Limites - parte 1

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
o
04: Limites e Continuidade
Objetivos da Aula
• Definir limite de funções;
• Calcular o limite de uma função;
• Utilizar as propriedades operatórias do limite para calcular o limite de uma função;
• Definir função contínua;
• Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico;
1 Velocidade Instantânea
Considere o seguinte problema:
Exemplo 1. Uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto da Torre CN, em Toronto, 450 m
acima do solo. Desprezando a resistência do ar, encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
Solução: De acordo com a Lei de Galileu, temos que a posição da bola s(t), medida em metros, e em
função do tempo t, medido em segundos é dado pela equação:
s(t) = 4, 9t2
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos, está em tratarmos de um único instante,
t = 5, e não de um intervalo de tempo. Com isso, tentaremos aproximar a quantidade desejada pelas
velocidade médias calculados em intervalos de tempo cada vez menores e próximos de t = 5.
Dessa forma, fazendo alguns cálculos, obtemos a seguinte tabela:
Intervalo de Tempo(t) Velocidade Média(m/s)
5 ≤ t ≤ 6 53, 9
5 ≤ t ≤ 5, 1 49, 49
5 ≤ t ≤ 5, 05 49, 245
5 ≤ t ≤ 5, 01 49, 049
5 ≤ t ≤ 5, 001 49, 0049
E a partir desses dados, conseguimos notar que sempre que os intervalos de tempo em torno de t = 5
ficam cada vez menores, temos que as velocidades médias se aproximam da velocidade 49m/s. Então,
esperamos que exatamente em t = 5 segundos, a velocidade seja cerca de 49m/s. Dito isto, definimos a
velocidade instantânea no instante t0, como sendo a velocidade para a qual as velocidades médias se
aproximam, sendo essas calculadas em intervalos de tempo cada vez menores, começando em t0 . No caso
do nosso exemplo, a velocidade instantânea da bola, no instante t = 5, é de 49m/s.
Dizer que tomamos intervalos de tempo cada vez menores e próximos de um instante t0, pode ser
escrito como t → t0 (Lê-se: t tende a t0). Na próxima seção, utilizaremos as noções discutidas aqui para
determinar o limite de uma função.
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2 Limite de Uma Função
Conforme visto na seção anterior, podemos conjecturar sobre o valor da velocidade instantânea de um
objeto, verificando para qual valor as velocidades médias tendem em intervalos de tempo cada vez menores.
Podemos também aplicar esse raciocínio para encontrar um número real L para o qual uma função f(x) se
aproxima, quando x tende a um número a.
Dito isso, vamos considerar o seguinte exemplo:
Exemplo 2. Analise o comportamento da função f(x) = x2 − 5x+ 6 quando x se aproxima de 1.
Solução: Utilizando as seguintes tabelas
x f(x)
0, 5 3, 75
0, 75 2, 81
0, 9 2, 31
0, 99 2, 0301
0, 998 2, 006004
0, 99999 2, 0000300001
x f(x)
1, 1 1, 71
1, 01 1, 9701
1, 005 1, 985025
1, 00001 1, 9999700001
1, 000005 1, 999985
1, 00000001 1, 99999997
podemos observar que sempre que x se aproxima de 1, f(x) assume valores muito próximos de 2. Dessa
forma podemos utilizar a notação de limite e escrever
lim
x→1
(x2 − 5x+ 6) = 2
Dessa forma, podemos determinar uma definição intuitiva de limite, como segue:
Definição 1 (Definição Intuitiva de Limite). Suponha que f(x) esteja definido quando está próximo de
a (Isso significa que f está definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no
próprio a). Então escrevemos:
lim
x→a f(x) = L
e dizemos
�o limite de f(x) quando x tende a a é L�
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos),
tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a.
Podemos utilizar a notação
f(x)→ L se x→ a
para representar que L = lim
x→a f(x).
Um fato importante a ser destacado na definição é a frase: x está próximo de a, mas não igual a
a, pois f nem sequer precisa estar definida em a para que se tenha o limite L, pois o que importa é o
comportamento de f próximo ao ponto a. As figuras abaixo, ilustram esse fato.
