Apostila - MBA0001 - Matemática Básica

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Matemática Básica
Graciela Moro e Ligia Liani Barz
10 de Fevereiro de 2014
Conteúdo
1 Números 1
1.1 Conjuntos numéri
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Ra
ionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.4 Irra
ionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Operações 
om 
onjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Algumas desigualdades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Expressões algébri
as 10
2.1 Expressões que envolvem expoentes e radi
ais . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Fator 
omum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Operações 
om frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Té
ni
as de ra
ionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11 Polin�mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11.1 O algorítmo da divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
Graciela e Ligia
3 Introdução às funções 18
3.1 De�nição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Representação grá�
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Domínio e imagem de uma função: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Operações 
om funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Funções espe
iais 27
4.1 Função 
onstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Função do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1 Grá�
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Função quadráti
a 31
5.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Grá�
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4.1 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.5 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Função modular 45
6.1 Módulo ou valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.5 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Propriedades das Funções 60
7.1 Funções pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Funções injetoras e funções sobrejetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Função exponen
ial 70
8.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.2 Grá�
o da função exponen
ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 Equações exponen
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3.1 Método da redução a uma base 
omum . . . . . . . . . . . . . 73
8.4 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.5 Inequações exponen
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.5.1 Método da redução a uma base 
omum . . . . . . . . . . . . . 76
8.6 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
MATEMÁTICA BÁSICA 2
Graciela e Ligia
9 Função logarítmi
a 79
9.1 Logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1.1 Logarítmos 
om algumas bases espe
iais . . . . . . . . . . . . 80
9.2 Exer
í
ios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.3 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.4 Função logarítmi
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.5 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Funções trigonométri
as 87
10.1 Ângulos e ar
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1.1 Unidade de medida de ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1.2 Área do setor 
ir
ular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.2 O 
ír
ulo trigonométri
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2.1 Seno e 
osseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2.2 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.3 Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2.4 Se
ante e 
osse
ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2.5 Outras relações trigonométri
as importantes . . . . . . . . . . 93
10.3 Funções trigonométri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.3.1 Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.3.2 Função 
osseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.3.3 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.3.4 Função 
otangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.3.5 Função se
ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.3.6 Função 
osse
ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.4 Funções trigonométri
as inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.4.1 Função ar
o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.4.2 Função ar
o 
osseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.4.3 Função ar
o tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.4.4 Função ar
o 
otangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.4.5 Função ar
o se
ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.4.6 Função ar
o 
osse
ante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.5 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11 Funções hiperbóli
as 108
11.1 Funções seno hiperbóli
o e 
osseno hiperbóli
o . . . . . . . . . . . . . 108
11.1.1 Por que o nome "Funções Hiperbóli
as"? . . . . . . . . . . . . 109
11.2 Funções tangente, 
otangente, se
ante e 
osse
ante hiperbóli
as . . . 111
11.3 Funções hiperbóli
as inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.4 Exer
í
ios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Respostas dos exer
í
ios propostos 115
Bibliogra�a 123
MATEMÁTICA BÁSICA 3
1
Números
O objetivo deste 
apítulo é forne
er a base matemáti
a ne
essária para a
boa 
ompreensão de funções. Faremos um estudo dos números reais e de operações
envolvendo desigualdades.
1.1 Conjuntos numéri
os
1.1.1 Naturais
De�nimos o 
onjunto dos números naturais por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Convém desta
ar um sub
onjunto N∗ = N− {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
1.1.2 Inteiros
De�nimos o 
onjunto dos números inteiros por Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.
No 
onjunto dos números inteiros desta
amos os seguintes sub
onjuntos:
Z∗ = Z− {0} = {...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros não negativos)
Z− = {...,−4,−3,−2,−1, 0} (inteiros não positivos)
Z∗+ = {1, 2, 3, 4, ...} (inteiros positivos)
Z∗− = {...,−4,−3,−2,−1} (inteiros negativos)
1.1.3 Ra
ionais
O 
onjunto dos números ra
ionais 
ontém todos os números da forma
p
q
onde
p ∈ Z e q ∈ Z∗.
Denotamos:
Q =
{
x/x =
p
q
, p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0
}
1
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
Obs.: Um número ra
ional pode apare
er na forma de dízima periódi
a, isto
é, um número de
imal, 
om a parte de
imal formada por in�nitos algarismos que
se repetem periodi
amente, 
omo por exemplo: 4, 5555... (período 5), 10, 878787...
(período 87) e 9, 8545454... (período 54, parte não periódi
a 8).
No 
onjunto dos números ra
ionais desta
amos os seguintes sub
onjuntos:
Q+ = {x ∈ Q/x ≥ 0} (ra
ionais não negativos)
Q− = {x ∈ Q/x ≤ 0} (ra
ionais não positivos)
Q∗ = Q− {0} (ra
ionais não nulos)
1.1.4 Irra
ionais
Neste 
onjunto temos números de
imais não exatos e não periódi
os, bem
omo toda raiz não exata, ou seja, todo número que não pode ser expresso 
omo o
quo
iente de dois números inteiros. Denotamos o 
onjunto dos irra
ionais por I.
Exemplos:
1)
√
2 = 1, 41421...
2)
√
3 = 1, 73205...
3) pi = 3, 14159...
1.1.5 Reais
De�nimos o 
onjunto dos números reais 
omo a união entre os 
onjuntos dos
números ra
ionais e irra
ionais: Q ∪ I.
Diante do exposto a
ima, 
on
luímos que:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R e Q ∩ I = ∅
I
Q
Z
N
R
Figura 1.1: Representação em diagrama dos números reais.
No 
onjunto dos números reais desta
amos os seguintes sub
onjuntos:
R∗ = R− {0} (reais não nulos)
MATEMÁTICA BÁSICA 2
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
R∗+ = {x ∈ R/x > 0} (reais positivos)
R∗− = {x ∈ R/x < 0} (reais negativos)
1.2 Intervalos
Intervalos são sub
onjuntos dos números reais.
Sejam a e b números reais 
om a < b.
Notação de intervalo Tipo de intervalo Notação de 
onjunto Representação grá�
a
(a, b) aberto {x ∈ R/a < x < b} a b
bc
bc
[a, b] fe
hado {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}
b
b
a b
[a, b) fe
hado à esquerda
e aberto à direita
{x ∈ R/a ≤ x < b} a b
b
bc
(a, b] aberto à esquerda e
fe
hado à direita
{x ∈ R/a < x ≤ b}
b
a b
bc
Intervalos in�nitos:
(a,+∞) aberto {x ∈ R/x > a} a
bc
[a,+∞) fe
hado {x ∈ R/x ≥ a} a
b
(−∞, b) aberto {x ∈ R/x < b} b
bc
(−∞, b] fe
hado {x ∈ R/x ≤ b} b
b
1.3 Operações 
om 
onjuntos
Interseção: Dados dois 
onjuntos A e B, de�ne-se a interseção de A 
om B (A∩B),
omo o 
onjunto de todos os elementos x que perten
em simultaneamente a A
e B, ou seja,
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
U
A B
A∩B
Figura 1.2: Interseção dos 
onjuntos A e B.
MATEMÁTICA BÁSICA 3
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
União: Dados dois 
onjuntos A e B, de�ne-se a união de A 
om B (A ∪B), 
omo
o 
onjunto de todos os elementos x que perten
em a A ou B, ou seja,
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
U
A B
A ∪B
Figura 1.3: União dos 
onjuntos A e B.
Diferença: A diferença entre os 
onjuntos A e B é o 
onjunto de todos os elementos
que perten
em ao 
onjunto A e não perten
em ao 
onjunto B, ou seja,
A− B = {x/x ∈ A e x /∈ B}
U
A B
A−B B−A
Figura 1.4: Diferença entre os 
onjuntos A e B.
De�nição de 
omplementar de um 
onjunto: Dados dois 
onjuntos A e U , tais
que A ⊂ U (U é o 
onjunto universo), 
hama-se 
omplementar de A ao 
on-
junto formado pelos elementos de U que não estão em A, ou seja, U −A.
Notação: Ac ou A¯.
U
A
Figura 1.5: O 
omplementar de A em U (Ac = U − A).
1.4 Exer
í
ios resolvidos
1) Represente na reta real os intervalos e des
reva-os usando a notação de 
onjuntos:
MATEMÁTICA BÁSICA 4
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
a) (2, 5] ∪ (−1, 1]
Solução:
bbc
2 5(2, 5]
b
bc
-1 1(−1, 1]
(2, 5] ∪ (−1, 1] bbc2 5bbc-1 1
Portanto, (2, 5] ∪ (−1, 1] = {x ∈ R/− 1 < x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 5}
b) [−2, 3] ∩ [1
2
, 4]
Solução:
b
-2 3[−2, 3]
b
41/2[1
2
, 4]
[−2, 3] ∩ [1
2
, 4] b
3
b
1/2
b
b
Portanto, [−2, 3] ∩ [1
2
, 4] = [1
2
, 3] = {x ∈ R/1
2
≤ x ≤ 3}
) ([0, 1) ∪ [1, 2) ∪ (2, 3])− ((−2, 1] ∩ (0, 1])
Solução:
1(−2, 1]
B = (−2, 1] ∩ (0, 1] b1
10(0, 1] bbc
0
-2
bc b
bc
A− B 1bc 32bc b
b
0 1[0, 1)
b
21[1, 2)
A = [0, 1) ∪ [1, 2] ∪ (2, 3] b3b
32(2, 3] b
bc
bc
bc
0
bc
2
Portanto, A− B = (1, 3]− {2} = {x ∈ R/1 < x ≤ 3 e x 6= 2}
2) Dados os intervalos A = (−1, 3), B = [1, 4], C = [2, 3), D = (1, 2] e E = (0, 2],
determine:
a) (A ∩B ∩ E) ∩ (C ∪D)
Solução:
MATEMÁTICA BÁSICA 5
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
E
C ∪D
A ∩ B ∩ E
(A ∩ B ∩ E) ∩ (C ∪D)
A
B
D
C
bc bc
-1 3
b b
b
b
b
b
bc
bc
bc
b
bc
bc
bc
b
1 4
2 3
1 2
2
21
1 3
1 2
0
Portanto, (A ∩ B ∩ E) ∩ (C ∩D) = (1, 2] = {x ∈ R/1 < x ≤ 2}
b) [(A ∪ B)− (C ∩D)]− E
Solução:
A ∪ B
C ∩D
[(A ∪ B)− (C ∩D)]− E
[(A ∪ B)− (C ∩D)]
bc
-1 4
b
b b
bc
bc
bc
bc
2
-1 2
2
0
b
b
-1 4
4
Portanto, [(A ∪B)− (C ∩D)] − E = (−1, 0] ∪ (2, 4] = {x ∈ R/ − 1 <
x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 4}
1.5 Exer
í
ios propostos
1) Seja P = {x ∈ R/1 ≤ x < 9}, Q = {x ∈ R/2 < x < 7} e R = {x ∈ R/1 ≤ x ≤
8}. Determine o 
onjunto R− (P −Q).
2) Dados os 
onjuntos A = {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 2}, B = {x ∈ R/x < 0}, C = [0, 1),
D = {x ∈ R/x2 + 1 ≤ 0}, E = [−1, 3), determine:
a) [(B ∩D) ∪ C]− E
b)
[
(A− C) ∩ B¯] ∩ E
3) Considere os 
onjuntos A = {x ∈ R/0 ≤ x < 1}, B = {x ∈ R/x ≤ 2 ou x > 3},
C = [1, 2), D = {x ∈ R/− 2 < x ≤ 1}, E = (0, 1], determine:
a)
(
A ∪ B¯ ∪ C)− (D ∩ E)
b) (B − A) ∩D
MATEMÁTICA BÁSICA 6
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
1.6 Algumas desigualdades importantes
Sejam a e b ∈ R.
1. Se a < b e c ∈ R, então a+ c < b+ c.
2. Se a > b e c ∈ R, então a+ c > b+ c.
Exemplos:
(i) −2 < 3 e c = −2 =⇒ −2 + (−2) < 3 + (−2), ou seja, −4 < 1.
(ii) −2 > −3 e c = 2 =⇒ −2 + (2) > −3 + (2), ou seja, 0 > −1.
3. Se a < b e c ∈ R∗+, então a c < b c.
4. Se a > b e c ∈ R∗+, então a c > b c.
Exemplos:
(i) −2 < 3 e c = 2 =⇒ −2 (2) < 3 (2), ou seja, −4 < 6.
(ii) −2 > −3 e c = 2 =⇒ −2 (2) > −3 (2), ou seja, −4 > −6.
