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Notas de Aula de F´ısica 1
Da´fni Fernanda Zenedin Marchioro
Agosto de 2013
i
O que e´ F´ısica?∗
Como todas as outras cieˆncias, a f´ısica e´ baseada em observac¸o˜es experimentais e
medidas quantitativas. O principal objetivo da f´ısica e´ encontrar o nu´mero limitado de
leis fundamentais que governam os fenoˆmenos naturais, e usa´-las para desenvolver teorias
que podem prever os resultados de experimentos futuros. As leis fundamentais usadas
nas teorias desenvolvidas sa˜o expressas na linguagem da matema´tica, a ferramenta que
fornece a ponte entre teoria e experimento.
Quando uma discrepaˆncia entre teoria e experimento surge, novas teorias devem ser
formuladas para remover a discrepaˆncia. Muitas vezes uma teoria e´ satisfato´ria apenas
sob certas condic¸o˜es limitadas; uma teoria mais geral deve ser satisfato´ria sem tais li-
mitac¸o˜es. Por exemplo, as leis de movimento descobertas por Isaac Newton (1642 - 1727)
no se´culo 17 descrevem acuradamente o movimento de corpos a velocidades normais, mas
na˜o se aplicam a objetos se movendo a velocidades compara´veis com a velocidade da luz.
Em contraste, a teoria especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein (1879
- 1955) no in´ıcio dos anos 1900 fornece os mesmos resultados que as leis de Newton a
baixas velocidades, mas tambe´m descreve corretamente movimento a velocidades que se
aproximam da velocidade da luz. Assim, a teoria de Einstein e´ uma teoria mais geral do
movimento.
F´ısica Cla´ssica, o que significa toda a f´ısica desenvolvida antes de 1900, inclui as teorias,
conceitos, leis e experimentos em mecaˆnica cla´ssica, termodinaˆmica e eletromagnetismo.
Contribuic¸o˜es importantes a` f´ısica cla´ssica foram fornecidas por Newton, que desen-
volveu a mecaˆnica cla´ssica como uma teoria sistema´tica e foi um dos pioneiros no uso
do ca´lculo como uma ferramenta matema´tica. Grandes desenvolvimentos em mecaˆnica
∗traduc¸a˜o das primeiras pa´ginas do livro Fundamentals of Physics, autor Halliday.
i
ii
continuaram no se´culo 18, mas os campos da termodinaˆmica e eletricidade e magnetismo
na˜o foram desenvolvidos ate´ a parte final do se´culo 19, principalmente porque antes deste
tempo, o aparato para experimentos controlados era ou muito cru ou indispon´ıvel.
Uma nova era na f´ısica, geralmente chamada de f´ısica moderna, comec¸ou perto do
final do se´culo 19. A f´ısica moderna se desenvolveu principalmente pela descoberta de
que muitos fenoˆmenos f´ısicos na˜o poderiam ser explicados pela f´ısica cla´ssica. Os dois
mais importantes desenvolvimentos em f´ısica moderna sa˜o as teorias da relatividade e
da mecaˆnica quaˆntica. A teoria da relatividade de Einstein revolucionou os tradicio-
nais conceitos de espac¸o, tempo e energia; a mecaˆnica quaˆntica, que se aplica ao mundo
macrosco´pico e microsco´pico, foi originalmente formulada por um nu´mero de distintos
cientistas para fornecer descric¸o˜es de fenoˆmenos f´ısicos a n´ıvel atoˆmico.
Cientistas constantemente trabalham na melhora de nosso entendimento dos fenoˆmenos
e leis fundamentais, e novas descobertas sa˜o feitas todos os dias. Em muitas a´reas de pes-
quisa, uma grande quantidade de superposic¸a˜o existe entre f´ısica, qu´ımica, geologia e
biologia, assim como com a engenharia. Alguns dos mais nota´veis desenvolvimentos sa˜o
(1) va´rios misso˜es espaciais e a aterrissagem de astronautas na Lua, (2) microcircuitos e
computadores de alta velocidade, e (3) te´cnicas sofisticadas de imagem usadas em pes-
quisa cient´ıfica e medicina. O impacto que tais desenvolvimentos e descobertas tem tido
em nossa sociedade tem sido de fato grande, e e´ muito prova´vel que descobertas e de-
senvolvimentos futuros sera˜o tambe´m ta˜o excitantes e desafiadores e de grande benef´ıcio
para a humanidade.
ii
iii
Passos para resolver problemas †
Ale´m daquilo voceˆ poderia esperar aprender sobre conceitos de f´ısica, uma habilidade
muito valiosa que voceˆ deve esperar adquirir do seu curso de f´ısica e´ a capacidade de
resolver problemas complicados. A forma como os f´ısicos abordam situac¸o˜es complexas e
as quebram em partes gerencia´veis e´ extremamente u´til.
Reu´na a informac¸a˜o
A primeira coisa a fazer quando abordar um problema e´ entender a situac¸a˜o. Leia cui-
dadosamente o enunciado do problema, procurando por frases chaves como “em repouso”
ou “cai livremente”. Que informac¸a˜o e´ dada? Qual e´ exatamente a questa˜o pedida? Na˜o
esquec¸a de juntar informac¸a˜o de suas pro´prias experieˆncias e senso comum. Como uma
resposta razoa´vel deveria se parecer? Voceˆ na˜o esperaria calcular a velocidade de um
automo´vel como sendo 5 × 106 m/s. Voceˆ sabe que unidades esperar? Ha´ casos limites
que voceˆ pode considerar? O que acontece quando um aˆngulo se aproxima de 0o ou 90o
ou quando uma massa se torna grande ou tende a zero? Tambe´m certifique-se de estudar
cuidadosamente quaisquer desenhos que acompanham o problema.
Organize sua abordagem
Uma vez que voceˆ tenha realmente uma boa ideia do que se trata o problema, voceˆ pre-
cisa pensar no que fazer a seguir. Voceˆ ja´ tinha visto este tipo de questa˜o anteriormente?
Ser capaz de classificar um problema pode tornar muito mais fa´cil estabelecer um plano
para resolveˆ-lo. Quase sempre voceˆ deve fazer um desenho ra´pido da situac¸a˜o. Classifique
†traduc¸a˜o da pa´gina 47 do livro Fundamentals of Physics, autor Halliday.
iii
iv
eventos importantes com letras circuladas. Indique quaisquer valores conhecidos, talvez
numa tabela ou diretamente no esboc¸o do desenho.
Analise o problema
Porque voceˆ ja´ caracterizou o problema, na˜o deveria ser muito dif´ıcil selecionar equac¸o˜es
relevantes que se aplicam a este tipo de situac¸a˜o. Use a´lgebra (e ca´lculo, se necessa´rio)
para resolver para a varia´vel desconhecida em termos do que e´ dado. Substitua os nu´meros
apropriados, calcule o resultado, e arredonde-o para o nu´mero apropriado de algarismos
significativos.
Aprenda a partir de seus esforc¸os
Esta e´ a parte mais importante. Examine sua resposta nume´rica. Ela corresponde a`s
suas expectativas do primeiro passo? E quanto a` forma alge´brica do resultado - antes de
voceˆ substituir os valores nume´ricos? Faz sentido? (Tente olhar para as varia´veis nela
para ver se a resposta mudaria de forma fisicamente relevante se elas fossem drasticamente
aumentadas ou diminu´ıdas ou ainda se tornassem zero). Pense em como este problema
se compara com outros que voceˆ tenha feito. Como foi similar? De que maneira cr´ıtica
eles diferem? Por que este problema foi proposto? Voceˆ deve ter aprendido alguma coisa
ao fazeˆ-lo. Voceˆ consegue entender o queˆ?
Quando for resolver problemas complexos, voceˆ pode precisar identificar uma se´rie
de sub-problemas e aplicar os passos acima a cada um. Para problemas muito simples,
provavelmente voceˆ na˜o precisar· dos passos acima. Mas quando voceˆ olhar para um
problema e na˜o souber o que fazer a seguir, lembre-se dos passos acima e use-os como
guia.
iv
Conteu´do
1 F´ısica e Medida 1
1.1 Padro˜es de comprimento, massa e tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Prefixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Composic¸a˜o da mate´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Mol e nu´mero de Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Ana´lise dimensional . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Conversa˜o de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Ca´lculo de estimativas e ordens de magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Movimento em uma dimensa˜o 14
2.1 Deslocamento, velocidade e rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Velocidade instantaˆnea e rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Movimento em uma dimensa˜o com acelerac¸a˜o constante . . . . . . . . . . . 22
2.5 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i
ii Conteu´do
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Movimento em duas dimenso˜es 31
3.1 Vetores deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Movimento bidimensional com acelerac¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Movimento de proje´til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Alcance horizontal e altura ma´xima de um proje´til . . . . . . . . . 41
3.4 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Acelerac¸a˜o tangencial e radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Velocidade relativa e acelerac¸a˜o relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Leis do Movimento 56
4.1 O conceito de forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Primeira Lei de Newton e referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Revisitando o conceito de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 A forc¸a da gravidade e o peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Aplicac¸o˜es das Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.8 Forc¸as de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Movimento Circular e as Leis de Newton 83
5.1 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Movimento Circular Na˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ii
Conteu´do iii
6 Trabalho e Energia Cine´tica 89
6.1 Trabalho feito por uma forc¸a constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Trabalho feito por uma forc¸a varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.1 Expressa˜o geral do trabalho de uma forc¸a varia´vel . . . . . . . . . . 95
6.3 Energia cine´tica e o teorema trabalho-energia cine´tica . . . . . . . . . . . . 97
6.3.1 Situac¸o˜es envolvendo o atrito cine´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Energia Potencial e Conservac¸a˜o de Energia 104
7.1 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 Energia potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.2 Energia potencial ela´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Forc¸as conservativas e na˜o conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3 Conservac¸a˜o de energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4 Trabalho feito por forc¸as na˜o conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4.1 Trabalho feito por uma forc¸a aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4.2 Situac¸o˜es envolvendo o atrito cine´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5 Energia pode ser perdida? Conservac¸a˜o da energia total . . . . . . . . . . . 113
7.6 Guia para resoluc¸a˜o de problemas de conservac¸a˜o de energia . . . . . . . . 114
7.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 Sistemas de Part´ıculas e Conservac¸a˜o do Momento Linear 120
8.1 Centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2 Movimento do centro de massa de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Momento linear e sua conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.3.1 Centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4 Coliso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
iii
iv Conteu´do
8.4.1 Colisa˜o ela´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.4.2 Colisa˜o inela´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.4.3 Coliso˜es em duas dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.5 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9 Rotac¸a˜o de um Corpo Rı´gido ao Redor de um Eixo Fixo 139
9.1 Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o angulares . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.1 Direc¸a˜o de ~ω e ~α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2 Cinema´tica rotacional: movimento rotacional com acelerac¸a˜o angular cons-
tante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 Relac¸a˜o entre as quantidades lineares e angulares . . . . . . . . . . . . . . 144
9.4 Energia rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.1 Ca´lculo de momentos de ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.5 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.5.1 Relac¸a˜o entre torque e acelerac¸a˜o angular . . . . . . . . . . . . . . 151
9.6 Trabalho, poteˆncia e energia no movimento rotacional . . . . . . . . . . . . 153
9.6.1 Trabalho e energia no movimento rotacional . . . . . . . . . . . . . 154
9.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
iv
Cap´ıtulo 1
F´ısica e Medida
1.1 Padro˜es de comprimento, massa e tempo
As leis da f´ısica sa˜o expressas em termos de quantidades ba´sicas que requerem uma de-
finic¸a˜o clara. Em mecaˆnica, as treˆs quantidades ba´sicas sa˜o comprimento (L), massa (M)
e tempo (T). Todas as outras quantidades em mecaˆnica sa˜o expressas em termos destas
treˆs.
