PDS WORD

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APOSTILA DE PROCESSAMENTO 
DIGITAL DE SINAIS 
IFPB 
Carlos Danilo Miranda Regis 
- 2014 -
�
Sumário 
1	Introdução a Processamento Digital de Sinais	2
1.1	Vantagens e Desvantagens de Sistemas Digitais	3
1.1.1	Vantagens do processamento digital		3
1.1.2	Desvantagens do processamento digital	4
1.2	Aplicações		4
2	Sinais e Sistemas de Tempo Discreto	8
2.1	Sinais de Tempo Discreto		8
2.1.1	Sequências Fundamentais		10
2.1.2	Duração do Sinal		11
2.1.3	Sequências Periódicas e Aperiódicas		12
2.1.4	Sequências Simétricas		13
2.1.5	Manipulações de Sinal		14
2.1.6	Operações Básicas		15
2.1.7	Decomposição do Sinal		16
2.2	Sistemas Discretos no Tempo		16
2.2.1	Propriedades dos Sistemas Discretos		17
2.3	Sistemas Lineares Invariantes no Tempo		21
2.3.1	Convolução Linear Discreta		21
2.3.2	Propriedades dos Sistemas LIT		26
2.4	Exercícios		28
3	Transformada de Fourier	32
3.1	A Transformada de Fourier de Tempo Discreto	32
3.1.1	Propriedades Básicas da DTFT		34
3.1.2	Relações de Simetria da DTFT		34
3.1.3	Teoremas da DTFT		35
3.1.4	Pares de DTFT		39
3.2	Transformada Discreta de Fourier (TFD)		39
3.2.1	Propriedades da TFD		41
3.2.2	Convolução Periódica		43
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3.2.3	Convolução Circular		44
3.3	Algoritmos Rápidos para a Transformada Discreta de Fourier		46
3.3.1	Transformada Rápida de Fourier (FFT) - Algoritmo de Dizima-
ção no Tempo		49
3.4	Exercícios		54
4	Transformada Z	60
4.1	Região de Convergência da TZ		61
4.1.1	Propriedades da Região de Convergência		65
4.2	Pares de Transformada Z		67
4.3	Propriedades da Transformada Z		67
4.4	A Transformada Z inversa		68
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Lista de Figuras 
1.1	Sistema de Aquisição e Processamento Digital de Sinais		3
1.2	(a) Processador Digital e (b) Processamento Analógico		3
1.3	Sinais Biomédicos:	(a) imagem do globo ocular, (b) mamografia, (c)
Eletrocardiograma e (d) imagem do cérebro com identificação de tumor.	5
1.4	(a) Correção de borrado e (b) compressão com JPEG		5
1.5	(a) Sinal de voz original e atrasado e (b) sinal de um tom de um piano
(esquerda) e um violão (direita)		6
1.6	(a) Aparelho para captação de sinais sísmicos e (b) exemplo das três
ondas (frentes) características do sinal sísmico		6
2.1	(a) Sinal analógico, (b) sinal digital, (c) sinal amostrado e (d) sinal
boxcar quantizado		9
2.2	Sinal discreto		9
2.3	(a) impulso unitário, (b) degrau unitário, (c) sinal exponencial real e
(d) senoide real		10
2.4	Sinal x(n)		15
2.5	Resultado do Exemplo 2.5		16
2.6	Sistema Discreto		17
2.7	Sinais do Exemplo 2.14		22
2.8	Sinais do Exemplo 2.14 para n = 0		23
2.9	Sinais do Exemplo 2.14 para n = 1		23
2.10 Sinais do Exemplo 2.14 para n = 2		24
2.11 Sinais do Exemplo 2.14 para n = 3		24
2.12 Sinais do Exemplo 2.14 para n = 4		25
2.13 Sinal y(n) do Exemplo 2.14		25
2.14 Sinais do Exemplo 2.13		26
2.15(a) sistemas em cascata e (b) sistemas em paralelo		27
2.16		29
3.1	Convolução circular de N pontos de duas sequências de comprimento
PeL,paraaqualP =5,L=2eN =6=L+P −1		45
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	1
3.2	Convolução circular com período igual a 6		45
3.3	Convolução circular de N pontos de duas sequências de comprimento
PeL,paraaqualP =5,L=2eN =5<L+P −1		46
3.4	Convolução circular com período igual a 5		46
3.5	Comparação entre funções lineares e quadrática		48
3.6	Fluxograma para cálculo de X[k]		50
3.7	Fluxograma para cálculo de X[k]		52
3.8	Borboleta: DFT de 2 pontos		52
3.9	Fluxograma de uma FFT de 8 pontos utilizando dizimação no tempo. .	53
3.10 Borboleta		54
3.11 Fluxograma de uma FFT de 8 pontos utilizando dizimação no tempo. .	54
4.1	Espaços de representação das transformadas: (1) eixo linear ω e (b)
plano complexo z		61
4.2	Regiões de Convergência: (a) Exemplo 4.1 e (b) Exemplo 4.2		62
4.3	Regiões de Convergência: (a) Exemplo 4.3 e (b) Exemplo 4.4		64
�
Capítulo 1 
Introdução a Processamento 
	Digital de Sinais 
Os Sinais estão presentes em diversas situações do dia-a-dia do ser humano. Um sinal pode ser definido como uma função que carrega uma informação. A forma mais comum para nós é a comunicação por sinal de voz [1]. 
O processamento de sinais lida com a representação, transformação e ma-
nipulação dos sinais e da informação que eles contêm. Esses sinais podem ser 
tratados de várias maneiras diferentes. Até a década de 60, a tecnologia para 
processamento de sinais era basicamente analógica, ou seja, tratá-los em forma de 
onda de corrente ou tensão por elementos do circuito. A evolução de computadores 
e microprocessadores juntamente com diversos desenvolvimentos teóricos causou 
um grande crescimento na tecnologia digital, surgindo o Processamento Digital de 
Sinais (PDS). 
