
x
y
U
C1
1
(1,\u22121)
(1, 1)
Temos C1 :
{
x = 1
y = t
, com \u22121 \u2264 t \u2264 1 donde dx = 0 e dy = dt. Enta\u2dco:
I =
\u222b
C1
(1 + 2xy + lnx) dx+ x2 dy =
=
\u222b 1
\u22121
0 + 11 dt =
\u222b 1
\u22121
dt =
[
t
]1
\u22121 = 2 .
Exerc´\u131cio 2: Calcule
I =
\u222b
C
(zexz + yexy + 6x) dx+ (xexy + zeyz) dy + (xexz + yeyz \u2212 sen z) dz
onde C e´ a curva dada por \u3b3(t) = t2
\u2212\u2192
i + (t\u2212 1)(t\u2212 3)\u2212\u2192j + \u3c0t3\u2212\u2192k , com 0 \u2264 t \u2264 1.
Soluc¸a\u2dco: Seja
\u2212\u2192
F (x, y, z) = (zexz + yexy + 6x, xexy + zeyz , xexz + yeyz \u2212 sen z)
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 14 214
definido em R3. Temos:
rot
\u2212\u2192
F =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u2212\u2192
i
\u2212\u2192
j
\u2212\u2192
k
\u2202
\u2202x
\u2202
\u2202y
\u2202
\u2202z
zexz + yexy + 6x xexy + zeyz xexz + yeyz \u2212 sen z
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
=
=
(
eyz + yzeyz \u2212 eyz \u2212 yzeyz, exz + xzexz \u2212 exz \u2212 xzexz, exy \u2212 xyexy \u2212
\u2212 exy \u2212 xyexy) = (0, 0, 0) = \u2212\u21920 .
Como dom
\u2212\u2192
F e´ um conjunto simplesmente conexo e rot
\u2212\u2192
F =
\u2212\u2192
0 enta\u2dco pelo teorema das equivale\u2c6ncias
temos que
\u2212\u2192
F e´ conservativo. Logo, existe \u3d5(x, y, z), tal que \u2207\u3d5 = \u2212\u2192F em R3.
Para encontrar uma \u3d5(x, y, z), devemos resolver:
\u2202\u3d5
\u2202x
= zexz + yexy + 6x (1)
\u2202\u3d5
\u2202y
= xexy + zeyz (2)
\u2202\u3d5
\u2202z
= xexz + yeyz \u2212 sen z (3)
Integrando (1), (2) e (3) em relac¸a\u2dco a x, y e z respectivamente:
\u3d5(x, y, z) = exz + exy + 3x2 + f(y, z) (4)
\u3d5(x, y, z) = exy + eyz + g(x, z) (5)
\u3d5(x, y, z) = exz + eyz + cos z + h(x, y) (6)
Comparando (4), (5) e (6), temos que f(y, z) = eyz + cos z, g(x, z) = exz + + 3x2 + cos z e
h(x, y) = exy+3x2. Logo, \u3d5(x, y, z) = exz+ exy + eyz +3x2+cos z. Enta\u2dco I = \u3d5(\u3b3(1))\u2212\u3d5(\u3b3(0))
onde \u3b3(1) = (1, 0, \u3c0) e \u3b3(0) = (0, 3, 0). Logo:
I = \u3d5(1, 0, \u3c0)\u2212 \u3d5(0, 3, 0) =
= (epi + e0 + e0 + 3 + cos\u3c0)\u2212 (e0 + e0 + e0 + 3 · 02 + cos 0) =
= epi + 4\u2212 4 = epi .
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Ca´lculo 3A Lista 14 215
Exerc´\u131cio 3: Calcule \u222b
C
(ex sen y \u2212 2y \u2212 \u3c0) dx+ (ex cos y + ey) dy
ao longo de C : (x\u2212 3)2 + y2 = 1, y \u2265 0, orientada de (4, 0) para (2, 0).