Para que um experimento possa ser reproduzido em qualquer lugar, e´ necessa´rio que
tenhamos um padra˜o de medida, ou seja, saber exatamente a que nos referimos quando
dizemos, por exemplo, que um corpo tem massa de 75 kg. Em 1960, um comiteˆ internaci-
onal estabeleceu um conjunto de padro˜es para comprimento, massa e outras quantidades.
O sistema estabelecido e´ chamado de sistema SI (sistema internacional). Neste sistema,
as unidades de comprimento, massa e tempo sa˜o, respectivamente, metro, quilograma
e segundo. Outros padro˜es SI estabelecidos pelo comiteˆ sa˜o para temperatura (kelvin),
corrente ele´trica (ampere), intensidade luminosa (candela) e quantidade de mate´ria (mol).
1.1.1 Comprimento
O metro
foi primeiramente definido na Franc¸a, em 1799, como sendo um de´cimo de mi-
lione´simo da distaˆncia entre o equador e o Po´lo Norte, ao longo de uma linha longitudinal
particular, que passa por Paris. Em 1960, o metro foi definido como sendo a distaˆncia en-
1
2 1.1. Padro˜es de comprimento, massa e tempo
tre duas linhas numa barra de platina-ir´ıdio particular, que estava guardada sob condic¸o˜es
controladas na Franc¸a. Este padra˜o foi abandonado por va´rias razo˜es, a principal sendo
porque a precisa˜o limitada que a separac¸a˜o entre as duas linhas da barra pode ser de-
terminada na˜o corresponde aos requerimentos atuais da cieˆncia e tecnologia. Nos anos
60 e 70, o metro foi definido enta˜o como sendo 1650763,73 comprimentos de onda da
luz vermelho-alaranjada emitida por uma laˆmpada de criptoˆnio-86. Contudo, em 1983, o
metro foi redefinido como a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo durante um tempo de
1/(299792458) segundos. Veja na tabela 1.1 valores aproximados de alguns comprimentos
medidos.
comprimento (em metros)
Distaˆncia da Terra ao quasar conhecido mais remoto = 1, 4× 1026
Distaˆncia da Terra a gala´xias conhecidas mais remotas = 9× 1025
Distaˆncia da Terra a gala´xia mais pro´xima (Androˆmeda) = 2× 1022
Distaˆncia do Sol a` estrela mais pro´xima (Proxima Centauri) = 4× 1016
Um ano-luz = 9, 46× 1015
Raio me´dio da o´rbita da Terra ao redor do Sol = 1, 50× 1011
Distaˆncia me´dia da Terra ate´ a Lua = 3, 84× 108
Distaˆncia do Equador ate´ o Po´lo Norte = 1, 00× 107
Raio me´dio da Terra = 6, 37× 106
Altitude t´ıpica, acima da superf´ıcie, de um sate´lite orbitando
a Terra
= 2× 105
Comprimento de campo de futebol americano = 9, 1× 101
Comprimento de uma mosca dome´stica = 5× 10−3
Tamanho das menores part´ıculas de poeira ∼ 10−4
Tamanho das ce´lulas da maioria dos organismos vivos ∼ 10−5
Diaˆmetro de um a´tomo de hidrogeˆnio ∼ 10−10
Diaˆmetro de um nu´cleo atoˆmico ∼ 10−14
Diaˆmetro de um pro´ton ∼ 10−15
Tabela 1.1: Valores aproximados de alguns comprimentos medidos.
2
1.1. Padro˜es de comprimento, massa e tempo 3
1.1.2 Massa
A unidade ba´sica de massa do SI, o quilograma, e´ definido como a massa de um cilindro
espec´ıfico feito da liga platina-ir´ıdio mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas
em Se´vres, Franc¸a. Este padra˜o de massa foi estabelecido em 1887 e na˜o foi mudado desde
enta˜o pois a liga platina-ir´ıdio e´ uma liga esta´vel. A tabela 1.2 lista valores aproximados
de massas de va´rios objetos.
Corpo Massa (em quilogramas)
Universo vis´ıvel ∼ 1052
Via La´ctea (nossa gala´xia) = 7× 1041
Sol = 1, 99× 1030
Terra = 5, 98× 1024
Lua = 7, 36× 1022
Cavalo ∼ 103
Humano ∼ 102
Sapo ∼ 10−1
Mosquito ∼ 10−5
Bacte´ria ∼ 10−15
A´tomo de hidrogeˆnio = 1, 67× 10−27
Ele´tron = 9, 11× 10−31
Tabela 1.2: Massas de va´rios corpos (valores aproximados).
1.1.3 Tempo
Antes de 1960, o padra˜o de tempo era definido em termos do dia solar me´dio para o ano
de 1900. O segundo solar me´dio foi originalmente definido como ( 1
60
)( 1
60
)( 1
24
) de um dia
solar me´dio. Agora sabe-se que a rotac¸a˜o da Terra varia ligeiramente com o tempo, e
portanto este movimento na˜o e´ bom para definir um padra˜o.
Em 1967, consequentemente, o segundo foi redefinido por um relo´gio atoˆmico. No
relo´gio atoˆmico, as frequeˆncias associadas a certas transic¸o˜es atoˆmicas podem ser medidas
a uma precisa˜o de uma parte em 1012. Isto equivale a uma incerteza de menos de 1
3
4 1.1. Padro˜es de comprimento, massa e tempo
segundo a cada 30.000 anos. Assim, em 1967 o segundo foi redefinido usando a frequeˆncia
caracter´ıstica de um tipo particular de a´tomo de ce´sio como sendo o relo´gio padra˜o, ou
seja, o segundo e´ definido como 9.192.631.770 vezes o per´ıodo de vibrac¸a˜o do a´tomo de
ce´sio-133.
Desde a descoberta de Einstein da conexa˜o entre espac¸o e tempo, medidas precisas
de intervalos de tempo requerem que saibamos o estado de movimento do relo´gio usado
para medir o intervalo e, em alguns casos, a localizac¸a˜o do relo´gio tambe´m. Sena˜o, por
exemplo, sate´lites de sistema de posicionamento global podem na˜o ser capazes de apontar
sua localizac¸a˜o com precisa˜o suficiente para resgata´-lo de uma emergeˆncia.
A tabela 1.3 mostra valores aproximados de intervalos de tempo.
Intervalo de tempo (em
segundos)
Idade do Universo 5× 1017
Idade da Terra = 1, 3× 1017
Idade me´dia de um estudante de faculdade = 6, 3× 108
Um ano = 3, 16× 107
Um dia (tempo para uma rotac¸a˜o da Terra ao redor de seu
eixo)
= 8, 64× 104
Tempo entre batidas de corac¸a˜o normais 8× 10−1
Per´ıodo de ondas sonoras aud´ıveis ∼ 10−3
Per´ıodo t´ıpico de ondas de ra´dio ∼ 10−6
Per´ıodo de vibrac¸a˜o de um a´tomo num so´lido ∼ 10−13
Per´ıodo das ondas de luz vis´ıveis ∼ 10−15
Durac¸a˜o de uma colisa˜o nuclear = ∼ 10−22
Tempo para a luz cruzar um pro´ton = ∼ 10−24
Tabela 1.3: Valores aproximados de alguns intervalos de tempo.
1.1.4 Prefixos
Ale´m das unidades ba´sicas do SI metro, quilograma e segundo, podemos tambe´m usar
outras unidades, como mil´ımetros e nanossegundos, onde os prefixos mili- e nano- denotam
4
1.2. Composic¸a˜o da mate´ria 5
va´rias poteˆncias de dez. A tabela 1.4 traz os prefixos mais comumente usados.
Poteˆncia Prefixo Abreviac¸a˜o
10−24 yocto y
10−21 zepto z
10−18 atto a
10−15 femto f
10−12 pico p
10−9 nano n
10−6 micro µ
10−3 mili m
10−2 centi c
10−1 deci d
101 deca da
103 quilo k
106 mega M
109 giga G
1012 tera T
1015 peta P
1018 exa E
1021 zeta Z
1024 yota Y
Tabela 1.4: Prefixos mais usados.
1.2 Composic¸a˜o da mate´ria
Do que e´ feita a mate´ria - por exemplo, um anel de ouro ou no´s mesmos? Se pegarmos
o anel de ouro e formos cortando-o em pedac¸os cada vez menores, chegaremos ao que
chamamos de a´tomo, que ate´ o comec¸o do se´culo 20 acreditava-se ser a menor quantidade
de mate´ria poss´ıvel. No entanto, o pro´prio a´tomo e´ composto por duas partes - part´ıculas
chamadas ele´trons e o nu´cleo. Por sua vez, o pro´prio nu´cleo pode ser composto∗ por
∗Nem todo nu´cleo conte´m neˆutrons, mas todos conte´m pro´tons. Exemplo e´ o a´tomo de hidrogeˆnio,
que conte´m um pro´ton e nenhum neˆutron.
5
6 1.3. Densidade
outras duas part´ıculas - pro´tons e neˆutrons. Essas part´ıculas, por sua vez, sa˜o compostas
por part´ıculas menores chamadas quarks, que se apresentam em seis tipos: up, down,
charm, strange, bottom e top. O ele´tron, por exemplo, na˜o seria composto por quarks,
mas seria ele mesmo a menor divisa˜o poss´ıvel. Ha´ outras part´ıculas como o ele´tron (os
pro´prios quarks, neutrinos, etc.) e outras como o pro´ton e o neˆutron, que sa˜o constitu´ıdas
de quarks.
No entanto, muitos cientistas acreditam que ainda na˜o conhecemos o menor consti-
tuinte da mate´ria. Uma das teorias mais conhecidas, que justamente diz que a mate´ria tem
ainda mais diviso˜es, e´ a teoria de cordas. No caso da teoria de cordas, todas as part´ıculas
que citamos anteriormente seriam, na verdade, cordas muito pequenas que na˜o poderiam
ser vistas pelos melhores microsco´picos que possu´ımos hoje em dia (na˜o conseguiriam ser
vistas pelo LHC, por exemplo!). Todas as cordas sa˜o iguais, mas dependendo da maneira
como elas vibram, elas representam uma part´ıcula diferente - um ele´tron, ou um quark, ou
um fo´ton (part´ıculas de luz), por exemplo. Esta teoria na˜o foi provada e nem verificada
em laborato´rio ainda, visto que atualmente na˜o possu´ımos meios tecnolo´gicos para tal.
1.3 Densidade
Uma propriedade de qualquer substaˆncia e´ sua densidade ρ, definida como a quantidade
de massa contida numa unidade de volume, ou seja, massa por unidade de volume:
ρ =
m
V
(1.1)
Por exemplo, o alumı´nio tem uma densidade de 2,70 g/cm3, e
o chumbo tem densidade
de 11,3 g/cm3. Portanto, um pedac¸o de alumı´nio de volume 10,0 cm3 tem uma massa de
27,0 g, enquanto que o volume equivalente de chumbo tem uma massa de 113 g. A tabela
1.5 mostra densidades de va´rias substaˆncias.
