Aula 3- Descontos - parte I

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Correção dos Exercícios
1. Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os seguintes prazos:
a) 1 mês; b) 1 quadrimestre; c) 1 semestre; d) 5 meses; e) 10 meses.
a) (1 + 0,34) 1/12 - 1 =
b) (1 + 0,34) 1/3 – 1 = 
c) (1 + 0,34) ½ - 1 = 
d) (1 + 0,34) 5/12 – 1 =
e) (1 + 0,34) 10/12 – 1 = 
2. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $68.700,00 que
produz um montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses.
3. Sendo a taxa corrente de juros de 10% a.q. (ao quadrimestre), quanto
deve ser aplicado hoje para se resgatar $ 38.500,00 daqui a 28 meses.
4. Uma pessoa deve $2.500 vencíveis no fim de 4 meses e $8.500 de
hoje a 8 meses. Que valor deve esta pessoa depositar numa conta de
poupança, que remunera à taxa de 2,77% ao mês,de forma que possa
efetuar os saques necessários para pagar seus compromissos?
5. Um investidor aplicou $240.000 em fundo de investimento, apurando as
seguintes taxas mensais de retorno:
Mês 1: 0,9376%
Mês 2: 0,9399%
Mês 3: 0,8283%
Mês 4: 0,8950%
Pede-se calcular:
a)montante do investimento ao final do mês 4;
FV1 = 240.000 (1+ 0,009376) = $ 242.250,24
FV2 = 242.250,24 (1+ 0,009399) = $ 244.527,15
FV3 = 244.527,15 (1+ 0,008283) = $ 246.552, 57
FV4 = 244.552,57 (1+ 0,008950) = $ 248.759, 21
b) taxa de retorno acumulada do período;
iq = [(1+ 0,009376) * (1+0,009399) * (1+0,008283) *
(1+0,008950)] – 1
iq = 1,036497 – 1 = 0,036497 3,65% ao quadrimestre
c) taxa média equivalente mensal.
iq = (1+ 0,036497)
1/4 – 1 = 0,0090 0,90% a.m.
6. Determinada mercadoria foi adquirida em 4 prestações bimestrais de 
$1.400 cada uma. Alternativamente, esta mesma mercadoria poderia ser 
adquirida pagando-se 20% de seu valor como entrada e o restante ao final 
de 5 meses. Sendo de 30,60% ao ano a taxa nominal de juros com 
capitalização mensal a ser considerada nesta operação, pede-se determinar 
o valor da prestação vencível ao final do mês 5.
PV – 20% = $ 3.956, 29
Valor da entrada = $ 989,07
FV = 3.956,29 (1 + 0,0255)5 = $ 4.487,10
7. Determinar a taxa mensal de juros compostos que faz com que o capital
triplique de valor após três anos e meio.
1. Capitalizar as seguintes taxas:
a) 2,3% ao mês para um ano;
b) 0,14% ao dia para 23 dias;
c) 7,45% ao trimestre para um ano;
d) 6,75% ao semestre para um ano;
e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano.
a) (1+ 0,023)12 – 1 = 0,3137  31,37% a.a.
b) (1+ 0,0014)23 – 1 = 0,0327  3,2701% para 23 dias
c) (1+ 0,0745)4 – 1 = 0,3329  33,29% a.a.
d) (1+ 0,0675)2 – 1 = 0,1395  13,95% a.a.
e) (1+0,0187)18 – 1 = 0,3958  39,58% a.a.
2. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um
ano a uma taxa nominal de juros de 32% a. a., capitalizados
trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do
empréstimo.
Taxa trimestral = 32% / 4 = 8% a.t.
FV = 11.000 (1+0,08)4
FV = $ 14.965,38
iq = (1+0,08)
4 – 1
iq = 36,05%
DESCONTOS
Profª. Ana Elisa Périco
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP)
Campus de Araraquara
Departamento de Economia
acionalPlano de Aula
1. Conceituação
2. Tipos de Descontos 
3. Desconto Simples
4. Desconto Simples Racional
5. Desconto Simples Bancário
Despesas Bancárias
Taxa Implícita de Juros
Taxa Efetiva de Juros
Conceituação
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve
geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado.
Uma empresa faz uma venda a prazo, com vencimento pré-determinado:
• Recebe do comprador uma duplicata
A empresa pode ir a um banco e resgatar este título antecipadamente, esta 
é uma operação de “descontar uma duplicata”.
Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de 
um título (valor definido para um título em sua data de vencimento/valor de resgate) e o
seu valor atualizado, apurado n períodos antes do seu vencimento.
Conceituação
Valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado
pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
Valor descontado = Valor Nominal – Desconto
Tipos de Descontos
OPERAÇÕES DE DESCONTO
SIMPLES
COMPOSTO
REGIMES DE
CAPITALIZAÇÃO
POR DENTRO (OU RACIONAL)
POR FORA (OU BANCÁRIO)
POR DENTRO (OU RACIONAL)
POR FORA (OU BANCÁRIO)
Operações de curto prazo
Operações de longo prazo
Desconto Simples
DESCONTO RACIONAL (OU “POR DENTRO”)
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um
compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.
Dr = N – Vr
Vr = Valor Descontado do Título (valor do título com o desconto)
N = Valor Nominal do Título
Dr = Desconto Racional
Dr = N – Vr
Dr = N – Vr
Exemplo: Seja um título de valor nominal de $ 4.000 vencível em um ano, que
está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a
taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto racional e o valor
descontado desta operação.
42 / 12 meses = 3,5% a.m.