5. Se a < b e c ∈ R∗−, então a c > b c.
inverte o sinal
6. Se a > b e c ∈ R∗−, então a c < b c.
inverte o sinal
Exemplos:
(i) −2 < 3 e c = −2 =⇒ −2 (−2) > 3 (−2), ou seja, 4 > −6.
(ii) −2 > −3 e c = −2 =⇒ −2 (−2) < −3 (−2), ou seja, 4 < 6.7. Se a < b, 
om ambos positivos (ou negativos), então
1
a
>
1
b
Exemplos:
(i) −3 < −2 =⇒ −1
3
> −1
2
.
(ii) 3 > 2 =⇒ 1
3
< 1
2
.
(iii) Atenção! −3 < 2 =⇒ −1
3
< 1
2
.
preserva o sinal
MATEMÁTICA BÁSICA 7
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
1.7 Exer
í
ios resolvidos
Resolva as inequações abaixo usando as propriedades a
ima, se ne
essário:
1) −3x+ 1 > 2x− 5
Solução:
−3x− 2x+ 1− 1 > 2x− 2x− 5− 1
−5x > −6
−5x(−1
5
) > −6(−1
5
)
x < 6
5
Portanto, S = {x ∈ R/x < 6
5
}.
2) −2 < 2x+ 3 ≤ 4
Solução:
−2− 3 < 2x+ 3− 3 ≤ 4− 3
−5 < 2x ≤ 1
−5 · 1
2
< 2x · 1
2
≤ 1 · 1
2−5
2
< x ≤ 1
2
Portanto, S = {x ∈ R/− 5
2
< x ≤ 1
2
}.
3) −3 ≤ 3x− 2 ≤ x
Solução:
Temos que resolver duas inequações:
i) −3 ≤ 3x− 2
−1 ≤ 3x
−1
3
≤ x, ou seja, x ≥ −1
3
ii) 3x− 2 ≤ x
2x ≤ 2
x ≤ 1
A interseção desses dois 
onjuntos é S = {x ∈ R/− 1
3
≤ x ≤ 1}.
4)
−4
x
> 0
Solução:
Como −4 < 0, então para obtermos um quo
iente positivo basta que x < 0.
Portanto, S = {x ∈ R/x < 0}.
5)
3x−1
4x−5 ≤ 12
Solução:
Condição de existên
ia: x 6= 5
4
.
Vamos multipli
ar ambos os membros da desigualdade por 4x − 5. Devemos
então, 
onsiderar dois 
asos:
MATEMÁTICA BÁSICA 8
Graciela e Ligia CAPÍTULO 1. NÚMEROS
Caso 1: Se 4x− 5 > 0 ou x > 5
4
.
3x−1
4x−5 · (4x− 5) ≤ 12 · (4x− 5)
3x− 1 ≤ 2x− 5
2
x ≤ −3
2
Portanto {x ∈ R/x > 5
4
} ∩ {x ∈ R/x ≤ −3
2
} = ∅ (
onjunto vazio) é a
solução do 
aso 1.
Caso 2: Se 4x− 5 < 0 ou x < 5
4
.
3x−1
4x−5 · (4x− 5) ≥ 12 · (4x− 5)
3x− 1 ≥ 2x− 5
2
x ≥ −3
2
Portanto {x ∈ R/x < 5
4
} ∩ {x ∈ R/x ≥ −3
2
} = [−3
2
, 5
4
) é a solução do
aso 2.
A solução �nal é a união de ∅ e [−3
2
, 5
4
), ou seja, [−3
2
, 5
4
).
Vamos apresentar um método alternativo de resolução:
3x− 1
4x− 5 −
1
2
≤ 0
2x+ 3
8x− 10 ≤ 0
Para obtermos um quo
iente negativo, temos dois 
asos a 
onsiderar:
Caso 1: 2x+ 3 ≤ 0 e 8x− 10 > 0
x ≤ −3
2
e x > 5
4
Portanto {x ∈ R/x > 5
4
} ∩ {x ∈ R/x ≤ −3
2
} = ∅ é a solução do 
aso 1.
Caso 2: 2x+ 3 ≥ 0 e 8x− 10 < 0
x ≥ −3
2
e x < 5
4
Portanto {x ∈ R/x < 5
4
} ∩ {x ∈ R/x ≥ −3
2
} = [−3
2
, 5
4
) é a solução do
aso 2.
A solução �nal é a união de ∅ e [−3
2
, 5
4
), ou seja, [−3
2
, 5
4
).
1.8 Exer
í
ios propostos
Resolva as inequações abaixo:
1) 2− x < 3x+ 2 < 4x+ 1
2)
2x−3
x−1 ≥ 0
3)
2x−5
1−x ≤ −2
4) 0 < x−1
2x−1 ≤ 2
MATEMÁTICA BÁSICA 9
2
Expressões algébri
as
As expressões algébri
as são expressões matemáti
as que apresentam letras e
podem 
onter números. São também denominadas expressões literais. As letras nas
expressões são 
hamadas variáveis, o que signi�
a que o valor de 
ada letra pode ser
substituído por um valor numéri
o.
Para resolver ou simpli�
ar uma expressão algébri
a devemos utilizar as pro-
priedades da poten
iação, radi
iação, fatoração e produtos notáveis.
2.1 Expressões que envolvem expoentes e radi
ais
Propriedades da poten
iação:
Sejam x ∈ R, y ∈ R, m ∈ Z e n ∈ Z.
Propriedade Exemplo
1. xmxn = xm+n 53 · 54 = 53+4 = 57
2.
xm
xn
= xm−n x
9
x4
= x9−4 = x5
3. x0 = 1 30 = 1
4. x−n = 1
xn
2−3 = 1
23
= 1
8
5. (xy)m = xmym (2v)5 = 25v5 = 32v5
6. (xn)m = xm·n (x2)4 = x2·4 = x8
7.
(
x
y
)m
= x
m
ym
(
a
b
)4
= a
4
b4
8. xm = x · x · x · ... · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
Propriedades da radi
iação:
Sejam x ∈ R+, y ∈ R+, m ∈ Z e n ∈ N∗.
10
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Propriedade Exemplo
1. x
1
n = n
√
x 3
√
x = x
1
3
2. x
m
n = (xm)
1
n = n
√
xm x
2
3 =
3
√
x2
3. x−
m
n = 1
x
m
n
= 1n√xm x
− 2
3 = 13√
x2
4.
n
√
x · y = n√x · n√y 4√2 · 3 = 4√2 · 4√3
5.
n
√
x
y
=
n
√
x
n
√
y
, y 6= 0 4
√
2
3
=
4√2
4√3
6. ( n
√
x)
m
= n
√
xm, para x 6= 0 ou m 6= 0 ( 3√4)2 = 3√42
7.
m
√
n
√
x = mn
√
x
3
√√
5 = 3·2
√
5 = 6
√
5
2.2 Exer
í
ios resolvidos
Simpli�que as expressões:
1) 2x2x3
Solução: 2x2x3 = 2x2+3 = 2x5
2) (3x)2 3
√
x
Solução: (3x)2 3
√
x = 9x2 · x 13 = 9x2+ 13 = 9x 73
3)
3x2(
x
1
2
)3
Solução:
3x2(
x
1
2
)3 = 3x2x3/2 = 3x2− 32 = 3x1/2
4) (a−2b3)−2 · (a3b−2)3
Solução: (a−2b3)−2 · (a3b−2)3 = a4b−6a9b−6 = a4+9b−6−6 = a13b−12
5)
(
a3b−4
a−2b2
)3
Solução:
(
a3b−4
a−2b2
)3
=
(
a3−(−2) · b−4−2)3 = (a5b−6)3 = a15b−18
6)
5
√
32x5y10
Solução:
5
√
32x5y10 = (32x5y10)
1
5 = (25)
1
5 (x5)
1
5 (y10)
1
5 = 2xy2
7)
√
8x2
y4z6
Solução:
√
8x2
y4z6
=
√
2
(
2x
y2z3
)2
=
√
2
(
2x
y2z3
)
MATEMÁTICA BÁSICA 11
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
8)
a2n+3an−1
a2(n−1)
Solução:
a2n+3an−1
a2(n−1)
=
a2n+3+n−1
a2n−2
=
a3n+2
a2n−2
= a(3n+2)−(2n−2) = an+4
2.3 Fatoração
Dada uma expressão algébri
a qualquer, podemos transformá-la, se possível,
no produto de duas ou mais expressões algébri
as. A este pro
edimento damos o
nome de fatoração.
2.3.1 Fator 
omum
A expressão ax+ bx tem 
omo fator 
omum o x, neste 
aso podemos 
olo
ar
o x em evidên
ia e obter ax+ bx = x(a+ b).
2.3.2 Agrupamento
Podemos utilizar a fatoração diversas vezes na mesma expressão.
ax+ bx+ ay + by = (a+ b)x+ (a + b)y = (a + b)(x+ y)
2.4 Exer
í
ios resolvidos
Simpli�que 
ada expressão utilizando a fatoração.
1) 2x
1
2 + 4x
5
2
Solução: 2x
1
2 + 4x
5
2 = 2
1
2 (1 + 2x2)
2) 6xy5 + 12x2y2
Solução: 6xy5 + 12x2y2 = 6xy2(y3 + 2x)
3)
√
x+ x
3
2
x
Solução:
√
x+ x
3
2
x
=
x
1
2 + x
3
2
x
=
x
1
2 (1 + x)
x
=
1 + x√
x
4) x3 + x2 + x+ 1
Solução: x3 + x2 + x+ 1 = x2(x+ 1) + (x+ 1) = (x2 + 1)(x+ 1)
5)
6xy − 3x2
4y2 − 2xy
Solução:
6xy − 3x2
4y2 − 2xy =
3x(2y − x)
2y(2y − x) =
3x
2y
MATEMÁTICA BÁSICA 12
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
2.5 Produtos Notáveis
Os produtos notáveis são aqueles produtos entre expressões algébri
as que
são frequentemente usados para evitar a multipli
ação termo a termo.
1) Soma pela diferença: (a+ b)(a− b) = a2 − b2
2) Quadrado da soma: (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
3) Quadrado da diferença: (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
Os produtos a
ima são fa
ilmente obtidos usando a propriedade distributiva
da multipli
ação em relação à adição e à subtração. Vejamos:
i) (a + b)(a− b) = a2 − ab+ ba− b2 = a2 − b2
ii) (a + b)2 = (a+ b)(a + b) = a2 + ab+ ba + b2 = a2 + 2ab+ b2
iii) (a− b)2 = (a− b)(a− b) = a2 − ab− ba + b2 = a2 − 2ab+ b2
Da mesma forma, podemos obter os resultados abaixo:
(a + b)3 = (a+ b)(a + b)2 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
(a− b)3 = (a− b)(a− b)2 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
(a + b)4 = (a+ b)2(a+ b)2 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
Generalizando, obtém-se o bin�mio de Newton:
(a+ b)n = an+nan−1b+
n(n− 1)
2!
an−2b2+
n(n− 1)(n− 2)
3!
an−3b3+ ...+nabn−1+ bn.
2.6 Exer
í
ios resolvidos
1. Rees
reva usando produtos notáveis:
a) (xy − 3z)(xy + 3z)
Solução: (xy − 3z)(xy + 3z) = (xy)2 − (3z)2 = x2y2 − 9z2
b) (2x− 5)2
Solução: (2x− 5)2 = (2x)2 + 2(2x)(−5) + (−5)2 = 4x2 − 20x+ 25
MATEMÁTICA BÁSICA 13
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
)
(
2x
3
− 4y2)3
Solução:(
2x
3
− 4y2)3 = (2x
3
)3
+3
(
2x
3
)2
(−4y2) + 3 (2x
3
)
(−4y2)2 + (−4y2)3 = 8
3
x3−
16
3
x2y2 + 32xy4 − 64y6
2. Simpli�que as expressão algébri
a:
ax2 − ay2
x2 − 2xy + y2 .
Solução:
ax2 − ay2
x2 − 2xy + y2 =
a(x2 − y2)
(x− y)2 =
a(x− y)(x+ y)
(x− y)(x+ y) =
a(x+ y)
x− y
2.7 Operações 
om frações1. Soma de frações:
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
, b 6= 0, d 6= 0
2. Subtração de frações:
a
b
− c
d
=
ad− bc
bd
, b 6= 0, d 6= 0
3. Multipli
ação de frações:
(a
b
)
·
( c
d
)
=
ac
bd
, b 6= 0, d 6= 0
4. Divisão de frações:
a
b
c
d
=
(a
b
)
·
(
d
c
)
=
ad
bc
, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0
Observação: Para resolver, por exemplo, a soma
1
2
+ 4
3
não é ne
essário en
ontrar
um mínimo múltiplo 
omum (m.m.
