Lugar das Raízes

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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Lugar das Raízes
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H
Curitiba, PR
3 de maio de 2016
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Introdução
O método do lugar das raízes foi criado por Evans em 1953.
Permite estudar a evolução das raízes de uma equação, quando um
parâmetro é variado continuamente.
Walter Richard Evans (1920-1999)
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Introdução
Este método possibilita a determinação deste parâmetro de tal
forma que o sistema atinja o comportamento dinâmico desejado.
Ambas as funções de transferência de sistemas contínuos e discretos
são funções complexas, ou seja funções que possuem variáveis
complexas: s ou z, respectivamente.
Desta forma, as regras do método do lugar das raízes são as
mesmas para os dois sistemas (contínuos e discretos).
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
O princípio do método está baseado na realimentação:
+
-
U(s)
K G(s)
Y (s)
H(s)
Método do Lugar das Raízes
Deseja-se determinar a influência do ganho K (0 < K < +∞) sobre
os pólos do sistema em malha fechada.
A função de transferência de malha fechada do sistema da figura
acima é: Y (s)
U(s)
=
KG(s)
1 +KG(s)H(s)
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O objetivo do método é estabelecer regras simples para traçar o
gráfico formado pela movimentação das raízes de 1 +KG(s)H(s)
quando K variar de 0 a +∞, sem calcular as raízes ponto a ponto.
Portanto, deseja-se estudar a seguinte equação:
1 +KG(s)H(s) = 0, para 0 < K < +∞.
Exemplo
Considere o seguinte sistema de controle,
+
-
U(s)
Ka
5
s(s+20)
Y (s)
1
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Podemos verificar a posição dos pólos de malha fechada para o
sistema de controle ilustrado anteriormente quando Ka assume os
valores Ka = 0 até Ka = +∞.
Primeiramente, vamos desenhar o Root Locus do sistema calculando
as raízes do denominador da função de transferência de malha
fechada
Y (s)
U(s)
=
5Ka
s(s+20)
1 + 5Ka
s(s+20)
=
5Ka
s2 + 20s+ 5Ka
Os pólos de malha fechada são:
−20±√202 − 4.5.Ka
2
= −10±
√
100− 5Ka
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Variando-se o valor de Ka, podemos montar a seguinte tabela.
Ka s1 s2
0 -20 0
1 -19,75 -0,25
5 -18,66 -1,34
10 -17,07 -2,93
20 -10 -10
30 −10 + j7, 07 −10− j7, 07
40 −10 + j14, 14 −10− j14, 14
→∞ −10 + j∞ −10− j∞
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Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
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Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0-10
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Ka = 20
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Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0-10
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Ka = 20
Ka = 30
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Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0-10
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Ka = 20
Ka = 30
Ka = 40
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o Root Locus,
-20 0-10
Ka = 0
Ka = 0
C(jω)
R(σ)
Ka = 1
Ka = 5
Ka = 5
Ka = 10
Ka = 20
Ka = 30
Ka = 40
K →∞
K →∞
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Método do Lugar das Raízes
Encontrar as raízes para cada valor de ganho é muito trabalhoso e
demanda grande quantidade de tempo. Para evitar este trabalho,
regras para esboçar o lugar das raízes sem calculá-las ponto a
ponto serão apresentadas.
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Regra 1
Os ramos do Root Locus começam nos pólos de G(s)H(s). Os
ramos terminam nos zeros de G(s)H(s), inclusive nos zeros no
infinito. O número de zeros no infinito é igual a:
Nz∞ = Np −Nz
sendo,
Np : número de pólos de G(s)H(s)
Nz : número de zeros de G(s)H(s)
Exemplo
Suponha que G(s) e H(s) são:
G(s) =
s+ 2
s2
e H(s) =
s+ 5
s+ 4
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As raízes de 1 +KG(s)H(s) serão determinadas por:
1 +K
(s+ 2)(s+ 5)
s2(s+ 4)
= 0
ou ainda,
s2(s+ 4) +K(s+ 2)(s+ 5) = 0
i) se K = 0, a equação acima ficará:
s2(s+ 4) = 0
s1 = s2 = 0; s3 = −4
Note que esses são os pólos de G(s)H(s), equivalentes aos pólos de
T (s) quando K = 0.