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Figura 1: A função f está definida em a e f(a) = L
Figura 2: A função f está definida em a, mas f(a) 6= L
Figura 3: A função f não está definida em a
Vamos utilizar a definição 1 para determinar o limite das funções nos seguinte exemplos.
Exemplo 3. Estime o valor de lim
x→1
x− 1
x2 − 1 .
Solução: Observe que a função f(x) =
x− 1
x2 − 1 não está definida em x = 1. Então, como fizemos antes,
vamos considerar pontos próximos de 1. E assim, obtemos as seguintes tabelas:
x < 1 f(x)
0, 5 0, 666667
0, 9 0, 526316
0, 99 0, 502513
0, 999 0, 500250
0, 9999 0, 500025
x > 1 f(x)
1, 5 0, 400000
1, 1 0, 476190
1, 01 0, 497512
1, 001 0, 499750
1, 0001 0, 499975
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e, através dela podemos observar que
lim
x→1
x− 1
x2 − 1 =
1
2
E esse fato pode ser confirmado pelo gráfico da função f .
Figura 4: Gráfico da função f(x) =
x− 1
x2 − 1
�
Exemplo 4. Faça uma estimativa para lim
x→0
senx
x
.
Solução: Primeiramente, note que f(x) =
senx
x
é par, pois
f(−x) = sen(−x)−x =
−senx
−x =
senx
x
= f(x)
Logo, utilizando o fato de f(x) ser par, construímos a seguinte tabela:
x f(x)
±1, 0 0, 84147098
±0, 5 0, 95885108
±0, 4 0, 97354586
±0, 3 0, 98506736
±0, 2 0, 99334665
±0, 1 0, 99833417
±0, 05 0, 99958339
±0, 01 0, 99998333
±0, 005 0, 99999583
±0, 001 0, 99999983
Desse modo, podemos inferir que
lim
x→0
senx
x
= 1
E essa afirmação pode ser vista pelo gráfico de f
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Figura 5: Gráfico da função f(x) =
senx
x
Exemplo 5. Analise lim
x→0
sen
(pi
x
)
.
Solução: Note que f(x) = sen
(pi
x
)
não está definida em x = 0. Então, procedendo como anteriormente,
utilizamos a seguinte tabela
x f(x)
1 0
0, 5 0
0, 25 0
0, 2 0
0, 1 0
0, 01 0
0, 001 0
0, 0001 0
0, 0000001 0
0, 00000000000000001 0
Dessa forma, somos levados a acreditar que lim
x→0
sen
(pi
x
)
= 0. Mas isso não é verdade, pois observando a
tabela a seguir:
x f(x)
2/101 1
2/105 1
2/109 1
2/113 1
2/117 1
2/121 1
2/125 1
2/129 1
2/133 1
2/137 1
x f(x)
2/103 −1
2/107 −1
2/111 −1
2/115 −1
2/119 −1
2/123 −1
2/127 −1
2/131 −1
2/135 −1
2/139 −1
Logo, nossa conjectura de que
lim
x→0
sen
(pi
x
)
= 0
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não é verdade, pois encontramos até infinitos pontos próximos de 0 cujas imagens não se aproximam de 0.
Pensando nisso, devemos encontrar uma definição mais precisa de limite de uma função. Sendo assim,
considere o seguinte exemplo:
Exemplo 6. Seja
f(x) =
{
2x− 1 se x 6= 3
6 se x = 3
Determine lim
x→3
f(x).
Solução: Para determinarmos o limite pedido, notamos intuitivamente que se tomarmos x próximo de
3, mas x 6= 3, temos que lim
x→3
f(x) = 5. Porém, buscamos um modo de verificar essa afirmação, e assim
tornar mais precisas as frases x suficientemente próximo de a e f(x) arbitrariamente próximo de L contidas
na definição 1.
Sendo assim,devemos nos fazer a seguinte pergunta:
�Quão próximo de a, x deve estar para que f(x) difira de L por menos uma quantidade pré-fixada?�
Ou utilizando o nosso exemplo,
�Quão próximo de 3, x dever estar para que f(x) difira de 5 por menos uma quantidade pré-fixada?�
Essa quantidade pré-fixada será representada pela letra grega ε (épsilon).