) para os denominadores. É su�
iente multipli-
ar numerador e denominador por um valor adequado de forma que os denominado-
res das duas frações sejam iguais, 
omo no exemplo
1
2
+ 4
3
= 1
2
(
3
3
)
+ 4
3
(
2
2
)
= 3
6
+ 8
6
= 11
6
.
2.8 Exer
í
ios resolvidos
Efetue as operações indi
adas e simpli�que:
1)
x
x2−4 +
3
x+2
Solução:
x
x2−4+
3
x+2
= x
(x−2)(x+2)+
3
x+2
= x
(x−2)(x+2)+
3(x−2)
(x−2)(x+2) =
x+3x−6
x2−4 =
4x−6
x2−4
2)
a2+2ab+b2
a2−b2 ÷ a−ba+b
Solução:
a2+2ab+b2
a2−b2 ÷ a−ba+b = (a+b)
2
(a+b)(a−b) · a+ba−b = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a−b)(a−b) =
(
a+b
a−b
)2
3)
√
x+1− x
2
√
x+1
x+1
Solução:
√
x+1− x
2
√
x+1
x+1
=
√
x+1· 2
√
x+1
2
√
x+1
+ x
2
√
x+1
x+1
=
2(x+1)+x
2
√
x+1
x+1
=
3x+2
2
√
x+1
x+1
= 3x+2
2
√
x+1
· 1
x+1
=
3x+2
2(x+1)3/2
MATEMÁTICA BÁSICA 14
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
2.9 Té
ni
as de ra
ionalização
Ao trabalhar 
om quo
ientes que envolvem radi
ais, 
ostuma ser 
onveniente
mover a expressão radi
al do denominador para o numerador e vi
e-versa. Por
exemplo,
Radi
al no denominador Ra
ionalização Radi
al no numerador
1√
2
=⇒ 1√
2
(√
2√
2
)
=⇒
√
2
2
Esse pro
esso é 
hamado de ra
ionalização do denominador.
1. Se o denominador é
√
a, multipli
a-se por
√
a√
a
.
2. Se o denominador é
√
a−√b, multipli
a-se por
√
a+
√
b√
a+
√
b
.
3. Se o denominador é
√
a+
√
b, multipli
a-se por
√
a−
√
b√
a−√b .
As mesmas instruções apli
am-se à ra
ionalização dos numeradores.
2.10 Exer
í
ios resolvidos
Ra
ionalize o denominador ou o numerador.
1)
√
x+1
2
Solução:
√
x+1
2
=
√
x+1
2
(√
x+1√
x+1
)
= x+1
2
√
x+1
2)
1
3
√
2−√3
Solução:
1
3
√
2−√3 =
1
3
√
2−√3
(
3
√
2+
√
3
3
√
2+
√
3
)
= 3
√
2+
√
3
18−3 =
3
√
2+
√
3
15
3)
10√
x+
√
x−2
Solução:
10√
x+
√
x−2 =
10√
x+
√
x−2
(√
x−√x−2√
x−√x−2
)
= 10(
√
x−√x−2)
x−(x−2) = 5(
√
x−√x− 2)
2.11 Polin�mios
Um polin�mio é uma expressão algébri
a da forma
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0
onde an, an−1, . . . , a1, a0 são números reais, 
hamados de 
oe�
ientes do polin�mio
de grau n.
MATEMÁTICA BÁSICA 15
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Exemplos:
1. p(x) = 2 é um polin�mio de grau zero
2. p(x) = −2x+ 1
2
é um polin�mio de grau um
3. p(x) = 5x2 + 2x− 1 é um polin�mio de grau dois
4. p(x) = −x3 + 3
2
x+ 2 é um polin�mio de grau três
2.11.1 O algorítmo da divisão
A divisão de polin�mios é semelhante à divisão de números naturais. Ao
dividirmos, por exemplo, o número 4123 por 2 obtemos 206 e resto 3. Es
reve-se
4123 = 2× 206 + 3.
Com polin�mios reais a regra da divisão é a mesma. Dados dois polin�mios
p(x) e q(x) 
om 
oe�
ientes reais, q(x) 6= 0, então existem polin�mios m(x) e r(x)
tais que p(x) = q(x) ×m(x) + r(x). Então, podemos es
rever, p(x)
q(x)
= m(x) + r(x)
m(x)
.
Representa-se 
omo
p(x) q(x)
r(x) m(x)
Exemplos: Simpli�que as expressões dadas.
1)
4x 4+2x 3−3x+1
x2−2
Solução:
4x4 + 2x3 + 0x2 − 3x+ 1 x2 − 2
−4x4 + 0x3 + 8x2
0 + 2x3 + 8x2 − 3x
−2x3 + 0x2 + 4x
0 + 8x2 + x+ 1
−8x2 + 0x+ 16
0 + x+ 17
4x2 + 2x+ 8
Portanto,
4x 4+2x 3−3x+1
x2−2 = 4x
2 + 2x+ 8 + x+17
x2−2 .
2)
x3−7x+6
x+3
Solução:
x3 + 0x2 − 7x+ 6 x+ 3
−x3 − 3x2
0− 3x2 − 7x
3x2 + 9x
0 + 2x+ 6
−2x− 6
0
x2 − 3x+ 2
Portanto,
x3−7x+6
x+3
= x2 − 3x+ 2.
MATEMÁTICA BÁSICA 16
Graciela e Ligia CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
2.12 Exer
í
ios propostos
1. Rees
reva usando produtos notáveis:
a) (x2 + 4y)(x2 − 4y)
b) (2a+ b)3
)
(
x4 + 1
x2
)4
d) (x+ 2)(x− 7) + (x− 5)(x+ 3)
e) (a− b)(a + b)(a2 + b2)
f)
(
1
2
+ x2
)3 − (√3
2
x− 1
2
)2
2. Simpli�que as expressões algébri
as:
a)
an+4−a3an
a4an
b)
2n+4−2·2n
2·2n+3
) 2x2x3
d) abxn + acxn+m
e) 3(x+ 1)
1
2 (2x− 3) 52
f) (x− 1)− 12 (2x− 3) 52
g)
x2−x
x−1
h)
3x2+x4
2x
i)
x+2
x2+4x+4
j)
a2−9
a+3
k)
ax+ay
x2+2xy+y2
l)
(x+1)(x−1)2−(x−1)3
(x+1)2
m)
xy−2(x−1y2)4(xy−1)2
x−2y(x2y−1)3x−1y
n)
2x5−3x4+5x3−6x 2+2x+12
2x2−3x+1
o)
−2x3+13x2−3x+5
−x2+7x−5
p)
3x3+3x2+x−2
3x2−2
3. Efetue as operações indi
adas e simpli�que:
a)
(
x
2
3 + 2
1
3
)
·
(
x 3
√
x− 3
√
2x2 + 3
√
4
)
b)
2
x+1
− 1
2x+1
)
x4−a4
x−a · x+ax2+a2
d)
(a2−b2)2(a2+b2)2−(a8+b8)
a
− a5b2a
b
e)
(
2y
y−2 − 2y
2
y2−4 − 4y+2
)
÷ 8
y+2
f)
3
5
(x+ 1)
5
3 + 3
4
(x+ 1)
8
3
g)
y+z
(x−y)(x−z) +
x+z
(y−x)(y−z) +
x+y
(z−x)(z−y)
h)
(
1
x+
√
x2+1
)(
1 + 2x
2
√
x2+1
)
4. Ra
ionalize o denominador ou o numerador, 
onforme o 
aso.
a)
5√
8
b)
6
5−3√2
)
√
x+1−1
x
d)
3√
3−√2+1
5. Simpli�que:
a)
√
2+
√
3
2−√3 +
√
2−√3
2+
√
3
b)
(
125
2
3 + 16
1
2 + 343
1
3
) 1
2
)
5−
1
2 ·5 13
5
2
5 ·5− 32
d)
4
√
375− 3√24 + 3√81− 3√192
6. Mostre que a expressão
x
x+
√
y
√
2x−y +
x
x−√y√2x−y é equivalente a 2
(
x
x−y
)2
.
7. (UDESC-SC) Se p = 23
2
, q = (42)3, r = 82
3
e s =
(
pq
r
) 1
3
, então se pode a�rmar
que:
a) 0 < s < 1
4
b) 0 < s < 1
2
) 0 < s < 1
d) 1 < s < 2
e) 2 < s < 4
MATEMÁTICA BÁSICA 17
3
Introdução às funções
En
ontramos o uso de função nas mais variadas situações de nosso dia a
dia. Por exemplo, o preço a ser pago numa 
onta de água depende da quantidade
de água 
onsumida, 
onforme a quantidade 
onsumida temos um preço de�nido.
Ao abaste
er o 
arro, o preço a ser pago depende da quantidade de 
ombustível
abaste
ida. Ao lermos uma revista ou jornal ou assitirmos um noti
iário, muitas
vezes nos deparamos 
om grá�
os que nada mais são do que a 
omparação entre
duas grandezas, sendo que é possível estabele
er qual a relação existente entre estas
grandezas. Para resolver problemas análogos aos aqui propostos, pre
isamos sempre
deduzir uma lei ou fórmula matemáti
a que determine, pre
isamente, a relação entre
as variáveis envolvidas em 
ada 
aso. Essa lei ou fórmula é o que 
hamamos, em
matemáti
a de função.
3.1 De�nição de função
Uma função f : A→ B é uma lei de 
orrespondên
ia entre dois 
onjuntos A
e B tal que todo elemento x ∈ A asso
ia um úni
o elemento y ∈ B.
Notação:
f : A→ B
y = f(x)
ou
f : A→ B
x→ f(x) .
Exemplos:
1. Sejam A = {−1, 0, 1, 2} e B = {−1, 1, 3, 5} e f : A→ B tal que f(x) = 2x+ 1.
b
b
b
b
b
b
b
b
−1
0
1
2
−1
1
3
5
A B
Neste 
aso, f é uma função pois para todo x ∈ A existe um úni
o x ∈ B.
18
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
2. Sejam A = {−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 4, 5} e f : A→ B tal que f(x) = x2.
b
b
b
b
b
b
b
b
−1
0
1
2
1
0
4
5
A B
Também neste 
aso f é uma função pois para todo x ∈ A existe um úni
o
x ∈ B, embora y= 1 esteja asso
iado a dois valores distintos de x e y = 5 não esteja
asso
iado a nenhum elemento x ∈ A.
Contra-exemplos:
1. Sejam A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−1, 1, 3, 5} e f : A→ B tal que f(x) = 2x+1.
b
b
b
b
b
b
b
b
−1
0
1
2
−1
1
3
5
A B
b3
Neste 
aso, f não é uma função pois existe um elemento x ∈ A que não está
asso
iado a nenhum elemento y ∈ B.
2. Sejam A = {−1, 0, 1} e B = {0, 1, 2, 3} e f : A→ B tal que:
b
b
b
b
b
b
−1
0
1
0
1
2
3
A B
b
Também neste 
aso f não é uma função pois existe x ∈ A que está asso
iado
a dois valores distintos de B.
MATEMÁTICA BÁSICA 19
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
3.2 Representação grá�
a
Podemos veri�
ar através da representação grá�
a se f : A → B de�ne ou
não uma função. Considere os exemplos:
1. O grá�
o da Figura 3.1 não representa uma função, pois todo x ∈ (−2, 2) está
asso
iado a dois valores distintos de y. Note por exemplo que, para x = 0
temos y = 2 e y = −2.
x
y
2
2
−2
−2
Figura 3.1
2. O grá�
o da Figura 3.2 também não representa uma função, pois todo x ∈
(0,+∞) está asso
iado a dois valores distintos de y. Note por exemplo que,
x = 1 está asso
iado a y = 1 e y = −1.
1
−1
1 2 3 4−1 x
y
Figura 3.2
3.3 Domínio e imagem de uma função:
Seja f : A→ B uma função.
Domínio: Chamamos de domínio o 
onjunto de todos os elementos x ∈ A para os
quais existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f.
Gra�
amente, o domínio é o 
onjunto formado por todas as abs
issas dos
pontos do grá�
o de f .
Notação: D(f)
Contradomínio: Chamamos de 
ontradomínio o 
onjunto de todos os elementos
y ∈ B.
MATEMÁTICA BÁSICA 20
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
Imagem: Chamamos de imagem o 
onjunto de todos os elementos y ∈ B que estão
asso
iados a x ∈ A tal que (x, y) ∈ f.
Gra�
amente, a imagem é o 
onjunto formado por todas as ordenadas dos
pontos do grá�
o de f .
Notação: Im(f)
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A B
f
Domínio Contradomínio
Imagem
Observe que a imagem é um sub
onjunto do 
ontradomínio, isto é, Im(f) ⊂
B.