Um aspecto fundamental do processamento digital de sinais é que ele é baseado no processamento de sequências de amostras. Para tanto, o sinal contínuo no tempo é convertido nessa sequência de amostras, i.e., convertido em um sinal discreto no tempo. Após o processamento digital, a sequência de saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo. 
Os principais objetivos das técnicas de processamento digital de sinais (PDS) 
são a representação, manipulação e transformação de sinais e da informação con-
tida neles. Na Figura 1.1 é apresentado um sistema genérico para aquisição e 
processamento digital de sinais. Os blocos A/D e D/A realizam as operações de 
conversão do sinal analógico para digital e do sinal digital para analógico, respec-
tivamente. 
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HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	3
Figura 1.1: Sistema de Aquisição e Processamento Digital de Sinais. 
1.1 	Vantagens e Desvantagens de Sistemas Digitais 
Na Figura 1.2 são apresentados um diagrama de bloco genérico de um sistema de processamento digital (a) e analógico (b). Como se pode observar, o sistema digital requer a conversão do sinal analógico para o formato digital antes que o processamento possa ser realizado. Ao final, o sinal digital processado é convertido de volta para o formato analógico. Já no caso analógico, o processamento é aplicado diretamente no sinal, sem a necessidade de conversores.
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Sinal Analógico
�
A/D
�
Processador 
	Digital
(a)
Processador
�
Sinal Analógico
D/A
Processado
Sinal Digital
�
Sinal Analógico
�Analógico	Processado
(b) 
�
Figura 1.2: (a) Processador Digital e (b) Processamento Analógico. 
1.1.1 	Vantagens do processamento digital 
• Confiabilidade e estabilidade - Ao contrário dos sistemas analógicos, as opera-
ções dos sistemas digitais não dependem dos valores exatos dos sinais. Como 
�
4	INTRODUÇÃO A PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
consequência, um circuito digital é menos sensível aos valores de tolerância dos componentes eletrônicos e é (relativamente) independente da temperatura e de outros parâmetros externos. 
• 	Versatilidade - Sistemas digitais podem ser reprogramados para atender às mais diversas aplicações ou especificações. Além disso, os sistemas digitais são facilmente reutilizáveis. 
• 	Consistência - Os sistemas digitais podem ser facilmente duplicados. 
• 	Preço - Sistemas complexos podem ser implementados em um chip e produzidos em larga escala, o que reduz consideravelmente o seu preço unitário. 
• 	Maior precisão - Nos sistemas digitais é possível aumentar o número de bits utilizado (aritmética de ponto flutuante) até se atingir a precisão desejada. 
• 	Fase linear exata - Ao contrário do caso analógico, com circuitos digitais é possível implementar sistemas com fase linear exata. 
•	Processamento em multitaxa - Melhor aproveitamento de banda.•	Armazenamento digital - Os dados digitais podem ser armazenados sem cor-
rer risco de perda.
• 	Segurança - O sistema digital pode utilizar técnicas de codificação, criptografia e marca d’água para garantir a segurança dos dados. 
1.1.2 	Desvantagens do processamento digital 
• Maior complexidade em alguns casos. 
• Intervalo de frequências mais reduzido. 
• Maior consumo de energia. 
1.2	Aplicações
• Engenharia biomédica - Os sinais são captados por equipamentos e analisa-
dos pelos médicos para obtenção de informações a respeito de um aspecto 
específico da saúde do paciente. Técnicas de PDS são utilizadas para analisar 
o sinal (medir amplitude, atraso, frequência, etc.) ou para tratá-lo (eliminar 
ruído ou erros presentes). Na Figura 1.3 são apresentados alguns exemplos 
de sinais médicos. 
Como exemplo podem ser citados: análise dados de eletrocardiograma [2] e 
tomografia, identificação e reconhecimento de Íris [3, 4], identificação e reco-
nhecimento de digital [5, 6], detecção do fator Rh do sangue [7, 8] e etc. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	5
(a)	(b)
(c)	(d)
Figura 1.3: Sinais Biomédicos: (a) imagem do globo ocular, (b) mamografia, (c) Eletrocardiograma e (d) imagem do cérebro com identificação de tumor. 
• Processamento de imagens - As técnicas de processamento de imagens são 
utilizadas para representação/modelamento, melhoria, restauração, recons-
trução, análise e codificação/compressão de imagens. Na Figura 1.4 é apre-
sentado um exemplo de aplicação nesta área. Como por exemplo pode ser 
citado: Avaliação do efeito do ruído, remoção de ruído, Estenografia e etc. 
(a) 
(b) 
Figura 1.4: 	(a) Correção de borrado e (b) compressão com JPEG. 
• Processamento de Voz e música - Na Figura 1.5 são apresentados exemplos 
�
6	INTRODUÇÃO A PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
de um sinal de voz e um sinal correspondendo a um tom de dois instrumentos musicais (violão e piano). Algumas aplicações nesta área incluem: 
- Análise de voz - reconhecimento automático do sinal de voz e do seu conteúdo; 
- Síntese de voz - conversão da informação escrita para voz (sintética); 
- Música - introdução de efeitos sonoros, compressão, gravação e síntese, redução de distorções, etc. 
(a)	(b)
Figura 1.5:	(a) Sinal de voz original e atrasado e (b) sinal de um tom de um piano
(esquerda) e um violão (direita).
• Telefonia - Algumas das aplicações de PDS em telefonia são a detecção e geração de tons de sinalização para discagem em telefones e o cancelamento de ecos em redes telefônicas. 
• Potência - Existem várias aplicações de PDS na área de potência e, em especial, na área de medição de qualidade de energia e monitoramento do sinal da rede elétrica. 