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ii) Se K →∞, para analisar este intervalo, podemos reescrever
1 +KG(s)H(s)
K = − s
2(s+ 4)
(s+ 2)(s + 5)
deste modo K →∞ se e somente se:
s→ −2
s→ −5
s→ −∞
Neste caso
s1 = −2 e s2 = −5 são os zeros de G(s)H(s).
s→ −∞ é um zero no infinito.
Temos que: Np = 3 e Nz = 2, logo Nz∞ = 3− 2 = 1.
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Regra 2
As regiões do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos
mais zeros de KG(s)H(s) pertencem ao lugar das raízes.
Exemplo
Para os valores do exemplo anterior teremos,
KG(s)H(s) =
K(s+ 2)(s + 5)
s2(s+ 4)
⇒ Os zeros são: s1 = −2 e s2 = −5
⇒ Os pólos são: p1 = p2 = 0 e p3 = −4
No plano imaginário os pólos são representados por (x) e os zeros
por (◦).
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
A aplicação da regra 2 neste caso será:
-5 -4 -3 -2 -1
0
C(jω)
R(σ)
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
A aplicação da regra 2 neste caso será:
-5 -4 -3 -2 -1
0
C(jω)
R(σ)
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
A aplicação da regra 2 neste caso será:
-5 -4 -3 -2 -1
0
C(jω)
R(σ)
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
A aplicação da regra 2 neste casoserá:
-5 -4 -3 -2 -1
0
C(jω)
R(σ)
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Esta regra pode ser verificada através da condição de ângulo da
equação 1 +KG(s)H(s) = 0, que pode ser reescrita na forma:
KG(s)H(s) = −1,K > 0
Para que esta equação seja verdadeira, o ângulo deverá múltiplo
ímpar de 180o:
∠KG(s)H(s) = ∠− 1 = (2i+ 1)180◦; i = 0,±1,±2, · · ·
θ1 θ2
θ3θ4
−θ1 + θ2 + (360◦ − θ3)− (360◦ − θ4) = 0◦! A contribuição angular
é somente a dos polos e zéros sobre o eixo real, e à direita!
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Regra 3
Quando K se aproxima de +∞, os ramos do Root Locus, se tornam retas
assintóticas com inclinação
(2i+ 1)180◦
Np −Nz ; i = 0,±1,±2, · · ·
Exemplo
Considere KG(s)H(s) = K
s(s+1)(s+4)
. Deste modo temos: Np = 3 e Nz = 0.
Como verificar se um ponto P pertencente ao root locus?:
-5 -4 -3 -2 -1
0
C(jω)
R(σ)
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Regra 3
Quando K se aproxima de +∞, os ramos do Root Locus, se tornam retas
assintóticas com inclinação
(2i+ 1)180◦
Np −Nz ; i = 0,±1,±2, · · ·
Exemplo
Considere KG(s)H(s) = K
s(s+1)(s+4)
. Deste modo temos: Np = 3 e Nz = 0.
Como verificar se um ponto P pertencente ao root locus?:
-2000 -1000 -1
0
C(jω)
R(σ)
P
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Regra 3
Quando K se aproxima de +∞, os ramos do Root Locus, se tornam retas
assintóticas com inclinação
(2i+ 1)180◦
Np −Nz ; i = 0,±1,±2, · · ·
Exemplo
Considere KG(s)H(s) = K
s(s+1)(s+4)
. Deste modo temos: Np = 3 e Nz = 0.
Como verificar se um ponto P pertencente ao root locus?:
-2000 -1000 -1
0
C(jω)
R(σ)
P
θ3
θ2θ1
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Para verificar se o ponto P pertence ao Root Locus, temos que
verificar a seguinte condição:
∠G(s)H(s)|s=P = (2i+ 1)180◦, i = 0,±1, · · ·
= −θ1 − θ2 − θ3
Para P →∞, baseado na figura anterior, temos que:
θ1 ∼= θ2 ∼= θ3 = θ
Assim, obtém-se:
−θ1 − θ2 − θ3 = −3θ = (2i+ 1)180◦
θ =
(2i+ 1)(−180◦)
3
=
(2i+ 1)180◦
3
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Porém, Np −Nz = 3, então:
θ =
(2i+ 1)180◦
Np −Nz ; i = 0,±1,±2, · · ·
Retornando ao exemplo, os ângulos das assíntotas serão:
θ =
(2i+ 1)180◦
3− 0 = (2i+ 1)60
◦, i = 0,±1,±2, · · ·
i θ
0 60◦
1 180◦
2 300◦
-1 −60◦
-2 −180◦
Porém, 180◦ = −180◦ e 300◦ = −60◦. Assim, θ1 = 60◦, θ2 = −60◦
e θ3 = 180
◦.