Quando falamos de proximidade de dois números, falamos de distância entre eles, que é justamente o
módulo da diferença entre os mesmos, ou seja, nossa indagação pode ser reescrita como o seguinte problema:
É possível encontrarum número δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ garanta que |f(x)− L| < ε
para todo ε > 0
Ou para o nosso exemplo:
É possível encontrar um número δ > 0 tal que
0 < |x− 3| < δ garanta que |f(x)− 5| < ε
para todo ε > 0
A partir desse momento, vamos analisar o exemplo dado. Suponha que ε = 0, 1. Ou seja nosso
questionamento agora é: encontrar δ > 0 tal que
0 < |x− 3| < δ ⇒ |f(x)− 5| < 0, 1
Para encontrar esse δ > 0, podemos utilizar o seguinte procedimento:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ > 0;
(ii) Verificar se o valor de δ encontrado no passo anterior é válido.
Agora, vamos utilizar esse procedimento no nosso exemplo.
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Vamos imaginar que existe δ > 0 tal que se tomarmos x 6= 3, mas
a uma distância δ de 3, obtemos que
|f(x)− 5| < 0, 1
Desse modo,
|(2x− 1)− 5| < 0, 1 ⇒ |2x− 6| < 0, 1
⇒ |2(x− 3)| < 0, 1
⇒ |2|.|x− 3| < 0, 1
⇒ 2|x− 3| < 0, 1
⇒ |x− 3| < 0, 05
Agora, note que para que |f(x)− 5| < 0, 1 temos que adotar δ = 0, 05.
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(ii) Verificar se o δ encontrado é válido. Para isso, fazemos 0 < |x − 3| < 0, 05, e obtemos pelas
propriedades de módulo e das desigualdades que
0 < |x− 3| < 0, 05 ⇒ −0, 05 < x− 3 < 0, 05
⇒ −0, 1 < 2(x− 3) < 0, 1
⇒ −0, 1 < (2x− 1)− 5 < 0, 1
⇒ |(2x− 1)− 5| < 0, 1.
Mas se tomarmos ε = 0, 01? Procedemos da mesma forma e obtemos δ = 0, 005. E se ε = 0, 0001?
Utilizamos o mesmo procedimento e garantimos que δ = 0, 0005. Então,e se considerarmos qualquer ε > 0?
Qual o valor de δ? Vamos utilizar o procedimento acima:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Considere que existe δ > 0 tal que se tomarmos 0 < |x− 3| < δ,
obtemos que |f(x)− 5| < ε. Dessa forma,
|(2x− 1)− 5| < ε ⇒ |2x− 6| < ε
⇒ |2|.|x− 3| < ε
⇒ |x− 3| < ε
2
Então encontramos que δ =
ε
2
(ii) Verificar se o valor de δ é válido. Tomando δ =
ε
2
, obtemos que 0 < |x− 3| < ε2 . Logo,
0 < |x− 3| < ε
2
⇒ −ε
2
< x− 3 < ε
2
⇒ −ε < 2x− 6ε
⇒ |(2x− 1)− 5| < ε
�
Desse modo, podemos definir limite mais precisamente através da seguinte definição:
Definição 2 (Limite de Uma Função). Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contenha
o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então, dizemos que o limite de f quando x tende a a
é L e escrevemos
lim
x→a f(x) = L
se para todo número ε > 0 existe um número δ > 0 tal que
Se 0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < ε
Podemos também reformular a definição 2 em notação de intervalos, pois
0 < |x− a| < δ ⇔ −δ < x− a < δ ⇔ a− δ < x < a+ δ
Mostrando que x pertence ao intervalo aberto (a− δ, a+ δ). E
0 < |f(x)− L| < ε⇔ −ε < f(x)− L < ε⇔ L− ε < f(x) < L+ ε
Mostrando que f(x) pertence ao intervalo aberto (L− ε, L+ ε). E assim, lim
x→a f(x) = L significa que
para todo ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que se x ∈ (a− δ, a+ δ) então f(x) ∈ (L− ε, L+ ε).
