AULA 6 CÁLCULO NUMÉRICO

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AULA 6 - CÁLCULO NUMÉRICO
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
Introdução
Nesta aula aplicaremos os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e aprenderemos como implementá-los. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura que envolvem interpolação polinomial e ajuste de funções.
A interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de realizar ou facilitar certas operações matemáticas.  
Tal procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas.
Exemplo: Um experimento tem como resultado uma tabela, onde são definidos a temperatura e o calor específico de um material específico. Suponha que, em algum momento, precisa-se calcular o calor específico em certa temperatura que não se encontra na tabela ou mesmo saber qual a temperatura para certo calor específico. Para estes casos, necessitamos fazer a interpolação polinomial. 
Definição: Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) ), faremos a aproximação de f(x) por um polinômio de grau menor ou igual a n. Tal que: F(xn) = Pn (xn), onde k=0,1,2, ...,n Observe que possuímos n+1 pontos, pois partimos de x0 . Através de demonstração matemática garante-se que tal polinômio Pn(x) que se deseja construir existe e é único, desde que possua grau menor ou igual a n, tal que Pn (xk) = f(xk), k = 0,1,2,...,n, desde que xk ≠ xj, j ≠ k. 
Modos de se obter Pn (x) 
Vimos que é possível, e de uma maneira única, definir o polinômio Pn (x). Porém, existem várias maneiras de encontrá-lo. Dentre estas veremos o método de Lagrange e o método de Newton.
Métodos de Lagrange
Exemplo:
Suponha a interpolação linear em dois pontos distintos x0 e x1, com o par ordenado (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)). O polinômio que iremos definir é de grau n = 1 e Pn (x) é função linear. Portanto, usando a forma de Lagrange ficamos com:
Na disciplina de álgebra linear aprendemos a escrever a equação da reta através do determinante de uma matriz, ou seja, o determinante de:
Exemplo: Vamos supor que possuímos dois pares ordenados (-1, 4) e (0,1) Então, a interpolação linear, usando a forma de Lagrange, ficaria:
Método de Newton
Exemplo:
Ajuste de Funções
Casos Discreto
Exemplo: Seja a tabela abaixo resultado de um experimento, montaremos o diagrama de dispersão e definiremos a função que mais se aproxima da curva:
Caso Contínuo
Caso Não Linear
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou e aplicou técnicas de aproximação de funções, ou seja, interpolação polinomial e ajuste de funções;
Utilizou o conhecimento aprendido nas unidades anteriores;
Aplicou os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia;
Implementou e compreendeu graficamente os Métodos Numéricos;
Resolveu alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.