6
1.4. Mol e nu´mero de Avogadro 7
Substaˆncia Densidade ρ (em kg/m3)
Ouro = 19, 3× 103
Uraˆnio = 18, 7× 103
Chumbo = 11, 3× 103
Cobre = 8, 92× 103
Ferro = 7, 86× 103
Alumı´nio = 2, 70× 103
Magne´sio = 1, 75× 103
A´gua = 1, 00× 103
Ar = 0, 0012× 103
Tabela 1.5: Densidades de va´rias substaˆncias.
1.4 Mol e nu´mero de Avogadro
Um mol de uma substaˆncia e´ a quantidade daquela substaˆncia que conte´m tantas part´ıculas
(a´tomos, mole´culas ou outras part´ıculas) quanto existem a´tomos em 12 g de carbono-12.
Um mol de uma substaˆncia A conte´m o mesmo nu´mero de part´ıculas que existem em um
mol de qualquer outra substaˆncia B. Por exemplo, um mol de alumı´nio conte´m o mesmo
nu´mero de a´tomos que um mol de chumbo. Experimentos mostraram que este nu´mero,
conhecido como nu´mero de Avogadro (NA) e´
NA = 6, 022137× 1023 part´ıculas/mol (1.2)
O nu´mero de Avogadro e´ definido tal que 1 mol de a´tomos de carbono-12 tem uma
massa de exatamente 12 g. Em geral, a massa em 1 mol de qualquer elemento e´ a massa
atoˆmica do elemento expressa em gramas.
1.5 Ana´lise dimensional
A palavra dimensa˜o tem uma significado especial em f´ısica; geralmente denota a natureza
f´ısica da quantidade. Na˜o importa se a distaˆncia e´ medida na unidade de comprimento
7
8 1.5. Ana´lise dimensional
milhas ou em metros, ainda assim e´ uma distaˆncia. Dizemos que a dimensa˜o, ou seja, a
natureza f´ısica da distaˆncia, e´ comprimento.
Usamos os s´ımbolos L, M e T para especificar comprimento, massa e tempo, respecti-
vamente. Usamos colchetes [ ] para denotar as dimenso˜es de uma quantidade f´ısica. Por
exemplo, usamos v para denotar velocidade, e em nossa notac¸a˜o as dimenso˜es de veloci-
dade sa˜o escritas como [v] = L/T . Veja na tabela 1.6 dimenso˜es de algumas quantidades.
Quantidade Dimensa˜o Unidade (SI)
A´rea L2 m2
Volume L3 m3
Velocidade L/T m/s
Acelerac¸a˜o L/T 2 m/s2
Tabela 1.6: Dimensa˜o e unidades no SI de algumas quantidades.
Na resoluc¸a˜o de problemas em f´ısica, ha´ um procedimento u´til e poderoso chamado
ana´lise dimensional. Ana´lise dimensional faz uso do fato que dimenso˜es podem ser trata-
das como quantidades alge´bricas. Isto e´, quantidades podem ser adicionadas ou subtra´ıdas
se elas teˆm as mesmas dimenso˜es. Ale´m disso, os termos dos dois lados de uma equac¸a˜o
devem ter as mesmas dimenso˜es. Seguindo estas regras simples, voceˆ pode usar ana´lise
dimensional para ajudar a determinar se uma expressa˜o esta´ na sua forma correta.
Exemplo: digamos que queremos derivar uma fo´rmula para a distaˆncia x percorrida
por um carro num tempo t se o carro inicia do repouso e se move com acelerac¸a˜o constante
a. Mais adiante, veremos que a expressa˜o correta e´
x =
1
2
at2 (1.3)
Vamos usar ana´lise dimensional para checar a validade da expressa˜o. A quantidade x do
lado esquerdo da equac¸a˜o tem dimensa˜o de comprimento e, portanto, para a equac¸a˜o ser
dimensionalmente correta, a quantidade do lado direito tambe´m tem que ter dimensa˜o
de comprimento. Substituindo as dimenso˜es para acelerac¸a˜o e tempo na fo´rmula, ou seja
8
1.5. Ana´lise dimensional 9
L/T 2 para acelerac¸a˜o e T para o tempo, temos:
[x] = L = [at2] = [a][t]2 =
L
T 2
T 2 = L (1.4)
Veja que, na ana´lise dimensional da expressa˜o (1.3), o fator de 1/2 na˜o entra pois na˜o
tem dimensa˜o - fatores nume´ricos em equac¸o˜es alge´bricas sa˜o adimensionais!
Um procedimento mais geral usando ana´lise dimensional e´ construir uma expressa˜o
da forma
x ∝ antm (1.5)
onde n e m sa˜o expoentes a serem determinados e o s´ımbolo ∝ indica a proporcionalidade.
Esta relac¸a˜o e´ correta apenas se as dimenso˜es de ambos os lados sa˜o as mesmas. Como a
dimensa˜o do lado esquerdo e´ comprimento, do lado direito deve ser tambe´m. Assim,
[antm] = L = L1T 0 (1.6)
Substituindo as dimenso˜es da acelerac¸a˜o e do tempo,
(
L
T 2
)n
Tm = L1T 0
LnTm−2n = L1T 0 (1.7)
Da equac¸a˜o acima, fica claro que, para as dimenso˜es dos dois lados sejam iguais, n = 1 e
m−2n = 0→ m−2×1 = 0→ m = 2 (iguale os expoentes de ambos os lados!). Olhando
para expressa˜o que t´ınhamos anteriormente em (1.3), vemos que falta um fator de 1/2
para que as expresso˜es sejam iguais. No entanto, fatores nume´ricos, que sa˜o quantidade
adimensionais, na˜o podem ser determinados por ana´lise dimensional, por isso usamos o
s´ımbolo ∝, que neste caso quer dizer “e´ igual a` expressa˜o a menos de fatores nume´ricos”.
9
10 1.6. Conversa˜o de unidades
1.6 Conversa˜o de unidades
A`s vezes e´ necessa´rio converter unidades de um sistema para outro. Alguns fatores de
conversa˜o de unidades de comprimento:
1 mi = 1609m = 1, 609 km; 1 ft = 0, 3048m = 30, 48 cm
1m = 39, 37 in = 3, 281 ft; 1 in = 0, 0254m = 2, 54 cm (exatamente) (1.8)
sendo que mi = milhas, ft = pe´s, in = polegada.
As unidades podem ser tratadas como quantidades alge´bricas que podem se cancelar.
Por exemplo, suponha que queiramos converter 15,0 in para cent´ımetros. Da expressa˜o
acima, temos
15, 0 in = 15, 0 in× 1 = 15, 0 in× 2, 54 cm
1 in
= 38, 1 cm (1.9)
Veja que o nu´mero 1, que multiplica a expressa˜o, foi substitu´ıdo por
(
2, 54 cm
1 in
)
, pois
1 in = 2, 54 cm.
1.7 Ca´lculo de estimativas e ordens de magnitude
Com frequeˆncia e´ u´til calcular uma resposta aproximada para um problema f´ısico mesmo
que pouca informac¸a˜o seja dada. Aproximac¸o˜es sa˜o geralmente baseadas em hipo´teses.
Assim, vamos nos referir a`s vezes a` ordem de magnitude de uma certa quantidade como a
poteˆncia de 10 do nu´mero que descreve a quantidade. Por exemplo, se uma quantidade e´
dada por 3× 103, enta˜o sua ordem de magnitude e´ 103, ou seja, 3× 103 ∼ 103. De forma
ana´loga, 8× 107 ∼ 108 (note que aproximamos 8 de 10!).
10
1.8. Algarismos significativos 11
1.8 Algarismos significativos
Quando quantidades f´ısicas sa˜o medidas, os valores de medida sa˜o conhecidos apenas
dentro dos limites da incerteza experimental. O valor desta incerteza pode depender de
va´rios fatores, tais como a qualidade do aparato, a habilidade do experimentador e o
nu´mero de medidas realizadas.
Suponha que queremos medir a a´rea de uma etiqueta usando uma fita me´trica. Vamos
assumir que a precisa˜o que temos para medir com esta fita me´trica seja de ±0, 1 cm. Se
o comprimento da etiqueta e´ medido como 5,5 cm, podemos declarar apenas que seu
comprimento esta´ em 5,4 cm e 5,6 cm. Neste caso dizemos que o valor medido tem dois
algarismos significativos. Da mesma forma, se a largura da etiqueta e´ medida como 6,4
cm, o valor real esta´ entre 6,3 cm e 6,5 cm. Note que os algarismos significativos incluem
o primeiro d´ıgito estimado, e assim podemos escrever as medidas acima como (5,5 ± 0,1)
cm e (6,4 ± 0,1) cm.
Agora queremos achar a a´rea da etiqueta multiplicando os dois valores medidos. Se
declara´ssemos que a a´rea e´ de (5,5 cm) × (6,4 cm) = 35,2 cm2, nossa resposta na˜o seria
justifica´vel pois ela conte´m treˆs algarismos significativos, que e´ mais do que o nu´mero de
algarismos significativos de cada uma das medidas. A regra para ser usada nos casos em
que precisamos determinar o nu´mero de algarismos significativos e´ a seguinte:
Quando se multiplica va´rias quantidades, o nu´mero de algarismos significativos na
resposta final e´ o mesmo que o nu´mero de algarismos significativos da medida menos
precisa das quantidades sendo multiplicadas, onde menos precisa significa tendo o
menor nu´mero de algarismos significativos. A mesma regra se aplica a` divisa˜o.
Portanto, aplicando essa regra para nosso exemplo anterior, a resposta correta da a´rea e´
de 35 cm2, compreendendo que o valor varia entre (5,4 cm) × (6,3 cm) = 34 cm2 e (5,6
cm) × (6,5 cm) = 36 cm2.
11
12 1.9. Exerc´Icios
Zeros podem ser ou na˜o algarismos significativos. Os zeros a` esquerda na˜o o sa˜o, como
em 0,03 (que tem 1 algarismo significativo) e em 0,0075 (que tem dois algarismos signifi-
cativos). Quando os zeros vem apo´s outros d´ıgitos, contudo, pode haver ma´ interpretac¸a˜o,
como em 1500, pois na˜o sabemos se os zeros esta˜o ali para indicar o ponto decimal ou se
sa˜o de fato algarismos significativos. Aı´ usamos a notac¸a˜o cient´ıfica para eliminar esta
ambiguidade, escrevendo, por exemplo, 1, 5 × 103 (se sa˜o dois algarismos significativos),
ou 1, 50 × 103 (se sa˜o treˆs algarismos significativos) ou ainda 1, 500 × 103 (se sa˜o quatro
algarismos significativos). O mesmo vale quando o nu´mero e´ menor que 1, de tal forma
que 2, 3 × 10−4 tem dois algarismos significativos (e pode ser escrito como 0,00023) e
2, 30× 10−4 tem treˆs algarismos significativos (e pode ser escrito como 0,000230).
Para adic¸a˜o e subtrac¸a˜o, voceˆ deve considerar o nu´mero de casas decimais quando for
determinar quantos algarismos significativos descrever.