Exemplo:
1) Identi�que o domínio e a imagem para 
ada uma das funções abaixo:
1
2
3
4
−1
1 2−1−2−3 x
y
f
b
b
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
f
bc
1
2
3
−1
−2
1 2 3−1−2−3−4 x
y
g
b bc
b bc
b b
1
2
−1
1 2 3 4−1−2 x
y
h
b
bc
b
b
MATEMÁTICA BÁSICA 21
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
3.4 Operações 
om funções
De�nição: Sejam f e g duas funções. De�ne-se as operações de soma, sub-
tração, produto e quo
iente, respe
tivamente, por:
i) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
ii) (f − g)(x) = f(x)− g(x)
iii) (fg)(x) = f(x)g(x)
iv)
(
f
g
)
(x) = f(x)
g(x)
O domínio das funções f + g, f − g, fg é a interseção dos domínios de f e g.
O domínio de f/g é a interseção dos domínios de f e g, ex
luindo os valores
de x tais que g(x) = 0.
Exemplo
1) Determine o domínio das funções abaixo:
a) f(x) = 3
√
x2 − 1
Solução:
Como uma raiz 
úbi
a é de�nida para todo x ∈ R então D(f) = R.
b) g(x) =
x− 3
x2 − 4x+ 4
Solução:
Neste 
aso, g está de�nida se x2 − 4x+ 4 6= 0, ou seja, para x 6= 2.
Portanto, D(f) = R− {2}.
) h(x) =
√
x+ 3
1− 2x
Solução:
Neste 
aso,
√
x+ 3
1− 2x só tem sentido se
x+ 3
1− 2x ≥ 0. Para resolver esta
inequação quo
iente 
onsideremos os 
asos:
i) Se 1− 2x > 0, ou seja, x < 1
2
então devemos ter x+3 ≥ 0⇔ x ≥ −3.
Obtemos 
omo solução: [−3,+∞) ∩ (−∞, 1
2
)
=
[−3, 1
2
)
.
ii) Se 1−2x < 0, ou seja, x > 1
2
então devemos ter x+3 ≤ 0⇔ x ≤ −3.
Obtemos: (−∞,−3] ∩ (1
2
,+∞) = ∅.
Portanto D(f) =
[−3, 1
2
) ∪∅ = [−3, 1
2
)
.
d) r(x) =
x√
x2 +
√
x2 + 1
Solução:
Como x2 + 1 ≥ 1 então x2 +√x2 + 1 ≥ 1, ∀x ∈ R. Portanto, D(f) = R.
MATEMÁTICA BÁSICA 22
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
e) t(x) =
√
x− 1 + x√
x− 4
Solução:
A função t está de�nida se x − 1 ≥ 0 e x − 4 > 0. Então x ≥ 1 e x > 4,
o que impli
a x > 4. Logo, D(f) = (4,+∞).
Composição de funções
De�nição: Sejam as funções f e g. De�ne-se a função 
omposta de g e f por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
x f(x) g(f(x))
f g
f ◦ g
Note que o domínio de g ◦ f são todos os valores de x ∈ D(f) tal que f(x)
está no domínio de g. Portanto, (g ◦ f)(x) está de�nida sempre que f(x) e g(f(x))
estiverem de�nidas.
Exemplo:
1) Considere as funções f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x+ 1, determine f ◦ g e g ◦ f .
Solução:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3x+ 1) = (3x+ 1)2 + 2(3x+ 1) = 9x2 + 12x+ 3.
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 2x) = 3(x2 + 2x) + 1 = 3x2 + 6x+ 1.
Observações:
1) Observe no exemplo a
ima que, em geral, f ◦ g 6= g ◦ f .
2) A 
omposição de funções é asso
iativa, isto é, (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), sendo f ,
g e h funções de x.
Demonstração: Consideremos um elemento x perten
ente ao domínio de h
e es
revemos y = h(x), z = g(y) e w = f(z). Então,
((f ◦ g) ◦ h) (x) = (f ◦ g)(h(x)) = (f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(z) = w.
Por outro lado,
(f ◦ (g ◦ h)) (x) = f ((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x)) = f(g(y)) = f(z) = w.
Como queríamos demonstrar.
MATEMÁTICA BÁSICA 23
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
3.5 Exer
í
ios resolvidos
1) Considere as funções de�nidas por f(x) = 3x−3
x
e g(x) = x
x−3 − 1. Determine
f ◦ g e g ◦ f .
Solução:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f ( x
x−3 − 1
)
=
3( xx−3−1)−3
x
x−3−1
=
3x−6x+18
x−3
3
x−3
= −x+ 6
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x−3
x
) =
3x−3
x
3x−3
x
−3 − 1 = −x
2) Considere as funções g(x) = 3x+1 e (g ◦ f)(x) = 3x2+6x+1. Determine f(x).
Solução:
g(f(x)) = 3x2 + 6x+ 1
3f(x) + 1 = 3x2 + 6x+ 1
3f(x) = 3(x2 + 2x)
f(x) = x2 + 2x.
3) Considere as funções f(x) = x2+1 e (g ◦f)(x) = 2x4+7x2+4. Determine g(x).
Solução:
(g ◦ f)(x) = 2x4 + 7x2 + 4
g(f(x)) = 2x4 + 7x2 + 4
g(x2 + 1) = 2x4 + 7x2 + 4.
Observe que o domínio de g é uma função do segundo grau enquanto que g ◦f
é função do quarto grau. Con
luímos, então, que g tem que ser uma função do
segundo grau. Neste 
aso, propomos g(x) = ax2+bx+c e devemos determinar
os 
oe�
ientes a, b e c. Portanto,
a(x2 + 1)2 + b(x2 + 1) + c = 2x4 + 7x2 + 4
a(x4 + 2x2 + 1) + b(x2 + 1) + c = 2x4 + 7x2 + 4
ax4 + (2a+ b)x2 + a + b+ c = 2x4 + 7x2 + 4
Igualando os 
oe�
ientes, obtemos o sistema,
a+ 2
2a+ b = 7
a+ b+ c = 4
resultando em a = 2, b = 3 e c = −1.
Logo, g(x) = 2x2 + 3x− 1.
4) Dadas as funções f(x) = x
x−2 , g(x) = x
2
e h(x) =
√
x2 + 1, determine f ◦ g ◦ h.
Solução:
(f ◦ g ◦ h)(x) = f ◦ (g(h(x)) = f(g(h(x))) = f(g(√x2 + 1)) = f(x2 + 1) =
x2+1
(x2+1)−2 =
x2+1
x2−1
5) Determine o domínio de h(x) = (g ◦ f)(x) sendo f(x) = √x+ 1 e g(x) = x
x2−4 .
Solução:
MATEMÁTICA BÁSICA 24
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
Como
D(f) = [−1,+∞) −→ Im(f) = [0,+∞)
D(g) = R− {−2, 2} −→ Im(g) = R,
e g ◦ f está de�nida para o 
onjunto de valores x ∈ D(f) tal que Im(f) está
no domínio de g.
Logo, D(h) = D(g ◦ f) = R+ − {3}.
Note que h(x) = g(f(x)) = g(
√
x+ 1) =
√
x+1
x−3
Observe que se determinarmos o domínio de h sem levar em 
onsideração a
omposição, temos D(h) = [−1,+∞)−{3}. Entretanto, o intervalo [−1, 0) ⊂
D(h) não está 
ontido na Im(f), 
ontrariando a de�nição de 
omposição de
funções.
3.6 Exer
í
ios propostos
1) (UDESC - SC) Sejam f, g e h as funções 
ujos grá�
os são ilustrados na �gura
abaixo: O intervalo que representa o 
onjunto (Im(f) ∩ Im(g))−(D(f) ∩ Im(h))
é:
a) (−3, 2) b) [−3,−2] ∪ [0, 2] 
) [−2, 0) d) [0, 2] e) [2,+∞)
x
y
2
−2
−2
y=f(x)
x
y
−3 −1
−1
1
2
2
y=f(x)x
y
−2 1
1
4 y=f(x)
2) Determine o domínio das funções dadas.
a) f(x) = x2 − 3x+ 1
b) g(x) =
√
(x2 + 1)(x+ 2)
) h(x) =
√
x
3x−6
d) m(x) = 2x+1
x2−4 +
1
x+3
e) t(x) =
√
4−√2x− 4
3) Considere a função f : R−{−4} −→ R tal que f(x) = 2x+1
x+4
. Determine o valor
do domínio de f 
uja imagem é igual a 3.
4) Dadas as funções f(x) = x2, g(x) = 3x−1
x2+1
e h(x) =
√
x2 + 5, determine h ◦ h,
f ◦ g ◦ f e f ◦ f ◦ h.
MATEMÁTICA BÁSICA 25
Graciela e Ligia CAPÍTULO 3. INTRODUÇ�O ÀS FUNÇÕES
5) Considere as funções f(x) = 1
x2
e g(x) =
√
x+ 2. Determine o domínio de f +g,
f − g, fg, f
g
e g ◦ f .
6) Determine o domínio de g ◦ f e f ◦ g sendo f(x) = x+2
x
e g(x) = 2x2 − 10.
MATEMÁTICA BÁSICA 26
4
Funções espe
iais
Neste 
apítulo estudaremos alguns tipos espe
iais de funções. A função
f(x) = ax + b, a, b ∈ R é 
hamada de função a�m. Desta
amos em nosso es-
tudo os seguintes 
asos parti
ulares: função 
onstante (quando a = 0), função do
primeiro grau (quando a 6= 0) e função linear (quando a 6= 0 e b = 0).
4.1 Função 
onstante
É a função f : R −→ R de�nida por f(x) = b, onde b é um número real.
O grá�
o da função 
onstante é sempre paralelo ao eixo x e 
ruza o eixo y
no ponto (0, b). Por exemplo,
1
2
3
−1
1 2−1−2 x
y
(a) f(x) = 2
1
−1
−2
−3
1 2−1−2 x
y
(b) f(x) = −2
Figura 4.1: Função 
onstante.
4.2 Função do primeiro grau
É a função f : R −→ R de�nida por f(x) = ax + b, onde a e b são números
reais e a 6= 0.
27
Graciela e Ligia CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ESPECIAIS
4.2.1 Grá�
o
O grá�
o de uma função do 1
o
grau é uma reta 
res
ente ou de
res
ente.
Considere a representação grá�
a da função y = f(x), 
onforme Figura 4.2.
x
y
y0
y
x0 x
θ
Figura 4.2
Da Figura 4.2 temos que tan θ = y−y0
x−x0 , então y − y0 = (tan θ)(x − x0).
Portanto,
y = (tan θ)x+ y0 − (tan θ)x0
Consideremos a = tan θ e b = y0 − (tan θ)x0. Logo, y = ax + b onde a é
hamado de 
oe�
iente angular da reta e b é 
hamado de 
oe�
iente linear.
Note que b é a ordenada do ponto de interseção do grá�
o de f 
om o eixo y.
Para y = 0 obtemos o ponto de interseção do grá�
o de f 
om o eixo das abs
issas
(− b
a
, 0). Neste 
aso, x = − b
a
é 
hamado de zero da função. Veja Figura 4.3.
x
y
θ
b
− b
a
x
y
θ
b
b
a
Figura 4.3
Observe que se f é 
res
ente, ou seja, x > x0 =⇒ y > y0, então a = y−y0x−x0 > 0,
ilustrado na Figura 4.2. Se f é de
res
ente, ou seja, x > x0 =⇒ y < y0, então
a = y−y0
x−x0 < 0, ilustrado na Figura 4.4.
x
y
θ
x0 x
y
y0
Figura 4.4
MATEMÁTICA BÁSICA 28
Graciela e Ligia CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ESPECIAIS
Em parti
ular, quando b = 0, a função do primeiro grau é 
hamada de função
linear. Portanto, é a função de�nida por f(x) = ax, onde a 6= 0.
O grá�
o de uma função linear sempre passa pela origem pois o 
oe�
iente
linear é nulo.
x
y
(a) f(x) = ax, a > 0
x
y
(b) f(x) = ax, a < 0
Figura 4.5: Função linear
Para valores diferentes de a, veja o link: Animação da função f(x) = ax
Exemplos:
1) A função f(x) = 2x− 1 é 
res
ente pois a > 0.
x
y
1
2
−1
2) A função f(x) = −x
2
− 3 é de
res
ente pois a < 0.
x
y
−3
−6
4.3 Exer
í
ios propostos
(1) Construir o grá�
o das funções abaixo:
(a) f(x) = 2− 3x
MATEMÁTICA BÁSICA 29
Graciela e Ligia CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ESPECIAIS
(b) g(x) = x
2
(
) h(x) = −5
3
(2) Seja f uma função do 1o grau tal que f(−2) = 1 e f(3) = 4. Determine f(5
2
).
