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Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
ITEM 3 - 
ESTRUTURA CRISTALINA 
1 
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3. ESTRUTURA CRISTALINA 
3.1 INTRODUÇÃO 
3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
3.3 CÉLULAS UNITÁRIAS 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.5 METAIS 
3.6 CRISTAIS IÔNICOS 
3.7 CRISTAIS COVALENTES 
3.8 POLÍMEROS 
3.9 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
2 
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3.1 INTRODUÇÃO 
3 
A palavra estrutura vem do latim structura, derivada do verbo struere, construir  
significa organização das partes ou dos elementos que formam um todo. 
 Robert Hooke em 1665, no seu livro Micrographia, foi um dos primeiros a 
estabelecer relações entre a forma externa de um cristal e sua estrutura interna. 
 Em 1784, o francês René Just Haüy propôs, no seu livro Essai d’une théorie sur la 
structure des cristaux, que os cristais poderiam ser entendidos como um 
empacotamento de unidades romboédricas que ele denominou “molécules 
intégrantes”. 
 A evidência experimental inequívoca da existência de estrutura cristalina nos 
cristais só aconteceu em 1912 com a difração de raios x. 
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3.1 INTRODUÇÃO 
• As propriedades de materiais estão diretamente 
associadas à sua estrutura cristalina. 
Ex.: Magnésio e berílio que têm a mesma estrutura 
(HC) se deformam muito menos que ouro e prata 
(CFC) que têm outra estrutura cristalina. 
• Explica a diferença significativa nas propriedades de 
materiais cristalinos e não cristalinos de mesma 
composição. 
Ex.: Materiais transparentes, translúcidos opacos e 
não-cristalinos. 
• As propriedades dos materiais sólidos cristalinos 
depende da estrutura cristalina, ou seja, da maneira na 
qual os átomos, moléculas ou íons estão espacialmente 
dispostos. 
Importância da estrutura 
cristalina 
Grande parte da diferença das propriedades dos materiais é de 
interesse tecnológico, assim as diferenças na estrutura cristalina é de 
grande importância na Engenharia. 
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diferença no 
comportamento mecânico 
de um material sólido é 
definida no arranjo atômico, 
e consequentemente na sua 
estrutura cristalina. 
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3. ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
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Os materiais podem ser classificados de acordo com a regularidade pela 
qual seus átomos estão arranjados uns em relação aos outros. 
Cristal Vidro Gás 
Ordem a longo 
alcance 
Ordem a curto 
alcance 
Sem ordenamento 
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3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
6 
Em gases, como o Ar e outros gases nobres. 
 3.2.1 Sem Ordem 
Se confinados, os gases não apresentarão 
nenhuma ordem entre seus átomos constituintes. 
Argônio Hélio 
• Nas condições normais de pressão e temperatura, contém cerca 
de 1019 átomos/cm3. 
Os átmos não 
matém 
relações 
estreitas uns 
com os outros 
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3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
7 
3.2.2 Ordenamento a curto alcance 
• Ângulos, distâncias e simetria com ordenação 
a curto alcance. 
• Ocorre na H2O, que apresenta uma orientação 
preferencial, no SiO2 e no polietileno. 
em materiais não-cristalinos ou amorfos 
H2O SiO2 
Um líquido contém 
cerca de 
1022 átomos/cm3. 
Os átomos 
matém 
relações um 
pouco mais 
estreitas com 
átomos 
adjacentes. 
Essa ordenação 
ocorre entre 
poucos átomos 
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3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
8 
3.2.3 Ordem a longo alcance 
Material cristalino 
 Átomos ordenados em longas distâncias atômicas 
 formam uma estrutura tridimensional 
Rede cristalina 
• Na solidificação, os átomos se 
posicionam em um padrão 
tridimensional repetitivo, no qual cada 
átomo está ligado aos seus átomos 
vizinhos mais próximos. 
• Um cristal contém cerca de 
1023 átomos/cm3. 
Esse tipo relação 
entre os átomos vai 
ser repetir ao longo 
de todo o material 
 formando uma 
estrutura ordenada 
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O arranjo mais estável dos átomos em um 
cristal será aquele que minimiza a energia 
livre por unidade de volume ou, aquele que: 
• preserva a neutralidade elétrica; 
• satisfaz o caráter direcional das ligações 
covalentes; 
• minimiza as repulsões íon-íon; 
• agrupa os átomos o mais compactamente 
possível. 
Metais, muitas cerâmicos e alguns polímeros formam estruturas 
cristalinas sob condições normais de solidificação. 
3.2.3 Ordem a longo alcance 
3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
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3.2.3 Ordem a longo alcance 
• A rede cristalina é formada por átomos se repete regularmente 
REDE: conjunto de pontos 
espaciais que possuem 
vizinhança idêntica. 
Na rede a relação com vizinhos é constante: 
- simetria com os vizinhos; 
- distâncias define o parâmetro de rede; 
- ângulos entre arestas 
Exemplo esquemático de rede 
PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL 
3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
Na descrição das estruturas cristalinas, os átomos são considerados como esferas sólidas com diâmetros bem definidos  
conhecido como o modelo atômico da esfera rígida, no qual as esferas que representam os átomos vizinhos mais próximos se 
tocam umas nas outras. 
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Como os cristais se formam? 
3.2.3 Ordem a longo alcance 
Por solidificação ou por saturação de uma solução. 
Mais baixa energia livre 
Maior empacotamento 
SOLIDIFICAÇÃO: Cristais se formam no 
sentido contrário da retirada de calor 
SATURAÇÃO DE UMA SOLUÇÃO: À 
medida que a água evapora, vai 
aumentando a concentração de sal até 
um ponto em que ele começa a 
precipitar na forma de cristais. 
3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
12 
A ordem dos átomos nos sólidos 
cristalinos indica que pequenos 
grupos de átomos formam um 
padrão repetitivo. 
A célula unitária é menor porção da 
rede cristalina que retém as 
características de toda a rede. 
Ao descrever as estruturas cristalinas, 
é frequentemente conveniente 
subdividir a estrutura em pequenas 
unidades que se repetem, as 
chamadas células unitárias. 
Exemplo esquemático de rede 
Os vértices do 
paralelepípedo devem 
coincidir com os centros 
dos átomos, 
representados como 
esferas rígicas 
Esferas rígidas 
Esferas reduzidas 
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existem diferentes tipos de células 
unitárias, que dependem da relação 
entre seus ângulos e arestas. 
CÉLULA UNITÁRIA 
Geometria da célula unitária: 
 
• Sistema de coordenadas xyz que tem sua 
origem localizada em um dos vértice da 
célula unitária; 
• cada um dos eixos x, y e z coincide com 
uma das três arestas do paralelepípedo, 
que se estendem a partir desse vértice. 
A geometria é completamente definida em 
termos de seis parâmetros: 
• os comprimentos das três arestas, a, b e c, 
e os três ângulos entre os eixos α, β, e γ. 
 
Parâmetros de rede cristalina 
Uma célula unitária com os eixos coordenados x, y e z, mostrando os 
comprimentos axiais (a, b e c) e os ângulos entre os eixos (α, β, e γ) 
3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
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Com base nesse princípio, existem sete possíveis combinações 
diferentes de a, b e c, e α, β, e γ, cada uma das quais representa um 
sistema cristalino ou redes de Bravais distinto. 
Sete sistemas cristalinos ou redes de Bravais : 
Cúbico; 
 Tetragonal; 
 Hexagonal; 
 Romboédrico (triagonal); 
 Ortorrômbico; 
 Monoclínico e; 
 Triclínico. 
3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
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O sistema cúbico possui o 
maior grau de simetria 
O sistema triclínico possui o 
menor grau de simetria 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
• 7 sistemas cristalinos 
• 14 redes de Bravais 
Metais cristalizam 
preferencialmente: 
 hexagonal 
 CCC 
 CFC 
 CS  muito raro 
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Estrutura cristalina dos principais metais puros 
3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
18 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
• Quando os cubos agrupam-se 
para formar um cristal 
tridimensional de um metal, o 
átomo em cada vétice é 
compartilhado por 8 cubos. 
• Apenas 1/8 de cada átomo do 
vértice faz parte de uma 
determinada célula unitária. 
Átomo da face centrada: 
partilhado por duas células 
unitárias  o átomo é 
compartilhado por 2 cubos. 
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3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Cúbico Simples 
(CS) 
Cúbico Corpo Centrado 
(CCC) 
Cúbico Face centrada 
(CFC) 
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3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina 
por célula no sistema cristalino cúbico simples. 
CS  
8 vértices de um cubo 
1/8 de cada átomo do vértice dentro da célula unitária 
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3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 2: Determine o número de átomos da rede cristalina 
por célula no sistema cristalino Cúbico Corpo Centrado. 
CCC  
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3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 2: Determine o número de átomos da rede cristalina 
por célula no sistema cristalino Cúbico Face centrada. 
CFC  
8 vértices de um cubo 
1/8 de cada átomo do vértice dentro da célula unitária 
6 faces de um cubo 
½ de cada átomo da 
face dentro célula 
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3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 2: Determine o número de átomos da rede cristalina 
por célula no sistema cristalino Hexagonal. 
HC  
12 vértices de um hexagono 
1/6 de cada um dos 12 átomos localizados nos vértices superior e inferior 
2 faces (sup. e inf) 
½ de cada átomo da 
face 
• As faces superior e 
inferior são compostas 
por 6 átomos, que 
envolvem 1 único 
átomo central; 
• Plano central contendo 
3 átomos 
 