Uma interpretação geométrica do limite de uma função é dada em termos do seu gráfico. Para isso,
considere o seguinte gráfico de uma função f , tal que lim
x→a f(x) = L.
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Figura 6: Representação Geométrica do Limite (1)
Agora, representaremos o limite L por uma reta tracejada paralela ao eixo x.
Figura 7: Representação Geométrica do Limite(2)
Sendo assim, representamos o intervalo (L− ε, L+ ε), e desenhamos uma faixa de amplitude 2ε e que
contenha a reta que passa por L
Figura 8: Representação Geométrica do Limite(3)
Feito isso, podemos determinar um intervalo (a − δ, a + δ) no domínio tal que o gráfico da função f
nos pontos desse intervalo fica totalmente contido na faixa y = L− ε a y = L+ ε.
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Figura 9: Representação Geométrica do Limite(4)
Note que se diminuirmos mais o valor de ε, estamos encurtando a faixa que contém L, mas mesmo
assim, conseguimos achar outro δ tal que o ocorrido no passo anterior aconteça novamente.
Figura 10: Representação Geométrica do Limite(5)
Sendo assim, vamos a alguns exemplos:
Exemplo 7. Vamos mostrar que lim
x→a c = c (O Limite da função constante é a própria constante).
Solução: Vamos utilizar o procedimento.
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Suponha que existe δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ então
|f(x)− c| < ε. Mas note que
|f(x)− c| = |c− c| = 0 < ε
Logo, δ pode ser qualquer valor positivo. A verificação é imediata.
�
Exemplo 8. Vamos mostrar que lim
x→ax = a.
Solução: Mais uma vez, fazendo uso do procedimento, temos que
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Suponha que existe δ tal que se 0 < |x−a| < δ então |f(x)−a| < ε.
Sendo assim,
|f(x)− a| < ε⇒ |x− a| < ε
Assim, δ = ε.
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(ii) Verificação do Valor de δ. Se δ = ε, então 0 < |x− a| < ε. Logo,
0 < |x− a| < ε ⇒ −ε < x− a < ε
⇒ −ε < f(x)− a < ε
⇒ |f(x)− a| < ε
�
Exemplo 9. Prove que lim
x→2
(4x− 5) = 3
Solução:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Queremos determinar δ > 0 tal que se 0 < |x − 2| < δ então
|f(x)− 5| < ε, para todo ε > 0. Porém, note que
|f(x)− 3| = |(4x− 5)− 3| = |4x− 8| = |4(x− 2)| = 4|x− 2| < ε⇒ |x− 2| < ε
4
Logo, δ =
ε
4
.
(ii) Verificar se o valor de δ é válido. Se tomarmos δ =
ε
4
, então
0 < |x− 2| < ε
4
⇒ −ε
4
< x− 2 < ε
4
⇒ −ε < 4x− 8 < ε
⇒ |(4x− 5)− 3| < ε
�
Exemplo 10. Verifique que lim
x→3
x2 = 9.
Solução:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Vamos determinar o valor de δ > 0 tal que se 0 < |x − 3| < δ
então |f(x)− 9| < ε. Logo, notamos que
|f(x)− 9| = |x2 − 9| = |(x− 3)(x+ 3)| = |x− 3||x+ 3|
Agora, queremos estimar |x+ 3|, ou seja, encontrar uma constante C > 0 tal que |x+ 3| < C, pois
assim,
|x+ 3||x− 3| < C|x− 3|
E assim, podemos fazer
C|x− 3| < ε⇒ |x− 3| < ε
C
= δ
Como queremos números x bem próximos de 3, não é absurdo supor que
|x− 3| < 1 (1)
Então,
|x− 3| < 1⇒ −1 < x− 3 < 1⇒ 2 < x < 4 (2)
Pela propriedades das desigualdades, temos por 2 que
5 < x+ 3 < 7⇒ −7 < 5 < x+ 3 < 7⇒ −7 < x+ 3 < 7⇒ |x+ 3| < 7 (3)
Logo a constante procurada é C = 7. Mas observe que agora temos duas restrições para δ.
