AULA 5 CÁLCULO NUMÉRICO

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AULA 5 - CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Introdução
Temos por objetivo aprender métodos para achar a solução de Sistema de Equações Lineares, os quais aplicaremos no desenvolvimento de outros Métodos Numéricos que ainda vamos aprender no decorrer deste curso. Tais métodos estão presentes na resolução de problemas em Engenharia e veremos como implementa-los.
Sistemas de Equações Lineares
Nesta aula, veremos a resolução de Sistemas de Equações Lineares, utilizando métodos diretos e métodos iterativos. Tais métodos são importantes para resoluções de alguns métodos numéricos que veremos na próxima aula.
São aqueles que fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.
Dentre eles, estudaremos: Método de Gauss-Jordan e Método da Decomposição LU
Método de Gauss-Jordan
Lembre-se que deveremos resolver o exemplo em 2 passos:
1º passo: Transformar o sistema linear na forma de matriz completa
Observação: Podemos escrever o sistema como AX = B. Onde A é a matriz dos coeficientes, X a matriz das incógnitas, e B a matriz dos termos independentes.
 2º passo: Transformaremos o sistema em um sistema cuja matriz dos coeficientes seja a matriz identidade, tomando em cada passo como pivô os elementos da diagonal da matriz A. Para isso, trabalharemos com a matriz completa.
Aceitaremos o primeiro pivô, no exemplo, como o primeiro elemento da primeira linha (primeiro elemento da diagonal principal, a11) não nulo. Os elementos abaixo do pivô deverão ser anulados, utilizando operações elementares com a linha que contém o pivô e as respectivas linhas abaixo do pivô.
 Observação 1: Quando passarmos para a segunda linha, o pivô será o elemento não nulo a22, os elementos a serem anulados deverão ser os abaixo (a32) e os acima (a12) do pivô, e assim sucessivamente. 
Observação 2: Caso o pivô seja nulo, devemos fazer troca de linha, de forma que o elemento pivô seja diferente de zero. 
Exemplo: Nosso primeiro pivô é o elemento a11= 1. Devemos zerar o elemento a21, utilizando operações elementares com as linhas 1 e 2; modificando, assim, toda linha 2. E depois zerar o elemento a31, utilizando operações elementares com as linhas 1 e 3; modificando, assim, toda linha 3.
Neste exemplo, multiplique a linha 1 por -2 e some com a linha 2. O resultado será uma nova linha, cujo primeiro elemento obrigatoriamente é nulo (L2 -2 L1 + L2). Esta nova linha será a nova linha 2. Analogamente, podemos anular o elemento a31 (L3 -3 L1 + L3).
O novo sistema ficará:
Para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a22 em 1, dividindo toda a linha 2 por 2.
Ficando assim:
O procedimento se repete com o próximo pivô, ou seja, o elemento da diagonal principal que está na próxima linha (2). Pivô: a22. Anularemos os elementos a12 com a operação L1 -2 L2 + L1 e o elemento a32 com a operação L3 -3 L2 + L3, da mesma forma como foi feito anteriormente.
Novamente, para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a33 em 1, multiplicar toda a linha 3 por -2 (ou dividir por -1/2).
Anularemos o elemento a13 realizando a operação L2 7/2 L3 + L2 e o elemento a23 com a operação L1 -11/2 L3 + L1, que se encontram acima do pivô a33, utilizando os mesmos procedimentos. Assim, encontrando a matriz abaixo.
Então, podemos ver que esta matriz determina que x = 1, y = 2 e z = 3.
Cálculo Numérico
 
Método da Decomposição LU
Novamente, trabalharemos com a matriz escrita na forma Ax = B.
 O processo de decomposição LU consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que levará a solução do sistema original. 
Então, teremos A = LU; onde L é uma matriz triangular inferior de ordem m x n com diagonal principal contendo apenas 1’s, e U é uma matriz de ordem m x n que é da forma escalonada reduzida de A.
Método da Decomposição LU ou Fatoração Lu
Exemplo: A matriz A ficará definida como:
Observação: A matriz L não possui inversa, isto é, a matriz L é inversível. O sistema AX = B poderá ser rescrito no formato L(UX) = B. 
Denominaremos UX = y. Logo, podemos determinar X resolvendo o par de equações: Ly = B e UX = y.
Exemplo: Supondo 
Usaremos o processo de Gauss para triangularizar a matriz A. Primeiro, observe se será necessário o pivotemento de alguma linha.
1º Passo: Primeiro Pivô a11= 3. Então, faremos L1 L1, L2 L2 – m21 L1, L3 L3 – m31 L1; onde:
2º Passo: Segundo Pivô a22= 1/3. Então, faremos L1 L1, L2 L2, L3 L3 – m32 L2; onde:
3º Passo: Definimos, com isso, a matriz U:
4º Passo: A Matriz L será a matriz triangular inferior com diagonal com 1’s e definida pelos multiplicadores m21, m31 e m32. Como podemos observar no exemplo:
5º Passo: Resolveremos o par de equações: Ly = B e UX = y.
Primeiro, encontraremos y:
Em seguida, igualdade de matrizes, o sistema pode ser resolvido encontrando 
y1=1, y2 = 5/3, y3 = 0
6º Passo: Encontraremos os valores de x:
Em seguida, igualdade de matrizes, encontraremos os valores de x procurados inicialmente: x1= -3, x2 = 5 e x3 = 0.
Métodos iterativos
 
Método de Gauss-Jacob
Exemplo: Supondo
O método consiste em dado x0 (aproximação inicial) obter x1 , ...xk , através da relação recursiva: x k+1 = Cxk + G pode ser escrito na forma:
Exemplo: Seja
1º Passo: Observe que x corresponde na definicao do método a , y a e z a , ou seja, podemos reescrever o sistema como:
2º Passo: Portanto, podemos reescrever da forma:
3º Passo: Podemos, a partir do 2º passo, definir a matriz
e a matriz
4º Passo: Iniciamos o processo iterativo. Assim, temos para k = 0:
5º Passo: Como realizamos a primeira iteração, faremos o teste de parada para verificar se a solução encontrada alcançou a precisão desejada. O teste de parada será realizado a cada iteração.
Teste de Parada:
Observação: Podemos usar como teste de parada um número máximo de iterações.
Exemplo:
O procedimento para quando alcançamos a precisão desejada ou o máximo de iteração desejada. Para chegarmos a = 0.05 deveremos fazer mais duas iterações. Você deverá fazer como exercício para verificar a seguinte resposta:
Observação: O método de Gauss-Jacobi tem a convergência garantida, se o critério das linhas for satisfeito.
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é semelhante ao método de Jacobi, ou seja, transforma o sistema linear AX= B em X=CX+G por separação da diagonal.
Exemplo: Supondo
Da mesma forma que o método anterior, dado x0 (aproximação inicial) obter x1 , ...xk , através da relação recursiva: x k+1 = Cxk + G
Podemos escrever na forma:
2º Passo: Portanto podemos reescrever:
Teste de Parada:
Comparando os métodos numéricos
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou, comparou e aplicou diferentes métodos para solução de Sistemas de Equações Lineares.