 
3 átomos centrais 
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3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
• Determina-se primeiramente como os átomos que estão em 
contato (direção de empacotamento fechado, ou de maior 
empacotamento) 
Geometricamente determina-se a relação entre o raio atômico 
(r) e o comprimento da aresta de uma célula unitária (a). 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
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3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exemplo 1: Determine a relação entre o raio atômico (r) e o 
comprimento da aresta do cubo (a) para a célula unitária do 
sistema cristalino cúbico simples (CS). 
CÚBICO SIMPLES (CS) 
a = 2r 
a = r + r 
Contato entre os átomos ocorre 
através da aresta da célula unitária, 
a e r estão relacionados por: 
a 
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3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico (r) e o 
comprimento da aresta do cubo (a) para a célula unitária do 
sistema cristalino cúbico de face centrada (CFC). 
CÚBICO DE FACE CENTRADA (CFC) 
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal da face da 
célula unitária 
a 
a 
A partir do triângulo da face, 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
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3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exemplo 3: Determine a relação entre o raio atômico (r) e o 
comprimento da aresta do cubo (a) para a célula unitária do 
sistema cristalino cúbico de corpo centrado (CCC). 
CÚBICO DE CORPO CENTRADO (CCC) 
Os átomos no centro e nos vértices 
se tocam uns aos outros ao longo 
das diagonais do cubo 
Diagonal face 
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3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exemplo 4: O raio atômico do ferro é 1,24 Å Calcule o parâmetro 
de rede do Fe CCC e CFC. 
Fe CCC Fe CFC 
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3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exercício 1: O raio atômico do alumínio é 0,1431 nm. Calcule o 
parâmetro de rede do AlCFC. (Resposta em angstrom). 
Exercício 2: O raio atômico do cobre é 0,1278 nm. Calcule o 
parâmetro de rede do CUCFC. 
Exercício 3: O raio atômico do cromo é 0,1249 nm. Calcule o 
parâmetro de rede do CrCCC. 
Exercício 3: O raio atômico do molobdênio é 0,1363 nm. Calcule o 
parâmetro de rede do MoCCC. 
 
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3.3.3 Número de coordenação 
30 
CÚBICO SIMPLES 
NC = 6 
O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos ou átomos em contato. 
 Depende: (i) da covalência: o número de ligações covalentes que um átomo pode compartilhar; 
(ii) do fator de empacotamento cristalino. 
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3.3.3 Número de coordenação 
31 
CÚBICO DE CORPO CENTRADO 
NC = 8 
Cada átomo central possui 
8 átomos localizados 
vértices como seus vizinhos 
mais próximos. 
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3.3.3 Número de coordenação 
32 
CÚBICO DE FACE CENTRADA 
NC = 12 
O átomo na face forntal possui como 
vizinhos: 
• 4 átomos localizados nos vértices ao 
seu redor; 
• 4 átomos localizados nas faces em 
contato pelo lado de trás; 
• 4 átomos de faces equivalentes 
posicionados na célula dianteira a sua. 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.3 Número de coordenação 
33 
HEXAGONA COMPACTO 
NC = 12 
• Cada átomo toca 3 átomos no seu 
nível inferior; 
• 6 no seu próprio plano e 
• 3 no nível superior ao seu 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.4 Fator de empacotamento 
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Fator de empacotamento é a fração de volume da célula 
unitária efetivamente ocupada por átomos, assumindo que os 
átomos são esferas rígidas. 
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FEACFC = (n° átomos / célula) * volume cada átomo = (4 átomos / célula) * 4/3pr
3 = 4 * 4/3pr3 = 4 . 4/3pr3 = 0,74 ou 74% 
 volume da célula unitária a3 (4r/21/2)3 64.r3/(21/2)3 
3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.4 Fator de empacotamento 
35 
Exemplo: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico (CS, 
CFC e CCC). 
CS 
CCC 
CFC 
FEACS = (n° átomos / célula) * volume cada átomo = (1 átomo / célula) * 4/3pr
3 = 1 * 4/3pr3 = 4/3pr3 = 0,52 ou 52% 
 volume da célula unitária a3 (2r)3 8.r3 
FEACCC = (n° átomos / célula) * volumecada átomo = (2 átomos / célula) * 4/3pr
3 = 2 * 4/3pr3 = 2 * 4/3pr3 = 0,68 ou 68% 
 volume da célula unitária a3 (4r/31/2)3 64.r3/(31/2)3 
Volume para uma esfera: 4/3πr3 
a  comprimento da aresta 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.5 Densidade 
36 
A medida da densidade do sólido determina o tipo de célula unitária adotado 
por um metal 
• A melhor maneira de determinar o tipo de célula unitária adotada por um 
metal é a difração de raios X  que dá uma figura de difração característica 
para cada tipo de célula unitária. 
• As densidades das células unitárias possíveis são calculadas e comparadas 
com os resultados experimentais para determinar qual estrutura explica a 
densidade observada. 
• A densidade pode ser usada para distinguir as estruturas existentes. 
• A densidade é uma propriedade intensiva, e por isso não depende do 
tamanho da amostra  é a mesma para a célula unitária e para o corpo do 
sólido. 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.5 Densidade 
37 
A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as propriedades 
da estrutura cristalina. 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.5 Densidade 
38 
Exemplo 1: Determine a densidade do Fe CCC, que possui um peso 
atômico de 55,85 g/mol e um raio atômico de 0,1241 nm. 
Resposta: 7,88 g/cm3 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.5 Densidade 
39 
Exemplo 1: Determine a densidade do Cu CFC, que possui um peso 
atômico de 63,5 g/mol e um raio atômico de 0,128 nm. 
Resposta: 8,89 g/cm3 
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3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
Resumo: 
Átomos por 
célula 
Número de 
coordenação 
Parâmetro 
 de rede, a 
Fator de 
empacotamento 
CS 1 6 2r 0,52 
CCC 2 8 0,68 
 