Quando nu´meros sa˜o adicionados ou subtra´ıdos, o nu´mero de casas decimais deve ser
igual ao menor nu´mero de casas decimais de qualquer termo na soma.
Exemplo: se queremos calcular 123 + 5,35, a resposta correta dados os algarismos sig-
nificativos e´ 128 e na˜o 128,35. Se calcularmos 1,0001 + 0,0003 = 1,0004, o resultado
tem cinco algarismos significativos, mesmo que 0,0003 tenha apenas um algarismo signi-
ficativo. Da mesma forma, 1,002 - 0,998 = 0,004 tem apenas um algarismo significativo,
apesar dos termos envolvidos na subtrac¸a˜o terem mais algarismos significativos.
1.9 Exerc´ıcios
1) Um cubo so´lido de alumı´nio (densidade 2,7 g/cm3) tem um volume de 0,20 cm3.
Quantos a´tomos de alumı´nio esta˜o contidos no cubo?
2) Mostre que a expressa˜o v = at e´ correta dimensionalmente, onde v e´ a velocidade, a a
acelerac¸a˜o e t o intervalo de tempo.
12
1.9. Exerc´Icios 13
3) Suponha que saibamos que a acelerac¸a˜o a de uma part´ıcula se movendo com velocidade
uniforme v num c´ırculo de raio r e´ proporcional a alguma poteˆncia de r, digamos rn, e
alguma poteˆncia de v, digamos vm. Como podemos determinar os valores de n e m?
4) A massa de um cubo so´lido e´ 856 g, e cada lado tem um comprimento de 5,35 cm.
Determine a densidade ρ do cubo nas unidades SI.
5) Estime o nu´mero de foˆlegos tomados durante um tempo de vida me´dio.
6) Estime o nu´mero de galo˜es de gasolina usados a cada ano por todos os carros nos
Estados Unidos.
7) Uma chapa retangular tem um comprimento de (21,3 ± 0,2) cm e uma largura de (9,80
± 0,1) cm. Encontre a a´rea da placa e a incerteza na a´rea calculada.
8) Um carpete deve ser colocado num coˆmodo cujo comprimento e´ 12,71 m e cuja largura
e´ de 3,46 m. Encontre a a´rea do coˆmodo.
13
Cap´ıtulo 2
Movimento em uma dimensa˜o
Neste cap´ıtulo, trataremos do movimento em uma dimensa˜o, uma parte da f´ısica chamada
de cinema´tica. Na cinema´tica, pensamos no movimento em si e na˜o no que o causou. De-
finiremos deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o e, por fim, consideraremos o movimento
de um objeto se movendo em uma dimensa˜o com acelerac¸a˜o constante.
Da experieˆncia do dia-a-dia, reconhecemos que o movimento e´ uma mudanc¸a cont´ınua
da posic¸a˜o de um objeto. Na f´ısica, nos preocupamos com treˆs tipos de movimento:
translacional, rotacional e vibracional. Um carro se movendo numa estrada e´ um exemplo
de movimento translacional; a Terra girando ao redor de seu eixo, por sua vez, representa
um movimento rotacional; ja´ o movimento de um peˆndulo (o vai-e-vem) e´ um exemplo
de movimento vibracional. No nosso curso de F´ısica 1, veremos movimento translacional
e rotacional; o movimento vibracional e´ assunto do curso de F´ısica 2.
No nosso estudo do movimento, descrevemos o objeto que se move como uma part´ıcula,
independente do seu tamanho. Em geral, uma part´ıcula e´ uma massa pontual que tem
tamanho infinitesimal.
2.1 Deslocamento, velocidade e rapidez
Em mecaˆnica cla´ssica, o movimento de uma part´ıcula e´ completamente conhecido se a
posic¸a˜o da part´ıcula no espac¸o e´ conhecido para todos os instantes de tempo. Vamos
14
2.1. Deslocamento, velocidade e rapidez 15
considerar o movimento do carro ao longo do eixo x da figura 2.1a, ou seja, anotar a
posic¸a˜o do carro em va´rios instantes de tempo. Quando comec¸amos a coletar estes dados,
o carro esta´ na posic¸a˜o 30 m a` direita da placa da estrada, que sera´ nosso ”ponto de
partida”, ou seja, o ponto que marcamos posic¸a˜o 0 m. Acionamos nosso relo´gio e, a cada
10 s, anotamos a posic¸a˜o do carro relativa a` placa da estrada. Os resultados podem ser
vistos na tabela 2.1. A mesma informac¸a˜o pode ser vista no gra´fico da figura 2.1b, que e´
um gra´fico posic¸a˜o × tempo.
Posic¸a˜o t(s) x(m)
A 0 30
B 10 52
C 20 38
D 30 0
E 40 -37
F 50 -53
Tabela 2.1: Posic¸a˜o do carro em va´rios instantes de tempo.
Da tabela 2.1, podemos perceber que o carro se move para a direita da placa nos
primeiros 10 segundos, ou seja, quando o carro vai da posic¸a˜o A para a posic¸a˜o B ; apo´s
isso, ou seja, da posic¸a˜o B ate´ a posic¸a˜o F , os valores da posic¸a˜o comec¸am a diminuir
(e ate´ ficam negativos!), indicando que ele esta´ indo para a esquerda da placa.
Se uma part´ıcula esta´ se movendo, podemos facilmente determinar sua mudanc¸a em
posic¸a˜o. O deslocamento de uma part´ıcula e´ definido como sua mudanc¸a em
posic¸a˜o. A` medida que se move de uma posic¸a˜o inicial xi para uma posic¸a˜o final xf , seu
deslocamento e´ dado por xf − xi. Em geral, usamos a letra grega delta (∆) para denotar
mudanc¸a em uma quantidade. Portanto, o deslocamento e´ definido como
∆x ≡ xf − xi (2.1)
A partir desta definic¸a˜o, podemos ver que ∆x pode ser positivo ou negativo. Sera´
15
16 2.1. Deslocamento, velocidade e rapidez
Figura 2.1: (a) Um carro se move para frente e para tra´s numa linha reta que tomamos
como sendo o eixo x. Porque estamos interessados apenas no movimento translacional
do carro, podemos trata´-lo como uma part´ıcula. (b) Gra´fico posic¸a˜o × tempo para o
movimento da “part´ıcula”.
16
2.1. Deslocamento, velocidade e rapidez 17
positivo se xf > xi (caso em que o carro vai do ponto A ate´ o ponto B ) e negativo se
xf < xi (caso em que o carro vai do ponto B ate´ o ponto F ).
Precisamos estabelecer corretamente a diferenc¸a entre deslocamento e distaˆncia
percorrida. Por exemplo, num maratona o ponto de partida coincide com o ponto de
chegada; portanto, o deslocamento de um corredor numa maratona e´ zero. No entanto,
a distaˆncia que ele percorreu na˜o e´ zero - corresponde ao trajeto percorrido, que no caso
da Sa˜o Silvestre, sa˜o 15 km.
Deslocamento e´ uma quantidade vetorial, que precisa ser especificada quanto a` mag-
nitude, direc¸a˜o e sentido. Ja´ a distaˆncia percorrida e´ uma quantidade escalar, que e´
completamente definida pela sua magnitude (na˜o existe distaˆncia negativa!). Como neste
cap´ıtulo estamos trabalhando em uma dimensa˜o, vamos trabalhar com sinais para indicar
o sentido do deslocamento ao inve´s de usar vetores (+∆x esta´ indo para a direita; −∆x
para a esquerda). Quando formos trabalhar em duas ou treˆs dimenso˜es, a´ı sera´ necessa´rio
o uso de vetores. Uma pequena explanac¸a˜o sobre vetores sera´ dada no pro´ximo cap´ıtulo,
mas este assunto e´ mate´ria da disciplina de Geometria Anal´ıtica.
Tambe´m devemos mencionar que o gra´fico da figura 2.1 na˜o mostra apenas os seis
pontos que coletamos e colocamos na
tabela 2.1; ele apresenta todo o intervalo de tempo
(os 50 s), que e´ representado por uma curva suave. Fica mais fa´cil ver as mudanc¸as de
posic¸a˜o no gra´fico do que descrever todo o movimento por palavras. Do gra´fico podemos
tirar, por exemplo, outras informac¸o˜es relevantes, como em que intervalo de tempo o carro
andou mais, ou menos. Esta informac¸a˜o costuma ser medida atrave´s do que chamamos
de velocidade me´dia:
v¯x =
∆x
∆t
(2.2)
A velocidade me´dia nada mais e´ do que a raza˜o entre o deslocamento da part´ıcula e o
intervalo de tempo em que ele ocorreu; portanto, tem dimensa˜o de (L/T), e no sistema
SI tem unidade de metros por segundo (m/s). O subscrito na fo´rmula acima se refere em
17
18 2.2. Velocidade instantaˆnea e rapidez
que direc¸a˜o e´ o movimento - no caso, do eixo x. Assim como o deslocamento, a velocidade
me´dia e´ uma quantidade vetorial, que tem a mesma direc¸a˜o e sentido do deslocamento.
Assim, quando ∆x > 0, v¯x > 0 e o carro esta´ indo na direc¸a˜o positiva do eixo x; ja´
quando ∆x < 0, v¯x < 0 e o carro esta´ indo na direc¸a˜o negativa do eixo x. No gra´fico,
interpretamos a velocidade me´dia como a inclinac¸a˜o da linha formada ligando os pontos
A e B , pois
inclinac¸a˜o da reta AB =
cateto oposto
cateto adjacente
=
∆x
∆t
(2.3)
Nota: lembre-se de triaˆngulo retaˆngulo, senos, cossenos, tangentes...
Assim como com deslocamento e distaˆncia percorrida, ha´ uma diferenc¸a entre o que
chamamos de velocidade me´dia e rapidez. Vamos voltar ao exemplo da maratona em que
o ponto de partida e chegada sa˜o os mesmos. Assim, ∆x = 0, e consequentemente v¯x = 0.
No entanto, sabemos que os corredores na˜o ficaram parados, e gostar´ıamos de saber o
qua˜o ra´pido correram. A rapidez me´dia, que e´ uma quantidade escalar, e´ que mede o
qua˜o ra´pido eles correram, e e´ definida como
rapidez me´dia =
distaˆncia percorrida
tempo total
(2.4)
2.2 Velocidade instantaˆnea e rapidez
Muitas vezes precisamos saber a velocidade num instante particular do tempo, e na˜o num
intervalo de tempo (pense no policial, que acabou de parar seu carro na estrada - voceˆ
precisa ter certeza de que estava com uma velocidade dentro do limite de velocidades per-
mitido!). Esta e´ uma questa˜o na˜o muito o´bvia de ser resolvida, pois neste caso estar´ıamos
pensando na velocidade num instante de tempo (intervalo de tempo = zero), num ponto
espec´ıfico do espac¸o (deslocamento = zero). Como definir esta velocidade?