(a)	(b)
Figura 1.6: 	(a) Aparelho para captação de sinais sísmicos e (b) exemplo das três ondas (frentes) características do sinal sísmico. 
• Sinais Sísmicos (terremotos) - PDS é utilizado para captação, preparação e 
análise do sinal sísmico. Na Figura 1.6 são apresentados o aparelho para 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	7
captação de sinais sísmicos e um exemplo das três ondas (frentes) características deste tipo sinal. 
�
Capítulo 2 
Sinais e Sistemas de Tempo 
	Discreto 
2.1 	Sinais de Tempo Discreto 
A maior parte do processamento de sinais envolve processar um sinal para 
obter outro sinal. Fisicamente, os sinais são obtidos por sensores ou transdutores e 
transformados em sinais de
 tensão ou corrente que são manipulados pelo circuito 
processador [9]. Esses sinais são informações que podem ser transmitidas ou 
processadas. 
Matematicamente, todo sinal pode ser representado como uma função em um domínio apropriado, em geral o tempo, mas outros domínios são possíveis. O sinal de voz captado pelo microfone pode ser visto como um sinal de tensão em função do tempo: para cada instante de tempo pode-se obter a intensidade da tensão para aquele instante específico. 
Sinais que tem essa propriedade são chamados de sinais contínuos, ou si-
nais analógicos e tem como característica serem contínuos no tempo e com ampli-
tude contínua, ou seja, estes sinais possuem valores de amplitude reais ou com-
plexas definidos para todos os instantes de tempo. Esses sinais não podem ser 
processados de forma digital, pois os processadores digitais são incapazes de lidar 
com números que não sejam inteiros. Na Figura 2.1 (a) é apresentado um exemplo 
deste tipo de sinal, que são frequentemente encontrados na natureza. 
Um sinal discreto no tempo, só é definido para valores de tempo inteiros, como apresentado na Figura 2.1 (c). Nesse exemplo é apresentado um exemplo de um sinal discreto no tempo com amplitude contínua. Um sinal (totalmente) discreto além de ser discreto no tempo, possui amplitude discreta, como apresentado na Figura 2.1 (b). sinal discreto. 
Sinais discretos no tempo são representados matematicamente por sequên-
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	9
Figura 2.1: (a) Sinal analógico, (b) sinal digital, (c) sinal amostrado e (d) sinal boxcar quantizado 
cias de números reais ou complexos. Assim, um sinal de tempo discreto é uma função de uma variável de valor inteiro, n, denotada por x(n) [10]. 
x=x(n), 	−∞ < n < ∞ 
Um sinal de tempo discreto é indefinido para valores não inteiros de n. Portanto, um sinal de x(n) de valor real será representado graficamente na forma mostrada na Figura 2.2. Uma das formas de se gerar esse sinal é apresentado no Exemplo Matlab 2.1. 
Figura 2.2: Sinal discreto. 
Exemplo Matlab 2.1 
n = -3:3; 
x = [-3 -2 -1 0 1 2 3]; stem(n,x) 
title(’x(n)’) 
�
10	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Na prática, um sinal digital x(n) é obtido se amostrando um sinal analógico xa(t) com um período de amostragem T 
x(n) = xa(nT ), 	−∞ < n < ∞, 
a frequência de amostragem é dada por fa = 1/T . 
2.1.1 	Sequências Fundamentais 
• Impulso unitário, δ(n), Figura2.3 (a) 
{
�
δ(n) =
�0, n = 0 
1, n = 0 
�
Um dos importantes aspectos do impulso discreto é que qualquer sequên-
cia pode ser representada como uma soma de impulsos através da seguinte 
expressão: 
∑ 
x(n) =	x(k) · δ(n − k).
k=−∞
(a)	(b)
(c)	(d)
Figura 2.3:	(a) impulso unitário, (b) degrau unitário, (c) sinal exponencial real e (d)
senoide real.
Exemplo Matlab 2.2 Função do Impulso unitário 
function [x, n] = impseq(n0, n1, n2) n = [n1:n2]; 
x = [(n-n0) == 0]; 
• Degrau unitário, u(n), Figura2.3 (b) 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	11
{
�
u(n) =
�0, n < 0 
1, n ≥ 0 
�
Em termos de “impulsos unitários”, o degrau unitário pode ser escrito da seguinte forma: 
∑ 
u(n) =	δ(n − k).
k=0 
Por sua vez, o impulso unitário pode ser escrito como a subtração de dois degraus unitários δ(n) = u(n) − u(n − 1). 
Exemplo Matlab 2.3 Função do Degrau unitário 
function [x, n] = stepseq(n0, n1, n2) 
if ((n0 < n1) | (n0 > n2) | (n1 > n2)) 
error(’arguments must satisfy n1 <= n0 <= n2’) 
end 
n = [n1:n2]; 
x = [(n-n0) >= 0]; 
•	Sequência Senoidal, Figura2.3 (d)
x(n) = A cos(ω0n + φ)
para o qual A e φ representam a amplitude e a fase do sinal, respectivamente.
•	Sequência Exponencial, Figura2.3 (c)
x(n) = Aαn 
em que A e α são números reais ou complexos. De particular interesse, é a sequência formada quando α = ejw0 , em que w0 é um número real. 
αn = ejw0n = cos(nw0) + jsen(nw0) 
2.1.2 	Duração do Sinal 
Sinais de tempo discreto podem ser classificados convenientemente em ter-
mos de sua duração ou extensão. Por exemplo,uma sequência de tempo discreto 
é dita sequência de comprimento finito se ela for igual a zero para todos os valores 
de n fora de um intervalo finito (N1, N2). Sinais que não tem tempo finito, como o 
degrau unitário e a exponencial complexa, são ditos sequências de comprimento 
infinito. 