CFC 4 12 
0,74 
 
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41 
3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.6 Alotropia ou transformações polimórficas 
• Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura 
cristalina, um fenômeno conhecido como polimorfismo. 
• Quando encontrada em sólidos elementares, essa condição é 
denominada alotropia. 
• A estrutura que prevalece depende da temperatura e pressão 
externa. 
Geralmente as transformações polimórficas são 
acompanhadas de mudanças na densidade e mudanças de 
outras propriedades físicas. 
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42 
3.3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.6 Alotropia ou transformações polimórficas 
Exemplos 
Carbono 
Grafite: estável sob condições ambientes 
Diamante: formado sob 
pressões extremamente 
elevadas 
Hexagonal 
Cúbico 
Fe 
CCC à temperatura ambiente 
CFC à temperatura de 912 ºC 
SiC (chega a ter 20 modificações cristalinas) 
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43 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
• Ao lidar com materiais cristalinos, é necessário especificar um ponto 
particular no interior de uma célula unitária, uma direção cristalográfica 
ou planos cristalográficos de átomos. Para isso utiliza-se um sistema 
conhecido como índices de Miller. 
• A base para a determinação dos índices de Miller é a célula unitária, 
com um sistema de coordenadas, para a direita, que consiste em três 
eixos (x, y e z) com origem em um dos vértices. 
 As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o 
módulo de elasticidade do FeCCC é maior na diagonal do cubo que 
na direção da aresta. 
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44 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
• A posição de qualquer ponto localizado no interior de uma célula 
unitária pode ser especificada em termo das suas coordenadas, isto é, 
em termos de a, b e c: 
3.4.1 Coordenadas dos pontos 
Considere o ponto P na célula unitária 
• A posição P pode ser especificada em 
termos das coordenadas genéricas 
q, r e s, na qual: 
 q é algum comprimento fracionário de 
a ao longo do eixo x. 
 r é algum comprimento fracionário de 
b ao longo do eixo y. 
 s é algum comprimento fracionário de 
c ao longo do eixo z. 
• A posição de P é designada usando 
as coordenadas q r s com valores 
menores ou iguais à unidade. 
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45 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Para a célula unitária da Fig. (a), localize o ponto com coordenadas: ¼ 1 ½ 
3.4.1 Coordenadas dos pontos 
Comprimentos das arestas: 
• a = 0,48 nm 
• b = 0,46 nm 
• c = 0,40 nm 
Comprimentos fracionáris são: 
• q = ¼ 
• r = 1 
• s = ½ 
Movimento a partir do ponto M 
• qa = ¼ (0,48 nm) = 0,12 nm no eixo x  N 
• rb = 1 (0,46 nm) = 0,46 nm no eixo y N  O 
• sc = ½ (0,40 nm) = 0,20 nm no eixo z O  P 
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46 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Especifique as coordenadas dos pontos para todas as posições em uma 
célula unitária CCC 
3.4.1 Coordenadas dos pontos 
Coordenadas dos pontos: 
1  0 0 0, essa posição está 
localizada na origem do 
sistema de coordenadas; 
2  1 0 0 
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47 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Especifique as coordenadas dos pontos para todas as posições em uma 
célula unitária CCC 
3.4.1 Coordenadas dos pontos 
Exercícios 
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48 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
 Algumas direções da célula unitária são de particular importância, 
por exemplo os metais se deformam ao longo da direção de maior 
empacotamento. 
 Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do 
cristal em que se encontram e são medidas. 
 Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas 
direções. 
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Para cada um dos 3 eixos existirão tanto coordenadas positivas quanto negativas. Por 
ex., a direção [1 1 1] tem um componente na direção –y. 
49 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois 
pontos, ou um vetor. Três etapas são consideradas para determinar os 
três índices de Miller: 
ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES: 
1. Definir dois pontos por onde passa a direção 
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM 
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre o n°. 
x y z 
[u v w] 
x y z 
[u v w] 
- 
- 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
50 
As direções [100], [110] e [111] são 
direções usuais 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
51 
Exemplo 1: Determine os Índices de Miller das direções A 
da figura abaixo. 
Direção A: 
1. Alvo = 1, 0, 0; origem = 0, 0, 0 
2. Alvo - origem = 1, 0, 0 
3. sem frações 
4. [1 0 0] A 
1 0 0 
0 0 0 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
52 
Exemplo 2: Determine os Índices de Miller das direções B 
da figura abaixo. 
B 
1 1 1 
0 0 0 
Direção B: 
1. Alvo = 1,1,1; origem = 0, 0, 0 
2. Alvo - origem = 1, 1, 1 
3. sem frações 
4. [1 1 1] 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
53 
Exemplo 3: Determine os Índices de Miller das direções C 
da figura abaixo. 
C 
0 0 1 
½ 1 0 
Direção C: 
1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0 
2. Alvo - origem = -1/2, -1, 1 
3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 
4. [1 2 2] 
- - 
Redução aos 
menores números 
inteiros 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
54 
Exemplo 4: Determine os Índices de Miller para a direção 
da figura abaixo. 
1. alvo= ½ , 1, 0; origem = 0, 0, 0 
2. Alvo - origem = 1/2, 1, 0 
3. 2 (1/2, 1, 0) = 1, 2, 0 
4. [1 2 0] 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
55 
Exemplo 5: Desenhe uma direção [1 1 0] em uma célula 
unitária cubica. 
- 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
56 
Exemplo 5: Desenhe uma célula ortorrômbica e no interior 
dessa célula represente uma direção [1 2 1]. 
- 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
57 
Exemplo 6: Quais os índices de Miller para as direções 
indicadas pelos dois vetores no desenho: 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
58 
 Algumas observações: 
 - direção e suas múltiplas são idênticas [111]  [222]; 
 - índices de Miller simétricos não são da mesma direção 
 (direções e suas negativas não são idênticas) [111]  [111]; 
 
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos 
tem mesma simetria. 
Nos cristais 
cúbicos todas 
as direções 
representadas 
pelos seguintes 
índices são 
equivalentes 
Família 
<100> 
- 
- 
- 
Família 
<110> 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
Para o sistema cúbico: 
 A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam 
agrupadas: 
 Família de direções: <100> para as faces 
<110> para as diagonais das faces 
<111> para a diagonal do cubo 
CCC 
Família de direções <111> 
 empacotamento 
 atômico fechado 
CFC 
Família de direções <110> 
 empacotamento 
 atômico fechado 
59 
x 
y 
z 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
 A equivalência direcional está relacionada à densidade linear no sentido 
de que, para um material específico, as direções equivalentes possuem 
densidades lineares idênticas. 
DENSIDADE LINEAR (DL): É o número de átomos, por 
unidade de comprimento, cujos centros estão sobre o 
vetor direção para uma direção cristalográfica específica. 
60 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
61 
Exemplo 1: Determinar a densidade linear da direção [110] para a 
estrutura cristalina CFC. 
Célula CFC e a 
direção [110] no seu 
interior 
5 átomos que estão 
na face inferior da 
célula unitária CFC 
• Existe o equivalente a 2 átomos ao longo do vetor direção [110] 
• O comprimento do vetor é igual 4r 
• Logo: 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
62 
Exemplo 2: Determinar a densidade linear da direção [100] para a 
estrutura cristalina CFC. 
½ 
 
½ 
 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
63 
Exercício: 
1. Calcular a densidade linear na direção [110] para o Cobre. 
2. Calcular a densidade linear na direção [100] para o Cobre. 
 
 
 
Dados: Cu  CFC 
 r  0,1278 nm 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
64 
Exemplo 2: Calcular a densidade linear na direção [100] para o 
potássio (KCCC). 
Dados: K  CCC 
 r  0,2312 nm 
Resposta: 1,87 átomos/nm 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
65 
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO (Dr): De 
quanto em quanto se repete o centro 
de um átomo. É o inverso da densidade 
linear. 
FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está 
definitivamente coberta por átomos. 
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Distância de repetição, Dr 
 
 
 
o centro do átomo se 
repete a cada diagonal 
do cubo 
 
 
Dr
2 = a2 + a2 +a2 
Dr = a√3
 
Dr = 3,6151 √3 
Dr = 6,26 Å
 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
66 
Exemplo 1: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (a=3,6151 Å) 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Densidade linear, DL 
 
 
número de átomos, por 
unidade de comprimento 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária ou direções cristalográficas 
67 
Exemplo 1: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (a=3,6151 Å) 
Fator de empacotamento, FE 
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3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
68 
 Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e o 
comportamento de um material. 
 Os Índices de Miller também são determinados para planos. 
 