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Regra 4
O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.)
da configuração de pólos e zeros, ou seja:
C.G. =
∑
pólos−
∑
zeros
Np −Nz
Exemplo
Para o sistema do exemplo anterior, onde
G(s)H(s) =
1
s(s+ 1)(s + 4)
teremos,
1 Np = 3 e Nz = 0
2 os pólos são: p1 = 0, p2 = −1 e p3 = −4
3 os zeros são: nenhum
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Logo,
C.G. =
(0− 1− 4)− 0
3− 0 = −
5
3
−3 −2 −1 0 1 2 3
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−53
C
(j
ω
)
R(σ)
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Regra 5
Os pontos nos quais os ramos do Root Locus deixam (ou entram) o eixo real
são determinados utilizando-se a seguinte relação:
∂
∂s
[
(G(s)H(s))−1
]
= 0
No exemplo descrito anteriormente, temos que:
G(s)H(s) =
1
s(s+ 1)(s+ 4)
Então,
(G(s)H(s))−1 = s(s+ 1)(s+ 4) = s3 + 5s2 + 4s
Logo,
∂
∂s
[
(G(s)H(s))−1
]
=
∂
∂s
(s3 + 5s2 + 4s) = 3s2 + 10s + 4 = 0
Resp. : s1 = −0, 4648 e s2 = −2, 8685 (desprezado, pois não pertence ao Root Locus)
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Na figura abaixo podemos visualizar o ponto de ramificação do
Root Locus.
−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0, 4648
C
(j
ω
)
R(σ)
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Regra 6
As ramificações do Root Locus deixam ou entram no eixo real com
ângulos ±90◦.
Regra 7
O Root Locus é simétrico em relação ao eixo real. Isto decorre do
fato de que as raízes de um polinômio de coeficientes reais ou são
reais ou pares complexos conjugados.
Regra 8
Para se determinar o ganho K associado a um ponto p do Root Locus, deve-se
utilizar a condição de módulo da equação:
1 +KG(s)H(s) = 0
Reescrevendo-se a equação acima:
KG(s)H(s) = −1
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Regra 8
Pela condição de módulo temos,
|KG(s)H(s)| = | − 1|
como 0 < K <∞, obtém-se:
K|G(s)H(s)| = 1
Para s = p,
K|G(s)H(s)|s=p = 1
Porém,
|G(s)H(s)| =
∣∣∣∣∣
∏m
i=1(s+ zi)∏n
j=1(s+ pj)
∣∣∣∣∣
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Regra 8
Então,
K
∣∣∣∣∣
∏m
i=1(s+ zi)∏n
j=1(s+ pj)
∣∣∣∣∣
s=p
= 1 ou K
∏m
i=1 |p+ zi|∏n
j=1 |p+ pj |
= 1
Finalmente,
K =
∏n
j=1 |p+ pj |∏m
i=1 |p+ zi|
Exemplo
Considere o exemplo anterior
G(s)H(s) =
1
s(s+ 1)(s + 4)
Determinar o valor de K associado aos seguintes pólos complexos
conjugados pertencentes ao Root Locus:
s1,2 = −0, 267 ± j1, 24
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Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
|KG(s)H(s)| = 1∣∣∣∣K
1
s(s+ 1)(s + 4)
∣∣∣∣
s=−0,267+j1,24
= 1
K = 7, 19
Regra 9
Os ângulos de saída (ou chegada) de pólos (aos zeros) são
determinados a partir da condição geral de ângulos.
Regra 10
O ponto onde o Root Locus cruza o eixo imaginário é obtido
fazendo-se s = jω na equação característica, igualando-a a 0 e
resolvendo ω separadamente para partes reais e imaginárias.