�
12	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
2.1.3	Sequências Periódicas e Aperiódicas
Um sinal x(n) é dito periódico se, para algum inteiro real positivo N , tivermos 
x(n) = x(n + N ),	(2.1)
para todo n. Isso equivale a dizer que a sequência repete-se a cada N amostras. Se 
um sinal for periódico com período N , ele também o será com período 2N, 3N,	 
O período fundamental, N , é o menor inteiro positivo para o qual a equação 2.1 é 
satisfeita. 
Exemplo 2.1 O sinal 
{
�
x1(n) = anu(n) =
�0,	n<0 
an, n ≥ 0 
�
não é periódico, por só ter valores positivos, ao passo que o sinal 
x3(n) = ejπn/8 
é periódico e tem período fundamental de N = 16. 
Existem algumas diferenças importantes entre os sinais exponenciais e se-
noidais contínuos e discretos. A primeira diferença é que este sinais exponenciais e 
senoidais discretos são “periódicas” (tem forma de onda que se repete) com período 
2π. Analisando o caso mais genérico do sinal exponencial complexo (discreto): 
x(n) 	= |α|ej((ω0+2π)n+φ) 
= |α|ej((ω0)n+φ)ej2π = |α|ej(ω0n+φ) 
= x(n). 
Ou seja, exponenciais complexas discretas com frequência (ω0 +2πr) (r é um número 
inteiro) são indistinguíveis. Por esta razão ao representarmos este tipo de sinal nos 
limitamos a um intervalo de comprimento 2π, como por exemplo −π ≤ ω0 < π ou 
0≤ω0 <2π. 
A segunda diferença está relacionada à periodicidade no caso discreto. No 
caso contínuo as exponenciais e senoides complexas são periódicas com período 
igual a 2π/freq. No caso discreto, entretanto, nem sempre as exponenciais e senoi-
des complexas são periódicas. Por definição, uma sequência discreta é periódica 
com período N (número inteiro) quando x(n + N ) = x(n) para qualquer valor de n. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	13
Avaliando o valor do sinal x(n) = Acos(ω0n + φ) em n0 = n + N : 
x(n + N ) 	= Acos(ω0(n + N ) + φ) 
= Acos(ω0n + φ)cos(ω0N ) − sen(ω0n + φ)sen(ω0N ) 
Portanto, para que x(n + N ) = x(n) devemos ter sen(ω0N ) = 0 e cos(ω0N ) = 1. Estas igualdades são satisfeitas para ω0N = 2πk ou 2π/ω0 = N/k. 
Concluímos que x(n) é um sinal periódico se e apenas se (2π/ω0) é um número racional. Neste caso, o período de x(n) é um número múltiplo de (2π/ω0). Se (2π/ω0) não é um número racional, x(n) não é periódica. 
√
�
Exemplo 2.2 x(n) = cos( 
	√
�3n + φ) 
	√ 
�
Observa-se que ω0 =	3 e, portanto, 2π/ω0 = 2π/	3 não é um número inteiro. Sendo
assim, x(n) não é periódica. 
Exemplo 2.3 x(n) = cos(2π/3n + φ) 
Neste caso temos que ω0 = 2π/3 e, portanto, 2π/(2π/3) = 3 é um número inteiro. Logo, x(n) é periódica. 
Quando duas sequências periódicas são somadas, a sequência gerada é uma nova sequência periódica 
x(n) = x1(n) + x2(n), 
eoperíododanovasequênciaédadopor, 
N = N1N2 
mdc(N1, N2) , ou N = mmc(N1, N2) 
na qual, N1 e N2 são os períodos das sequências x1(n) e x2(n), respectivamente. 
Exemplo 2.4 x(n) = ej1π6 ncos(nπ/17)
�
N1 = 2π 
	w0 =
�2π
π/16 = 32 
	N =
�2π
N2 = 2π
w0 = π/17 = 34
32 · 34 
�
mdc(32, 34) = 544 
2.1.4 	Sequências Simétricas 
Definição 1 Um sinal de valor real é dito par se, para todos os n, 
x(n) = x(−n) 
ao passo que um sinal é dito ímpar se, para todos os n, 
x(n) = −x(−n) 
�
14	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto em uma soma de suas partes par, xp(n), e ímpar, xi(n), como segue: 
x(n) = xp(n) + xi(n) 
xp(n) = 1/2(x(n) + x(−n)) 
xi(n) = 1/2(x(n) − x(−n)) 
Definição 2 Um sinal de valor complexo é dito conjugado simétrico se, para todos os n, tivermos 
x(n) = x∗(−n) 
eoconjugadoanti-simétrico
x(n) = −x∗(−n)
2.1.5	Manipulações de Sinal
Frequentemente, as sequências são alteradas e manipuladas modificandose o índice n como segue: 
y(n) = x(f (n)) 
em que f (n) é uma função de n. Se, para algum valor n, f (n) for inteiro, y(n) = x(f (n)) é indefinida. As transformações mais comuns incluem deslocamento, inversão e escalamento, as quais são definidas como segue. 
Deslocamento 
Essa é a transformação definida por f (n) = n − n0. Sendo y(n) = x(n − n0), x(n) é deslocada de n0 amostras à direita, se n0 for positivo (isso é referido como retardo ou atraso) e ela é deslocada de n0 amostras à esquerda se n0 for negativo (referido como uma avanço ou adiantamento). 
Exemplo Matlab 2.4 Função Deslocamento no tempo 
function [y,n] = sigshift(x, m, n0) n = m + n0; 
y = x 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	15
Inversão 
Essa transformação é dada por f (n) = −n e envolve simplesmente o "espelhamento" do sinal x(n) em relação ao índice n. 