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS: 
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z. 
2. Calcular os valores inversos dos números obtidos. 
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre este n°: 
OBS.: Se o plano passa através da origem que foi selecionada, uma nova origem deve 
ser estabelecida no vértice de uma outra célula unitária. 
(h k l) 
x y z 
1. 1 1 1 
2. 1/1 1/1 1/1 
3. Não tem frações 
4. (1 1 1) 
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Exemplo 1: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da figura abaixo. 
Plano A: 
1. 1 1 1 
2. 1/1 1/1 1/1 
3. Não tem frações 
4. (1 1 1) 
Plano B: 
1. 1 2  
2. 1/1 1/2 1/ 
3. 2 1 0 
4. (2 1 0) 
Plano C: passa pela 
origem (x’, y’, z’) 
1.  -1  
2. 1/  1/-1 1/ 
3. 0 -1 0 
4. (0 1 0) 
69 
Plano B: 
1. 1 2  
2. 1/1 1/2 1/ muplicar por 2 
3. 2 1 0 
4. (2 1 0) 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
- 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplo 2: Determine os Índices de Miller para o plano mostrado abaixo. 
70 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplo 3: Construa um plano (011) em uma célula unitária cúbica. 
71 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
- 
Primeiro deve-se executar o procedimento empregado no exemplo anteriro na 
ordem inversa: 
• Os índices são removidos dos parênteses e seus valores inversos são 
determinados (∞, -1,1); 
• Isso significa que o plano em questão é paralelo ao eixo x, ao mesmo tempo 
que intercepta os eixos y e z em –b e c, respectivamente. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
72 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Observações importantes: 
• Iguais Índices de Miller para 
direção e plano, significa que estes 
apresentam perpendicularidade. 
Exemplo: (1 0 0) ┴ [1 0 0] 
 
• Índices de Miller simétricos são o 
mesmo plano, depende apenas do 
referencial (planos e seus negativos 
são idênticos). 
Exemplo: (0 2 0) ≡ (0 2 0) 
 
• Planos e seus múltiplos não são 
idênticos (densidade planar 
diferente). 
- 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
73 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
 Caracterização de planos em um cristal: densidade planar, fator de 
empacotamento e distância entre planos. 
DENSIDADE PLANAR (DP): Número de átomos por unidades de 
área, os quais estão centrados em um plano cristalográfico 
particular: 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
74 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Exemplo 1: Calcule a densidade planar do plano (110) no interior de uma 
célula unitária CFC. 
(110) 
r r 2r 
a 
• 2 átomos estão sobre o plano 
(110): 
 ¼ de cada um dos átomos 
A, C, D e F, e 
 ½ dos átomos B e E (total de 
2 átomos 
• A área dessa seção retangular 
é igual ao produto do seu 
comprimento (4r) pela sua 
largura (a=2r√2  comprimento 
da aresta CFC) 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
75 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Exemplo 1: Calcule a densidade planar para o plano (1 1 0) do Cu CFC 
(110) 
r r 2r 
a 
Dado: a= 0,362 nm 
Relação entre r e a na CFC: 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
76 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR (FEP): É quanto da área está 
efetivamente coberta por átomos. 
Exemplo: calcule o fator de empacotamento planar para o plano (1 1 0) do Cu CFC. 
Dado: a= 0,362 nm 
Resposta = FEP = 0,55 ou 55%.
 
(110) 
r r 2r 
a 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
77 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Exemplo: Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar para os planos 
(0 1 0) e (0 2 0), para o sistema cúbico simples do polônio, o qual tem a = 0,334 nm. 
(010) 
(020) 
r r 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Para o sistema cúbico. 
Exemplo: Calcule a distância interplanar entre dois planos adjacentes (1 1 0) para o Au CFC. 
Dado: a= 0,408 nm. 
78 
3.4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
DISTÂNCIA INTERPLANAR: Distância de 2 planos com mesmos índices de Miller. 
a  é o parâmetro de rede (comprimento da aresta da célula unitária) 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
79 
• Para cristais hexagonais, algumas direções 
cristalográficas equivalentes não possuirão o 
mesmo conjunto de índices. Isso é resolvido com 
um sistema de coordenadas com 4 eixos, ou de 
Miller-Bravais: 
Os 3 eixos a1, a2 e a3 estão contidos em um único 
plano (Plano basal) e forma um ângulo de 120º 
entre si; 
O eixo z é perpendicular a esse plano basal 
• Os índices direcionais são representados por 4 
índices, no formato [uvtw] 
 