|x− 3| < 1 e |x− 3| < ε
7
Logo, escolhemos
δ = min
{
1,
ε
7
}
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(ii) Verificar se δ é válido. Seja δ = min
{
1,
ε
7
}
e que 0 < |x− 3| < δ. Note que
|f(x)− 9| = |x2 − 9| = |x+ 3||x− 3| < 7δ
Agora, se δ =
ε
7
então,
|f(x)− 9| = |x2 − 9| = |x+ 3||x− 3| < 7δ = 7ε
7
= ε
Se δ = 1, então 1 <
ε
7
. Logo,
|f(x)− 9| = |x2 − 9| = |x+ 3||x− 3| < 7δ = 7.1 < 7ε
7
= ε
Em todos os casos, obtemos que |f(x)− 9| < ε
�
Note que para a função quadrática, mostrar um limite pela definição apresenta certa dificuldade, imagine
se tivermos a função:
f(x) =
x3 − 4x7 + 6x11√
x4 − x2 + 1
Por isso, na próxima seção utilizaremos alguns resultados que nos permite calcular o limite de outras
funções utilizando apenas as funções elementares.
2.1 Propriedades de Limites
Teorema 1. Supondo c uma constante e que os limites
lim
x→a f(x) e limx→a g(x)
existem, então:
1. lim
x→a[f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x) (O limite da soma é a soma dos limites);
2. lim
x→a[f(x)− g(x)] = limx→a f(x)− limx→a g(x) (O limite da diferença é a diferença dos limites);
3. lim
x→a[cf(x)] = c limx→a f(x) (O limite do produto por uma constante é a constante vez o limite da
função);
4. lim
x→a[f(x).g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x) (O limite do produto é o produto dos limites);
5. Se g(x) 6= 0 e lim
x→a g(x) 6= 0 então limx→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a f(x)
lim
x→a g(x)
(O limite do quociente é o quociente dos
limites).
Vamos analisar alguns exemplos:
Exemplo 11. Verifique que lim
x→ax
2 = a2, para qualquer a ∈ R.
Solução: Sabemos pelo exemplo 8 que lim
x→ax = a.Logo, tomando f(x) = x e g(x) = x, segue da
propriedade (4) que
lim
x→ax
2 = lim
x→ax.x = limx→ax. limx→ax = a.a = a
2
�
Exemplo 12. Verifique que lim
x→2
(−3x2 + 2x+ 10) = 2.
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Solução: Sabemos que
lim
x→2
x2 = 22 = 4
lim
x→2
x = 2
lim
x→2
10 = 10
Então, segue do teorema 5 que
lim
x→2
(−3x2 + 2x+ 10) = lim
x→2
(−3x2) + lim
x→2
2x+ lim
x→2
10 (Propriedade 1)
= −3
(
lim
x→2
x2
)
+ 2
(
lim
x→2
x
)
+ lim
x→2
10 (Propriedade 3)
= −3.4 + 2.2 + 10
= 2
�
Mediante os dois últimos exemplos podemos enunciar o seguinte resultado.
Teorema 2. Seja f uma função polinomial dada por
f(x) = cnx
n + cn−1xn−1 + ...+ c1x+ c0
Então
lim
x→a f(x) = cna
n + cn−1an−1 + ...+ c1a+ c0
O teorema acima pode ser provado utilizando o teorema 5. Em posse desse resultado, podemos resolver
o seguinte exemplo:
Exemplo 13. Calcule lim
x→−1
(x5 + 7x4 − 12x3 + 6x2 − 10x+ 1).
Pelo teorema 2, obtemos que
lim
x→−1
(x5 + 7x4 − 12x3 + 6x2 − 10x+ 1) = (−1)5 + 7.(−1)4 − 12.(−1)3 + 6.(−1)2 + 10.(−1) + 1
= −1 + 7 + 12 + 6− 10 + 1
= 15
�
Exemplo 14. Calcule lim
x→−5
x2 − 1
x2 + 1
.
