CÁLCULO NUMÉRICO AV2 DISCURSIVAS

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CÁLCULO NUMÉRICO – AV2 - DISCURSIVAS
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que desejemos fazer a interpolação utilizando o método de Lagrange dos seguintes pontos A (0,1), B(1,-1) e C(-1, 5).
Gabarito: P(x) = x2 -3x + 1
A partir do método de Euler, é possível resolver a equação y' = 1 - x + 4y com a condição inicial y(0)= 1 para o intervalo [0,1] com passo h = 0,1. Determine o valor de y(0,1). Dado: yn+1 = yn + h.f(xn,yn) e xn+1 = xn + h
Gabarito: X1 = 0 + 0,1 / Yn+1 = yn + 0,1. (1 - xn + 4.yn). Assim, Y1 = 1 + 0,1 . (1 - 0,1 + 4.1) e portanto Y1 = 1 + 0,1 . (4,9) e Y1 = 1,49
Dada a equação diferencial y" + 4y = 0, cuja solução geral é dada por y = C1.cos2x + C2.sen2x. Resolva o problema de valor inicial (determine c1 e c2) com as seguintes condições y(0) = 1 e y´(0) =0
GABARITO: 
 y = C1.cos2x + C2.sen2x. Logo, y(0) = C1.cos0 + C2.sen0 o que implica que C1 = 1 / Y´= -2.C1.sen2x + 2.C2.cos2x. Logo, Y´(0) = -2.C1.sen0 + 2.C2.cos0 o que implica 0 = 0 + 2.C2..1 e C2 = 0
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Utilizando a Regra do Trapézio Repetido para realizar o primeiro passo do esquema da integração de Romberg para obter uma aproximação da integral definida de senx com limites ZERO e PI radianos para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 6, encontramos o valor de 1,99839336. Se o valor exato desta integral é 2,000000, encontre o erro percentual.
GABARITO: (2 - 1,99839336)/2 = 0,0008 = 0,08%
Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E<=10^-2 usando o método da bisseção f(x)=x+logx=0
GABARITO: 0,3168
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 3, determine o valor de a para esta condição.
GABARITO: y(x) = a.e^x = 3 = a.e^0= a = 3
Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E<=10^-3 usando o método das cordas f(x)=2x^3+x^2-2=0
GABARITO: 0,8581
Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E<=10^-2 usando o método de bisseção f(x)=2x^3+x^2-2=0
GABARITO: 0,3990
Considere a seguinte integral definida . Seu valor exato é 0,25. Determine o erro ao se resolver esta integral definida utilizando o método dos trapézios com quatro intervalos (n=4)
GABARITO: Erro = 0,2656 - 0,25 = 0,0156
Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E<=10^-2 usando o método da bisseção f(x)=x+2cosx=0
GABARITO: -1,0299
Calcule pelo menos uma raiz real da equação a seguir, com E<=10^-3 usando o método Pégaso f(x)=0,1x^3-e^2x+2=0
GABARITO:  0,3476
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. Um dos métodos iterativos conhecidos para a resolução de equações é o de Newton- Raphson. Seja f(x)= x4 - 5x + 2. Encontre a fórmula iterativa de Newton-Raphson para a resolução da equação f(x) = 0.
SUGESTÃO: x1=x0 - (f(x0))/(f´(x0))
GABARITO: x1=x0 - (x4 - 3x3 + 2)/(4x3-5 )
Dada a função através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule,
aproximadamente, o valor de usando o método dos trapézios com 3 casas
decimais.
GABARITO: IT=13,900
Seja a função polinomial f(x) = 2x3 - 5x2 + 20x - 8 e um intervalo de seu domínio (0,1). Considerando a afirmativa:
"EXISTE UMA RAIZ REAL DE f(x) NO INTERVALO (0,1)"
a) A afirmativa é verdadeira ou falsa?
b) Justifique sua resposta do item (a)
GABARITO:
a) verdadeira
b) f(0) = -8 e f(1) = 9. Como f(0) x f(1) < 0, existe uma raiz
Dada a equação diferencial y" + 4y = 0, cuja solução geral é dada por y = C1.cos2x + C2.sen2x. Resolva o
problema de valor inicial (determine c1 e c2) com as seguintes condições y(0) = 1 e y´(0) =0
GABARITO: Y´= 2.C1.sen2x + 2.C2.cos2x e Y" = 4.C1.cos2x 4.C2.sen2x. Substituindo na EDO, 
4.C1.cos2x 4.C2.sen2x + 4.( C1.cos2x + C2.sen2x) = 0. Então 0 = 0 e Y é solução
As integrais definidas têm várias aplicações. Podemos destacar o cálculo de área e a determinação do
centróide de uma corpo. Um dos métodos numéricos para a resolução de integrais definidas é conhecido como método de Romberg, Cite duas características matemáticas deste método.