(3) Considere dois motoqueiros que partem dos pontos A e B e suas trajetórias
retilíneas se en
ontram no ponto C, 
onforme �gura. Determine as funções
que des
revem as trajetórias.
t
y
A
B
3
2
3
2
5
2
MATEMÁTICA BÁSICA 30
5
Função quadráti
a
A função do 2
o
grau ou função quadráti
a está presente em inúmeras apli
a-
ções. Na Físi
a, por exemplo, o movimento retilínio uniforme é des
rito pela função
S(t) = S0 + v0t+
at2
2
, a qual des
reve a posição S de um objeto em movimento em
qualquer instante de tempo t. Nesse 
aso, S0 representa a posição ini
ial do ob-
jeto, v0 é a velo
idade ini
ial e a é a a
eleração. Neste 
apítulo faremos um estudo
detalhado sobre as funções quadráti
as.
5.1 De�nição
A função quadráti
a é uma função f : R −→ R de�nida por f(x) = ax2 +
bx+ c, onde a, b, c são números reais dados e a 6= 0.
5.1.1 Grá�
o
Vamos ini
iar nosso estudo sobre funções quadráti
as fazendo uma análise
sobre grá�
o de f(x) = ax2, a 6= 0.
1
2
3
4
5
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y=x2y=2x
2
y= 1
2
x2
Figura 5.1: Função f(x) = ax2, a > 0
Observe que o valor de �a� determina a abertura da parábola. Se −1 < a < 1,
então mais aberta será a parábola. Se a < −1 ou a > 1 então mais fe
hada será a
31
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
parábola. Além disso, se a < 0 há uma re�exão em torno do eixo x, 
onforme as
Figuras 5.1 e 5.2.
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y=x2
y=−2x2 y=−x2
Figura 5.2: Função f(x) = ax2, a < 0
Para valores diferentes de a, veja o link: Animação da função f(x) = ax2
Agora vamos 
omparar os grá�
os de f(x) = x2 e g(x) = (x − k)2, k ∈ R,
onforme Figura 5.3 Qual a in�uên
ia de k sobre o grá�
o de f?
1
2
3
4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y=x2 y=(x−1)2y=(x+1)2
Figura 5.3: Translação horizontal da função f(x) = x2
Quando k > 0 o
orre uma translação horizontal para a direita, no grá�
o
de f , de |k| unidades. Enquanto que se k < 0 a translação é para a esquerda, de |k|
unidades. Neste 
aso, o vérti
e é o ponto (k, 0).
Para valores diferentes de k, veja o link: Animação da função f(x) = (x− k)2
MATEMÁTICA BÁSICA 32
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
No 
aso das funções f(x) = x2 e h(x) = x2 + p, p ∈ R, o que o
orre? (Veja
Figura 5.4)
1
2
3
4
−1
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y=x2
y=x2+1
y=x2−1
Figura 5.4: Translação verti
al da função f(x) = x2
Quando p > 0, o
orre uma translação verti
al de |p| unidades para 
ima
no grá�
o de f . E se p < 0, a translação de |p| unidades é para baixo. Observe que
o vérti
e é o ponto (0, p).
Para valores diferentes de p, veja o link: Animação da função f(x) = x2 + p
Vamos 
onstruir o grá�
o de f(x) = −2(x + 2)2 + 3 apli
ando as té
ni
as
abordadas a
ima.
Começamos representando o grá�
o de y = x2, em seguida o grá�
o de y =
2x2, diminuindo assim a abertura da parábola. Re�etindo o grá�
o de y = 2x2
em torno do eixo x, obtemos o grá�
o de y = −2x2. Na sequên
ia, transladamos
horizontalmente o grá�
o de y = −2x2, de 2 unidades, para à esquerda, obtendo
o grá�
ode y = −2(x + 2)2. Finalmente, ao transladar verti
almente para 
ima o
grá�
o de y = −2(x+ 2)2, de 3 unidades, obtemos o grá�
o de y = −2(x+ 2)2 + 3.
A sequên
ia des
rita a
ima está representada na Figura 5.5.
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y=−2x2
y=2x2
y=−2(x+2)2
y=−2(x+2)2+3
Figura 5.5: Função f(x) = −2(x+ 2)2 + 3
MATEMÁTICA BÁSICA 33
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Neste exemplo, o vérti
e é o ponto (k, p) = (−2, 3).
O grá�
o, por exemplo, da função f(x) = x2 − 6x + 7 (veja Figura 5.6),
também pode ser 
onstruído utilizando as té
ni
as des
ritas no exemplo a
ima,
para isso basta utilizar a té
ni
a de 
ompletar quadrados e rees
rever a função da
forma f(x) = a(x− k)2 + p.
Assim, f(x) = (x2 − 6x) + 7 = (x2 − 6x+ 9)− 9 + 7 = (x− 3)2 − 2.
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5 6−1−2 x
y
y=x2
y=(x−3)2
y=(x−3)2−2
Figura 5.6: Função f(x) = x2 − 6x+ 7
Observe que o vérti
e da parábola é o ponto (k,p) = (3,−2).
Vamos generalizar o método para en
ontrar o vérti
e da parábola, dis
utido
nos exemplos pre
edentes, utilizando a té
ni
a de 
ompletar quadrados.
Consideremos a função f(x) = ax2 + bx + c = a
(
x2 + b
a
x+ c
a
)
, a 6= 0.
Completando quadrados do termo
(
x2 + b
a
x
)
, obtemos(
x2 +
b
a
x+
b2
4a2
)
− b
2
4a2
=
(
x+
b
2a
)2
− b
2
4a2
Assim,
f(x) = a
[(
x+
b
2a
)2
− b
2
4a2
+
c
a
]
= a
[(
x+
b
2a
)2
+
(
−b
2 − 4ac
4a2
)]
= a
(
x+
b
2a
)2
+
(
−b
2 − 4ac
4a
)
(5.1)
Observe que há uma translação horizontal de
b
2a
unidades (para à direita
ou esquerda, dependendo dos sinais de a e b) e uma translação verti
al de − b2−4ac
4a
unidades (para 
ima ou para baixo). Se a < 0, há uma re�exão do grá�
o de f em
torno do eixo x.
MATEMÁTICA BÁSICA 34
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Comparando (5.1) 
om os exemplos pre
edentes, observamos que o vérti
e
da parábola é dado por (k, p) =
(
− b
2a
,− b2−4ac
4a
)
. A partir daqui usaremos a notação
xv e yv para k e p, respe
tivamente.
Vamos agora determinar os zeros (raízes) da função f(x) = ax2 + bx + c.
Queremos determinar os pontos onde o grá�
o de f inter
epta o eixo x, ou seja, os
pontos tais que f(x) = 0.
y = f(x) = ax2 + bx+ c = 0
De a
ordo 
om (5.1), temos
a
(
x+
b
2a
)2
+
(
−b
2 − 4ac
4a
)
= 0
e, portanto
a
(
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a(
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a2
x+
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
4a2
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
(5.2)
Na Equação (5.2), seja ∆ = b2 − 4ac. Temos então três 
asos para analisar.
1. Se ∆ > 0, as raízes x1 =
−b+√∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
são reais e distintas. Isso
signi�
a que o grá�
o de f inter
epta o eixo x em dois pontos, (x1, 0) e (x2, 0).
2. Se ∆ = 0, há duas raízes reais e iguais, a saber, x1 = x2 = − b2a . Neste 
aso, o
grá�
o de f inter
epta o eixo x em apenas um ponto, (− b
2a
, 0).
3. Se ∆ < 0, não há raízes reais, ou seja, o grá�
o de f não inter
epta o eixo x.
Resumimos na Tabela (5.1) todos os possíveis 
asos para o grá�
o de f . Nos
grá�
os, a reta tra
ejada, 
uja equação é x = − b
2a
, é 
hamada de eixo de simetria
da parábola. Observe que o ponto de interseção da parábola 
om o eixo de simetria
é o vérti
e (xv, yv).
MATEMÁTICA BÁSICA 35
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Tabela 5.1: Grá�
os da função quadrádi
a
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
a > 0
x1 x2−b
2a
x
b
b
x
b
x1=x2=
−b
2a
x−b
2a
a < 0
x1 x2−b
2a
x
b
b
x
b
x1=x2=
−b
2a
x−b
2a
O vérti
e representa o ponto de máximo ou de mínimo da função quadráti
a,
ilustrado na Figura 5.7. Portanto,
• yv ∈ Im(f) é o valor máximo da função somente se yv ≥ y, ∀y ∈ Im(f);
• yv ∈ Im(f) é o valor mínimo da função somente se yv ≤ y, ∀y ∈ Im(f).
x
y
c
yv
xvx1 x2
x=xv
b
b b
x
y
c
yv
xvx1 x2
x=xv
b
b b
Figura 5.7
O ponto de interseção do grá�
o de f(x) = ax2 + bx + c 
om o eixo y é da
forma (0, f(0)), ou seja, (0, c).
5.2 Exer
í
ios resolvidos
1) Construir o grá�
o das funções dadas identi�
ando o vérti
e, o eixo de simetria
e o 
onjunto imagem.
MATEMÁTICA BÁSICA 36
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
a) f(x) = −x2 − 3x+ 10
Solução:
i) Raízes
y = −x2 − 3x+ 10 = 0 =⇒ x = 3±
√
9+40
−2 .
Então, x1 = −5 e x2 = 2.
ii) O grá�
o inter
epta o eixo y no ponto (0, c) = (0, 10).
iii) Vérti
e
y = −x2 − 3x+ 10
= −(x2 + 3x) + 10
= −(x2 + 3x+ 9
4
− 9
4
) + 10
= −(x2 + 3x+ 9
4
) +
9
4
+ 10
= −(x+ 3
2
)2 +
49
4
Comparando 
om a expressão y = a(x−xv)2+yv, temos que xv = −32
e yv =
49
4
.
iv) O eixo de simetria é a reta de equação x = xv = −32 .
v) Note que a = −1. Neste 
aso, a 
on
avidade da parábola é voltada
para baixo. Logo, esta função tem um valor máximo yv =
49
4
. Assim,
Im(f) = (−∞, yv) = (−∞, 494 ].
x
y
− 3
2
49
4
f
b) g(x) = 4x2 − 12x+ 9
Solução:
i) Raízes
y = 4x2 − 12x+ 9 = 0 =⇒ x = 12±
√
144−144
8
.
Então, x1 = x2 =
3
2
.
ii) O grá�
o inter
epta o eixo y no ponto (0, c) = (0, 9).
MATEMÁTICA BÁSICA 37
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
iii) Vérti
e
y = 4x2 − 12x+ 9
= 4(x2 − 3x) + 9
= 4(x2 − 3x+ 9
4
− 9
4
) + 9
= 4(x2 − 3x+ 9
4
)− 9 + 9
= 4(x− 3
2
)2
Comparando 
om a expressão y = a(x−xv)2+yv, temos que xv = −32
e yv = 0.
iv) O eixo de simetria é a reta de equação x = xv =
3
2
.
v) Note que a = 4. Neste 
aso, a 
on
avidade da parábola é voltada
para 
ima. Logo, esta função tem um valor mínimo yv = 0. Assim,
Im(f) = [yv,+∞) = [0,+∞).
x
y
3
2
9
g
) h(x) = x2 − x+ 1
Solução:
i) Raízes
y = x2 − x+ 1 = 0 =⇒ x = 1±
√
1−4
2
= 1±
√−3
2
Como ∆ = −3 < 0, não existem raízes reais.
ii) O grá�
o inter
epta o eixo y no ponto (0, c) = (0, 1).
iii) Vérti
e
y = x2 − x+ 1
= (x2 − x) + 1
= (x2 − x+ 1
4
− 1
4
) + 1
= (x2 − x+ 1
4
)− 9
4
+ 1
= (x− 1
2
)2 +
3
4
MATEMÁTICA BÁSICA 38
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Comparando 
om a expressão y = a(x−xv)2 + yv, temos que xv = 12
e yv =
3
4
.
iv) O eixo de simetria é a reta de equação x = xv =
1
2
.
v) Note que a = 1. Neste 
aso, a 
on
avidade da parábola é voltada
para 
ima. Logo, esta função tem um valor mínimo yv =
3
4
. Assim,
Im(f) = [yv,+∞) = [34 ,+∞).
x
y
1
2
3
4
h
1
2) Determine a função quadráti
a 
uja representação grá�
a é
x
y
− 9
8
5
4
2
f
Solução:
Seja f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0, a função pro
urada.