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Exemplo
Considerando o sistema G(s)H(s) =
1
s(s+ 1)(s + 2)
, calcular o
ponto de cruzamento com o eixo imaginário.
Equação característica: 1 +KG(s)H(s) = s(s+1)(s+2)+K
s(s+1)(s+2)
Resolvendo para a parte real e parte imaginária separadamente:
1
s3 + 3s2 + 2s+K
s3 + 3s2 + 2s
= 0
2 Substituindo s = jω temos: (jω)3 + 3(jω)2 + 2jω +K = 0
3 Simplificando: −jω3 − 3ω2 + 2jω +K = 0
4 Parte imaginária: −ω3 + 2ω = 0→ ω = {0,±√2}
5 Parte real: −3ω2 +K = 0→ ω = ±
√
K
3 → K = {0, 6}
6 Pontos de cruzamento: s = j0, s = j
√
2 e s = −j√2
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Cruzamento no eixo imaginário do Root Locus
O cruzamento do Root Locus com o eixo imaginário também pode
ser determinado usando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.
Regra 11
Se pelo menos dois ramos do Root Locus vão para o infinito (ou seja, se tem
pelo menos 2 assíntotas), então a soma dos pólos de malha fechada
correspondente a um mesmo ganho K é uma constante igual para todo K.
Exemplo
Considere o seguinte sistema: G(s)H(s) = 1
s(s+1)(s+2) . Este
sistema tem três ramos que vão para o infinito. Assim:
∑
pólos
∣∣∣∣∣∣
K=0
=
∑
pólos
∣∣∣∣∣∣
K=6
p1K=0 + p2K=0 + p3K=0 = p1K=6 + p2K=6 + p3K=6
−2− 1 + 0 = −j
√
2 + j
√
2 + p3K=6p3K=6 = −3
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Esta regra pode ser observada nas 2 figuras seguintes, onde os 3
pólos associados a K = 3 e K = 6 são mostrados:
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
System: GsHs
Gain: 3
Pole: −0.164 + 1.05i
Damping: 0.155
Overshoot (%): 61.2
Frequency (rad/s): 1.06
System: GsHs
Gain: 3
Pole: −0.164 − 1.05i
Damping: 0.155
Overshoot (%): 61.2
Frequency (rad/s): 1.06
System: GsHs
Gain: 3
Pole: −2.67
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 2.67
Root Locus
Real Axis (seconds−1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is 
(se
co
nd
s−
1 )
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Esta regra pode ser observada nas 2 figuras seguintes, onde os 3
pólos associados a K = 3 e K = 6 são mostrados:
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
System: Gs
Gain: 6
Pole: 1.74e−16 + 1.41i
Damping: −1.23e−16
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/s): 1.41
System: Gs
Gain: 6
Pole: 1.74e−16 − 1.41i
Damping: −1.23e−16
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/s): 1.41
System: Gs
Gain: 6
Pole: −3
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 3
Root Locus
Real Axis (seconds−1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is 
(se
co
nd
s−
1 )
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Root-Locus no MATLAB
No Matlab, utilizar as seguintes funções
1 GsHs = tf(num,den);
2 rlocus(GsHs);
3 rltool(GsHs);
Onde num e den são o numerador e o denominador da função
G(s)H(s) respectivamente
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Exercício
Trace o Root Locus de um sistema de controle com realimentação
sendo que:
KG(s)H(s) =
K(s+ 1)
s3 + 5s2 + 6s
+
-
U(s)
K G(s)
Y (s)
H(s)
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
Introdução Lugar das Raízes (Root-Locus) Regras do Root Locus
Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além
dos seguintes Exercícios de Avaliação (Skill-Assessment) do livro
“Engenharia de sistemas de controle": 8.3, 8.4 (menos letra e), 8.5
(verificar Exemplo 8.7 para aprender a calcular o coeficiente de
amortecimento para um ponto do root locus), 8.6 (verificar Exemplo
8.8 para aprender a calcular os parâmetros de desempenho para um
ponto do root locus) (somente usando o teorema do valor final).
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Rayel, O.K. — Lugar das Raízes
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	Introdução
	Lugar das Raízes (Root-Locus)
	Regras do Root Locus