• A conversão do sistema de 3 índices para o 4: 
 [u’v’w’]  [uvtw] 
Os 3 primeiros índices 
pertencem às projeções ao 
longo dos respectivos eixos a1, 
a2 e a3  x, y e z, 
repspectivamente 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
80 
Direção [A] 
[1100] 
- 
Direção [B] 
[1120] 
- 
Direção [C] 
[0001] 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
81 
Direção [A] 
[1100] 
- 
Direção [B] 
[1120] 
- 
Direção [C] 
[0001] 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Exemplo: Determine os índices de Miller para a direção D 
Direção D: 
4. [1 1 0 0] 
82 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
Direção C: 
[2 1 1 3] 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Exemplo: Determine os índices de Miller para a direção mostrada na figura 
abaixo. 
83 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
[0 1 1 0] 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
84 
Exemplo: Determine os índices de Miller para a direção mostrada na figura 
abaixo. 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
[0 2 1 0] 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
85 
Exemplo: Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura 
abaixo. 
Plano A: 
(0 0 0 2) 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
86 
Exemplo: Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura 
abaixo. 
Plano A: 
(0 0 0 1) 
Plano B: 
(1 1 2 1) 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
87 
Exemplo: Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura 
abaixo. 
Plano A: 
(1 1 0 1) 
[uvtw]  a1, a2, a3, z 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.5 Estruturas cristalinas compactas 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
• Os metais com estruturas CFC e HC 
possuem um FE de 0,74; 
 é o empacotamento mais eficiente 
de átomos com mesmo tamanho. 
• Além das representações das células 
unitárias, essas duas estruturas podem ser 
descritas em termos dos planos 
compactos de átomos. 
88 
Uma fração de um plano compacto de 
átomos 
A  os centros dos átomos em um plano 
compacto. Associados a esse plano existem 2 
conjuntos de depressões triangulares 
equivalentes, formadas por 3 átomos adjacentes, 
nos quais o próximo plano compacto de átomos 
pode se apoiar. 
Sequência de empilhamento AB para 
planos atômicos compactos 
Centros dos átomos sobre os sítios B 
Um segundo plano compacto pode ser posicionado 
com os centros dos seus átomos tanto sobre os sítios 
marcados com a letra B quanto sítios marcados com a 
letra C. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
A distinção entre as estruturas CFC e HC está no local onde a terceira camada 
compacta está posicionada. 
89 
Sequência de empilhamento de planos 
compactos para a estrutura hexagonal 
• Os centros da terceira camada estão 
alinhados diretamente sobreas 
posições A originais, com sequencia 
de empilhamento: ABABAB... 
• Um arranjo ACACAC... seria 
equivalente 
A A 
3.4.5 Estruturas cristalinas compactas 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
A distinção entre as estruturas CFC e HC está no local onde a terceira camada 
compacta está posicionada. 
90 
Sequência de empilhamento de planos 
compactos para a estrutura CFC 
• Os centros do terceiro plano estãolocalizados sobre os sítios C do 
primeiro plano, com uma sequência 
de empilhamento: ABCABCABC… 
3.4.5 Estruturas cristalinas compactas 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.1 Monocristais 
3-5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
Em um sólido cristalino, quando o arranjo periódico e repetido dos átomos é 
perfeito ou se estende por toda a amostra, sem interrupções, o resultado é um 
monocristal. 
91 
• Todas as células unitárias interligam-se 
da mesma maneira e possuem a mesma 
orientação. 
• Os monocristais existem na natureza, mas 
também podem ser produzidos 
artificialmente (ambiente controlado) 
• Se for permitido que as extremidades de 
um monocristal cresçam sem qualquer 
restrição externa, o cristal assumirá uma 
forma geométrica regular, com faces 
planas  pedras preciosas. 
Fotografia de uma monocristal de granada 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.2 Materiais Policristalinos 
3-5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
A maioria dos sólidos cristalinos é composta por um conjunto de muitos cristais 
pequenos ou grãos; tais materiais são chamados de policristalinos. 
92 
Estágios na solidificação de uma amostra policristalina 
• Pequenos cristais ou núcleos se 
formam em várias posições, com 
orientações cristalográficas 
aleatórias; 
• Os pequenos grãos crescem pela 
adição sucessiva de átomos à sua 
estrutura, oriundos do líquido 
circunvizinho. 
• Na medida em que o processo de 
solidificação se aproxima do fim, as 
extremidades de grãos adjacentes 
são forcados umas contra as outras; 
• Devido a alguns desajustes dos 
átomos na região onde dois grão 
se encontram, essa área, chamada 
de contorno de grão. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.3 Anisotropia 
3-5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
• As propriedades físicas dos monocristais de algumas substâncias dependem 
da direção cristalográfica na qual as medições são feitas. 
Por exemplo: o módulo de elasticidade, a condutividade elétrica e o índice de 
refração podem ter valores diferentes nas direções [100], [110] e [111] 
93 
• A direcionalidade das propriedades é denominada anisotropia e está associada à 
variação do espaçamento atômico ou iônico em função da direção cristalográfica. 
• As substâncias nas quais as propriedades medidas são independentes da direção da 
medição são isotrópicas. 
• A extensão e a magnitude dos efeitos da anisotropia são funções da simetria da 
estrutura. O grau de anisotropia aumenta com a diminuição da simetria estrutural  as 
estruturas triclínicas são altamente anisotrópicas. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.3 Anisotropia 
3-5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
• Para muitos materiais policristalinos, as orientações cristalográficas dos grão 
individuais são totalmente aleatórias. 
• Embora cada grão possa ser anisotrópico, uma amostra composta pelo 
agregado de grãos se comporta de maneira isotrópica. 
• A magnitude de uma propriedade medida representa uma média dos 
valores direcionais. 
• Algumas vezes os grão nos materiais policristalinos possuem uma orientação 
cristalográfica preferencial. Nesse caso, diz-se que o material possui uma 
"textura". 
94 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.3 Anisotropia 
3-5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
95 
Exemplo: 
Os núcleos transformadores requerem o emprego de materiais magnéticos moles, que 
são facilmente magnetizados e desmagnetizados  ligas ferro-silício (97% Fe e 3% Si) 
Os monocristais dessa liga são magneticamente anisotrópicos, assim como também o são 
os monocristais de ferro. 
As perdas de energia em transformadores podem ser minimizadas se seus núcleos forem 
fabricados a partir de monocristais, tal que uma direção [100] (direção de fácil 
magnetização) fique orientada paralelamente à direção do campo magnético. 
Uma forma maneira de desenvolver anisotropia em metais policristalinos é por meio de deformação 
plástica, por exemplo, por laminação. 
Devido aos elevados custos na 
fabricação de monocristais  utiliza-se 
lâminas polistalinas anisotrópicas dessa 
liga, nas quais foi introduzida uma "textura 
magnética" 
a maioria dos grãos em cada lâmina possui uma 
direção cristalográfica do tipo <100> que está 
alinhada na mesma direção do campo 
magnético aplicado. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X 
3-5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
96 
Espectro de radiação eletromagnética, salientando o 
comprimento de onda para a radiação X. 
Os raios X são uma forma de radiação eletromagnética com altas energias e λ 
pequenos  λ da ordem dos espaçamentos atômicos nos sólidos. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
97 
• A difração ocorre quando uma onda encontra uma série de obstáculos 
regularmente separados que (1) são capazes de dispersar a onda e (2) possuem 
espaçamentos comparáveis em magnitude ao comprimento de onda. 
• Demonstração de como duas 
ondas (1 e 2), que possuem o 
mesmo λ e que permanecem 
em fase após um evento de 
dispersão (1‘ e 2') interferem 
mutuamente de maneira 
construtiva. As amplitudes das 
ondas dispersas somam-se na 
onda resultante 
Isso é uma manifestação da difração, sendo um feixe difratado composto por um 
grande número de ondas dispersas que se reforçam mutuamente. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X 
98 
• Demonstração de como duas 
ondas (3 e 4), que possuem o 
mesmo λ e que ficam fora de 
fase após um evento de 
dispersão (3‘ e 4'), interferem 
mutuamente de maneira 
destrutiva. As amplitudes das 
ondas dispersas cancelam-se 
mutuamente. 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
99 
• Quando um feixe de raios incide sobre um material sólido, uma fração desse 
feixe será dispersa em todas as direções pelos elétrons que estão associados 
a cada átomo ou íon que se encontra na trajetória do feixe. 
1. Considere os 2 planos 
paralelos A-A' e B-B', os quais 
possuem os mesmos índices de 
Miller h, k, l, e que estão 
separados por um 
espaçamento interplanar dhkl. 
4. Se a diferença entre os 
comprimentos das trajetórias 1-P-1' e 
2-Q-2‘ (isto é, SQ+QT) for igual a uma 
número inteiro, n, de comprimentos 
de onda, uma interferência 
construtiva dos raios dispersos 1‘ e 2‘ 
também ocorrerá em uma ângulo θ 
em relação aos planos. 
3. Os raios 1 e 2 no feixe incidente são dispersos pelos átomos P e Q. 
2. Feixe de raios X paralelo, 
monocromático e coerente, 
com λ, incidindo sobre os 
dois planos (A e B) segundo 
um ângulo θ. 
Monocromático = um só comprimento de onda ou uma só frequência 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
100 
A condiçãao para a difração é dada pela Lei de Bragg: 
ou 
Lei de Bragg  relaciona o λ dos 
raios X, o espaçamento 
interatômico e o ângulo de 
difração para uma interferência 
construtiva. 
sendo, n a ordem da reflexão, que pode 
ser qualquer número inteiro (1, 2, 3,…) 
Se a lei de Bragg não for satisfeita, então a interferência será de natureza não construtiva e 
será produzido um feixe difratado de muito baixa intensidade. 
Distância interplanar 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
101 
O FENÔMENODA DIFRAÇÃO: 
 
Ocorre quando um feixe de 
raios X é dirigido à um material 
cristalino, esses raios são 
difratados pelos planos dos 
átomos ou íons dentro do cristal 
• T= fonte de raios X 
• S= amostra 
• C= detector 
• O= eixo no qual a amostra e o 
detector giram 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
102 
Para o sistema cúbico (estrutura de metais): 
• A lei de Bragg é uma condições necessária, mas não suficiente para a difração. 
Especifica quando a difração ocorrerá para células unitárias que possuem átomos 
posicionados apenas nos vértices; 
• Os átomos situados em outras posições (face e interior  CFC e CCC) atuam como 
centros de dispersão adicionais, que podem produzir uma dispersão fora de fase em 
certos ângulos de Bragg  ausência de alguns feixes difratados, que deveriam estar 
presentes. 
 
Por exemplo: para a estrutura cristalina CCC, a soma h+ k + l deve ser par para que 
ocorra a difração, enquanto para a estrutura CFC h, k e l devem ser todos pares ou 
ímpares. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
103 
Cálculos do Espaçamento Interplanar e do Ângulo de difração 
Para o Ferro CCC, calcule: (a) o espaçamento interplanar e (b) o ângulo de 
difração para o conjunto de planos (220). O parâmetro de rede para o Fe é 
0,2866 nm. Suponha, ainda, que seja usada uma radiação monocromática 
com comprimento de onda de 0,1790 nm e que a ordem da reflexão seja 1. 
Solução: 
(a) O valor do espaçamento interplanar dhkl é determinado usando a eq.: 
a = 0,2866 nm 
h = 2 
k =2 
l = 0 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
Cálculos do Espaçamento Interplanar e do Ângulo de difração 
Para o Ferro CCC, calcule (a) o espaçamento interplanar e (b) o ângulo de 
difração para o conjunto de planos (220). O parâmetro de rede para o Fe é 
0,2866 nm. Suponha, ainda, que seja usada uma radiação monocromática 
com comprimento de onda de 0,1790 nm e que a ordem da reflexão seja 1. 
Solução: 
(b) O valor de θ pode ser calculado usando a eq.: 
n = 1 
Dhkl = 0,1013 nm 
λ = 0,1790 nm 
O ângulo de difração é 2θ, ou 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
A figura mostra os 4 primeiros picos do difratograma de raios X para o cobre, 
que possui uma estrutura cristalina CFC; foi usada radiação X 
monocromática com comprimento de onda de 0,1542 nm. 
Dados: rCu = 0,1278 nm 
(a) Identifique (isto é, forneça os índices h, k e l) para cada um dos picos. 
105 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exercício 1: Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difractômetro de raio-X 
incidentes com = 0,1541 nm. A difração pelos planos {110} ocorreu para 
2= 44,704o. Calcule o valor do parâmetro de rede do ferro CCC (considere a 
difração de 1a ordem, com n=1). 
Resposta: 0,286 nm 
106 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
107 
Exercício 2: O metal rubídio possui uma estrutura cristalina CCC. Se o ângulo de 
difração para o conjunto de planos (321) ocorre em 27,00º (reflexão de primeira 
ordem) quando é usada uma radiação X monocromática com = 0,0711 nm, 
calcule (a) o espaçamento interplanar para esse conjunto de planos e (b) o raio 
atômico para o átomo de rubídio. 
 
