Aula 1- Conceitos Gerais e Juros Simples

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CONCEITOS GERAIS DE MATEMÁTICA 
FINANCEIRA E JUROS SIMPLES 
Profª. Ana Elisa Périco
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP)
Campus de Araraquara
Departamento de Economia 
Plano de Aula – Conceitos Gerais
1. Juro
2. Taxa de Juro 
3. Diagrama de Fluxo de Caixa
4. Regra Básica 
5. Critérios de Capitalização dos Juros 
Juro
Valor do dinheiro no tempo!
Taxas de juros devem ser eficientes de forma a remunerar:
• o risco da operação (empréstimo ou aplicação);
• a perda do poder de compra do capital (inflação);
• o valor em sim (custo de oportunidade).
Taxa de Juros
• Na forma percentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital.
Ex.: 12% ao ano.
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital.
Ex.: 0,12 ao ano.
Taxa de Juros
Taxa Percentual Taxa Unitária
1,5% 0,015
8% 0,08
17% 0,17
86% 0,86
120% 1,20
1.500% 15,00
Cálculo de Juros
A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente
proporcional:
Diagrama do Fluxo de Caixa
Regra Básica
Em operações de matemática financeira, tanto o prazo da
operação como a taxa de juros devem estar expressos na
mesma unidade de tempo.
Exemplo: Admita que um fundo de poupança esteja oferecendo
juros de 2% a.m. e os rendimentos creditados mensalmente.
Neste caso, o prazo que a que se refere a taxa (mês) e o período de
capitalização do fundo (mensal) são coincidentes, atendendo à
regra básica.
Critérios de Capitalização dos Juros
• Capitalização Simples (ou linear):
Exemplo: admita-se um empréstimos de $ 1.000, pelo prazo de 5 anos,
(prestações anuais) pagando-se a juros simples a razão de 10% a.a.
Critérios de Capitalização dos Juros
Ano Saldo no início 
de cada ano ($)
Juros apurados 
para cada ano 
($)
Saldo devedor 
ao final de cada 
ano ($)
Crescimento 
anual do saldo 
devedor ($)
Início do 1° ano - - 1.000,00 -
Fim do 1° ano 1.000,00 0,10 x 1.000 = 
100
1.100,00 100,00
Fim do 2° ano 1.100,00 0,10 x 1.000 = 
100
1.200,00 100,00
Fim do 3° ano 1.200,00 0,10 x 1.000 = 
100
1.300,00 100,00
Fim do 4° ano 1.300,00 0,10 x 1.000 = 
100
1.400,00 100,00
Fim do 5° ano 1.400,00 0,10 x 1.000 = 
100
1.500,00 100,00
Critérios de Capitalização dos Juros
Ano Saldo no início 
de cada ano ($)
Juros apurados para 
cada ano ($)
Saldo devedor ao 
final de cada ano 
($)
Início do 1° ano - - 1.000,00
Fim do 1° ano 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 1.100,00
Fim do 2° ano 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 1.210,00
Fim do 3° ano 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 1.331,00
Fim do 4° ano 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 1.464,10
Fim do 5° ano 1.464,10 0,10 x 1.464,1 = 146,41 1.610,51
• Capitalização Composta (ou exponencial):
Plano de Aula – Juros Simples
1. Cálculo dos Juros
2. Montante 
3. Taxa Proporcional
4. Taxa Equivalente
5. Períodos Não Inteiros
6. Juro Exato e Juro Comercial
7. Diagramas de Capital no Tempo (Fluxo de Caixa)
8. Valor Nominal
9. Valor Atual
10. Valor Futuro
Cálculo de Juros
A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente
proporcional:
Cálculo de Juros
FÓRMULA BÁSICA:
Onde:
J= Juro (em $)
C = Capital inicial (principal)
i = Taxa de Juros (na forma unitária)
n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $ 1.000,00 pelo
prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago
como juro?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com taxas de juros na forma unitária, temos o juro do
primeiro ano como sendo:
Exemplo
No segundo ano teremos:
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano (J1) mais
o juro devido no segundo ano (J2):
Ou então pode-se resolver o problema diretamente:
Cálculo do Juros
VARIAÇÕES DA FÓRMULA BÁSICA:
Montante
Montante é a soma do Capital Aplicado mais o Juro.