Soluc¸a\u2dco: O esboc¸o de C esta´ representado na figura que se segue.
x
y
C
2 3 4
Ora, calcular a integral usando a definic¸a\u2dco e´ uma tarefa muito complicada. Como rot
\u2212\u2192
F =
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212 \u2202P
\u2202y
)\u2212\u2192
k =
(ex cos y \u2212 ex cos y + 2)\u2212\u2192k = 2\u2212\u2192k 6= \u2212\u21920 , enta\u2dco \u2212\u2192F na\u2dco e´ conservativo. Assim, so´ nos resta usar o
teorema de Green. Para isso, fechemos a curva C atrave´s do segmento C1 que liga (2, 0) a (4, 0).
x
y
C
C1
D
2 4
Seja D a regia\u2dco limitada por C = C \u222a C1. Como estamos nas condic¸o\u2dces do teorema de Green,
temos: \u222b
C
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r +
\u222b
C1
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r =
\u222b\u222b
D
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212 \u2202P
\u2202y
)
dxdy =
= 2
\u222b\u222b
D
dxdy = 2A(D) = 2 · 1
2
· \u3c0 · 12 = \u3c0 .
Ca´lculo de
\u222b
C1
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r
Temos C1 : y = 0, com 2 \u2264 x \u2264 4 donde dy = 0. Enta\u2dco:\u222b
C1
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r =
\u222b
C1
P (x, 0) dx+Q(x, 0) · 0 =
=
\u222b 4
2
(ex sen 0\u2212 2 · 0\u2212 \u3c0) dx = \u22122\u3c0 .
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Ca´lculo 3A Lista 14 216
Logo: \u222b
C
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r = \u3c0 + 2\u3c0 = 3\u3c0 .
Exerc´\u131cio 4: Calcule \u222b
C
(
x2 \u2212 y2) dx+ (arctg y + x2) dy
onde C e´ a curva aberta que vai de (3, 0) a (1, 0), ilustrada na figura que se segue:
x
y
C
x2 + y2 = 1 x
2 + y2 = 9
(1, 0) (3, 0)
Soluc¸a\u2dco: Seja
\u2212\u2192
F (x, y) = (P,Q) = (x2 \u2212 y2, arctg y + x2), com (x, y) \u2208 R2. Enta\u2dco temos \u2202Q
\u2202x
\u2212
\u2202P
\u2202y
= 2x+ 2y 6= 0. Logo, \u2212\u2192F na\u2dco e´ conservativo. Para usar o Teorema de Green, devemos fechar a
curva C, por meio do segmento de reta C1 que liga (1, 0) a (3, 0).
Seja D a regia\u2dco limitada por C = C \u222a C1.
x
y
C
C1
D
(1, 0) (3, 0)
Como estamos nas condic¸o\u2dces do Teorema de Green, temos:\u222b
C
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r +
\u222b
C1
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r =
\u222b\u222b
D
(
\u2202Q
\u2202x
\u2212 \u2202P
\u2202y
)
dxdy =
=
\u222b\u222b
D
2x dxdy +
\u222b\u222b
D
2y dxdy .
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 14 217
Como f(x, y) = 2x e´ uma func¸a\u2dco \u131´mpar na varia´vel x e D tem simetria em relac¸a\u2dco ao eixo y, enta\u2dco\u222b\u222b
D
2x dxdy = 0. Utilizemos as coordenadas polares para calcular a outra integral. Temos enta\u2dco
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = r cos \u3b8
y = r sen \u3b8
dxdy = rdrd\u3b8
e Dr\u3b8 :
{
0 \u2264 \u3b8 \u2264 \u3c0
1 \u2264 r \u2264 3 . Enta\u2dco:
\u222b\u222b
D
2y dxdy = 2
\u222b pi
0
\u222b 3
1
(r sen \u3b8)r drd\u3b8 = 2
\u222b pi
0
\u222b 3
1
r2 sen \u3b8 drd\u3b8 =
= 2
[
r3
3
]3
1
\u222b pi
0
sen \u3b8 d\u3b8 =
2
3
(27\u2212 1)
[
\u2212 cos \u3b8
]pi
0
=
104
3
.
Ca´lculo de
\u222b
C1
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r
Temos C1 : y = 0, com 1 \u2264 x \u2264 3 donde dy = 0. Enta\u2dco:\u222b
C1
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r =
\u222b
C1
P (x, 0) dx =
\u222b 3
1
x2 dx =
[
x3
3
]3
1
=
26
3
.