Exercício 3: Para qual conjunto de planos cristalográficos do ferro com estrutura 
cristalina CCC ocorrerá um pico de difração de primeira ordem em um ângulo de 
difração de 46,21º quando se usa uma radiação monocromática com 
= 0,0711 nm? 
Raio do ferro CCC = 0,1241 nm 
3.5.4 Difração de raios X e a Lei de Bragg 
3.5 MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
108 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.1 Introdução 
Os defeitos atômicos são responsáveis pelas 
reduções nas emissões de gases poluentes 
dos automóveis. 
 
• No conversor catalítico as moléculas dos 
gases poluentes ficam presas a defeitos 
na superfície de materiais metálicos 
cristalinos; 
• Enquanto presas nesses sítios, as 
moléculas sofrem reações químicas que 
as convertem em outras substâncias não 
poluentes ou menos poluentes (H2O, CO2 
e N2). 
Microscopia eletrônica de transmissão (MET) 
Monólito cerâmico 
sobre o qual o 
substrato catalítico 
metálico é 
depositado 
Conversor catalítico 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
109 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.1 Introdução 
As propriedades mecânicas dos metais 
puros apresentam alterações significativas 
quando esses materiais são ligados (átomos 
de impurezas): 
 
• Latão (70:30 cobre/zinco, %) é muito mais 
duro e resistente do que o Cu puro; 
• Dispositivos microeletrônicos nos circuitos 
integrados (computadores, calculadoras, 
etc.) funcionam devido a concentrações 
controladas de impurezas específicas, 
que são incorporadas em regiões 
pequenas e localizadas nos 
semicondutores. 
As propriedades de alguns materiais são 
profundamente influenciadas pela 
presença de imperfeições. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
110 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.1 Introdução 
ESTRUTURA CRISTALINA IDEAL: Rede sem defeitos  ordenação perfeita por todo 
o material cristalino  não existe esse tipo de sólido. 
ESTRUTURA CRISTALINA REAL: Todos os materiais contêm grandes números de uma 
variedade de defeitos ou imperfeições, que reflete no comportamento do 
mesmo. 
• Controlar as imperfeições, significa obter materiais com diferentes 
propriedades e para novas aplicações. 
DEFEITO CRISTALINO: é uma irregularidade na rede cristalina com uma ou mais 
das suas dimensões na ordem do diâmetro atômico. 
• Acima de 0 K sempre existe uma determinada concentração de defeitos 
puntiformes em equilíbrio termodinâmico dentro dos cristais. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
111 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.1 Introdução 
Podem existir diferentes tipos de imperfeições cristalinas: 
 
1. Defeitos pontuais: lacunas, autointersticiais, átomo de impureza 
substitucional e átomos de impureza intersticial; 
2. Defeitos lineares ou unidimensionais: discordâncias; 
3. Defeitos interfaciais ou contornos (bidimensionais): superfícies 
externas, contornos de grão, contornos de fase e contornos de 
macla; 
4. Defeitos volumétricos ou de massa: estruturas amorfas ou não-
cristalinas 
 
Classificação de 
acordo com a 
geometria ou com 
a dimensionalidade 
do defeito 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
112 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
São aqueles associados a uma ou a duas posições atômicas. 
 
