P3 - 2005 - Mecânica A

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
 Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME2100 – Mecânica A
Terceira Prova – 29 de Novembro de 2005 – Duração: 100 minutos
GABARITO
1ª Questão (3,0 pontos). No instante inicial a barra
AB homogênea, de massa m e comprimento 2a,
encontra-se na posição vertical e em repouso. Devido a
uma pequena perturbação, a barra cai deslizando sua
extremidade A sobre um plano. Pede-se:
Dado: Momento de inércia baricêntrico da barra AB: 12
2mLJ GZ =
(a) Justificar que o movimento do baricentro G é na vertical.
(b) A relação entre a velocidade angular ω da barra e a velocidade do baricentro vG.
(c) O trabalho τ das forças atuantes na barra em função da altura h.
(d) A energia cinética da barra em função da altura h.
(e) A velocidade do baricentro vG em função da altura h.
Solução
a) dcl da barra:
)(0.0.)( repousodopartecteiviajmgYam GGAG ==→=→−=
rrrrrr
Gx∴ é constante. (0,5)
b) CIR da barra:
( ) ( )CIRGkvG −∧−= rr ω
( ) jhavG rr 2122 −−= ω
( )2222 havG −= ω
(0,5)
c) )( hamg −=τ (0,5)
d) ( )( )22
2222
22
6
34
;
12
4
;
2
1
2
1
ha
hamv
TamJJmvT GzGzGG
−
−
=∴=+= ω (1,0)
e) TEC: ( )( ) ( )
( )
( )2222
222
34
6
6
34)(
ha
hahav
ha
hamvhamg GG
−
+
−=→
−
−
=− (0,5)
vA
vG
CIR G
YA
mg
i
r
jr
a
a
g
A
B
G
h
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2ª Questão (3,5 pontos). Um cilindro homogêneo de massa m e raio R rola sem escorregar sobre o
bloco B, de massa M, sob a ação de uma força F
r
aplicada no ponto G. O bloco escorrega sem atrito sobre
o plano horizontal. Dado o coeficiente de atrito µ entre o cilindro e o bloco, e adotando o sistema de
coordenadas (O,x,y,z) solidário ao bloco, pede-se:
Dado: Momento de inércia do disco: 2
2
mRJGZ =
(a) O diagrama de corpo livre do cilindro e o diagrama de corpo
livre do bloco B.
(b) O vetor aceleração Gar do baricentro em função da aceleração
angular do cilindro ω& .
(c) O vetor aceleração angular do cilindro ω&r , o vetor aceleração
do bloco B e o vetor aceleração do baricentro.
(d) A máxima força Fr para que não ocorra escorregamento em C.
Solução
a) DCLs:
(1,0)
b) ( )iRaaaiaaiRaaaaa BGCorGBarrGrelGCorGarrGrelGG r&rrrrrr&rrrrr ωω +=→===++= 0;;; ,,,,,,
c)TMB disco
 
( )


=
−+−=+
θ
θω
cos
sin
mgN
FFmgRam atB & (0,5)
TMB bloco
 


+=
+−=
θ
θ
cos
sin
mgNV
FMgMa atB (0,5)
TMA disco
RFJ atGZ =ω& (0,5)
Resolvendo as equações, chega-se a:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) imMm
gMmmMmF
a
Mm
gMmF
a
mRMm
FM
GB
rr&
3
sin32
;
3
sin3
;
3
2
+
+−+
=
+
+−
=
+
=
θθ
ω (0,5)
d) ( )
( )
M
mgMmFmgF
Mm
FMF máxatat
θµθµ cos3cos
3
+
≤→=≤
+
= (0,5)
F
Fat
mg N
V
Mg
N
Fat
B
C
R
M
m
F
r
G
θ
g
y
x
O
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3ª Questão (3,5 pontos). O disco de massa m e raio r, está
suspenso pela barra AB, de massa desprezível e
comprimento 3r, articulada em A. Uma mola de constante
elástica K é presa ao baricentro G do disco. A mola se
mantém na direção vertical durante o movimento. No
instante inicial 0)0(,0 θθ ==t , o sistema está em repouso
e a mola não está distendida. Pede-se:
Dado: Momento de inércia baricêntrico do disco: 2
2
mRJGZ =
(a) A energia cinética do sistema em função da velocidade angularω .
(b) O trabalho das forças externas aplicadas ao sistema, em função da posição angular θ .
(c) O vetor velocidade angular ωr do disco.
(d) O vetor aceleração angular ω&r do disco.
Solução
a) ( )
4
33
sincos4;
2
;
2
1
2
1 22222 rmTjirvmrJJmvT GzGzGG
ωθθωω =→−==+=
rr (1,0)
b) 200 )cos4cos4(2)cos(cos4 θθθθτ rr
K
rmg −−−= (1,0)
c) TEC:
k
m
K
r
g
rr
K
rmgrm
rr 212
00
2
00
22
)cos(cos
33
32)cos(cos
33
16
)cos4cos4(
2
)cos(cos4
4
33



−−−=
→−−−=
θθθθω
θθθθω
(1,0)
d) →−−−−= θθθθθθωω &&& )4)(cos4cos4(2
2
)(4
4
233
0
2
rsinrrKsinrmgrm
 kcomsin
m
K
r
g r&&r& ωωθθθω =


−−= ,)cos(cos
33
32
33
8
0 (0,5)
A
 B
 gω θ
 G
 m
 r
 K