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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
CAMPUS UNIVERSITA´RIO DE CASTANHAL
FACULDADE DE MATEMA´TICA
Disciplina: Algebra I
Professor: Ma´rcio Almeida
Entrega: Ate´ o dia da prova (10.08.2016).
Lista de Exerc´ıcios
1. Prove que o conjunto dos nu´meros reais R com a operac¸a˜o ∗ definida por
x ∗ y = 3
√
x3 + y3
e´ um grupo abeliano.
2. Considere o grupo G = R− {3} cuja operac¸a˜o ∗ e´ definida por
a ∗ b = (a− 3)(b− 3)
3
+ 3
(a) Determine o elemento neutro de G.
(b) Determine o elemento inverso de 4 ∈ G.
3. Seja G um grupo de ordem n, com 13 ≤ n ≤ 35. Se G possui subgrupos de
ordem 2, 3 e 8. Determine n.
4. Verifique se o grupo multiplicativo Z∗7 e´ c´ıclico. Determine seus geradores,
caso existam, bem como a ordem de todos os elementos de Z7.
5. Seja G um grupo e a ∈ G. Se o(G) = n e o(a) = m, enta˜o an = eg.
6. Sejam G = (Z12,+) um grupo e H = {0, 4, 8} um subgrupo de G. Construa
a ta´bua do grupo quociente de (G/H,+), identifique seu elemento neutro e
os inversos aditivos de 1 + H e 2 + H.
7. Prove que se G e´ um grupo abeliano, enta˜o G/H e´ abeliano.
8. Determine os elementos e a tabela da operac¸a˜o soma do grupo quociente
Z24/〈4〉.
9. Prove que se G e´ abeliano, enta˜o G/H e´ abeliano.
10. Prove que se G e´ c´ıclico, enta˜o G/H e´ c´ıclico.
11.