Exemplo Matlab 2.5 Função Inversão no Tempo 
function [y,n] = sigfold(x,n) 
y = fliplr(x); 
n = -fliplr(n); 
Escalonamento (Mudança de Escala) de Tempo 
Essa transformação é definida por f (n) = M n ou f (n) = n/M , em que M 
e n são números inteiros positivos. No caso de f(n) = Mn, a sequência x(Mn) é 
formada tomando-se cada M -ésima amostra de x(n) (essa operação é conhecida 
como down-sampling). Para f (n) = n/M , a sequência y(n) = x(f (n)) é chamada de 
up-sampling. 
Exemplo 2.5 Dado x(n), Figura 2.4, pode ser obtido os sinais x(n − 2), x(2n), x(−n) e x(n/2) como apresentado na Figura 2.5 
Figura 2.4: Sinal x(n). 
2.1.6 	Operações Básicas 
As operações básicas para sinais discretos são: 
• Soma: y(n) = x1(n) + x2(n) 
• Multiplicação por uma constante: y(n) = αx1(n) 
• Produto: y(n) = x1(n) · x2(n) 
�
16	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
(a) Sinal x(n-2)	(b) Sinal x(2n)
(c) Sinal x(- n)	(d) Sinal x(n/2)
Figura 2.5: Resultado do Exemplo 2.5. 
2.1.7 	Decomposição do Sinal 
A amostra unitária pode ser usada para decompor um sinal arbitrário x(n) em uma soma de amostras unitárias e deslocadas como segue 
x(n) = . . . + x(−1)δ(n + 1) + x(0)δ(n) + x(1)δ(n − 1) + x(2)δ(n − 2) + . . . 
∑ 
x(n) =	x(k)δ(n − k)
k=−∞ 
2.2 	Sistemas Discretos no Tempo 
Matematicamente, um sistema discreto no tempo é definido como uma trans-
formação ou um operador que mapeia valores x(n) (sinal de entrada) em y(n) = 
{T x(n)} (sinal de saída) por meio de um conjunto fixo de regras ou operações. Uma 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	17
representação de um sistema discreto genérico é apresentado na Figura 2.6. 
Figura 2.6: Sistema Discreto. 
Como exemplo de um sistema discreto temos o sistema deslocador definido 
por y(n) = x(n − n0). Para n0 > 0 o sistema é atrasado e para n0 < 0 o sistema é 
adiantado. 
Outro exemplo de um sistema discreto é o sistema de média deslizante
�
y(n) =
�
1	∑
M1 + M2 + 1
k=−M1
�
x(n − k) 
�
para o qual a saída y(n0) é a média das amostras de x(n) desde n = n0 − M1 até n=n0 −M2. 
Os sistemas de tempo discreto podem ser classificados em termos de suas propriedades. As de interesse mais comum são, a invariância ao deslocamento, a causalidade, a estabilidade e a invertibilidade. 
2.2.1 	Propriedades dos Sistemas Discretos 
Sistemas Sem Memória 
Definição 3 Um sistema é dito sem memória se a saída no tempo n = n0 depender apenas da entrada nesse mesmo tempo n = n0. 
Exemplo 2.6 O sistema 
y(n) = x2(n) 
é sem memória porque y(n0) depende apenas do valor de x(n) no tempo n0. O sistema 
y(n) = x(n) + x(n − 1) 
por outro lado, tem memória porque asaída no tempo n0 depende dos valores de entrada no tempo n0 e também no tempo n0 − 1. 
Aditividade 
Um sistema aditivo é aquele cuja resposta a uma soma de entradas é igual à soma das entradas tomadas separadamente. 
�
18	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Definição 4 Um sistema é dito aditivo se tivermos 
T [x1(n) + x2(n)] = T [x1] + T [x2]	(2.2)
para quais sinais x1(n) e x2(n). 
Exemplo 2.7 Dado o sistema 
y(n) = x2(n) 
x(n − 1) 
para ser aditivo deve ser feito a seguinte verificação. 
T [x1(n) + x2(n)] = T [x1] + T [x2] 
(x1(n) + x2(n))2	21(n)	x2(n)
x1(n − 1) + x2(n − 1) = x1(n−1)+	x2(n − 1)
x1(n) + 2x1(n)x2(n) + x2(n)
�
x1(n − 1) + x2(n − 1)
�= x1(n) 
	x1(n − 1) + x2 (n − 1) 
�
por conta das equações serem diferentes podemos concluir que o sistema não é 
aditivo. 
Homogeneidade 
Um sistema é dito homogêneo se fazendo um escalamento na entrada por uma constante, resultar em um escalamento de mesmo valor na saída. 
Definição 5 Um sistema é dito homogêneo se 
T [cx(n)] = c T [x(n)]	(2.3)
para qualquer constante complexa c e para qualquer sequência de entrada x(n). 
Exemplo 2.8 Dado o mesmo sistema do Exemplo 2.7, para saber se o sistema é homogêneo deve ser feito a seguinte verificação. 
T [cx(n)] = c T [x] 
(cx(n))2	2(n)
cx(n − 1) = c x(n−1)
c2x1(n)	2(n)
cx(n − 1) = c x(n−1)
�
c x1(n)
�
n−1) 
�
como existe a igualdade o sistema é considerado homogêneo. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	19
Exemplo 2.9 Verificar se o seguinte sistema é aditivo e homogêneo. 
y(n) = x(n) + x∗(n − 1) 
Teste da aditividade: 
T [x1(n) + x2(n)] = T [x1] + T [x2] 
x1(n) + x2(n) + x1(n − 1) + x2(n − 1) = x1(n) + x1(n − 1) + x2(n) + x2(n − 1) 
logo o sistema é aditivo. 