Se lembrarmos das aulas de ca´lculo, ja´ saberemos a resposta: derivadas. Caso o
18
2.2. Velocidade instantaˆnea e rapidez 19
Figura 2.2: (a) Gra´fico representando o movimento do carro da Figura 2.1. (b) Um
aumento do lado superior esquerdo do gra´fico mostra como a linha azul entre as posic¸o˜es
A e B se aproxima da linha tangente verde a` medida que o ponto B fica mais perto do
ponto A.
professor de Ca´lculo 1 na˜o tenha abordado o tema (mas calma, ele abordara´!), enta˜o
vamos olhar para a figura 2.2. Sabemos pela sec¸a˜o anterior que a inclinac¸a˜o da reta que
passa pelos pontos A e B e´ a velocidade me´dia naquele intervalo de tempo do carro que
saiu de A e chegou em B . Mas e se quisermos saber a velocidade que o carro estava
em A ? Bom, vemos que, se fizermos a distaˆncia entre A e B ser pequena, ou seja,
se fizermos o ponto B se aproximar de A o ma´ximo poss´ıvel, teremos um valor bem
pro´ximo do real para a velocidade em A . Mas fazer B se aproximar de A e´ fazer ∆t
tender a zero, ou seja, fazer o intervalo de tempo bem pequeno, ta˜o pequeno quanto se
queira. E o que acontece com a reta que passa entre os pontos A e B ? Ela se aproxima
da posic¸a˜o da reta tangente no ponto A , certo? Portanto, lembrando novamente das
aulas de ca´lculo, mais especificamente da interpretac¸a˜o geome´trica da derivada, sabemos
que a derivada num ponto espec´ıfico da curva de uma func¸a˜o e´ a inclinac¸a˜o da reta
tangente aquele ponto da curva da func¸a˜o. Assim, colocando matematicamente tudo isso
em palavras, temos que a velocidade instantaˆnea e´ definida como
19
20 2.3. Acelerac¸a˜o
vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(2.5)
Assim como o deslocamento, a velocidade instantaˆnea e´ uma grandeza vetorial que, por-
tanto, em uma dimensa˜o, pode ser positiva, negativa ou zero. Geometricamente, podemos
perceber que a velocidade instantaˆnea entre os pontos A e B e´ positiva (pois a inclinac¸a˜o
da reta tangente e´ positiva) e, apo´s o ponto B , ela se torna negativa (inclinac¸a˜o da reta
tangente e´ negativa).
Ja´ a rapidez instantaˆnea de uma part´ıcula e´ definida como a magnitude da sua veloci-
dade instantaˆnea (que, a partir de agora, so´ chamaremos de velocidade). E´ uma grandeza
escalar e, portanto, na˜o precisa de direc¸a˜o e sentido para ser definida, e e´ sempre positiva.
2.3 Acelerac¸a˜o
Nos exemplos da sec¸a˜o anterior, a velocidade dos objetos mudavam a` medida que esses
se moviam. Esta e´ uma situac¸a˜o bastante comum - so´ lembrar do trajeto de oˆnibus
ate´ a universidade, em que o mesmo pode estar com uma velocidade em alguns trechos,
outra em outros e por va´rias vezes (nos pontos de oˆnibus) tem velocidade zero. Podemos
quantificar o quanto muda a velocidade em relac¸a˜o ao tempo assim como fizemos com o
deslocamento.
Suponha que uma part´ıcula se movendo ao longo do eixo x tem velocidade vxi no tempo
ti e velocidade vxf no tempo tf , como na figura 2.3. A acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula e´
definida como a mudanc¸a na velocidade ∆vx dividida pelo intervalo de tempo ∆t durante
o qual a mudanc¸a ocorreu:
a¯x =
∆vx
∆t
=
vxf − vxi
tf − ti (2.6)
Assim como a velocidade e o deslocamento, a acelerac¸a˜o e´ uma grandeza vetorial e, em uma
dimensa˜o, ela pode ter sinal positivo ou negativo, que indicara´ o sentido da acelerac¸a˜o.
20
2.3. Acelerac¸a˜o 21
Figura 2.3: (a) Uma “part´ıcula” se movendo ao longo do eixo x do ponto A ao ponto B
tem velocidade vxi em t = ti e velocidade vxf em t = tf . (b) Gra´fico velocidade × tempo
para a part´ıcula se movendo numa linha reta. A inclinac¸a˜o da linha reta azul conectando
os pontos A e B e´ a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de tempo ∆t = tf − ti.
Tem dimensa˜o de L/T 2, e no SI a unidade usada e´ m/s2.
Em muitas situac¸o˜es, o valor da acelerac¸a˜o pode variar ponto a ponto, e podemos que-
rer saber a acelerac¸a˜o instantaˆnea num certo instante de tempo. Olhando para o gra´fico
da figura 2.3 e fazendo procedimento ana´logo ao que fizemos para definir a velocidade,
temos que
ax = lim
∆t→0
∆vx
∆t
=
dvx
dt
=
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(2.7)
ou seja, a acelerac¸a˜o instantaˆnea (que passaremos a chamar apenas de acelerac¸a˜o) e´ a in-
clinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico velocidade × tempo num instante de tempo espec´ıfico.
E mais uma vez lembrando do ca´lculo, isso significa que a acelerac¸a˜o e´ a derivada pri-
meira da velocidade pelo tempo, e como a pro´pria velocidade e´ a derivada primeira do
deslocamento pelo tempo, enta˜o segue que ela e´ a derivada segunda do deslocamento pelo
tempo.
21
22 2.4. Movimento em uma dimensa˜o com acelerac¸a˜o constante
2.4 Movimento em uma dimensa˜o com acelerac¸a˜o cons-
tante
Um exemplo de movimento acelerado comum e relativamente fa´cil de analisar e´ o movi-
mento com acelerac¸a˜o constante. Neste caso, a acelerac¸a˜o e a acelerac¸a˜o me´dia sa˜o iguais,
independente do intervalo de tempo que estamos considerando. E´ fa´cil de ver isso nos
gra´ficos da figura 2.4, tanto no de velocidade × tempo (onde a reta tangente e a curva sa˜o
coincidentes), quanto no de acelerac¸a˜o × tempo (o valor da func¸a˜o acelerac¸a˜o na˜o muda
com a passagem do tempo).
Figura 2.4: Um objeto se movendo ao longo do eixo x com acelerac¸a˜o constante
ax. (a)
Gra´fico velocidade × tempo. (b) Gra´fico acelerac¸a˜o × tempo. (c) Gra´fico posic¸a˜o ×
tempo.
Na equac¸a˜o (2.6), substituindo a¯x por ax, ti = 0 e tf = t, temos
a¯x = ax =
vxf − vxi
t
axt = vxf − vxi
vxf = vxi + axt (para ax constante) (2.8)
Esta expressa˜o nos permite encontrar a velocidade de um objeto em qualquer instante de
tempo se soubermos sua acelerac¸a˜o constante e sua velocidade inicial.
22
2.4. Movimento em uma dimensa˜o com acelerac¸a˜o constante 23
Como a velocidade varia linearmente com o tempo de acordo com a equac¸a˜o (2.8)
(e podemos ver isso tambe´m pelo gra´fico da figura 2.4), podemos escrever a velocidade
me´dia em qualquer intervalo de tempo como uma me´dia aritme´tica entre as velocidades
final e inicial:
v¯x =
vxi + vxf
2
(2.9)
Lembramos que a expressa˜o acima so´ pode ser escrita para o caso de acelerac¸a˜o constante!
Agora, usando as equac¸o˜es (2.1), (2.2) e (2.9), e novamente ti = 0 e tf = t, temos
v¯x =
∆x
∆t
=
xf − xi
tf − ti =
xf − xi
t
=
vxi + vxf
2
xf − xi = v¯xt = 1
2
(vxi + vxf )t (multiplicou-se por t a expressa˜o acima) (2.10)
Agora, substituindo a equac¸a˜o (2.8) na equac¸a˜o acima, temos
xf − xi = 1
2
(vxi + vxi + axt)t = vxit+
1
2
axt
2 (2.11)
Com esta u´ltima expressa˜o, podemos analisar os gra´ficos (2.4). Primeiro, sabemos que
a acelerac¸a˜o e´ uma func¸a˜o constante no tempo, isso e´, seu valor na˜o depende do instante
em que esta´ sendo calculada - e´ sempre o mesmo. Portanto, o gra´fico acelerac¸a˜o × tempo
e´ uma reta paralela ao eixo x, indicando que a func¸a˜o ax tem sempre o mesmo valor,
na˜o importando que instante de tempo estamos considerando-a. Ja´ a velocidade final e´
uma func¸a˜o linear no tempo, como vemos por (2.8, e comparando esta equac¸a˜o com uma
func¸a˜o linear (y(x) = bx + c, b e c constantes). O gra´fico velocidade × tempo e´ uma
reta com inclinac¸a˜o b = ax, ou seja, a acelerac¸a˜o. E, finalmente, vemos de (2.11) que o
deslocamento e´ uma func¸a˜o quadra´tica no tempo (do tipo y(x) = dx2 + ex + f , d, e e f
sendo constantes). Portanto, seu gra´fico tem que ser uma para´bola, pois esta e´ a curva
de uma func¸a˜o quadra´tica!!!
23
24 2.5. Queda livre
Por fim, isolando t em (2.8),
t =
vxf − vxi
ax
(2.12)
e substituindo em (3.18), temos
xf − xi = v¯xt = 1
2
(vxi + vxf )
(
vxf − vxi
ax
)
xf − xi =
v2xf − v2xi
2ax
2ax(xf − xi) = v2xf − v2xi
v2xf = v
2
xi + 2ax(xf − xi) (2.13)
As equac¸o˜es (2.8), (3.18), (2.11) e (2.13) sa˜o expresso˜es cine´ticas que podem ser usadas
em qualquer problema que envolva movimento unidimensional com acelerac¸a˜o constante.
Qual usar em cada problema dependera´ dos dados que o problema fornece e o que ele
pede para ser calculado. Algumas vezes, podera´ ser usada mais de uma destas equac¸o˜es
para resolver problemas. Observe no entanto que se ax = 0 (movimento sem acelerac¸a˜o),
as equac¸o˜es (2.8) e (2.11) se reduzem a
vxf = vxi = vx (velocidade constante) (2.14)
xf − xi = vxt (2.15)
2.5 Queda livre
Sabe-se que, perto da superf´ıcie da Terra e na auseˆncia de resisteˆncia do ar, todos os
objetos, independente de sua massa, caem com a mesma acelerac¸a˜o sob a influeˆncia da
gravidade da Terra. Voceˆ pode constatar este fato fazendo o seguinte experimento: deixe
cair simultaneamente uma moeda e um pedac¸o de papel amassado, os dois a` mesma altura.
24
2.5. Queda livre 25
Se os efeitos da resisteˆncia do ar podem ser desprezados, os dois objetos atingira˜o o cha˜o
ao mesmo tempo. De fato, em 2 de agosto de 1971, o astronauta David Scott fez esta
experieˆncia na Lua, onde sabemos que na˜o ha´ atmosfera (portanto, na˜o ha´ resisteˆncia do
ar). Ele soltou da mesma altura um martelo e uma pena, e os dois atingiram o solo lunar
ao mesmo tempo∗.
Figura 2.5: Astronauta David Scott solta um martelo e uma pena simultaneamente, e
eles caem juntos na superf´ıcie lunar.