Solução: Note que g(x) = x2 + 1 6= 0 para todo x ∈ Dg. Observe também que
lim
x→−5
x2 − 1 = (−5)2 − 1 = 25− 1 = 24
E que,
lim
x→−5
x2 + 2 = (−5)2 + 2 = 25 + 1 = 26 6= 0
Então, pela propriedade (5), obtemos que
lim
x→−5
x2 − 1
x2 + 1
=
lim
x→−5
x2 − 1
lim
x→−5
x2 + 1
=
24
26
=
12
13
�
A proposição seguinte será enunciada sem demonstração.
Proposição 1. lim
x→a
n
√
x = n
√
x, para todo a > 0.
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A ideia da sua demonstração será dada nas aulas seguintes. O próximo resultado será de grande utilidade
para nossos cálculos e reforça a ideia de que para existir o limite lim
x→a f(x), f não precisa estar definida em
a.
Teorema 3. Sejam f e g duas funções. Se existir δ > 0 tal que f(x) = g(x) para a − δ < x < a + δ,
x 6= a e se lim
x→a g(x) existir, então limx→a f(x) também existirá e
lim
x→a f(x) = limx→a g(x).
Exemplo 15. Calcule:
(a) lim
x→1
x2 − 1
x− 1 ;
(b) lim
x→3
√
x−√3
x− 3 ;
(c) lim
x→2
3
√
x− 3√2
x− 2 ;
(d) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5 .
Solução:
(i) Note que não podemos utilizar o teorema 5, pois
lim
x→1
x− 1 = 0
Então vamos tentar utilizar o teorema 3. Desse modo, devemos encontrar uma função g(x) tal que
f(x) = g(x) em todo ponto próximo de 1, tal que lim
x→1
g(x) exista. Notando pela definição da função
f(x), notamos que
f(x) =
x2 − 1
x− 1 =
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
Como consideramos pontos x próximos de 1, mas que x 6= 1, então temos que x − 1 6= 0. Dessa
forma, podemos fazer:
x2 − 1
x− 1 =
���
�(x− 1)(x+ 1)
���x− 1 = x+ 1
Logo, considerando g(x) = x+1, temos que f(x) = g(x) para todos os pontos próximos de 1, exceto
o 1. E sabemos que lim
x→1
x+ 1 = 2. Então, pelo teorema 3, temos que
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x+ 1 = 2
�
Observação 1. Nos próximos exemplos, não detalharemos tanto as contas, porém, os detalhes omi-
tidos são análogos ao item (a).
(b) Nossa intenção é utilizar o teorema 3, pois
lim
x→3
x− 3 = 0
Logo, para pontos x próximos de 3, mas x 6= 3, temos
f(x) =
√
x−√3
x− 3 =
√
x−√3
(
√
x)2 − (√3)2
= �
���
�√
x−√3
(
√
x+
√
3)���
���(
√
x−√3)
=
1√
x+
√
3
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Logo,
lim
x→3
√
x−√3
x− 3 = limx→3
1√
x+
√
3
=
1
2
√
3
�
(c) Utilizaremos o teorema 3. Sendo assim,
lim
x→2
3
√
x− 3√2
x− 2 = limx→2
3
√
x− 3√2
( 3
√
x)3 − ( 3√2)3
= lim
x→2
���
��3√x− 3√2
���
���( 3
√
x− 3√2)(( 3√x)2 + 3√x 3√2 + ( 3√2)2))
= lim
x→2
1
( 3
√
x)2 + 3
√
x 3
√
2 + ( 3
√
2)2
=
1
3 3
√
4
�
(d) Utilizando o teorema 3 e o teorema 5, obtemos que
lim
x→1
√
x−√1√
2x+ 3−√5 = limx→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
(
√
2x+ 3)2 − (√5)2
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2x+ 3− 5
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2x− 2
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2(x− 1)
= lim
x→1
√
x− 1
x− 1 limx→1
√
2x+ 3 +
√
5
2
Agora, note que
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
√
x− 1
(
√
x)2 − (√1)2
= lim
x→1
���
�√x− 1
���
��(
√
x− 1)(√x+ 1)
= lim
x→1
1√
x+ 1
=
1
2
E note também que
lim
x→1
√
2x+ 3 +
√
5
2
=
√
2.1 + 3 +
√
5
2
=
2
√
5
2
=
√
5
Logo,
lim
x→1
√
x−√1√
2x+ 3−√5 =
√
5
2
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3 Funções Contínuas
Definição 3. Seja I um intervalo e a ∈ I, dizemos que uma função f : I → R é contínua em a se
lim
x→a f(x) = f(a)
Observação 2. Para que f seja contínua em a, devem ser satisfeitas as seguintes afirmações:
(1) f está definida em a;
(2) lim
x→a f(x) existe e;
(3) lim
x→a f(x) = f(a).