Teste da homogeneidade: 
T [cx(n)] = c T [x] 
cx(n) + (cx(n − 1))∗ = c(x(n) + x(n − 1)) 
cx(n) + c∗x∗(n − 1) = cx(n) + cx(n − 1) 
pela diferença entre as equações o sistema é não homogêneo. 
Sistemas Lineares 
Um sistema é dito linear se for simultaneamente aditivo e homogêneo. 
Definição 6 Um sistema é linear se, dado o y1(n) = T {x1(n)} e o y2(n) = T {x2(n)},
tem-se
T {ax1(n) + bx2(n)} = ay1(n) + by2(n). 
para quaisquer duas entradas x1(n) e x2(n) e para quaisquer constantes complexas 
aeb. 
Sistemas Invariantes ao Deslocamento (Tempo) 
Definição 7 Os sistemas invariantes no tempo são os quais um deslocamento na entrada x(n) causa um deslocamento na saída y(n) = T {x(n)}. Ou seja, se x1(n) = x(n − n0), temos que T {x1(n)} = T {x(n − n0)} = y(n − n0). 
Exemplo 2.10 Sabendo que y(n) = x2(n), determine se esse sistema é invariante ao deslocamento. 
1º Passo: Substituir x(n) por x(n − n0). 
y′(n) = x2(n − n0) 
2º Passo: Substituir n por n − n0. 
�
20	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
y′′ (n) = x2(n − n0) 
como existe a igualdade (y′ = y′′ ), o sistema é considerado invariante ao desloca-
mento. 
Exemplo 2.11 Sabendo que y(n) = e−nx(n), determine se esse sistema é invariante ao deslocamento. 
1º Passo: Substituir x(n) por x(n − n0). 
y′(n) = e−nx(n − n0) 
2º Passo: Substituir n por n − n0. 
y′′ (n) = e−(n−n0)x(n − n0) 
como não existe a igualdade (y′ = y′′ ), o sistema é considerado variante (ou não invariante) ao deslocamento. 
Sistemas Lineares Invariantes ao Deslocamento 
Um sistema que é linear e também invariante ao deslocamento é dito sistema linear invariante ao deslocamento (LSI - Linear Shift Invariant). 
Sistemas Causais 
Definição 8 Um sistema é dito causal se, para qualquer n0, a resposta do sistema no 
tempo n0 depender apenas dos valores de entrada até n = n0. Em outras palavras, 
a saída do sistema só depende de amostras da entrada no “passado” ou “presente”. 
Exemplo 2.12 
y(n) = x(n) + x(n − 1) 
é causal porque o valor da saída e, qualquer tempo n = n0 depende apenas da entrada nos tempos n0 e n0 − 1. 
y(n) = x(n) + x(n + 1) 
é não causal porque a saída no tempo n = n0 depende dos valores da entrada no tempos n0 + 1. 
Sistemas Estáveis 
Definição 9 Um sistema é estável quando obedece à seguinte regra: Se o sinal de entrada tem amplitude limitada para todos os instantes de tempo, ou seja: 
|x(n)| ≤ βx < ∞, ∀n, 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	21
a sua saída também tem amplitude limitada para todos os instantes de tempo:
|y(n)| ≤ βy < ∞,	∀n.
2.3	Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Há uma série de propriedades interessantes de sistemas que combinam as propriedades de linearidade e invariância no tempo - os chamados Sistemas Lineares Invariantes no Tempo ou Sistemas LIT. 
Se combinarmos a propriedade de superposição com a representação de uma sequência como uma série de impulsos unitários, obtemos
�
{ 
y(n) = T
�
∑
�} 
x(k)δ(n − k) 
�
k=−∞ 
∑ 
=	x(k)T {δ(n − k)}
k=−∞ 
∑ 
=	x(k)h(n − k)
k=−∞ 
no qual T {δ(n)} = h(n) é a resposta impulsiva do sistema. Como o sistema é invariante no tempo T {δ(n − k)} = h(n − k). 
A equação acima demonstra que o sistema LIT é completamente caracterizado pela sua resposta impulsiva h(n). Em outras palavras, é possível utilizar h(n) para calcular a saída y(n) para qualquer entrada x(n) utilizando, 
∑ 
y(n) =	x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n)	(2.4)
k=−∞ 
que é a convolução linear discreta no tempo de x(n) e h(n). 
Exemplo Matlab 2.6 Convolução 
Seja x(n) = {0, 1, 2, 3, 2, 1} e g(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1}. Plote x1(n) = x(n) ∗ g(n). 
x = [0 1 2 3 2 1]; g = [1 1 1 1 1 1]; 
n = (0:1:length(x) + length(g)-2); c=conv(x,g); 
stem(n,c,’k’) 
2.3.1 	Convolução Linear Discreta 
A convolução é a relação entre a entrada de um sistema linear invariante ao deslocamento, x(n), e a saída, y(n), que é dada pela equação 2.4. O procedimento para cálculo da convolução consiste nos seguintes passos: 
�
22	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
1. obter a sequência espelhada de h(k), h(−k); 
2. deslocar h(−k) de n = n0 amostras, ou seja, obter h(n − k); 
3. somar os valores do produto x(k)h(n0 − k) para todos os valores de k; 
4. repetir os itens 2 e 3 para todos os valores de n. 
A seguir, segue exemplos do cálculo da convolução de duas sequências dis-
cretas.
Exemplo 2.13 Convolução de uma sequência com um impulso unitário
∑
y(n) = x(n) ∗ δ(n) =	x(n − k)δ(k).
k=−∞
Reescrevendo a expressão acima obtemos
∑	∑
y(n) =	x(n − k)δ(k) + x(n)δ(0) +	x(n − k)δ(k)
k=−∞	k=1
como δ(k) = 0 para k = 0 e δ(0) = 1, a expressão acima se reduz a y(n) = x(n). 
Exemplo 2.14 Convolução dos sinais, h(n) e x(n), apresentados na Figura 2.7. 