Quando usamos a expressa˜o objeto em queda livre na˜o necessariamente nos referimos a
um objeto que foi largado a partir do repouso. Um objeto em queda livre e´ qualquer
objeto que se move livremente apenas sob a influeˆncia da gravidade, indepen-
dente de seu movimento inicial. Objetos jogados para cima ou para baixo e
aqueles largados a partir do repouso, todos eles caem livremente uma vez que
forem largados. Qualquer objeto em queda livre experimenta uma acelerac¸a˜o
direcionada para baixo (isto e´, na direc¸a˜o do centro da Terra), independente
de seu movimento inicial.
Vamos denotar a magnitude da acelerac¸a˜o de queda livre por g. O valor de g perto
∗A primeira pessoa que afirmou este fato foi Galileu Galilei, se´culos antes de se fazer esta experieˆncia
na Lua.
25
26 2.6. Exerc´Icios
da superf´ıcie da Terra diminui a` medida que a altitude aumenta, e podemos ter variac¸o˜es
pequenas de seu valor com mudanc¸as da latitude tambe´m. Perto da superf´ıcie da Terra
seu valor e´ de aproximadamente 9,80 m/s2. Convencionaremos chamar de “para cima” a
direc¸a˜o +y e usaremos y como a varia´vel de posic¸a˜o nas equac¸o˜es cinema´ticas.
Se desprezarmos as mudanc¸as em altitude e latitude de g perto da superf´ıcie da Terra
(ou seja, considerarmos g constante perto da superf´ıcie da Terra), temos que o movimento
de um objeto em queda livre e´ equivalente ao movimento de um objeto em uma dimensa˜o
com acelerac¸a˜o constante, cujas equac¸o˜es no´s vimos na sec¸a˜o anterior. No entanto, duas
modificac¸o˜es nas equac¸o˜es da sec¸a˜o anterior sera˜o necessa´rias: primeiro, trocamos x por y
(pois o movimento e´ na vertical); segundo, precisamos lembrar que o valor da acelerac¸a˜o
e´ ay = −g = −9, 80 m/s2, pois g esta´ sempre para baixo. Assim,
vyf = vyi − gt (2.16)
yf − yi = 1
2
(vyi + vyf )t (2.17)
yf − yi = vyit− 1
2
gt2 (2.18)
v2yf = v
2
yi − 2g(yf − yi) (2.19)
2.6 Exerc´ıcios
1) Encontre o deslocamento, velocidade me´dia e rapidez me´dia do carro da figura 2.1
entre os pontos A e F .
2) Uma part´ıcula se ao longo do eixo x. Sua coordenada x varia com o tempo de acordo
com a expressa˜o x = −4t + 2t2, onde x esta´ em metros e t em segundos. O gra´fico da
posic¸a˜o × tempo para este movimento encontra-se na figura 2.6. Note que a part´ıcula
se move na direc¸a˜o negativa do eixo x para o primeiro segundo do movimento, esta´ em
repouso no instante t = 1 s, e se move na direc¸a˜o positiva do eixo x para t > 1 s. a)
Determine o deslocamento da part´ıcula nos intervalos de tempo t = 0 a t = 1 s e t = 1
26
2.6. Exerc´Icios 27
s a t = 3 s. b) Calcule a velocidade me´dia durante estes dois intervalos de tempo. c)
Encontre a velocidade instantaˆnea da part´ıcula em t = 2, 5 s.
Figura 2.6: Gra´fico posic¸a˜o × tempo para uma part´ıcula tendo uma coordenada x que
varia no tempo de acordo com a expressa˜o x = −4t+ 2t2 (exerc´ıcio 2).
3) A velocidade de uma part´ıcula se movendo ao longo do eixo x varia no tempo de acordo
com a expressa˜o vx = (40− 5t2) m/s, onde t esta´ em segundos. a) Encontre a acelerac¸a˜o
me´dia no intervalo de tempo t = 0 a t = 2, 0 s. b) Determine a acelerac¸a˜o em t = 2, 0 s.
4) Considere os seguintes movimentos unidimensionais: a) Uma bola arremessada direta-
mente para cima chega ao ponto mais alto e cai novamente para as ma˜os do arremessador.
b) Um carro de corrida parte do repouso e acelera a 100 m/s. c) Uma espac¸onave viaja
no espac¸o a` velocidade constante. Existem pontos no movimento destes objetos nos quais
a velocidade instantaˆnea e´ a mesma que a velocidade me´dia sobre todo o movimento? Se
sim, identifique esse(s) ponto(s).
5) Um jato aterrissa num porta-avio˜es a 140 mi/h (≈ 63 m/s). a) Qual sua acelerac¸a˜o se
ele para em 2,0 s? b) Qual o deslocamento do avia˜o enquanto ele esta´ parando?
6) Um carro andando
a` velocidade constante de 45,0 m/s passa por um policial rodovia´rio
escondido atra´s de um letreiro. Um segundo apo´s o carro passar o letreiro, o policial sai
27
28 2.6. Exerc´Icios
Figura 2.7: Gra´fico velocidade × tempo para uma part´ıcula se movendo ao longo do eixo
x de acordo com a expressa˜o vx = (40 − 5t2) m/s. A acelerac¸a˜o em t = 2, 0s e´ igual a`
inclinac¸a˜o da reta tangente azul naquele tempo (exerc´ıcio 3).
detra´s do letreiro para alcanca´-lo, acelerando a uma taxa constante de 3,00 m/s2. Quanto
tempo ele leva para alcanc¸ar o carro?
Figura 2.8: Um carro passa o policial escondido (exerc´ıcio 6).
7) Um paraquedista pula de um helico´ptero suspenso no ar. Alguns segundos depois, outro
paraquedista pula, e ambos caem ao longo da mesma linha vertical. Ignore a resisteˆncia
28
2.6. Exerc´Icios 29
do ar, tal que ambos os paraquedistas caem com a mesma acelerac¸a˜o. A diferenc¸a entre
suas velocidades permanece a mesma enquanto caem? A distaˆncia entre eles permanece
a mesma durante a queda? Se os dois paraquedistas esta˜o conectados por uma corda de
bungee jump, a tensa˜o da corda aumentaria, diminuiria ou permaneceria a mesma durante
a queda?
8) Uma bola e´ lanc¸ada para cima verticalmente com velocidade de 25 m/s. Estime sua
velocidade em intervalos de 1 s.
9) Uma pedra jogada do topo de um edif´ıcio tem velocidade inicial de 20,0 m/s para cima
verticalmente. O pre´dio tem 50,0 m de altura, e a pedra passa pela borda do telhado na
sua queda para baixo, como na figura 2.9. Usando tA = 0 como o instante de tempo em
que a pedra deixa a ma˜o do arremessador na posic¸a˜o A , determine a) o tempo que a
pedra leva para atingir a altura ma´xima, b) a altura ma´xima, c) o tempo que a pedra
leva para retornar a` altura em que foi lanc¸ada, d) a velocidade da pedra naquele instante
e e) a velocidade e posic¸a˜o da pedra em t = 5,00 s.
29
30 2.6. Exerc´Icios
Figura 2.9: Posic¸a˜o e velocidade versus tempo para uma pedra em queda livre jogada
inicialmente para cima com velocidade vyi = 20, 0 m/s (exerc´ıcio 9).
30
Cap´ıtulo 3
Movimento em duas dimenso˜es
Neste cap´ıtulo analisaremos o movimento em duas dimenso˜es, que possibilitara´ a descric¸a˜o
de uma se´rie de movimentos, como o de um sate´lite em o´rbita ou de um ele´tron num
campo ele´trico uniforme. A generalizac¸a˜o para o movimento em treˆs dimenso˜es segue
naturalmente.
3.1 Vetores deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o
No cap´ıtulo anterior no´s vimos que o movimento de uma part´ıcula ao longo de uma reta e´
completamente conhecido se sua posic¸a˜o e´ conhecida como uma func¸a˜o do tempo. Agora
veremos como estender esta ideia para o plano xy.
Vamos comec¸ar descrevendo a posic¸a˜o da part´ıcula por seu vetor posic¸a˜o ~r, trac¸ado
desde a origem de algum sistema de coordenadas ate´ a part´ıcula localizada no plano
xy, como na figura 3.1. No instante de tempo ti, a part´ıcula esta´ no ponto A , e em
algum instante de tempo depois tf , ela esta´ no ponto B . A trajeto´ria de A ate´ B
na˜o e´ necessariamente uma linha reta. A` medida que a part´ıcula se move de A atE`
B no intervalo de tempo ∆t = tf − ti, seu vetor posic¸a˜o muda de ~ri para ~rf . Como
o deslocamento de uma part´ıcula e´ a diferenc¸a entre sua posic¸a˜o final e sua posic¸a˜o
inicial, definimos o vetor deslocamento ∆~r para a part´ıcula da figura 3.1 como sendo
a diferenc¸a entre os vetores posic¸a˜o final e posic¸a˜o inicial:
31
32 3.1. Vetores deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o
Figura 3.1: Uma part´ıcula se movendo no plano xy esta´ localizada pelo vetor posic¸a˜o ~r
trac¸ado da origem ate´ a part´ıcula. O deslocamento da part´ıcula a` medida em que se move
de A ate´ B no intervalo de tempo ∆t = tf − ti e´ igual ao vetor ∆~r = ~rf − ~ri.
∆~r ≡ ~rf − ~ri (3.1)
A direc¸a˜o de ∆~r esta´ indicada na figura 3.1, e podemos ver da mesma figura que a
magnitude de ∆~r e´ menor que a distaˆncia percorrida ao longo da trajeto´ria curva seguida
pela part´ıcula.
Definimos a velocidade me´dia de uma part´ıcula durante o intervalo de tempo ∆t
como sendo o deslocamento da part´ıcula dividido pelo intervalo de tempo:
~¯v ≡ ∆~r
∆t
(3.2)
Note que multiplicar ou dividir uma quantidade vetorial por um escalar so´ muda sua mag-
nitude; portanto, a vetor velocidade me´dia esta´ na direc¸a˜o e sentido de ∆~r. Agora, como
o movimento e´ em duas dimenso˜es, a direc¸a˜o e sentido da velocidade esta´ decodificado em
seu vetor, e na˜o em sinais de mais ou menos, como em uma dimensa˜o. Tambe´m e´ impor-
tante observarmos que a velocidade me´dia entre dois pontos e´ independente da trajeto´ria
percorrida. Isto porque o deslocamento e´ definido como a diferenc¸a entre a posic¸a˜o final e
a inicial, independente da trajeto´ria tomada. Assim, se uma part´ıcula sai de uma posic¸a˜o
32
3.1. Vetores deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o 33
e, depois de um intervalo de tempo, retorna a` mesma posic¸a˜o, sua velocidade me´dia sera´
zero pois seu deslocamento e´ zero.
Figura 3.2: A` medida que uma part´ıcula se move entre dois pontos, sua velocidade me´dia
esta´ na direc¸a˜o do vetor deslocamento ∆~r. A` medida que a posic¸a˜o final da trajeto´ria se
move de B para B’ para B”, os deslocamentos respectivos e intervalos de tempo corres-
pondentes se tornam menores e menores. No limite em que a posic¸a˜o final se aproxima
de A, ∆t se aproxima de zero, e a direc¸a˜o de ∆~r se aproxima da reta tangente a` curva em
A. Por definic¸a˜o, a velocidade instantaˆnea em A esta´ na direc¸a˜o desta reta tangente.
Considere novamente o movimento de uma part´ıcula entre dois pontos no plano xy,
como mostrado na figura 3.2. A` medida que o intervalo de tempo sob o qual se observa
o movimento se torna menor e menor, a direc¸a˜o do deslocamento se aproxima da direc¸a˜o
da reta tangente a` trajeto´ria em A .
