SLIDE AULA 4 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

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Probabilidade e 
Estatística
Valéria Ferreira
Aula 4
Medidas Estatísticas
Medidas de Posição ou Tendência Central
Têm o objetivo de apresentar um ponto 
central em torno do qual os dados se 
distribuem. As mais conhecidas são: a média, 
a mediana e a moda.
Medidas de Dispersão
Servem para indicar o quanto os dados se 
apresentam dispersos em torno da região 
central.
2
Medidas de Tendência Central
•
3
Medidas de Tendência Central
A média aritmética de um conjunto de dados 
apresentados numa distribuição de frequências é 
calculada da seguinte maneira:
em que:
• são os valores que a variável assume;
• é a frequência referente a cada valor;
• é a soma dos valores das frequências.
4
 






k
i
i
k
i
ii
f
fx
x
1
1
 
ix
 
if
 


k
i
if
1
Exemplo 1: os dados abaixo são referentes às 
idades de funcionários do setor administrativo de 
uma empresa.
22 24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25
Vamos calcular a idade média dos funcionários.
5
22 24 19 21 25 281
23,42 anos
12 12
x
    
  
Agora, vamos calcular a média aritmética por meio 
dos dados organizados numa distribuição de 
frequências.
Tabela 1: distribuição das idades dos funcionários.
6
Idade Frequência F.R.(%)
18 1 8,33 18
19 1 8,33 19
21 1 8,33 21
22 2 16,67 44
24 2 16,67 48
25 3 25,00 75
28 2 16,67 56
Total 12 100,00 281
Utilizando as informações do quadro, temos:
Portanto, podemos concluir que a idade média 
dos funcionários da empresa é 23,42 anos.
7
anos 42,23
12
281
1
1 






k
i
i
k
i
ii
f
fx
x
Moda
A moda de um conjunto de dados é a 
resposta (ou respostas) que ocorre(m) com 
maior frequência. A moda, diferentemente das 
outras medidas de posição, também pode ser 
encontrada quando a variável em estudo for 
qualitativa. 
Um conjunto de dados pode não apresentar 
moda (amodal), apresentar uma moda, duas 
modas (bimodal) ou mais de duas modas 
(multimodal).
8
Moda
•
9
Mediana
A mediana é outra medida de posição, dita mais 
robusta que a média, pois, da forma como ela é 
determinada, não permite que alguns valores muito 
altos ou muito baixos interfiram de maneira 
significativa em seu valor.
A mediana é encontrada ordenando os dados do 
menor para o maior valor e, em seguida, 
identificando o valor central desses dados 
ordenados. É uma medida que divide o conjunto de 
dados em duas partes, deixando a mesma 
quantidade de valores abaixo dela e acima.
10
Mediana
Se o número de elementos do conjunto de dados 
for ímpar, então a mediana será exatamente o valor 
central, ou seja:
Se o número de elementos do conjunto de dados 
for par, então a mediana será exatamente a média 
dos dois valores centrais, isto é:
11
2
1 nxMd
2
1
22



nn xx
Md
Mediana
Exemplo 2: vamos utilizar os dados do Exemplo 1 
para calcular a mediana.
22 24 19 21 25 18 28 24 25 28 22 25
Para encontrar a mediana, os dados devem estar 
ordenados.
18 19 21 22 22 24 24 25 25 25 28 28
12
Resolução
Como n = 12 é um número par, encontraremos a 
mediana por meio da seguinte fórmula:
Portanto, podemos afirmar no mínimo 50% dos 
valores são maiores ou iguais a 24 anos.
13
anos 24
2
2424
2
2
76
1
22








xx
Md
xx
Md
nn
•
14
•
15
Idade Frequência F.R. (%)
18 1 8,33 18 1
19 1 8,33 19 2
21 1 8,33 21 3
22 2 16,67 44 5
24 2 16,67 48 7
25 3 25,00 75 10
28 2 16,67 56 12
Total 12 100,00 281
•
16
anos 24Md
Idade Frequência F.R. (%)
18 1 8,33 18 1
19 1 8,33 19 2
21 1 8,33 21 3
22 2 16,67 44 5
24 2 16,67 48 7
25 3 25,00 75 10
28 2 16,67 56 12
Total 12 100,00 281
Medidas de posição para dados 
agrupados em classes
Quando o conjunto de dados for apresentado 
sob a forma agrupada, perdemos a 
informação dos valores das observações. 
Nesse caso, vamos supor que todos os 
valores dentro de uma classe tenham seus 
valores iguais ao ponto médio dessa classe.
17
Exemplo 3
Tabela 2: distribuição de frequências dos 
salários de funcionários de uma empresa.
18
Salário (R$) Nº de funcionários F.R.(%)
750|―1062 22 55
1062|―1374 4 10
1374|―1686 2 5
1686|―1998 6 15
1998|―2310 2 5
2310|―2622 4 10
Total 40 100
Para calcular as medidas de posição por meio 
da Tabela 2, vamos seguir o procedimento:
19
Salário (R$) Nº de 
funcionários
F.R.(%)
750|―1062 22 55 906 19932
1062|―1374 4 10 1218 4872
1374|―1686 2 5 1530 3060
1686|―1998 6 15 1842 11052
1998|―2310 2 5 2154 4308
2310|―2622 4 10 2466 9864
Total 40 100 53088
Então, a média aritmética para as informações 
contidas no quadro é:
Se calcularmos a média aritmética por meio dos 
dados brutos (sem agrupar), vamos obter 
.
Isso nos mostra que as medidas descritivas obtidas 
por meio dos dados agrupados são apenas 
aproximações dos verdadeiros valores. 
20
reais 20,1327
40
53088
1
1 






k
i
i
k
i
ii
f
fx
x
40,1336x
•
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Referências
BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. 
Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 
2002.
TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10.ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
VIEIRA, Sonia. Elementos de estatística. São 
Paulo: Atlas, 2003.
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Probabilidade e 
Estatística
Valéria Ferreira
Atividade 4
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Um treinador mediu a circunferência 
abdominal de 10 homens que se 
apresentaram para uma aula na academia de 
ginástica. Os valores em centímetros são:
88 83 79 76 78 70 80 82 86 105
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Com os dados apresentados:
a)indique e classifique a variável em estudo.
b)encontre as medidas de posição: média, moda
e mediana por meio do conjunto de dados
brutos.
Resolução
a) A variável em estudo é a circunferência 
abdominal de 10 homens.
Classificação: variável quantitativa contínua.
b)
Média:
26
88 83 79 105 827
82,7 cm
10 10
x
   
  
Resolução
Mediana: para encontrar a mediana, os dados 
devem estar ordenados:
88 83 79 76 78 70 80 82 86 105
Ordenados:
70 76 78 79 80 82 83 86 88 105
27
Resolução
Como n = 10 é um número par, encontraremos a 
mediana por meio da seguinte fórmula:
28
1
2 2
5 6
2
80 82
81 cm
2 2
n nx x
Md
x x
Md



 
  
Resolução
Moda:
não há moda neste conjunto de dados.
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