Logo: \u222b
C
\u2212\u2192
F · d\u2212\u2192r = 104
3
\u2212 26
3
=
78
3
= 26 .
Exerc´\u131cio 5: Uma la\u2c6mina tem a forma da parte lateral do cilindro x2 + y2 = 4, entre os planos
z = 0 e z = 3 \u2212 x. Determine a massa dessa la\u2c6mina se a densidade no ponto (x, y, z) e´ dada por
f(x, y, z) = x2.
Soluc¸a\u2dco: Temos que
M =
\u222b\u222b
S
f(x, y, z) dS =
\u222b\u222b
S
x2 dS
onde S esta´ ilustrada na figura que se segue.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 14 218
x
y
z
S
2
2
3
3
Uma parametrizac¸a\u2dco para S e´ dada por \u3d5(t, z) = (2 cos t, 2 sen t, z) onde (t, z) \u2208 D :
{
0 \u2264 t \u2264 2\u3c0
0 \u2264 z \u2264 3\u2212 2 cos t .
Temos
\u2202\u3d5
\u2202t
= (\u22122 sen t, 2 cos t, 0) e \u2202\u3d5
\u2202z
= (0, 0, 1) donde
\u2202\u3d5
\u2202t
× \u2202\u3d5
\u2202z
=
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u2212\u2192
i
\u2212\u2192
j
\u2212\u2192
k
\u22122 sen t 2 cos t 0
0 0 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = (2 cos t, 2 sen t, 0) .
Como dS =
\u2225\u2225\u2225\u2202\u3d5
\u2202t
× \u2202\u3d5
\u2202z
\u2225\u2225\u2225 dtdz enta\u2dco dS = 2 dtdz. Logo:
M =
\u222b\u222b
D
(2 cos t)2 · 2 dtdz = 8
\u222b 2pi
0
\u222b 3\u22122 cos t
0
cos2 t dzdt =
= 8
\u222b 2pi
0
(3 cos2 t\u2212 2 cos3 t) dt = 24
\u222b 2pi
0
cos2 t dt\u2212 16
\u222b 2pi
0
cos3 t dt .
Temos: \u222b 2pi
0
cos2 t dt =
1
2
[
t+
sen 2t
2
]2pi
0
= \u3c0
e \u222b 2pi
0
cos3 t dt =
\u222b 2pi
0
cos2 t · cos t dt =
\u222b 2pi
0
(1\u2212 sen2 t) d(sen t) =
=
[
sen t\u2212 sen
3 t
3
]2pi
0
= 0 .
Logo:
M = 24\u3c0 u.m.
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Ca´lculo 3A Lista 14 219
Exerc´\u131cio 6: Seja C a curva z = 2x2, com 0 \u2264 x \u2264 2, contida no plano xz. Seja S a superf´\u131cie
obtida girando C em torno do eixo z.
a) Parametrize S.
b) Calcule a a´rea de S.
Soluc¸a\u2dco:
a) Uma parametrizac¸a\u2dco da curva C e´ dada por x(t) = t, y(t) = 0 e z(t) = 2t2, com 0 \u2264 t \u2264 2.
Logo, uma parametrizac¸a\u2dco de S a´ dada por
\u3d5(t, \u3b8) =
(
x(t) cos \u3b8, x(t) sen \u3b8, z(t)
)
=
(
t cos \u3b8, t sen \u3b8, 2t2
)
com (t, \u3b8) \u2208 D :
{
0 \u2264 t \u2264 2
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 .
b) As derivadas parciais de \u3d5 sa\u2dco
\u3d5t = (cos \u3b8, sen \u3b8, 4t)
\u3d5\u3b8 = (\u2212t sen \u3b8, t cos \u3b8, 0)
e o produto vetorial e´:
\u3d5t × \u3d5\u3b8 =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
cos \u3b8 sen \u3b8 4t
\u2212t sen \u3b8 t cos \u3b8 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
=
=
(
\u2212 4t2 cos \u3b8,\u22124t2 sen \u3b8, t cos2 \u3b8 + t sen2 \u3b8\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
= t
)
donde \u2223\u2223\u2223\u2223\u3d5t × \u3d5\u3b8\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221a16t4 cos2 \u3b8 + 16t4