Exemplo 16. As funções f, g : R→ R dada por f(x) = c e g(x) = x são contínuas em todo a ∈ R.
Solução: Seja a um número real qualquer. Então
lim
x→a f(x) = limx→a c = c = f(a)
E também
lim
x→a g(x) = limx→ax = a = g(a)
Logo, as funções constante e identidade são contínuas �
Observação 3. Dizemos que uma função é contínua em um intervalo I se ela é contínua em todos os
x ∈ I.
Graficamente, podemos reconhecer o gráfico de uma função contínua como sendo um gráfico sem
�problemas�, em outras palavras, um gráfico em que possamos traçá-lo sem tirar o lápis do papel, ou seja
um gráfico que não apresenta �furos� e �saltos�. O seguinte gráfico exemplifica tal ideia.
Se f não atende a definição 3 em a é chamada descontínua em a. Graficamente, podemos reconhecer
que uma função é descontínua se o seu gráfico apresenta �furos� e �saltos�, tais como os gráficos dos
seguintes exemplos:
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Figura 11: Gráfico de uma função descontínua(1)
Figura 12: Gráfico de uma função descontínua(2)
Figura 13: Gráfico de uma função descontínua(2)
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Figura 14: Gráfico de uma função descontínua(3)
Como é do nosso interesse efetuarmos certos cálculos com funções contínuas, exibiremos o próximo
teorema que lista as principais funções contínuas.
Teorema 4. As seguintes funções são contínuas em seus respectivos domínios:
(i) Polinomiais;
(ii) Racionais;
(iii) Exponenciais;
(iv) Trigonométricas;
(v) Potências;
(vi) Logarítmicas.
Mostraremos alguns exemplos de utilização desse teorema.
Exemplo 17. Calcule:
(a) lim
x→2
5x2 − 6x+ 2;
(b) lim
x→3
3x2 + 2x
5x− 10 ;
(c) lim
x→−1
e−x;
(d) lim
x→0
senx;
(e) lim
x→4pi
cosx;
(f) lim
x→10
5
√
x;
(g) lim
x→25
lnx.
Solução: Utilizando o teorema 4, obtemos que
(a)
lim
x→2
5x2 − 6x+ 2 = 5.22 − 6.2 + 2 = 20− 12 + 2 = 10
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(b) Fazendo f(x) =
3x2 + 2x
5x− 10 , temos que 5.3− 10 = 5 6= 0. Logo, 3 ∈ Df . Dessa forma,
lim
x→3
3x2 + 2x
5x− 10 =
3.32 + 2.3
5.3− 10 =
33
5
(c)
lim
x→−1
e−x = e−(−1) = e1 = e
(d)
lim
x→0
senx = sen 0 = 0
(e)
lim
x→4pi
cosx = cos(4pi) = 1
(f)
lim
x→10
5
√
x =
5
√
10
(g)
lim
x→25
lnx = ln 25 = ln 52 = 2 ln 5
�
3.1 Operações com Funções Contínuas
O resultado dessa seção é de grande importância para efetuarmos cálculos com funções contínuas.