De a
ordo 
om o grá�
o temos que xv =
5
4
e yv = −98 . Já vimos que f(x) pode
ser rees
rita na forma y = f(x) = a(x− xv + yv, assim, y = a(x− 54)2 − 98 . A
parábola passa pelo ponto (0, 2), então na expressãp a
ima 2 = a(x− 5
4
)2− 9
8
.
Portanto, a = 2. Logo, f(x) = 2(x− 5
4
)2 − 9
8
= 2x2 − 5x+ 2.
Outra alternativa de resolução segue abaixo:
i) f(0) = 2 =⇒ 2 = a · 0 + b · 0 + c =⇒ c = 2
ii) xv =
5
4
=⇒ −b
2a
= 5
4
=⇒ b = −5a
2
iii) yv =
−9
8
=⇒ −(b−4ac)
4a
= −9
8
MATEMÁTICA BÁSICA 39
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Como b = −5a
2
e c = 2, temos:
25
4
a2 − 4 · a · 2
4a
=
9
8
25
4
a2 − 8a = 9a
2
25a2 − 32a = 18a
25a2 − 50a = 0
a(25a− 50) = 0
Como a 6= 0, resta
25a− 50 = 0
a = 2.
Portanto, b = −5a
2
= −5
2
· 2 = −5.
Logo, f(x) = 2x2 − 5x+ 2.
3) Determine o valor de k ∈ R para que a função f(x) = kx2 + (k + 5)x+ (k + 1)
tenha mínimo igual a −7.
Solução:
Seja V (xv, yv) o vérti
e de f . A 
oordenada yv é o máximo valor de f , portanto
yv = −7 onde
yv =
−(b2−4ac)
4a
−7 = −[(k+5)2−4k(k+1)]
4k
−7 = −[k2+10k+25−4k2−4k]
4k
28k = k2 + 10k + 25− 4k2 − 4k
3k2 + 22k − 25 = 0.
As raízes são k = −25
3
e k = 1.
Como a função deve ter 
on
avidade voltada para baixo para ter um valor
mínimo, então k = 1 e a função obtida é f(x) = x2 + 6x+ 2.
x
y
−3
−7
2f
5.3 Exer
í
ios propostos
1) Construir o grá�
o de f(x) = x2, a seguir 
onstruir os grá�
os das funções
abaixo usando translações. Determine o vérti
e, a equação do eixo de simetria
e o 
onjunto imagem.
a) q(x) = −1
2
(x+ 3)2 − 4
MATEMÁTICA BÁSICA 40
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
b) h(x) = 12x2 − 3x
) g(x) = −4x2 − 8x+ 5
d) f(x) = 8
9
x2 + 8
3
x+ 3
2) Determine o valor de m ∈ R para que a função f(x) = mx2+(m−7)x+(m+1)
tenha um valor máximo igual a 1.
3) (UDESC-SC) Seja f(x) uma função quadráti
a 
ujo grá�
o passapelos pontos
P (5
2
, 9
4
) e Q(2, 2) e pelo ponto de interseção da reta y = −x+4 
om o eixo das
abs
issas.
a) En
ontre a expressão de f(x).
b) A função f(x) admite um ponto de máximo ou um ponto de mínimo?
Quais são as 
oordenadas desse ponto?
4) (UDESC-SC) Seja f(x) a função quadráti
a 
ujo grá�
o passa pelo ponto P (1,−2)
e pelo ponto de interseção da reta y = 4x + 2 
om os eixos das ordenadas.
Sabe-se ainda que uma de suas raízes é igual a 2.
a) En
ontre a expressão de f(x).
b) A função f(x) admite um máximo ou um mínimo? Quais as 
oordenadas
desse ponto?
5) (UDESC-SC) Seja f a função que des
reve o perímetro do quadrado ACEG da
�gura abaixo.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
O quadrado DEFI possui área igual a 9 cm2. A soma das áreas dos retângulos
BCDI e FGHI é igual a 6x cm2. Determine todos os valores reais de x que
satisfazem a inequação 1 < f(x) ≤ 36.
6) (UDESC-SC) Uma mi
roempresa sabe que, se produzir e vender mensalmente
x unidades de 
erto produto, terá um 
usto mensal unitário dado por C(x) =
x+10+ 1505
x
reais e obterá uma re
eita mensal total dada por R(x) = 500x−4x2
reais. Justi�
ando e expli
itando seus 
ál
ulos, determine:
a) a quantidade mensal a ser produzida e vendida para que a empresa obtenha
lu
ro mensal máximo;
b) os valores de x para os quais a empresa possa obter pelo menos dez mil
reais mensais de lu
ro.
7) Determine o domínio da função f(x) =
√
x2−2x−1
x2−1 .
MATEMÁTICA BÁSICA 41
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
8) Determine o domínio das funções abaixo:
a) f(x) = x+2
x2+5x+6
b) f(x) =
√
x2 − 6x+√x− 1
9) (UDESC-SC) Após ser arremessado, um projétil des
reve uma trajetória para-
bóli
a permane
endo 12 minutos no ar. Sabendo-se que no instante ini
ial o
projétil está situado no nível do solo e após 1 minuto ele está a 33 metros de
altura, determine:
a) a equação da trajetória des
rita pelo projétil;
b) o instante em que o projétil atinge a altura máxima;
) a altura máxima obtida pelo projétil.
5.4 Inequações
As inequações são expressões matemáti
as que utilizam, na sua formatação,
os seguintes sinais de desigualdades: > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou
igual), ≤ (menor ou igual) e 6= (diferente).
Resolver uma inequação do segundo grau signi�
a en
ontrar um 
onjunto de
valores de x para os quais f(x) satisfaça a desigualdade desejada, por exemplo:
i) x2 − 2x+ 1 ≥ 0
ii) x
2+4
x2−5x+6 < 0
iii) (x2 − 2x)(−2x2 + 1) ≤ 0
Vamos apresentar alguns exer
í
ios resolvidos para exempli�
ar o método de
resolução das inequações de segundo grau.
5.4.1 Exer
í
ios resolvidos
1) Determine os valores de x ∈ R tais que x2 − 5x+ 6 ≥ 0.
Solução:
Vamos fazer um estudo do sinal da função y = x2 − 5x+ 6, para en
ontrar os
valores de x ∈ R para os quais y ≥ 0.
As raízes de x2 − 5x+ 6 = 0 são x1 = 2 e x2 = 3.
Estudo do sinal:
x
y
2 3
+ − +
MATEMÁTICA BÁSICA 42
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Através do grá�
o da função observamos que y ≥ 0 para x ≤ 2 ou x ≥ 3 e
y ≤ 0 para 2 ≤ x ≤ 3. Portanto, a solução é S = (−∞, 2] ∪ [3,+∞).
2) Determine os valores de x ∈ R tais que (4x2 − 12x+ 9)(−x2 − 3x+ 10) < 0.
Solução:
Temos dois 
asos a 
onsiderar:
Caso 1: Se 4x2 − 12x+ 9 > 0 e −x2 − 3x+ 10 < 0.
x
y
3
2
+ + +
x
y
−5 2
− + −
Os valores de x tais que 4x2 − 12x + 9 > 0 e −x2 − 3x + 10 < 0 são
R− {3
2
} e (−∞,−5) ∪ (2,+∞), respe
tivamente.
Portanto, a solução para o 
aso 1 é a interseção dos intervalos R−{3
2
} ∩
[(−∞,−5) ∪ (2,+∞)], ou seja, (−∞,−5) ∪ (2,+∞).
Caso 2: Se 4x2−12x+9 < 0 e −x2−3x+10 > 0 a solução é ∅∩ (−5, 2) = ∅,
pois ∄ x ∈ R tais que 4x2 − 12x+ 9 < 0.
Logo, os valores de x tais que (4x2 − 12x + 9)(−x2 − 3x + 10) < 0 
on-
sistem na união das soluções obtidas nos 
asos 1 e 2, ou seja, [(−∞, 5) ∪
(2,+∞)] ∪ ∅ = (−∞, 5) ∪ (2,+∞).
3) Determine os valors de x tais que
x2 + 2x− 3
−2x2 + 3x+ 2 ≤ 0.
Solução:
Temos dois 
asos a 
onsiderar:
Caso 1: Se x2 + 2x− 3 ≥ 0 e −2x2 + 3x+ 2 < 0.
x
y
−3 1
+ − +
x
y
− 1
2
2
− + −
MATEMÁTICA BÁSICA 43
Graciela e Ligia CAPÍTULO 5. FUNÇ�O QUADRÁTICA
Os valores de x tais x2 +2x− 3 ≥ 0 e −2x2 +3x+2 < 0 são (−∞,−3]∪
[1,+∞) e (−∞,−1
2
) ∪ (2,+∞), respe
tivamente.
Portanto, a solução para o 
aso 1 é a interseção destes intervalos, ou seja,
(−∞,−3] ∩ (2,+∞).
Caso 2: Se x2 + 2x − 3 ≤ 0 e −2x2 + 3x + 2 > 0 a solução para a primeira
inequação é [−3, 1] e para a segunda inequação é (−1
2
, 2).
Portanto, a solução para o 
aso 2 é [−3, 1] ∩ (−1
2
, 2) = (−1
2
, 1].
Logo, os valores de x tais que
x2 + 2x− 3
−2x2 + 3x+ 2 ≤ 0 
onsistem na união das
soluções obtidas nos 
asos 1 e 2, ou seja, (−∞,−3] ∪ (−1
2
, 1] ∪ (2,+∞).
5.5 Exer
í
ios propostos
1) Resolva as inequações abaixo:
a) 2x2 + 4x+ 3 ≤ 0
b) (−x2 + x− 1)(x2 − 2x− 3) > 0
) x4 + 4x3 − 5x2 < 0
d)
−x2−4x
−x2+6x−5 ≥ 0
e)
x2−9
x2−4x+4 ≤ 0
MATEMÁTICA BÁSICA 44
6
Função modular
A função que asso
ia a 
ada número real x o seu valor absoluto |x| é 
hamada
de função modular. Ini
iaremos este 
apítulo fazendo um estudo sobre módulo ou
valor absoluto de um número real e suas propriedades.
6.1 Módulo ou valor absoluto
De�nição: O módulo, ou valor absoluto, de um número real x é denotado por |x|
e de�nido por
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Exemplos:
a) |2| = 2
b)
∣∣−1
3
∣∣ = − (−1
3
)
= 1
3
) |0| = 0
Da de�nição de módulo podemos 
on
luir que o módulo de um número é
sempre um número não-negativo, ou seja, |x| ≥ 0.
Interpretação Geométri
a: Geometri
amente, o módulo ou valor absoluto de x
representa a distân
ia entre x e 0. Es
reve-se então |x| = √x2.
0−x x︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸
| − x| = x |x| = x
R
45
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
Propriedades de módulo:
Sejam x e y números reais.
1. |x| ≥ 0
2. |x| = | − x|
3. |x| ≥ x
4. |x|2 = x2
5. |x.y| = |x|.|y|
6.
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| , y ∈ R∗
7. |x| = a⇔ x = a ou x = −a
8. |x| = |y| ⇔ x = y ou x = −y
9. |x+ y| ≤ |x|+ |y|
10. |x− y| ≤ |x|+ |y|
11. |x| − |y| ≤ |x− y|
12. |x| − |y| ≤ |x+ y|
Vamos demonstrar algumas das propriedades a
ima.
• Propriedade 3.
|x| ≥ x.
Se x ≥ 0 então |x| = x.
Se x < 0 então x < 0 ≤ |x| pela propriedade 1.
• Propriedade 4.
|x|2 = x2.
Se x ≥ 0 então |x|2 = |x| · |x| = x · x = x2.
Se x < 0 então |x|2 = |x| · |x| = (−x)(−x) = x2.
• Propriedade 5.
|x.y| = |x|.|y|.
Temos três 
asos a 
onsiderar:
Se x ≥ 0 e y ≥ 0 então |xy| = xy = |x| · |y|.
Se x ≥ 0 e y < 0 então |xy| = −(xy) = x(−y) = |x| · |y|.
Se x < 0 e y < 0 então |xy| = +(xy) = (−x)(−y) = |x| · |y|.
• Propriedade 6.∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| , y ∈ R∗, y 6= 0
A demonstração é análoga à anterior.
MATEMÁTICA BÁSICA 46
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
• Propriedade 8.
|x| = |y| ⇔ x = y ou x = −y.
Temos quatro 
asos a 
onsiderar:
Se x ≥ 0 e y ≥ 0 então |x| = |y| ⇒ x = y.
Se x ≥ 0 e y < 0 então |x| = |y| ⇒ x = −y.