Figura 2.7: Sinais do Exemplo 2.14. 
1º passo Escolha uma das sequências e inverta, h(−k) 
2º passo Desloque de n a sequência invertida no tempo. 
- Para n < 0, temos: 
x(k)h(n − k) = 0. 
- Para 0 ≤ n ≤ 4, temos: 
para n = 0, temos os gráficos na Figura 2.8. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	23
Figura 2.8: Sinais do Exemplo 2.14 para n = 0. 
y(0) = x(−1)h(−1) + x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) 
	y(0) = 0 · 3 + 0 · 2 + 1 · 1 + 1 · 0 + 1 · 0 = 1 
para n = 1, temos os gráficos na Figura 2.9. 
Figura 2.9: Sinais do Exemplo 2.14 para n = 1. 
y(1) = x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) + x(3)h(3) 
	y(1) = 0 · 3 + 1 · 2 + 1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0 = 3 
para n = 2, temos os gráficos na Figura 2.10. 
�
24	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Figura 2.10: Sinais do Exemplo 2.14 para n = 2. 
y(2) = x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) + x(3)h(3) 
	y(2) = 0 · 0 + 1 · 3 + 1 · 2 + 1 · 1 + 0 · 0 = 6 
para n = 3, temos os gráficos na Figura 2.11. 
Figura 2.11: Sinais do Exemplo 2.14 para n = 3. 
y(3)= x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) + x(3)h(3) + x(4)h(4) 
	y(3) = 0 · 0 + 1 · 0 + 1 · 3 + 1 · 2 + 0 · 1 = 5 
para n = 4, temos os gráficos na Figura 2.12. 
y(4) = x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) + x(3)h(3) + x(4)h(4) + x(5)h(5) 
	y(4) = 0 · 0 + 1 · 0 + 1 · 0 + 1 · 3 + 0 · 2 = 3 
- para n > 4, temos que não sobreposição dos sinais, logo y(n) = 0. 
Assim podemos representar o sinal de y(n) como mostrado na Figura 2.13. 
Exemplo 2.15 Convolução dos seguintes sinais, h(n) = u(n) − u(n − N ) e x(n) = 
anu(n) . Na Figura 2.14(a) é apresentado o gráfico de x(k) e h(n − k) para um valor 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	25
Figura 2.12: Sinais do Exemplo 2.14 para n = 4. 
Figura 2.13: Sinal y(n) do Exemplo 2.14. 
n < 0. Podemos observar que para n < 0 o produto x(k)h(n−k) = 0 e, portanto, y(n) = 0, n < 0 . 
Para o intervalo 0 ≤ n e (n − N + 1) ≤ 0, as sequências se sobrepõem conforme 
apresentado na Figura 2.14(b). Estas duas condições podem ser combinadas para 
obter o intervalo 0 ≤ n ≤ N −1. Observa-se que para este intervalo o produto x(k)h(n− 
k) é dado por 
x(k)h(n − k) = ak, para 0 ≤ k ≤ n. 
Somando o produto para todos os valores de k, obtemos 
∑	∑
y(n) =	x(k)h(n − k) =	ak, para	0≤n≤N−1.
k=0	k=0
Utilizando a expressão para série de potência
∑
�
αk = αN1 − αN2+1
1−α
N1
obtemos
�, N2 ≥ N1, 
�
26	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
�
y(n) = 1 − an+1, para 
	1−a
�
0≤n≤N−1. 
�
Para o intervalo 0 < (n − N − 1) e n > (N − 1), temos que as sequências se sobrepõem conforme apresentado na Figura 2.14(c). Observa-se que para este intervalo o produto x(k)h(n − k) é dado por 
x(k)h(n − k) = ak, para (n − N + 1) ≤ k ≤ n. 
Somando o produto para todos os valores de k, obtemos 
∑	∑
y(n) =	x(k)h(n − k) =	ak, para	0≤n≤N−1
k=n−N +1	k=n−N +1
Utilizando novamente a expressão para série de potência, obtemos
�
y(n) = a(n−N +1) − an+1 
	1−a
ou
y(n) = a(n−N +1) 1 − aN
�
, para 0≤n≤N−1 
�
1−a , para 0≤n≤N−1 
Na Figura 2.14 (d) o sinal y(n) = x(n) ∗ h(n) é esboçado para todos os valores de para n. 
Figura 2.14: Sinais do Exemplo 2.13. 
2.3.2 	Propriedades dos Sistemas LIT 
Como já mencionado, para sistemas LIT a saída em qualquer instante de 
tempo pode ser calculada pela convolução da resposta impulsiva do sistema com 
a entrada, Equação 2.4. Para este tipo de sistema, as seguintes propriedades são 
válidas: 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	27
• Comutativa 
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n) 
• Aditiva 
x(n) ∗ (h1(n) + h2(n)) = x(n) ∗ h1(n) + x(n) ∗ h2(n) 
• Cascata - Na Figura 2.15(a) é apresentado um sistema que consiste da cascata de dois sistemas com respostas impulsivas h1(n) e h2(n). Observe que se considerarmos que a saída de h1(n) é x1(n) podemos escrever 
Figura 2.15: 	(a) sistemas em cascata e (b) sistemas em paralelo. 
x1(n) = x(n) ∗ h1(n). 
Logo, a saída y(n) pode ser expressa como 
y(n) = x1(n) ∗ h2(n) = x(n) ∗ h1(n) ∗ h2(n). 
Portanto, a resposta impulsiva do sistema em cascata é h1(n) ∗ h2(n) que é igual a (h2(n) ∗ h1(n)) devido a propriedade comutativa. 
• Paralelo - Na Figura 2.15(b) é apresentado um sistema que é formado por dois sistemas em paralelo com respostas impulsivas h1(n) e h2(n). Observa-se do diagrama que 
y(n) = x(n) ∗ h1(n) + x(n) ∗ h2(n). 