GABARITO: É um método de alta precisão. Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. Um dos métodos iterativos conhecidos para a resolução de equações é o de NewtonRaphson. Seja f(x)= x4 5x+ 2. Encontre a fórmula iterativa de NewtonRaphson para a resolução da equação f(x) = 0. SUGESTÃO: x1=x0 (f(x0))/(f´(x0))
GABARITO:x1=x0 (x4 3x3+ 2)/(4x35)
Considere o sistema linear abaixo. Determine os valores de x, y e z.
x+y+z=7
2x+3y-z=4
3x-y+2z=9
GABARITO:x = 1, y = 2 e z = 4
Considere a integral definida I. Utilizando o método de Romberg para determinação desta integ
determinou-se o quadro abaixo.
Considere que o valor exato desta integral é 2,003. Determine:
a) O valor de I pelo método de Romberg
b) O erro absoluto neste cálculo
GABARITO: a) 2,000 b) 0,003
Seja f(x)= x3 3x2. Determine o valor da próxima iteração , pelo método de Newton-Raphson,tomando-se como valor inicial o zero.
GABARITO: x1 = x0 f(x0)/f´(x0) x1 = 0 (2)/(3)x1 = 2/3 = 0,667
Dados ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos pelo método de Newton. Se considerarmos n = 20, qual o maior grau possível do polinômio interpolador?
GABARITO: O polinômio de maior grau que interpola 20 pontos é o de grau 19.
Considere um sistema de duas equações lineares com duas variáveis x e y. Ao estudarmos tal sistema concluimos que ele pode ser: possível e determinado, possível e indeterminado e impossível. Descreva cada uma dessas possibilidades em função do número de soluções do sistema linear. 
GABARITO: Sistema possível e determinado - apenas uma solução Sistema possível e indeterminado - infinitas soluções. Sistema impossível - sem solução 
Considera a função f de R em R tal que f(x) = 2012x +  5. Determine:
a) o valor de f(1)
b) o valor de [f(2012) - f(2010)]/2
GABARITO: 
a) 2017
b) 2012
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes de base. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são a e b com n = 100, cada base h do retângulo terá que valor.
GABARITO: h = (b-a)/100
Utilizando o critério das linhas, verificar se o sistema 3 x 3 com matriz dos coeficientes A garante condição de convergência (critério das linhas) para os métodos iterativos. A matriz A apresenta os seguintes coeficientes para a primeira linha (10, 2, 1), para a segunda linha (1, 5, 1) e para a terceira linha (2, 3, 10).
GABARITO: Há convergência pois a1 = 0,3 < 1; a2 = 0,4 < 1 e a3 = 0,5 < 1
Suponha a equação 3x^3 + 5x^2 + 1 = 0. Responda os itens a seguir: 
a) Calcule f(-1), f(0), f(1) e f(2) 
b) Diga em qual dos três intervalos existe uma raiz real da equação 
10 intervalo: (-1,0); 20 intervalo: (0,1); 30 intervalo: (1,2); 
SUGESTÃO : TEOREMA DE BOLZANO (BISSEÇÃO)
GABARITO: 
a) f(-1) = 3;  f(0) = 1; f(1) = 9 e f(2) = 45
b) Como  f(-1) x f(0) < 0 a raiz está no primeiro intervalo
Seja a função f(x)=x2+x-6 , com estimativa inicial x0=3 e critério de convergência |f(x)|=0,02, utilizando o método de Newton-Raphson encontre o E da 4ª iteração com 6 decimais.
GABARITO: x4=2,000000
Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss- Jordan. Este método consiste em gerar uma matriz diagonal (elementosque não pertencem à diagonal principal, iguais a zero). Para que o objetivo seja alcançado, várias operações elementares serão efetuadas com as linhas. Determine a matriz diagonal gerada pelo método de Gauss - Jordan do seguinte sistema.
x+y+z=7
2x+3y-z=4
3x-y+2z=9
GABARITO:
1001
0102
0014
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição inicial dada, considerando duas divisões do intervalo entre x0 e xn.
xy'=x-y y(1)=2,5 y(2)=?
GABARITO: y(2) = 1,6667
Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Considere a função f(x) = x3. Resolva a integral definida de f(x) de 0 a 1, utilizando o método dos trapézios com quatro intervalos (n=4).
GABRITO:  0,266
Equações diferenciais são equações que envolvem derivadas e são de grande importância na modelagem em engenharia. Considere a equação diferencial ordinária (EDO) y´= y - 4, onde y é uma função de x, isto é, y (x). Determine o valor da constante k para que y = ex + k seja solução desta EDO.
GABARITO: k = 4