A velocidade instantaˆnea ~v e´ definida como o limite da velocidade me´dia ∆~r/∆t a`
medida que ∆t se aproxima de zero:
~v ≡ lim
∆t→0
∆~r
∆t
=
d~r
dt
(3.3)
Portanto, a velocidade instantaˆnea e´ igual a` derivada do vetor posic¸a˜o com relac¸a˜o ao
33
34 3.1. Vetores deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o
tempo, e sua direc¸a˜o e sentido em qualquer ponto da trajeto´ria de uma part´ıcula e´ ao longo
da reta tangente a` trajeto´ria naquele ponto e na direc¸a˜o do movimento. Sua magnitude
v = |~v| e´ a rapidez, que e´ uma quantidade escalar.
A` medida que a part´ıcula se move de um ponto a outro de alguma trajeto´ria, seu
vetor velocidade instantaˆnea muda de ~vi no tempo ti para ~vf no tempo tf . Sabendo
a velocidade nestes pontos nos permite determinar a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula. A
acelerac¸a˜o me´dia de uma part´ıcula que se move de uma posic¸a˜o para outra e´ definida
como a mudanc¸a no vetor velocidade instantaˆnea ∆~v dividido pelo tempo ∆t durante o
qual a mudanc¸a ocorreu:
~¯a =
~vf − ~vi
tf − ti =
∆~v
∆t
(3.4)
Novamente, como e´ a raza˜o entre ∆~v e ∆t, conclu´ımos que a acelerac¸a˜o me´dia e´ uma
quantidade vetorial direcionada ao longo de ∆~v. Ja´ a acelerac¸a˜o instantaˆnea ~a e´ definida
como sendo o valor limite da raza˜o ∆~v/∆t a` medida que ∆t se aproxima de zero:
~a ≡ lim
∆t→0
∆~v
∆t
=
d~v
dt
(3.5)
ou seja, a acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ a derivada do vetor velocidade em relac¸a˜o ao tempo.
Devemos perceber que va´rias mudanc¸as podem ocorrer quando uma part´ıcula acelera.
Primeiro, a magnitude do vetor velocidade pode mudar, sem alterar direc¸a˜o e sentido.
Ou a direc¸a˜o e sentido mudam, sem que a magnitude do vetor velocidade mude, como
veremos no movimento circular uniforme. E por fim, direc¸a˜o, sentido e magnitude do
vetor velocidade podem mudar ao mesmo tempo
34
3.2. Movimento bidimensional
com acelerac¸a˜o constante 35
3.2 Movimento bidimensional com acelerac¸a˜o cons-
tante
Vamos considerar movimento em duas dimenso˜es no qual a acelerac¸a˜o permanece cons-
tante, ou seja na˜o muda, tanto em magnitude quanto direc¸a˜o e sentido. O vetor posic¸a˜o
para uma part´ıcula no plano xy pode ser escrito como
~r = xıˆ+ yˆ (3.6)
onde x, y e ~r mudam com o tempo enquanto a part´ıcula se move, mas ıˆ e ˆ permanecem
constantes (sa˜o os vetores unita´rios do nosso sistema de coordenadas!). Sabendo o vetor
posic¸a˜o, a velocidade da part´ıcula e´ determinada usando as equac¸o˜es (3.3) e (3.6):
~v = vxıˆ+ vy ˆ (3.7)
Como ~a e´ constante, suas componentes ax e ay tambe´m sa˜o constantes, e podemos apli-
car as equac¸o˜es da cinema´tica (cap´ıtulo anterior) para as componentes x e y do vetor
velocidade:
vxf = vxi + axt (3.8)
vyf = vyi + ayt (3.9)
Substituindo as equac¸o˜es acima em (3.7), temos que a velocidade final pode ser determi-
nada em qualquer instante de tempo t:
~vf = (vxi + axt)ˆı+ (vyi + ayt)ˆ
= (vxiıˆ+ vyiˆ) + (axıˆ+ ay ˆ)t
~vf = ~vi + ~at (3.10)
35
36 3.2. Movimento bidimensional com acelerac¸a˜o constante
O resultado acima diz que a velocidade de uma part´ıcula em qualquer instante t e´ igual a`
soma vetorial de sua velocidade inicial e o termo ~at, que e´ a velocidade adicional adquirida
no tempo t como resultado da acelerac¸a˜o constante.
Similarmente, para as coordenadas x e y teremos
xf = xi + vxit+
1
2
axt
2 (3.11)
yf = yi + vyit+
1
2
ayt
2 (3.12)
Substituindo as equac¸o˜es acima em (3.6) para ~rf :
~rf = (xi + vxit+
1
2
axt
2)ˆı+ (yi + vyit+
1
2
ayt
2)ˆ
= (xiıˆ+ yiˆ) + (vxiıˆ+ vyiˆ) +
1
2
(axıˆ+ ay ˆ)t
2
~rf = ~ri + ~vit+
1
2
~at2 (3.13)
Na figura 3.3 temos a representac¸a˜o gra´fica dos vetores ~rf e ~vf . Para simplificar o
desenho, colocamos ~ri = ~0, ou seja, em t = ti, a part´ıcula esta´ na origem do sistema de
coordenadas. Note que geralmente ~rf na˜o esta´ na direc¸a˜o de ~vi ou ~a, visto que a relac¸a˜o
entre essas quantidades e´ vetorial; o mesmo podemos dizer de ~vf em relac¸a˜o a ~vi ou ~a.
Tambe´m e´ importante observar que, em geral, ~rf e ~vf na˜o esta˜o na mesma direc¸a˜o.
Como (3.13) e (3.10) sa˜o expresso˜es vetoriais, sempre podemos escreveˆ-las na forma
de componentes:
~vf = ~vi + ~at
 vxf = vxi + axtvyf = vyi + ayt (3.14)
~rf = ~ri + ~vit+
1
2
~at2
 xf = xi + vxit+
1
2
axt
2
yf = yi + vyit+
1
2
ayt
2
(3.15)
36
3.3. Movimento de proje´til 37
Figura 3.3: Representac¸o˜es vetoriais e componentes de a) deslocamento e b) velocidade
de uma part´ıcula se movendo com uma acelerac¸a˜o uniforme ~a. Para simplificar o desenho,
colocamos ~ri = ~0.
A forma em componente destas equac¸o˜es nos mostra que em duas dimenso˜es com ace-
lerac¸a˜o constante temos dois movimentos independentes - um na direc¸a˜o x e outro na
direc¸a˜o y, tendo acelerac¸o˜es constantes ax e ay.
3.3 Movimento de proje´til
Se voceˆ ja´ observou o movimento de um objeto lanc¸ado no ar, enta˜o ja´ viu um movimento
de proje´til. O objeto se move numa trajeto´ria curva, e seu movimento e´ simples se fizermos
duas suposic¸o˜es: 1) a acelerac¸a˜o da gravidade ~g e´ constante sob todo o movimento e
e´ direcionada para baixo, e 2) o efeito da resisteˆncia do ar e´ desprez´ıvel. Com estas
suposic¸o˜es, encontramos que o movimento de um proje´til (ou sua trajeto´ria) e´ sempre
uma para´bola.
37
38 3.3. Movimento de proje´til
Figura 3.4: A trajeto´ria parabo´lica de um proje´til que deixa a origem com uma velocidade
~vi. O vetor velocidade ~v muda com o tempo tanto em magnitude quanto em direc¸a˜o e
sentido. Esta mudanc¸a e´ o resultado da acelerac¸a˜o na direc¸a˜o negativa de y. A componente
x da velocidade permanece constante no tempo pois na˜o ha´ acelerac¸a˜o ao longo da direc¸a˜o
horizontal. A componente y da velocidade e´ zero no pico da trajeto´ria.
Vamos enta˜o analisar a figura 3.4 para mostrar que a trajeto´ria de um proje´til e´ uma
para´bola. Escolhemos o sistema de coordenadas de tal forma que o eixo y esta´ na vertical
e a parte positiva e´ para cima. Como a resisteˆncia do ar e´ desprez´ıvel, sabemos que
ay = −g, como no movimento de queda livre unidimensional, e ax = 0. Vamos assumir
que em t = 0, o proje´til deixa a origem do sistema de coordenadas xi = yi = 0 com
velocidade vi, como mostra a figura 3.4. Tambe´m da figura temos que o vetor ~vi faz um
aˆngulo θi com a horizontal. Das definic¸o˜es de seno e cosseno, temos
38
3.3. Movimento de proje´til 39
cos θi =
vxi
vi
sen θi =
vyi
vi
(3.16)
o que nos fornece as componentes x e y da velocidade inicial:
vxi = vi cos θi
vyi = visen θi (3.17)
Substituindo a componente x na equac¸a˜o (3.15), com xi = 0 e ax = 0, temos
xf = vxit = (vi cos θi)t (3.18)
Fazendo a mesma coisa para a componente y, com yi = 0 e ay = −g, temos
yf = vyit+
1
2
ayt
2 = (visen θi)t− 1
2
gt2 (3.19)
Agora, isolamos t na equac¸a˜o (3.18):
t =
xf
(vi cos θi)
(3.20)
e substituimos em (3.19):
yf = (visen θi)
xf
(vi cos θi)
− 1
2
g
(
xf
(vi cos θi)
)2
yf = (tan θi)xf −
(
g
2v2i cos
2 θi
)
x2f (3.21)
e, de forma geral,
y = (tan θi)x−
(
g
2v2i cos
2 θi
)
x2 (3.22)
39
40 3.3. Movimento de proje´til
Esta equac¸a˜o e´ va´lida para aˆngulos de lanc¸amento entre 0 e pi/2 (0 < θi < pi/2; o que
acontece quando θi = pi/2?). A equac¸a˜o tem a forma y = ax − bx2, que e´ a equac¸a˜o de
uma para´bola que passa pela origem (ou seja, quando x = 0, y = 0). Portanto, mostramos
que a trajeto´ria de um proje´til e´ uma para´bola. Note que a trajeto´ria fica completamente
determinada se conhecermos a velocidade inicial vi e o aˆngulo de lanc¸amento θi.
A expressa˜o vetorial para o vetor posic¸a˜o do proje´til segue de (3.15), com ~ri = 0 e
~a = ~g:
~r = ~vit+
1
2
~gt2 (3.23)
Figura 3.5: O vetor posic¸a˜o ~r de um proje´til cuja velocidade inicial na origem e´ ~vi. O
vetor ~vit seria o deslocamento do proje´til se a gravidade estivesse ausente, e o vetor 1/2~gt
2
e´ seu deslocamento vertical devido a` acelerac¸a˜o gravitacional para baixo.
O movimento de um proje´til e´, na verdade, a superposic¸a˜o de dois movimentos: 1)
movimento de velocidade constante na direc¸a˜o horizontal e 2) movimento de queda livre
na direc¸a˜o vertical. As componentes horizontal e vertical do movimento do proje´til sa˜o
completamente independentes uma da outra.