• Desconto
• Valor Descontado
Do ponto de vista do devedor, $ 380,10 representam o valor que está deixando de 
pagar por saldar a dívida antecipadamente.
Do ponto de vista de quem está descontando uma duplicata, $ 380,10 representam 
o valor que está deixando de receber por resgatar a duplicata antecipadamente.
Para o caso do desconto racional, o desconto é equivalente à taxa i, uma vez que 
incide sobre o Valor Atual , e não sobre o Valor Nominal (de resgate).
Desconto Simples
DESCONTO BANCÁRIO (OU “POR FORA”)
Este tipo de desconto incide sobre o Valor Nominal do título e proporciona maior 
volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, é obtido:
Exemplo: Seja um título de valor nominal de $ 4.000 vencível em um ano,
que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42%
a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto bancário
e o valor descontado desta operação.
42 / 12 meses = 3,5% a.m.
• Desconto
• Valor Descontado
O maior valor do desconto do título deve-se ao fato de o desconto por fora ser 
aplicado sobre o Valor Nominal (Valor de Resgate) e não sobre o Valor Atual 
como é característico das operações de desconto racional.
DESCONTO BANCÁRIO (OU “POR FORA”)
A) DESPESAS BANCÁRIAS
Em operações de desconto com bancos comerciais são geralmente cobradas taxas
adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e
operacionais incorridas pela instituição financeira.
Essas taxas são geralmente prefixadas e incidem sobre o valor nominal do título 
uma única vez no momento do desconto.
A formulação do desconto “por fora” apresenta-se como demonstrada anteriormente:
Chamando de t a taxa administrativa cobrada pelos bancos em suas operações de
desconto e incluindo esta taxa na formulação, tem-se:
Exemplo: Uma duplicata de valor nominal de $ 60.000 é descontada num banco dois 
meses antes de seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada 
na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-se ainda que o banco 
cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento 
da liberação dos recursos, como despesas administrativas.
• Desconto
DF = 60.000 (0,028 x 2 + 0,015)  60.000 (0,071)  $ 4.260,00
• Valor Descontado
VF = 60.000 [1 – (0,028 x 2 + 0,015) 
VF = 60.000 [ 1- 0,071]
VF = $ 55.740,00
DESCONTO BANCÁRIO (OU “POR FORA”)
B) TAXA IMPLÍCITA DE JUROS
O desconto “por fora”, ao ser apurado sobre o Valor Nominal (valor de resgate) do 
título, admite implicitamente uma taxa de juros superior àquela declarada para aoperação.
Por exemplo: suponha um título de Valor Nominal de $ 50.000, descontado num 
banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Aplicando-se o 
critério de desconto “por fora”, como é típico destas operações, tem-se:
A taxa de juros adotada de 5% ao mês não iguala o Valor de Liberação dos recursos 
(VF) e O Valor de Resgate (N) em nenhum momento do tempo. 
$ 47.500 (1+0,05 x 1) = $ 49.875
Logo, há uma taxa implícita de juros na operação, superior aos declarados 5% a.m.
Esta taxa é obtida pelo critério de desconto racional (juros “por dentro”):
Dr = VF x i x n
Substituindo os valores:
Admitindo, em seqüência, que esta operação de desconto tenha sido realizada 
com antecipação de dois meses, tem-se:
DESCONTO BANCÁRIO (OU “POR FORA”)
C) TAXA EFETIVA DE JUROS
A taxa implícita de juros calculada para todo o período da operação é adequada 
para matemática financeira, permitindo comparações em idênticas condições de 
prazo (período da taxa e período de desconto (n) devem ser o mesmo). 
Quando os prazos não forem os mesmos, o regime de juros simples não é adequado 
tecnicamente para esta análise.
A taxa efetiva de juros de um desconto “por fora” apurado à taxa d é aquela obtida 
pelo critério de capitalização composta.
Exemplo: Sendo 4% ao mês a taxa desconto “por fora” aplicada sobre uma operação
de desconto de um título de valor nominal de $ 700.000, calcular a taxa de juros 
efetiva mensal e anual desta operação. O título foi descontado 4 meses antes de 
seu vencimento.
NOTAR QUE A TAXA É MENSAL E O PERÍODO DO DESCONTO É QUADRIMESTRAL  LOGO, A TAXA 
APRESENTADA NÃO É A EFETIVA.
TAXA IMPLÍCITA
TAXA EFETIVA MENSAL E ANUAL???
CRITÉRIOS DE JUROS COMPOSTOS!
TAXA EFETIVA MENSAL E ANUAL???
Exercícios
1. Calcular o valor descontado racional e bancário nas seguintes 
condições:
a) Valor nominal: $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% a.a.
b) Valor nominal: $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% a.a.
c) Valor nominal: $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% a.a.
Referência Bibliográfica
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo:
Atlas, 2003.
a) Valor nominal: $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% a.a.
Dr = 17.000 x 0,041617 x 3 / (1+ 0,041617 x 3) = 2.124,99/1,124999 = $1.888,89
Vr = 17.000 – 1.888,89 = $15.111,11
b) Valor nominal: $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% a.a.
Dr = 52.000 x 0,03 x 4 / (1+0,03 x 4) = 6.240/1,12 = $ 5.571,43
Vr = 52.000 – 5.571,43 = $ 46.428,57
c) Valor nominal: $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% a.a.
Dr = 35.000 x 0,01566 x 2 (1+0,01566 x2) = 1.096,66/ 1,0313 = $1.063,37
Vr = 35.000 – 1.063,37 = $33.936,63