N = C + (C x i x n)
N = C (1 + i x n)
Montante
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de
10% a.a. Pelo prazo de 2 anos?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
Substituindo-se os valores:
Montante
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por 
montante:
a) Calculando o juro devido:
b) Somando-se o juro com o principal: 
N = C + J
N = 1.000,00 + 200,00 = $ 1.200
Montante
Exemplo 
Uma pessoa aplica $18.000 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. 
Determinar o valor acumulado ao final do período.
C = $ 18.000
i = 1,5% ao mês
n = 8 meses
M = ?
M = C (1 + i x n)
M = 18.000(1 + 0,015 x 8)
M = 18.000 x 1,12 = $ 20.160,00
Taxa proporcional
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida 
ao período n2) se:
Ou ainda:
Exemplo
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são
proporcionais:
Resolução:
Temos:
i1 = 5% a.t.  0,05
i2 = 20% a.a. 0,20
n1 = 3 meses
n2 = 12 meses
0,016667 = 0,016667
5% a.t. e 20% a.a. são proporcionais!
Taxa Equivalente
Duas taxas de juros são equivalentes se, aplicadas ao mesmo capital
e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro!
No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são
igualmente equivalentes.
Exemplo
Seja um capital de $ 10.000 que pode ser aplicado alternativamente
à taxa de 2% a.m. ou 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2
anos, verificar se as taxas são equivalentes.
Resolução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos:
J1 = 10.000 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00
Aplicando o principal à taxa de 24% a.a. e pelo prazo de 2 anos, teremos:
J2 = 10.000 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00
Ambas as taxas produziram o mesmo valor de juros  são equivalentes!
Períodos Não Inteiros
Quando o prazo de aplicação/financiamento não é um número
inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o
juro correspondente.
O juro total é a soma do juro referente à parte inteira com o juro da
parte fracionária.
Exemplo
Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é
aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de
5 anos e 9 meses?
Resolução:
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:
5 x 2 semestre = 10 semestres
9 meses = 1 semestre e 3 meses
a) Cálculo de juro:
1ª etapa:
J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00
2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
x = 6% a.t.
Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00
Logo, o total de juros é:
J = J1 + J2
J = 1.320,00 + 60,00 = $ 1.380,00
Observe que a solução se obtém mais rapidamente lembrando-se que
3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições, 5 anos e 9 meses
equivalem a 11,5 semestres.
b) Montante:
N = C + J
N = 1.000,00 + 1.380,00 = $ 2.380,00
J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = $ 1.380,00
Juro Exato e Juro Comercial
• Juro Exato: Adotada a convenção do ano civil (365 dias).
• Juro Comercial: Adotada a convenção do ano comercial (360
dias).
Por exemplo, 12% ao ano equivale à taxa diária de:
a) Juro Exato:
12%/ 365 = 0,032877%
b) Juro Comercial:
12%/ 360 = 0,033333%
Diagramas de Capital no Tempo
Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de dinheiro.
Graficamente:
Valor Nominal
É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por $ 20.000 
daqui a 12 meses.
$ 20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.
Valor AtualÉ o valor que um compromisso tem em uma data que antecede o 
seu vencimento.
c é o valor atual da aplicação de $ 20.000 na data 6. 
Para calcular o c, precisamos saber qual é a taxa de juros.
Valor Futuro
Corresponde ao valor de um título em qualquer data posterior à 
que estamos considerando no momento.
Exemplo: 
Uma pessoa possui $10.000 hoje
c é o valor futuro de $ 10.000 na data 6. 
Para calcular o c, precisamos saber qual é a taxa de juros.
Exemplo
Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e
que recebeu, pela aplicação, um título que terá valor $ 24.000,00 no
mês 12. Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor
aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao
mês. Neste caso, podemos calcular o valor atual hoje (na data 0),
que corresponde ao próprio valor aplicado:
Então:
$ 13.953,49
Exercício
Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000. Qual
será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5%
ao mês, daqui a 3 meses?
Exercício
ExercícioExercícios
1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:
a) 14,4% a.a. b) 6,8% ao quadrimestre c) 11,4% a.s.
2) Uma mercadoria é oferecida num magazine por $130,00 a vista, ou na 
seguinte condição:20% de entrada e um pagamento de $106,90 em 30 dias.
Calcular a taxa linear de juros que está sendo cobrada.
3) Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de $ 2.800,00, 
$4.200,00 e $7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente.
Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês.
Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os pagamentos:
a) hoje;
b) daqui a 7 meses.
Referência Bibliográfica
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo:
Atlas, 2003.