LACUNA: 
 Também denominado de vacância; 
 É a falta de um átomo na rede 
cristalina; 
 Pode resultar do empacotamento 
imperfeito na solidificação inicial, ou 
decorrer de vibrações térmicas dos 
átomos em temperaturas elevadas; 
 As lacunas desempenham um papel 
muito importante na movimentação 
atômica (difusão). 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
113 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
• Todos os sólidos cristalinos contêm lacunas  não é possível criar um material livre 
de lacunas• A necessidade da existência de lacunas é explicada considerando os princípios 
da termodinâmica; essencialmente, a presença de lacunas aumenta a entropia 
(isto é a aleatoriedade) do cristal 
• Nos casos das lacunas e dos intersticiais, o aumento da energia interna ou da 
entalpia é compensado pelo aumento da entropia (G = H - TS) 
• O número de lacunas em equilíbrio N1 depende da temperatura e aumenta em 
função desse parâmetro: 
Dependência do número de lacunas em 
equilíbrio em relação à temperatura 
N = número total de sítios atômicos, Ql é a energia necessária para a formação de uma 
lacuna, T é a temperatura absoluta em kelvin e k é a constânte dos gases ou Boltzmann 
O valor de k é 1,38x10-23 J/átomo.K, ou 8,62x10-5 eV/átomos.K, dependendo da unidade de Ql 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
114 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
Exemplo 1: Calcule o número de lacunas em equilíbrio, por metro cúbico de cobre, a 
1000 ºC. A energia para a formação de uma lacuna é de 0,9 eV/átomo; o peso 
atômico e a massa específica (a 1000 ºC) para o Cu são de 63,5 g/mol e 8,4 g/cm3, 
respectivamente. 
k = 1,38x10-23 J/átomo.K ou 
8,62x10-5 eV/átomos.K 
Resolução: Primeiro é necessário determinar o valor de N, o 
número de sítios atômicos por metro cúbico no cobre, a partir 
do seu peso atômico (ACu), da massa específica (ρ) e do 
número de Avogrado (NA). 
O número de lacunas a 1000 ºC (1273 K) é igual a 
Para a maioria dos metais, a fração de lacunas Nl/N em uma temperatura imediatamente 
inferior a Tf é da ordem de 10
-4  um sítio em cada 10.000 sítios da rede encontra-se vazio. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
115 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
Exemplo 2: O ferro tem a densidade medida de 7,87 mg/m3. O parâmetro de rede do 
Fe CCC é 2,866 Å. Calcule a percentagem de lacunas no ferro puro? 
Dados: 
a = 2,866 Å  2,866 x10-8 cm 
AFe = 55,85 g/mol 
NA= 6,022 x 10
23 átomos/mol 
% lacunas = ? 
Solução: Primeiro é necessário calcular o n° de 
átomos por célula unitária de Fe, utilizando o valor 
da densidade medida. 
% Lacunas = (2 - 1,9977) x 100 / 2 = 0,12% 
volume da célula 
unitária = a3 
Deveriam 
ser 2 átomos 
no Fe CCC 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
116 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
AUTOINTERSTICIAL: 
 É um átomo do cristal que se encontra 
comprimido em um sítio intersticial, que 
sob circunstâncias normais não estaria 
ocupado. 
 Nos metais, um autointersticial introduz 
distorções grandes na rede, pois o átomo 
é maior que a posição intersticial onde 
ele está localizado. 
 A formação desse defeito existe em 
concentrações muito reduzidas  muito 
menores do que as lacunas. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
117 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos 
• Um metal puro formado apenas por um tipo de átomo é impossível; impurezas 
ou átomos diferentes estarão sempre presentes e alguns existirão como defeitos 
pontuais nos cristais. 
• Mesmo com técnicas sofisticadas é difícil refinar metais até uma pureza superior 
a 99,9999%  1022 a 1023 átomos de impurezas estarão presentes em cada m3 
do material. 
• A maioria dos metais não são altamente puros  são ligas, em que 
intencionalmente foram adicionados átomos de impurezas para conferir 
características específicas ao material. 
• A formação de ligas é utilizada para aumentar a resistência mecânica e a 
resistência à corrosão. Ex.: Prata de lei é uma liga (92,5% de Ag e 7,5% Cu). 
Prata de lei - o teor de Ag é determinado por lei 
Ag pura  é altamente resistente à corrosão, mas muito macia; 
Liga Ag/CU  aumenta resistência mecânica sem diminuir de 
maneira apreciável sua resistência à corrosão. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
118 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
• Solução sólida e/ou segunda fase: é formada devido a adição de átomos 
de impurezas a um metal  dependendo dos tipos de impurezas, das suas 
concentrações e da temperatura da liga. 
 Solvente: representa o elemento do composto que está presente em 
maior quantidade (átomos hospedeiros); 
 Soluto: é usado para indicar um elemento ou composto que está 
presente em menor concentração. 
• Uma solução sólida se forma quando os átomos do soluto são adicionados 
ao material hospedeiro, a estrutura cristalina é mantida, nenhuma estrutura 
nova é formada. 
• Uma solução sólida é homogênea (assim como água e álcool); os átomos 
de impurezas estão distribuídos aleatoriamente e uniformemente no sólido. 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
119 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
Defeitos pontuais, devido à presença de impurezas, são encontrados nas 
soluções sólidas podendo ser: substitucional e intersticial. 
DEFEITOS SUBSTITUCIONAIS: 
• Os átomos de soluto ou átomos 
de impurezas repõem ou 
substituem átomos hospedeiros. 
• Exemplos típicos são: Si, Mn, Cr, 
Mo e Ni no Fe. 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
120 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
As característica dos átomos do soluto e do solvente determina o grau no 
qual os primeiros se dissolvem nos segundos, prevendo a propensão deles 
formarem soluções sólidas substitucionais: 
1. Fator do tamanho atômico. Os raios atômicos dos dois elementos não 
devem diferir entre si de mais de 15%. 
2. Estrutura cristalina. As estruturas cristalinas dos metais de ambos os tipos 
devem ser as mesmas. 
3. Eletronegatividade. As eletronegatividades devem ser quase iguais. Em 
caso contrário, poderá formar-se um composto, em consequência da 
diferença de afinidade por elétrons. 
4. Valências. Um metal terá maior tendência a se dissolver em outro metal 
de maior valência do que em um metal de menor valência. 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos - Soluções sólidas substitucionais 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
121 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
Exemplo de solução sólida substitucional: Cobre e níquel 
Os 2 elementos são completamente solúveis um no outro, em todas as 
proporções, pois: 
• Os raio atômico do Cu é 0,128 nm e para o Ni é 0,125 nm (2,34%); 
• Ambos possuem estrutura CFC; 
• Suas eletronegatividades são 1,9 para Cu e 1,8 para Ni; 
• As valências mais comuns são +1 para o Cu e +2 para o níquel. 
Monel 400  67% Ni, apresenta melhor resistência 
mecânica que o Ni puro, bem como excelente 
resistência à corrosão em diversos meios (soluções 
salinas). Apresenta boa soldabilidade e tenacidade 
em ampla faixa de temperatura. 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos - Soluções sólidas substitucionais 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
122 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
DEFEITOS INTERSTICIAIS: 
• Os átomos de impurezas 
preenchem os espaços vazios ou 
interstícios entre os átomos 
hospedeiros; 
• Para os metais que possuem FE 
elevado, essas posições intersticiais 
são relativamente pequenas; 
• O diâmetro atômico de uma 
impureza intersticial deve ser 
substancialmente menor que 
aquele dos átomos hospedeiros; 
• A concentração máxima 
permissível de impurezas é baixa 
(inferior a 10%). 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
123 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
DEFEITOS INTERSTICIAIS: 
• Mesmo os átomos de impurezas muito 
pequenos são normalmente maioresque os 
sítios intersticiais: 
Exempo: 
• O carbono forma uma solução sólida 
intersticial quando adiconado ao ferro. 
• A concentração máxima de C é de 2%; 
• O raio atômico do C é 0,071 nm contra 
0,124 nm do Fe 
 consequência, introduzem distorção da rede. 
3.6.2.1 Impurezas nos sólidos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
124 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
DEFEITO FRENKEL: 
Quando um íon desloca-se de 
sua posição na rede (formando 
uma lacuna) para uma 
posição intersticial. 
 Pode ser considerado como 
sendo um cátion que deixa 
sua posição normal e se 
move para o sítio inetersticial. 
Não existe alteração global 
da carga. 
⇒ Ocorre em compostos iônicos 
3.6.2.2 Defeitos intersticiais em compostos iônicos estequiométricos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
125 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
DEFEITO SCHOTTKY: 
Quando ocorre uma lacuna 
catiônica e uma lacuna 
aniônica. 
 Pode ser considerado como 
tendo sido criado pela 
remoção de um cátion e de 
um ânion do interior do cristal. 
 Para cada lacuna catiônica 
existe uma lacuna aniônica  
a neutralidade de cargas do 
cristal é mantida 
⇒ Somente para compostos iônicos 
A razão entre o nº de cátions e aniôns não é alterada pela formação de um 
defeito de Frenkel ou Schottky  se nenhum outro defeito estiver presente, o 
material será dito estequiométrico. 
3.6.2.2 Defeitos intersticiais em compostos iônicos estequiométricos 
Ex.: NaCl 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
126 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.2 Defeitos pontuais 
Um cerâmico é não estequiométrico se houver qualquer desvio na razão entre 
cátions e aniôns. Ex.: Óxido de ferro (wustita, FeO). 
• Fe pode estar presente como Fe2+ e 
Fe3+, as quantidades dependem da T 
e da pressão de oxigênio no 
ambiente. 
• A formação de um íon Fe3+ perturba 
a eletroneutralidade do cristal pela 
introdução de uma carga +1 em 
excesso, que deverá ser 
compensada por algum tipo de 
defeito. 
• Formação de uma lacuna de Fe2+ 
para cada dois íons Fe3+ formados. 
O cristal não é mais estequiométrico, pois possui 1 íon de O a mais que íons de Fe, mas o cristal permanece eletricamente neutro. 
3.6.2.2 Defeitos intersticiais em compostos iônicos não estequiométricos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
127 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.3 Defeitos lineares 
Quantidade e movimento das discordâncias 
podem ser controlados pelo grau de 
deformação (conformação mecânica) e/ou por 
tratamentos térmicos 
É um defeito linear ou unidimensional 
em torno do qual alguns átomos 
estão desalinhados. 
Discordância 
Tipo de defeito 
responsável por 
Deformação 
Falha 
Rompimento dos materiais 
Todos os materiais cristalinos contêm algumas 
discordâncias que são introduzidas durante a 
solidificação, a deformação plástica e como 
consequência das tensões térmicas resultantes de 
um resfriamento rápido. 
Micrografia eletrônica de transmissão 
de uma liga de titânio onde as linhas 
escuras são discordâncias. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
As discordâncias geram um vetores de Burgers: 
• São associados às discordância aresta e espiral; 
• A natureza de uma discordância (aresta, espiral ou mista) 
é definida pelas orientações relativas da linha da 
discordância e do vetor de Burgers. 
128 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.3 Defeitos lineares 
As discordâncias podem ser: 
• Aresta 
• Espiral 
• Mista 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
129 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.3 Defeitos lineares 
Discordância aresta ou 
linha de discordância 
 
• É uma porção extra de um 
plano de átomos, ou 
semiplano, cuja aresta 
termina no interior do cristal; 
• Causa distorção localizada 
na rede cristalina. 
• A orientação da linha 
discordância e do vetor 
Burgers é perpendicular. 
A magnitude da distorção diminui com o aumento da distância da linha da 
discordância; em posições afastadas, a rede cristalina é virtualmente perfeita. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
130 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.3 Defeitos lineares 
Discordância espiral 
 
• É considerada como uma 
consequência da tensão 
cisalhante que é aplicada; 
• A região anterior superior do 
cristal é deslocada uma 
distância atômica para a 
direita em relação à posição 
inferior. 
• A distorção atômica também 
é linear  localizada ao 
longo da linha da 
discordância (linha AB). 
• O vetor de Burgers é paralelo 
à direção da linha de 
discordância. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
131 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.3 Defeitos lineares 
Discordâncias mistas 
 
• É encontada na maioria dos 
materiais cristalinos; 
• Apresenta componentes de ambos 
os tipos de discordâncias (aresta e 
espiral); 
• A distorção da rede produzida longe 
das duas faces é mista, exibindo 
níveis variáveis de natureza espiral e 
aresta. 
• O vetor de Burgers não é nem 
perpendicular nem paralelo. 
Embora uma discordância possa mudar de direção e 
de natureza no interior do cristal (aresta  mista  
espiral), seu vetor de Burger será o mesmo em todos os 
pontos ao longo da sua linha. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
132 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.4 Defeitos interfaciais 
• São contornos que possuem duas dimensões e que normalmente se 
separam regiões dos materiais que possuem estruturas cristalinas e/ou 
orientações cristalográficas diferentes. 
• superfícies externas 
• contornos de grão 
• contornos de fases 
• contornos de maclas 
• falhas de empilhamento 
As imperfeições incluem: 
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133 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.4 Defeitos interfaciais 
Superfícies Externas 
 