Se x < 0 e y ≥ 0 então |x| = |y| ⇒ −x = y.
Se x < 0 e y < 0 então |x| = |y| ⇒ −x = −y.
Portanto, |x| = |y| ⇒ x = ±y.
• Propriedade 9.
|x+ y| ≤ |x|+ |y|. Desigualdade triangular.
Pelas propriedades 4, 3 e 5 temos que:
|x+y|2 prop.4= (x+y)2 = x2+2xy+y2
prop.3
≤ x2+2|xy|+y2 prop.4= |x|2+2|x|·|y|+|y|2.
Então |x+ y|2
prop.5
≤ |x|2 + 2|x| · |y|+ |y|2 = (|x|+ |y|)2.
Logo, |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
• Propriedade 10.
|x− y| ≤ |x|+ |y|.
|x− y| = |x+ (−y)|
prop.7
≤ |x|+ | − y| prop.2= |x|+ |y|.
• Propriedade 11.
• |x| − |y| ≤ |x− y|.
Note que |x| = |x+ y − y|. Pela propriedade 7, temos que:
|x| = |(x− y) + y| ≤ |x− y|+ |y|.
Logo, |x| − |y| ≤ |x− y|.
• Propriedade 12.
|x| − |y| ≤ |x+ y|.
|x| = |(x+ y)− y| ≤ |x+ y|+ | − y| = |x+ y|+ |y|.
Logo, |x| − |y| ≤ |x+ y|.Exemplos:
1) De�nir 
ada um dos módulos abaixo:
a) |x+ 3|
Solução:
Se x−3 ≥ 0 então |x+3| = x+3 e se x−3 < 0 então |x+3| = − (x+ 3).
Portanto, |x+ 3| =
{
x+ 3, se x ≥ 3
−x− 3, se x < 3 .
b) |5− x|
Solução:
Se 5−x ≥ 0 então |5−x| = 5−x e se 5−x < 0 então |5−x| = −(5−x).
Portanto, |5− x| =
{
5− x, se x ≤ 5
x− 5, se x > 5 .
MATEMÁTICA BÁSICA 47
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
) |4− x2|
Solução:
Se 4 − x2 ≥ 0 então |4 − x2| = 4 − x2 e se 4 − x2 < 0 então |4 − x2| =
−(4− x2).
Portanto, |4− x2| =
{
4− x2, se − 2 ≤ x ≤ 2
x2 − 4, se x < −2 ou x > 2 .
6.2 Função modular
A função modular, ou função módulo, é a função f : R → R de�nida por
f(x) = |x|.
Da de�nição de módulo de x, temos que a função modular pode ser rede�nida
por f(x) = |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0 . O grá�
o de f é apresentado na Figura 6.1.
1
2
1 2−1−2 x
y
Figura 6.1: Função f(x) = |x|
O domínio de f são todos os números reais (D(f) = R) e sua imagem são
todos os números reais não-negativos (Im(f) = R+).
Vamos fazer algumas 
onsiderações sobre as funções g(x) = |x+ a| e h(x) =
|x|+ a, a ∈ R. Queremos veri�
ar que tipo de in�uên
ia o número a exer
e sobre o
grá�
o da função f(x) = |x|. Para isto, 
onsidere os exemplos:
1) g(x) = |x− 1|
A função g pode ser rees
rita por
g(x) =
{
x− 1, x− 1 ≥ 0
−(x− 1), x− 1 < 0 , ou seja, g(x) =
{
x− 1, x ≥ 1
−(x− 1), x < 1
1
2
1 2 3−1 x
y
MATEMÁTICA BÁSICA 48
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
2) g(x) = |x+ 1|
A função g pode ser rees
rita por
g(x) =
{
x+ 1, x+ 1 ≥ 0
−(x+ 1), x+ 1 < 0 , ou seja, g(x) =
{
x+ 1, x ≥ −1
−(x+ 1), x < −1
1
2
1−1−2−3 x
y
Veri�
amos nos exemplos 1 e 2 que se a > 0 o
orre uma translação horizontal
de a unidades para à direita no grá�
o de f e, se a < 0 a translação de |a|
unidades é para à esquerda.
3) h(x) = |x|+ 1
Rees
revendo a função h, tem-se
h(x) =
{
x+ 1, x ≥ 0
−x+ 1, x < 0 , ou seja, h(x) =
{
x+ 1, x ≥ 0
−x+ 1, x < 0
1
2
3
1 2−1−2 x
y
4) h(x) = |x| − 1
Rees
revendo a função l, tem-se
h(x) =
{
x− 1, x ≥ 0
−x− 1, x < 0 , ou seja, h(x) =
{
x− 1, x ≥ 0
−x− 1, x < 0
MATEMÁTICA BÁSICA 49
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
1
−1
1 2−1−2 x
y
Nos exemplos 3 e 4, observamos que se a > 0 há uma translação verti
al de a
unidades para 
ima no grá�
o de f e, se a < 0 a translação de |a| unidades é
para baixo.
5) m(x) = |x− 2|+ 1
Rede�nindo a função m, tem-se
m(x) =
{
x− 2 + 1, x− 2 ≥ 0
−(x− 2) + 1, x− 2 < 0 , ou seja, m(x) =
{
x− 1, x ≥ 2
−x+ 3, x < 2
1
2
3
1 2 3 4 5−1 x
y
Neste exemplo, o
orre uma translação horizontal de 2 unidades para à direita
seguida de uma translação verti
al de 1 unidades para 
ima no grá�
o de f .
Para valores diferentes de a, veja os links: Animação da função f(x) = a|x|;
Animação da função f(x) = |x|+ a; Animação da função f(x) = |x+ a|
Vamos fazer algumas 
onsiderações sobre as funções abaixo:
1. g(x) = |f(x)|
2. g(x) = f (|x|)
MATEMÁTICA BÁSICA 50
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
Exemplos: Construir o grá�
o de 
ada uma das funções abaixo:
a) g(x) = |x2 − 5x+ 6|
Consideremos g(x) = |f(x)|, onde f(x) = x2 − 5x+ 6
g(x) =
{
f(x) se f(x) ≥ 0
−f(x) se f(x) < 0 .
A função g pode ser rees
rita 
omo
g(x) =
{
x2 − 5x+ 6 se x2 − 5x+ 6 ≥ 0
−(x2 − 5x+ 6) se x2 − 5x+ 6 < 0 .
Analisando o sinal de f(x) temos que
g(x) =
{
x2 − 5x+ 6 se x ≤ 2 ou x ≥ 3
−(x2 − 5x+ 6) se 2 < x < 3 .
Os grá�
os de f e g são apresentados nas Figura 6.2.
1
2
3
4
5
6
7
−1
1 2 3 4 5x
y
(a) f(x)
1
2
3
4
5
6
7
−1
1 2 3 4 5x
y
(b) g(x)
Figura 6.2
b) g(x) = |x|2 − 5|x|+ 6
Consideremos g(x) = f (|x|), onde f(x) = x2 − 5x+ 6
g(x) = f (|x|) =
{
f(x) se x ≥ 0
f(−x) se x < 0
A função g(x) pode ser rees
rita 
omo:
g(x) =
{
x2 − 5x+ 6 se x ≥ 0
(−x)2 − 5 (−x) + 6 se x < 0 =
{
x2 − 5x+ 6 se x ≥ 0
x2 + 5x+ 6 se x < 0
ujo grá�
o é dado na Figura 6.3.
MATEMÁTICA BÁSICA 51
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4−1−2−3−4−5 x
y
Figura 6.3
Observações:
i) No exemplo (a) o grá�
o da função g pode ser obtido a partir do grá�
o de f,
bastando para isto efetuar uma re�exão em torno do eixo x, no intervalo em
que f(x) < 0
ii) No exemplo (b) o grá�
o da função g pode ser obtido a partir do grá�
o de f,
bastando para isto que o grá�
o de f, para x ≥ 0, sofra uma re�exão em torno
do eixo y.
As observações feitas para os exemplos (a) e (b) podem ser generalizadas.
Dado um ponto P (x, y) no plano 
artesiano, representado na Figura 6.4, temos que:
• o simétri
o de P em relação ao eixo x é o ponto R(x,−y);
• o simétri
o de P em relação ao eixo y é o ponto Q(−x, y).
x
y
Q P
R
x−x
−y
y
b b
b
Figura 6.4
Temos assim que:
• Dada a função y = f(x), o grá�
o de y = f(−x) é o simétri
o do grá�
o de
y = f(x) em relação ao eixo y.
• Dada a função y = f(x), o grá�
o de y = −f(x) é o simétri
o do grá�
o de
y = f(x) em relação ao eixo x.
MATEMÁTICA BÁSICA 52
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
6.3 Equações modulares
Vamos agora fazer um estudo sobre as equações modulares e, para isto, 
on-
sideremos alguns exemplos.
1) |2x− 3| = 1
Solução:
Lembrando da propriedade |x| = a⇐⇒ x = a ou x = −a, temos:
|2x− 3| = 1⇐⇒

2x− 3 = 1⇒ x = 2
ou
2x− 3 = −1⇒ x = 1
.
Portanto, a solução é S = {1, 2}.
2) |2− 3x| = |7− x|
Solução:
Pela propriedade |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y, temos:
|2− 3x| = |7− x| ⇐⇒

2− 3x = 7− x⇒ x = −5
2
ou
2− 3x = −7 + x⇒ x = 9
4
.
Portanto, a solução é S = {−5
2
, 9
4
}.
3)
∣∣ x+1
2x−1
∣∣ = 2
Solução:
Lembrando da propriedade
∣∣∣xy ∣∣∣ = |x||y| , temos:∣∣ x+1
2x−1
∣∣ = 2⇐⇒ |x+ 1| = 2|2x− 1|.
Como | ± 2| = 2, rees
revendo a equação, temos |x+ 1| = | ± 2||2x− 1|.
Usando a propriedade |x|.|y| = |x.y| temos as possibilidades
|x+ 1| = |4x− 2| ou |x+ 1| = | − 4x+ 2|.
Como |4x−2| = |−4x+2|, as duas equações a
ima levam no mesmo resultado.
Então, vamos resolver a primeira equação.
|x+ 1| = |4x− 2| ⇐⇒

x+ 1 = 4x− 2⇒ x = 1
ou
x+ 1 = −4x+ 2⇒ x = 1
5
.
Portanto, a solução é S = {1
5
, 1}.
4) |3x− 2|+ 4x− 3 = 0.
Solução:
Se 3x− 2 ≥ 0 =⇒ x ≥ 2
3
, então
MATEMÁTICA BÁSICA 53
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
|3x− 2|+ 4x− 3 = 0 =⇒ 3x− 2 + 4x− 3 = 0
7x− 5 = 0
x = 5
7
∈ [2
3
,∞)
Se 3x− 2 < 0 =⇒ x < 2
3
, então
|3x− 2|+ 4x− 3 = 0 =⇒ −3x+ 2 + 4x− 3 = 0
x− 1 = 0
x = 1 /∈ (−∞, 2
3
)
Portanto, a solução da equação dada é S = {5
7
}.
5) |x+ 4|+ |2x− 6| = 3x
Solução:
Apli
ando a de�nição de valor absoluto, temos:
|x+ 4| =
{
x+ 4, se x ≥ −4
−(x+ 4), se x < −4 e |2x− 6| =
{
2x− 6, se x ≥ 3
−(2x− 6), se x < 3 .
(−∞,−4) −4 [−4, 3) 3 [3,+∞)
|x+ 4| −x− 4 x+ 4 x+ 4
|2x− 6| −2x+ 6 −2x+ 6 2x− 6
Se x < −4 então a equação |x+ 4|+ |2x− 6| = 3x é representado por
−x− 4− 2x+ 6 = 3x
x = 1
3
/∈ (−∞,−4).
Se −4 ≤ x < 3, de forma similar, temos:
x+ 4− 2x+ 6 = 3x
x = 5
2
∈ [−4, 3).
Se x ≥ 3, temos
x+ 4 + 2x− 6 = 3x
−2 = 0 (absurdo).
Portanto, S = {5
2
}.
6) |x2 − 1|2 + 3|x2 − 1| − 4 = 0
Solução:
Fazendo |x2−1| = y, temos temos a equação do segundo grau y2+3y−4 = 0,
ujas raízes são y1 = −1 e y2 = 4.
MATEMÁTICA BÁSICA 54
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
Como y = |x2 − 1| ≥ 0 então |x2 − 1| = 4. Da de�nição de módulo temos{
x2 − 1 = 4
x2 − 1 = −4 =⇒
{
x2 − 5 = 0
x2 + 3 = 0
.
A primeira equação tem por solução x = ±√5 e não existem números reais
que satisfaçam a segunda equação.