Teorema 5. Sejam f, g : I → R funções contínuas em a ∈ I e considere c uma constante. Então,
(i) f + g é contínua em a e lim
x→a(f + g)(x) = f(a) + g(a);(ii) f − g é contínua em a e lim
x→a(f − g)(x) = f(a)− g(a);
(iii) cf é contínua em a e lim
x→a(cf)(x) = cf(a);
(iv) fg é contínua em a e lim
x→a(fg)(x) = f(a)g(a);
(v) Se além disso, g(a) 6= 0 então f
g
é contínua em a e lim
x→a
(
f
g
)
(x) =
f(a)
g(a)
Os seguintes exemplos ilustram bem a utilização do teorema 5.
Exemplo 18. Calcule:
(a) lim
x→−2
x2 − 6x+ 2
x3 − 4x+ 5 ;
(b) lim
x→5
x2 + lnx− 6senx
x2 − 16x ;
(c) lim
x→0
2x− cosx+ 1
2x− 1 ;
(d) lim
x→2pi
ex(tgx+ cossecx);
(e) lim
x→3
(x2 − 6x)(3x− 5)(x− 10).
Solução:
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(a) Escrevendo
h(x) =
x2 − 6x+ 2
x3 − 4x+ 5 =
f(x)
g(x)
onde
f(x) = x2 − 6x+ 2 e g(x) = x3 − 4x+ 5.
Podemos entender f(x) e g(x) como soma de funções:
f(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) e g(x) = g1(x) + g2(x) + g3(x)
dadas por
f1(x) = x
2
f2(x) = −6x
f3(x) = 2
g1(x) = x
3
g2(x) = −4x
g3(x) = 5
Note que as funções f1(x), f2(x),f3(x), g1(x), g2(x) e g3(x) são contínuas. Então, pelo teorema 5
(i) temos que f(x) e g(x) são contínuas. Sendo assim,
lim
x→−2
f(x) = (−2)2 − 6.(−2) + 2 = 18
e
lim
x→−2
g(x) = (−2)3 − 4.(−2) + 5 = 5
Como g(−2) 6= 0 então, segue do item (v) que
lim
x→−2
h(x) = lim
x→−2
f(x)
g(x)
=
18
5
Os próximos limites serão calculados diretamente, sem explicitar todos os passos do cálculo.
(b) Considere
h(x) =
x2 + lnx+−6senx
x2 − 16x =
f(x)
g(x)
Noter que f(x) e g(x) são funções contínuas, pois são soma e diferença de funções contínuas. Agora,
note que
g(5) = 52 − 16.5 = 25− 80 = −55 6= 0
Logo, pelo teorema 5 (v), temos que
lim
x→5
x2 + lnx+−6senx
x2 − 16x =
52 + ln 5− 6sen 5
52 − 16.5 =
25 + ln 5− 6sen 5
−55
(c) Observe que
h(x) =
2x− cosx+ 1
2x− 1
f(x)
g(x)
em que f(x) = 2x− cosx+ 1 e g(x) = 2x− 1. Note que f(x) e g(x) são contínuas, pois são soma
de funções contínuas. Agora, como
g(0) = 2.0− 1 = −1 6= 0
então, segue do teorema 5 (v) que
lim
x→0
2x− cosx+ 1
2x− 1 =
2.0− cos 0 + 1
2.0− 1 =
0
−1 = 0
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(d) Consideremos
h(x) = ex(tgx+ cossecx) = f(x).g(x)
onde f(x) = ex e g(x) = (tgx+ cossecx). Como f(x) e g(x) são contínuas, então segue do teorema
5, item (iv), que
lim
x→2pi
ex(tgx+ secx) = e2pi(tg2pi + sec 2pi) = e2pi(0 + 1) = e2pi
(e) Note que podemos escrever
p(x) = (x2 − 6x)(3x− 5)(x− 10) = f(x)g(x)h(x)
em que f(x) = x2 − 6x, g(x) = 3x− 5 e h(x) = x− 10. Note que f(x), g(x) e h(x) são contínuas,
pois são soma de funções contínuas. Logo, segue do teorema 5, item (iv), que
lim
x→3
(x2 − 6x)(3x− 5)(x− 10) = (32 − 6.3)(3.3− 5)(3− 10) = (−9).4.(−7) = 252
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 78− 107 e 109− 117 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 79, 80, 88− 91, 98− 100, 107− 109 e 117− 119 do livro texto.
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