• É um defeito observado na superfície 
externa, ao longo da qual termina a 
estrutura do cristal; 
• Mais evidente dos defeitos de superfície 
devido a descontinuidade; 
• Os átomos na superfície não estão ligados 
ao número máximo de vizinhos mais 
próximos e estão, portanto, em um estado 
de maior energia que os átomos nas 
posições interiores. 
• As ligações desses átomos na superfície, 
que não estão completas, dão origem a 
uma energia de superfície; 
• Para reduzir a energia de 
superfície, os materiais tendem a 
minimizar a área total da sua 
superfície. 
Ex.: os líquidos assumem uma forma 
que minimiza a área  as gotículas 
tornam-se esféricas. 
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134 
3.6.4 Defeitos interfaciais 
Contornos de Grão 
 
• São superfícies que separam dois grãos ou 
cristais com diferentes orientações; 
• Na região do contorno existe algum 
desajuste atômico na transição da 
orientação cristalina de um grão para a 
orientação de um grão adjacente. 
• São possíveis diferentes orientações entre 
cristais adjacentes com contornos de grão 
“mais” ou “menos” ajustados: 
 Quando o desajuste da orientação é pequeno, da ordem de uns poucos graus  contorno 
de grão baixo ângulo; 
 Quando o desajuste da orientação é maior, ângulos de ligações maiores  contorno de 
grão alto ângulo  existe uma energia interfacial, ou contorno de grão, semelhante à 
energia de superfície  devido a maior desorientação. 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
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135 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.4 Defeitos interfaciais 
Contornos de Fase 
 
• Existem nosmateriais multifásicos; 
• Há uma fase diferente em cada 
lado do contorno; 
• Cada uma das fases constituintes 
possui suas próprias características 
físicas e/ou químicas distintas. 
• Os contornos de fase 
desempenham papel importante na 
determinação das características 
mecânicas de algumas ligas 
metálicas multifásicas. 
Microestrutura bifásica em liga 
Al-Cu (400 x) 
Cu 
Al 
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136 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.4 Defeitos interfaciais 
Contornos de Macla 
 
• É um tipo especial de contorno de grão, 
através do qual existe uma específica 
simetria em espelho da rede cristalina; 
• Os átomos de um dos lados do contorno 
estão localizados em posição de 
imagem em espelho em relação aos 
átomos no outro lado do contorno. 
• são resultantes de deslocamentos atômicos produzidos por tensões de cisalhamento 
(maclas de deformação) ou durante tratamento térmico (maclas de recozimento); 
• A maclagem ocorre em um plano cristalográfico definido e em uma direção 
específica, que são dependes da estrutura cristalina. 
• Maclas de recozimento CFC 
• Maclas de deformação  CCC e HC 
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137 
3.6 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
3.6.5 Defeitos volumétricos ou de massa 
• São poros, precipitados, trincas, inclusões; 
• Normalmente, são introduzidos durante as 
etapas de processamento e fabricação dos 
materiais. 
Uma inclusão se forma devido a imiscibilidade. 
Quando se adicionam átomos que ou são 
insolúveis ou estão em quantidades acima do 
limite de solubilidade do material que constitui o 
solvente. 
Um poro é ausência de material (uma segunda 
fase "oca"). São defeitos devido à contração 
durante a solidificação  surgida durante o 
esfriamento de um material fundido. 
Óxido de cobre em cobre puro, inclusões de óxido de 
cobre (Cu2O) em cobre de alta pureza (99,26%) 
laminado a frio e recozido a 800 ºC. 
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138 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.1 Conceitos básicos da microscopia 
• Na maioria dos materiais os grão constituintes possuem dimensões 
microscópicas, com diâmetros da ordem de micra e seus detalhes devem 
ser investigados utilizando algum tipo de microscópio. 
1 μm = 10-6 m 
Instrumentos utilizados na microscopia 
• Microscópios ópticos 
• Eletrônicos 
• Varredura por sonda 
Aplicações importantes dos exames microestruturais: 
• assegurar que as associações entre as propriedades e a estrutura (e os defeitos) 
sejam compreendidas da forma correta, a fim de prever as propriedades dos 
materiais; 
• projetar ligas com novas combinações de propriedades; 
• determinar se um material foi tratado termicamente de maneira correta e; 
• verificar o tipo de fratura mecânica. 
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139 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Óptica 
• O microscópio óptico é utilizado para 
estudar a microestrutura na microscopia 
óptica  utiliza radiação luminosa; 
• Limite de magnificação é de ≈ 2000x 
• Para os materiais opacos à luz visível, 
apenas a superfície está sujeita a 
observação no MO (modo reflexão); 
• Preparos cuidadosos da superfície para 
revelar detalhes importante da 
microestrutura: lixamento, polimento, 
seguidos de ataque químico: 
 hidróxido de sódio 
 ácido nítrico 
 ácido clorídrico, etc. 
A Luz incidindo perpendicularmente é refletida 
por 3 grãos, cada qual com orientação 
cristalográfica diferente 
Fotomicrografia de 
uma amostra de 
latão policristalino 
(60 X) 
Material policristalino 
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140 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Óptica 
• Pequenos sulcos são formados ao longo 
dos contornos de grão, como 
consequência do ataque químico  
refletem a luz em ângulos diferentes 
• Os átomos localizados ao longo das 
regiões dos contornos de grão são 
quimicamente mais reativos  dissolvem-
se a uma maior taxa. 
Seção de um contorno de grão e o sulco 
superficial e as características de reflexão da luz. 
Fotomicrografia da superfície de uma amostra 
policristalina de uma liga Fe-Cr, polida e atacada 
quimicamente 
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141 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Eletrônica 
• A imagem da estrutura é formada usando feixes de elétrons; 
• Aumentos maiores do que a microscopia óptica; 
• De acordo com a mecânica quântica, um e- a alta velocidade terá 
características ondulatórias, com um λ inversamente proporcional à sua 
velocidade; 
• As grandes ampliações e resoluções são consequência dos pequenos 
comprimentos de onda dos feixes de elétrons; 
• O feixe de e- é focado e a imagem é formada com lentes magnéticas. 
Tipos de 
microscopia 
eletrônica: 
• Microscopia eletrônica de varredura (MEV) 
• Microscopia eletrônica de transmissão (MET) 
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142 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Eletrônica de Transmissão (MET) 
• A imagem vista com um MET é formada por um feixe de elétrons que passa 
através de uma amostra ultra fina; 
• O feixe transmitido é projetado sobre uma tela fluorescente ou filme 
fotográfico, de modo que a imagem pode ser vista; 
• Detalhes das características da microestrutura interna tornam-se acessíveis à 
observação; 
• Imagens de campo claro são formadas por elétrons que sofrem pouco desvio, 
enquanto as de campo escuro são formadas por elétrons difratados pelos 
planos cristalinos do material. 
• São possíveis ampliações que se aproximam de 1.000.000X; 
• A MET é empregada com frequência no estudo das discordâncias. 
polímeros, cerâmicas, materiais metálicos, orgânicos, inorgânicos, 
biológicos e compósitos. Pigmentos, cosméticos, látex, adesivos, 
catalisadores, petroquímica, coloides, nanopartículas, gesso, 
cimento. 
Aplicações: 
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143 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Eletrônica de Transmissão (MET) 
Micrografias de nanopartículas de prata 
Micrografias obtidas MET da solução de 
nanocelulose da fibra de coco verde 
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144 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV) 
• A superfície de uma amostra é varrida com um feixe de elétrons; 
• Como resultado da interação do feixe de elétrons com a superfície da 
amostra, uma série de radiações são emitidas tais como: elétrons 
secundários, elétrons retroespalhados, raios-X característicos, elétrons Auger, 
fótons, etc.; 
• Os elétrons secundários fornecem imagem de topografia da superfície da 
amostra e são os responsáveis pela obtenção das imagens de alta resolução, 
já os retroespalhados fornecem imagem característica de variação de 
composição; 
• Ampliações 10.000 a 50.000X; 
• Fornece informações qualitativas e quantitativas da composição elementar 
da amostra; 
• Superfície condutora  revestimento metálico fino sobre materiais não 
condutores. 
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145 
3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV) 
Nanopartículas de prata Liga de alumínio A380 
(Al-Cu-Si) 
Aço inoxidável AISI 316 
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3.7 ANÁLISES MICROSCÓPICAS 
3.7.2 Técnicas de microscopia 
• Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV) 
Elétrons retroespalhados 
liga Al-Zn-Mg 
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