40
3.3. Movimento de proje´til 41
3.3.1 Alcance horizontal e altura ma´xima de um proje´til
Figura 3.6: Um proje´til atirado a partir da origem em ti = 0 com uma velocidade inicial
~vi. A altura ma´xima do proje´til e´ h, e o alcance horizontal e´ R. Em A, o pico da trajeto´ria,
a part´ıcula tem coordenadas (R/2, h).
Vamos analisar o movimento do proje´til da figura 3.6. Ele e´ arremessado a partir da
origem em ti = 0 com uma componente positiva vyi. Dois pontos sa˜o de nosso interesse:
o ponto de pico A , cujas coordenadas cartesianas sa˜o (R/2, h), e o ponto B , no qual
as coordenadas sa˜o (R, 0). A distaˆncia R e´ chamada de alcance horizontal do proje´til e a
distaˆncia h e´ chamada de altura ma´xima. Queremos encontrar R e h em termos de vi, θi
e g.
No pico, vyA = 0, como no movimento de queda livre que vimos no cap´ıtulo anterior.
Podemos usar a equac¸a˜o (3.14) para encontrar tA, que e´ o tempo que o proje´til leva para
chegar ao pico:
vyf = vyi + ayt
0 = visen θi − gtA
tA =
visen θi
g
(3.24)
Na equac¸a˜o (3.15), parte de y, substituimos t por tA e yf = yA = h:
41
42 3.3. Movimento de proje´til
yA = vyitA +
1
2
ayt
2
A
h = (visen θi)
visen θi
g
− 1
2
g
(
visen θi
g
)2
h =
v2i sen
2 θi
2g
(3.25)
O alcance R e´ a distaˆncia horizontal que o proje´til percorre em duas vezes o tempo que
leva para chegar ao pico, isto e´, num tempo tB = 2tA. Usando a parte de x da equac¸a˜o
(3.15), notando que vxi = vxB = vi cos θi e colocando R ≡ xB em t = 2tA, encontramos
que
R = vxitB = (vi cos θi)2tA
= (vi cos θi)
2visen θi
g
=
2v2i sen θi cos θi
g
(3.26)
Usando a identidade trigonome´trica sen 2θ = 2sen θ cos θ, escrevemos R como
R =
v2i sen 2θi
g
(3.27)
Temos que ter em mente que as equac¸o˜es (3.25) e (3.27) sa˜o u´teis para calcular a altura
ma´xima e o alcance se conhecemos vi e θi, e se o proje´til aterrissa a` mesma altura em que
foi lanc¸ado.
Olhando para a equac¸a˜o (3.27), vemos que o valor ma´ximo que o alcance pode assumir
e´ Rmax = v
2
i /g, que ocorre quando sen 2θi = 1, ou seja, 2θi = 90
0, ou melhor, θi = 45
0.
A figura 3.7 mostra um proje´til sendo lanc¸ado em diversos aˆngulos iniciais, o que
comprova que o alcance ma´ximo e´ atingido quando θi = 45
0.
Dicas de resoluc¸a˜o de problemas de movimento de proje´til
Sugerimos que voceˆ use a seguinte estrate´gia quando for resolver problemas de movimento
de proje´til:
42
3.4. Movimento Circular Uniforme 43
Figura 3.7: Um proje´til atirado a partir da origem com uma velocidade inicial de 50 m/s
em va´rios aˆngulos de projec¸a˜o. Note que os valores complementares de θi resultam no
mesmo valor de x (alcance do proje´til).
• Selecione um sistema de coordenadas e resolva o vetor velocidade inicial nas com-
ponentes x e y.
• Siga as te´cnicas para resolver problemas de velocidade constante ao analisar o movi-
mento horizontal. Siga as te´cnicas de resoluc¸a˜o de problemas de acelerac¸a˜o constante
para analisar o movimento vertical. Os movimentos x e y compartilham o mesmo
tempo de voˆo t.
3.4 Movimento Circular Uniforme
A figura 3.8 mostra um carro se movendo numa trajeto´ria circular com velocidade linear
constante v. Tal movimento e´ chamado de movimento circular uniforme. Como a
direc¸a˜o do carro muda, o carro tem acelerac¸a˜o, que e´ a causa da mudanc¸a na direc¸a˜o do
vetor velocidade. Para qualquer movimento, o vetor velocidade e´ tangente a` trajeto´ria
43
44 3.4. Movimento Circular Uniforme
Figura 3.8: a) Um carro se movendo ao longo de uma trajeto´ria curva com velocidade
constante experimenta movimento circular uniforme. b) A` medida que a part´ıcula se move
de A para B, seu vetor velocidade muda de ~vi para ~vf . c) A construc¸a˜o para determinar
a direc¸a˜o da mudanc¸a na velocidade ∆~v, que esta´ na direc¸a˜o do centro do c´ırculo para
∆~r pequeno.
e, consequentemente, quando um objeto se move numa trajeto´ria circular, seu vetor ve-
locidade e´ perpendicular ao raio do c´ırculo. Mostraremos que o vetor acelerac¸a˜o num
movimento circular uniforme e´ sempre perpendicular a` trajeto´ria e sempre aponta na
direc¸a˜o do centro do c´ırculo. Uma acelerac¸a˜o desta natureza e´ chamada centr´ıpeta, e
sua magnitude e´
ar =
v2
r
(3.28)
sendo r o raio do c´ırculo e a notac¸a˜o ar indica que a acelerac¸a˜o e´ na direc¸a˜o radial.
De forma a derivar a expressa˜o (3.28), vamos olhar para a figura 3.8b, que mostra
uma part´ıcula primeiro na posic¸a˜o A e enta˜o no ponto B . A part´ıcula esta´ em A
no instante de tempo ti e sua velocidade e´ ~vi. Num instante de tempo posterior tf , a
part´ıcula encontra-se em B com velocidade ~vf . Assumindo que ~vi e ~vf diferem apenas
na direc¸a˜o, tendo as duas a mesma magnitude (vi = vf = v), vamos calcular a acelerac¸a˜o
da part´ıcula, primeiro usando a equac¸a˜o da definic¸a˜o da acelerac¸a˜o me´dia:
~¯a =
~vf − ~vi
tf − ti =
∆~v
∆t
(3.29)
44
3.5. Acelerac¸a˜o tangencial e radial 45
Vemos que precisamos calcular ~vf − ~vi = ∆~v, o que podemos fazer olhando para a figura
3.8b e 3.8c.
Agora considere o triaˆngulo que tem lados ∆r e r na figura 3.8b; ele e´ similar ao
triaˆngulo da figura 3.8c, de lados ∆v e v, pois ambos sa˜o iso´sceles (dois lados iguais) e
teˆm o aˆngulo ∆θ (a mudanc¸a angular nos vetores posic¸a˜o e velocidade deve ser a mesma,
pois eles devem permanecer mutuamente perpendiculares!). Assim, podemos escrever
∆v
v
=
∆r
r
(3.30)
que e´ uma relac¸a˜o de proporcionalidade entre os dois triaˆngulos. Resolvendo a equac¸a˜o
para ∆v,
∆v = v
∆r
r
(3.31)
e substituindo a expressa˜o em a¯ = ∆v/∆t, temos
a¯ =
v∆r
r∆t
(3.32)
Agora imagine que A e B esta˜o muito pro´ximos. Assim, ∆~v fica direcionada para o
centro da trajeto´ria. Ale´m disso, por estarem pro´ximos, ∆t → 0, e assim ∆r/∆t tende
ao valor da velocidade instantaˆnea v. Portanto, no limite em que ∆t→ 0,
ar =
v2
r
e a direc¸a˜o da acelerac¸a˜o centr´ıpeta e´ radial.
3.5 Acelerac¸a˜o tangencial e radial
Vamos considerar o movimento de uma part´ıcula numa trajeto´ria curva onde a velocidade
muda tanto em direc¸a˜o quanto em magnitude, como na figura 3.9. Como sempre, o vetor
velocidade e´ tangente a` trajeto´ria, mas agora a direc¸a˜o do vetor acelerac¸a˜o muda ponto
45
46 3.5. Acelerac¸a˜o tangencial e radial
Figura 3.9: O movimento de uma part´ıcula ao longo de uma trajeto´ria curva arbitra´ria
que se encontra no plano xy. Se o vetor velocidade ~v (sempre tangente a` trajeto´ria) muda
em direc¸a˜o e magnitude, as componentes vetoriais da acelerac¸a˜o ~a sa˜o uma componente
tangencial at e uma componente radial ar.
a ponto. Este vetor pode ser decomposto em duas componentes: uma componente radial
~ar (ou seja, com direc¸a˜o ao longo do raio da curva) e uma componente tangencial ~at (ou
seja, com direc¸a˜o tangente a` trajeto´ria). Assim,
~a = ~ar + ~at (3.33)
A acelerac¸a˜o tangencial e´ responsa´vel por mudar a magnitude da velocidade da part´ıcula,
e e´ paralela a` velocidade instantaˆnea. Sua magnitude e´
at =
d|~v|
dt
(3.34)
Ja´ a acelerac¸a˜o radial surge por causa da mudanc¸a de direc¸a˜o do vetor velocidade, como
vimos na sec¸a˜o anterior. Sua magnitude e´ dada pela equac¸a˜o (3.28), onde r neste caso e´
o raio de curvatura da trajeto´ria no ponto em questa˜o, e sua direc¸a˜o e´ sempre apontando
para o centro da curvatura, como mostra a figura 3.9. Temos que, pelo teorema de
Pita´goras (ver 3.9),
46
3.5. Acelerac¸a˜o tangencial e radial 47
|~a|2 = |~ar|2 + |~at|2 → |~a| =
√
|~ar|2 + |~at|2 (3.35)
Temos que, no movimento circular uniforme visto na sec¸a˜o anterior, v e´ constante e,
portanto, at = 0, pois na˜o ha´ mudanc¸a de valor na magnitude da velocidade. Portanto, o
movimento circular uniforme e´ um caso especial do movimento ao longo de uma trajeto´ria
curva. Ale´m disso, se a direc¸a˜o do vetor velocidade na˜o muda, enta˜o na˜o ha´ acelerac¸a˜o
radial (ar = 0) e o movimento e´ unidimensional (at pode na˜o ser zero).
Figura 3.10: a) Descric¸o˜es dos vetores unita´rios rˆ e θˆ. b) A acelerac¸a˜o total ~a de uma
part´ıcula se movendo ao longo de uma trajeto´ria curva (que, a qualquer instante, e´ parte
de um c´ırculo de raio r) e´ a soma das componentes radial e tangencial. A componente
radial e´ direcionada para o centro da curvatura. Se a componente tangencial da acelerac¸a˜o
se torna zero, a part´ıcula segue movimento circular uniforme.
Tambe´m podemos escrever a acelerac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula num trajeto´ria
curva em termos dos vetores unita´rios rˆ e θˆ, como mostra a figura 3.10. Vemos que rˆ
e´ um vetor unita´rio (mo´dulo 1) na direc¸a˜o do vetor radial para fora do c´ırculo e que θˆ
e´ um vetor unita´rio tangente ao c´ırculo, na direc¸a˜o em que θ aumenta, sendo que θ e´
47
48 3.6. Velocidade relativa e acelerac¸a˜o relativa
medido no sentido anti-hora´rio a partir da parte positiva do eixo x. Ambos rˆ e θˆ variam
no tempo, pois se movem junto com a part´ıcula.