Portanto, a solução da equação |x2−1|2+3|x2−1|−4= 0 é S = {−√5,√5}.
6.4 Inequações modulares
Vamos apresentar algumas propriedades 
om o objetivo de fa
ilitar a resolu-
ção de inequações que envolvem módulo.
Propriedades:
Seja a ∈ R∗+, então:
i) |x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a
ii) |x| ≥ a⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
Demostração:
i) |x| ≤ a a>0⇐⇒ x2 ≤ a2 ⇐⇒ x2 − a2 ≤ 0⇐⇒ (x− a)(x+ a) ≤ 0⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
ii) |x| ≥ a a>0⇐⇒ x2 ≥ a2 ⇐⇒ x2 − a2 ≥ 0 ⇐⇒ (x − a)(x + a) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤
−a ou x ≥ a
Exemplos: Resolver as inequações abaixo:
1. |2x− 3| ≥ 1
Solução:
|2x− 3| ≥ 1⇐⇒

2x− 3 ≤ −1
ou
2x− 3 ≥ 1

x ≤ 1
ou
x ≥ 2
.
Logo, S = {x ∈ R/x ≤ 1 ou x ≥ 2}
2. |2x+ 4| ≤ 3
Solução.
|2x+ 4| ≤ 3⇐⇒ −3 ≤ 2x+ 4 ≤ 3⇐⇒ −7 ≤ 2x ≤ −1⇐⇒ −7
2
≤ x ≤ −1
2
Logo, S = {x ∈ R/− 7
2
≤ x ≤ −1
2
}
3. ||2x− 1| − 4| ≤ 3
Solução:
||2x− 1| − 4| ≤ 3⇐⇒ −3 ≤ |2x− 1| − 4 ≤ 3⇐⇒ 1 ≤ |2x− 1| ≤ 7.
Temos agora, dois 
asos a 
onsiderar:
MATEMÁTICA BÁSICA 55
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
i) |2x− 1| ≥ 1
Assim,

2x− 1 ≤ −1
ou
2x− 1 ≥ 1
⇐⇒

x ≤ 0
ou
x ≥ 1
.
A solução do 
aso (i) é {x ∈ R/x ≤ 0 ou x ≥ 1}
ii) |2x− 1| ≤ 7
Assim, −7 ≤ 2x− 1 ≤ 7⇐⇒ −6 ≤ 2x ≤ 8⇐⇒ −3 ≤ x ≤ 4.
A solução do 
aso (ii) é {x ∈ R/− 3 ≤ x ≤ 4}
Logo, a solução da inequação dada é:
S = {x ∈ R/x ≤ 0 ou x ≥ 1} ∩ {x ∈ R/ − 3 ≤ x ≤ 4} = {x ∈ R/ − 3 ≤ x ≤
0 ou 1 ≤ x ≤ 4}.
4. |x2 − 4x| − 3x+ 6 ≤ 0
Sabendo que |x2−4x| =
{
x2 − 4x, se x ≤ 0 ou x ≥ 4
−(x2 − 4x), se 0 ≤ x ≤ 4 devemos, então,
onsiderar dois 
asos:
i) Se x ≤ 0 ou x ≥ 4, temos:
|x2 − 4x| − 3x+ 6 ≤ 0 =⇒ x2− 4x− 3x+6 ≤ 0 =⇒ x2 − 7x+ 6 ≤ 0 =⇒
1 ≤ x ≤ 6.
A solução S1 é:
S1 = {x ∈ R/x ≤ 0 ou x ≥ 4} ∩ {x ∈ R/1 ≤ x ≤ 6} = {x ∈ R/4 ≤ x ≤
6}.
ii) Se 0 < x < 4, temos:
|x2 − 4x| − 3x + 6 ≤ 0 =⇒ −x2 + 4x − 3x + 6 ≤ 0 =⇒ −x2 + x + 6 ≤
0 =⇒ x ≤ −2 ou x ≥ 3.
A solução S2 é:
S2 = {x ∈ R/0 < x < 4} ∩ {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 3} = {x ∈ R/3 ≤ x <
4}.
A solução da inequação é:
S = {x ∈ R/4 ≤ x ≤ 6} ∪ {x ∈ R/3 ≤ x < 4} = {x ∈ R/3 ≤ x ≤ 6}.
5. |1− 2x| − |3x− 4| ≤ 2x+ 1
Sabemos que:
|1− 2x| =
{
1− 2x, se x ≤ 1
2−(1− 2x), se x > 1
2
e |3x− 4| =
{
3x− 4, se x ≥ 4
3−(3x− 4), se x < 4
3
.
Então,
Assim, temos três 
asos a 
onsiderar:
MATEMÁTICA BÁSICA 56
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
(−∞, 1
2
] 1
2
(1
2
, 4
3
) 4
3
[4
3
,+∞)
|1− 2x| 1− 2x −1 + 2x −1 + 2x
|3x− 4| −3x+ 4 −3x+ 4 3x− 4
i) Se x ≤ 1
2
, temos:
|1 − 2x| − |3x − 4| ≤ 2x + 1 =⇒ 1 − 2x − (−3x + 4) ≤ 2x + 1 =⇒
1− 2x+ 3x− 4 ≤ 2x+ 1 =⇒ x ≥ −4.
Portanto, S1 = {x ∈ R/x ≤ 12} ∩ {x ∈ R/x ≥ −4} = {x ∈ R/− 4 ≤ x ≤
1
2
}.
ii) Se 1
2
< x < 4
3
, então:
|1 − 2x| − |3x − 4| ≤ 2x + 1 =⇒ −1 + 2x − (−3x + 4) ≤ 2x + 1 =⇒
−1 + 2x+ 3x− 4 ≤ 2x+ 1 =⇒ x ≤ 2.
Portanto, S2 = {x ∈ R/12 < x < 43} ∩ {x ∈ R/x ≤ 2} = {x ∈ R/12 < x <
4
3
}.
iii) Se x ≥ 4
3
, temos:
|1 − 2x| − |3x − 4| ≤ 2x + 1 =⇒ −1 + 2x − (3x − 4) ≤ 2x + 1 =⇒
−1 + 2x− 3x+ 4 ≤ 2x+ 1 =⇒ x ≥ 2
3
.
Portanto, S3 = {x ∈ R/x ≥ 43} ∩ {x ∈ R/x ≥ 23} = {x ∈ R/x ≥ 43}.
Logo, a solução da inequação proposta é S = S1∪S2 ∪S3 = {x ∈ R/x ≥ −4}.
6.5 Exer
í
ios propostos
1) Construir os grá�
os das funções g(x) = |f(x)|, h(x) = f (|x|) e p(x) = |f (|x|)|
a partir do grá�
o de f(x) = −3x2 − 2x+ 1.
2) Construir o grá�
o de 
ada uma das funções abaixo:
a) f(x) = −2|x− 3|+ 1
2
b) p(x) = |x+ 1|+ 7x− 3
) q(x) = |x+ 1|+ |3x− 6|
3) (UDESC-SC) Considere os grá�
os ilustrados na �gura abaixo
MATEMÁTICA BÁSICA 57
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4−1−2−3−4 x
y
y = g(x)
y = f(x)
Classi�que as sentenças abaixo 
omo verdadeira (V) ou falsa (F).
( ) O valor de g (f (−1))− f (g (−2) + 2) é igual a 2.
( ) O valor de f (g (−4) + 1) + 3 é igual a 1.
( ) A lei de formação de y = f(x) é y = |x− 1| − 2.
Assinale a alternativa que 
ontém a sequên
ia 
orreta, de 
ima para baixo:
a) V-F-V
b) V-V-V
) F-V-F
d) F-V-V
e) V-V-F
4) Rees
reva a função f(x) = x2 − 1 + |x2 − 1|+ 1 
omo uma função de�nida por
partes. Represente geometri
amente o grá�
o de f e determine seu 
onjunto
imagem.
5) Considere a funções:
a) f(x) = |x
2−2x|−|x2−4|
2
;
b) h(x) = |3x+ 6| − |x+ 2|;
) g(x) = |x2 − 2x|+ x+ 2.
i) Construir os grá�
os das funções.
ii) Determinar os 
onjuntos imagem das funções.
6) Considere os 
onjuntos A = {x ∈ R/|3x − 2| + 2x − 3 < 0}, B = {x ∈
R/x2 − 3x + 2 < 0}, C = {x ∈ R/|x| < 3} e D = {x ∈ R/ − 1 ≤ x ≤ 3}.
Determine (C ∪D)− (C ∩ B).
7) Resolva a equação |x+ 1|+ 3|x− 2| = 8.
MATEMÁTICA BÁSICA 58
Graciela e Ligia CAPÍTULO 6. FUNÇ�O MODULAR
8) Resolva as inequações abaixo:
a) |4− x2| > 5
b)
∣∣ x+1
2x−1
∣∣ ≤ 2
) |2x− 4| − |x+ 1|+ 3x ≥ 0
d)
|x|
x−2 ≥ 0
e) 7 + 2|x| ≤ 3|x|
9) Determine o domínio da função f(x) =
√|3x+ 2| − |1− 2x| − x− 1
10) (UDESC-SC) Seja S1 o 
onjunto solução da inequação |x − 12 | ≤ 32 e S2 o
onjunto solução da inequação |x− 1| > 1
2
. Determine o 
onjunto S dado por
S = S1 ∩ S2.
MATEMÁTICA BÁSICA 59
7
Propriedades das Funções
Seja f : A→ B uma função. A relação g : B → A de�ne uma função? Quais
as 
ondições para que g : B → A de�na uma função? Qual a relação entre f e g?
Estas questões serão norteadoras do estudo deste 
apítulo.
7.1 Funções pares e ímpares
De�nição: Uma função f é par se f(−x) = f(x) e ímpar se f(−x) = −f(x) para
todo x ∈ R.
Por exemplo,
1. Seja f(x) = x2 então f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x). Logo, f é uma função par.
2. Seja f(x) = x3 então f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x). Logo, f é uma função
ímpar.
3. Seja f(x) = x2 + x então f(−x) = (−x)2 + (−x) = x2 − x.
Observe que f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x). Logo, f não é uma função par
nem ímpar.
Obviamente, os grá�
os de funções pares são simétri
os em relação ao eixo
y (Figura 7.1(a)) enquanto que os grá�
os das funções ímpares são simétri
os em
relação à origem (Figura 7.1(b)). A Figura 7.1(
) mostra o grá�
o de uma função
que não é para nem ímpar (não há simetria em relação ao eixo y nem em relação à
origem).
60
Graciela e Ligia CAPÍTULO 7. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
x
y
x0
f(x0)=f(−x0)
−x0
(a) Função par
x
y
−x0 x0
f(x0)
f(−x0)=−f(x0)
(b) Função ímpar
1
2
1−1−2 x
y
(
) Função nem par nem
ímpar
Figura 7.1
Propriedades:
1. A soma de duas funções pares é uma função par.
2. A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
3. O produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é par.
4. O produto ou quo
iente de uma função par e uma função ímpar resulta numa
função ímpar.
Demonstração: Vamos demonstrar a propriedade 4. As demais �
am a
argo do leitor.
Sejam f uma função par e g uma função ímpar, ou seja, f(−x) = f(x) e
g(−x) = −g(x).
(f · g)(−x) = f(−x) · g(−x) = (f(x)) · (−g(x)) = −f(x)g(x) = −(f · g)(x).
Portanto,f · g é uma função ímpar.(
f
g
)
(−x) = f(−x)
g(−x) =
f(x)
−g(x) = −
(
f(x)
g(x)
)
= −
(
f
g
)
(x), g(x) 6= 0
Portanto,
f
g
é uma função ímpar.
7.2 Funções injetoras e funções sobrejetoras
De�nição: Uma função real f é uma função injetora se, e somente se, dados
x1, x2 ∈ D(f), se x1 6= x2 então f(x1) 6= f(x2).
x1
x2
f(x1)
f(x2)
f
De�nição: Uma função real f é uma função sobrejetora se para todo y ∈ CD(f)
está asso
iado algum x ∈ D(f). Ou seja, f é sobrejetora se Im(f) = CD(f).
MATEMÁTICA BÁSICA 61
Graciela e Ligia CAPÍTULO 7. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
x1
x2
x3
f(x1)
f(x3)
f
De�nição: Se f é uma função injetora e sobrejetora então dizemos que f é bijetora.
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f
Exemplos:
1. Seja f : R→ R tal que f(x) = x2.
Note por exemplo que dados x1 = −1 e x1 = 1 tem-se f(−1) = f(1) = 1.
Logo f não é injetora.A função f também não é sobrejetora pois CD(f)