�
28	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Utilizando a propriedade aditiva, obtemos 
y(n) = x(n) ∗ (h1(n) + h2(n)) 
De onde concluímos que a resposta impulsiva do sistema é dada por (h1(n) + h2(n)), que é igual a (h2(n) + h1(n)) (propriedade comutativa). 
• Estabilidade - Um sistema LIT é estável se 
∑ 
S =	|h(k)| < ∞
k=−∞ 
2.4	Exercícios
Exercício 2.1 Mostre que se x1[n] é um sinal ímpar e x2[n] é um sinal par então x1[n]x2[n] é um sinal ímpar. 
Exercício 2.2 Mostre que x(n) = ej2n + ej3n = 2ej2,5ncos(0, 5n). 
	Obs. cos(n) = [ejn + e−jn]/2 e sen(n) = [ejn − e−jn]/(2j) 
Exercício 2.3 Considere o sinal de x(n) como da figura abaixo e responda as seguintes questões, apresentando os gráficos do Matlab: 
a) x(n − 2) 
b) x(4 − n) 
c) x(2n) 
c) x(2n/3)u(2 − n) 
d) x(n/4)δ(n + 8) 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	29
Figura 2.16 
Exercício 2.4 Considere um sistema (h(n)) formado por dois sistemas em série (h1(n) 
e h2(n)). Como pode ser expresso h(n), se h1(n) = x1(n) e h2(n) = x2(n), da Fi-
gura 2.16. Depois realize as seguintes transformações, apresentando os gráficos do 
Matlab. 
a) h(n − 2) 
b) h(4 − n) 
c) h(2n) 
d) h(n)u(2 − n) 
e) h(n − 1)δ(n − 3) 
Exercício 2.5 Considere um sistema (h(n)) formado por tês sistemas, h1(n) e h2(n) em série e h3(n) em paralelo. Como pode ser expresso h(n), se h1(n) = x1(n), h2(n) = x2(n) e h3(n) = x3(n). Depois realize as seguintes transformações, apresentando os gráficos do Matlab. 
a) h(n + 2) 
b) h(4 − n) 
c) h(n/2) 
d) h(n)u(n − 2) 
Exercício 2.6 Esboce os seguintes sinais u(−n), u(−n + 5), u(−n/3 − 5), x(n)δ(n − 2). 
Exercício 2.7 Diga se os seguintes sistemas são sem memória, aditivo, homogêneo, linear e causal. Explicando cada uma das características. 
a) y(n) = x(n)u(n − 2) 
b) y(n) = x2(n)u(n − 2) 
c) y(n) = x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) 
�
30	SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
d) y(n) = x(n) + x(n − 1) + δ(n − 2) 
e) y(n) = x(n)δ(n − 2) + x(n − 1) 
Exercício 2.8 Sabendo que x(n) = cos(πn/15) + sen(πn/5), calcule o período do sinal. 
Exercício 2.9 Sabendo que x(n) = cos(πn/10) + sen(πn/2), calcule o período do sinal. 
Exercício 2.10 Sabendo que x(n) = anu(n), encontre a parte par e impar do sinal. 
Exercício 2.11 Sabendo que x(n) = u(n + 1) − u(n − 3), encontre a parte par e impar do sinal. 
Exercício 2.12 Encontre y(n/2) e y(3n/2), sabendo que y(n) = x(n) ∗ h(n), apresentando os gráficos do Matlab. 
x[n] = 0, 5n[u(n) − u(n − 6)]
�
( 
h[n] = 2sen
�
nπ) 
	2
�
[u(n + 3) − u(n − 4)] 
�
Exercício 2.13 Para cada um dos casos abaixo, calcule a convolução linear para determinar a saída y[n] de um sistema LID com entrada x[n] e resposta ao impulso h[n], apresentando os gráficos do Matlab. 
a) x[n] = (1/2)nu[n] e h[n] = u[n] 
b) x[n] = u[n] e h[n] = (1/3)n(u[n] − u[n − 4]) 
Exercício 2.14 Determine se os sinais a seguir são periódicos. Se o forem, encontre o período fundamental:
�
a) e j 6
�
cos(πn/7) 
�
b) sen(0, 2n + π) 
Exercício Matlab 2.1 Esboce os gráficos das seguintes sequências discretas, considerando ↑ como sendo n = 0: 
x1(n) =	{ 3,	0,	2,	1,	5,	7,	0,	0,	1,	1}
↑ 
x2(n) =	{ -4,	-3,	-2,	-1,	0,	1,	2,	3,	4}
↑ 
x3(n) =	{ 0,	0,	0,	1,	0,	0,	0}
↑ 
x2(n) =	{ 0,	0,	0,	0,	0,	0,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	1}
↑ 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	31
Exercício Matlab 2.2 Seja x[n] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}.
a) Plote x1(n) = 2x(n − 5)
b) Plote x2(n) = x(−n)
c) Plote x3[n] = δ(n − 6),	1≤n≤11
d) Plote x4[n] = δ(n + 2) − δ(n − 4),	−5 ≤ n ≤ 5
e) Plote x5[n] = u(n − 6),	1≤n≤11
f) Plote x6[n] = nu(n) − u(n − 10),	0≤n≤20
Exercício Matlab 2.3 Esboce os gráficos das seguintes sequências discretas:
a) x[n] = 2cos(ωn/6)
b) x[n] = cos(3πn/8),	0≤n≤30.
c) x2[n] = cos(n),	0≤n≤30
d) x3[n] = 5cos(0, 5πn + π/4) + 2sen(0, 5πn)	0≤n≤30
e) x4[n] = (0, 8)n	0≤n≤99
f) x5[n] = (1, 5)n	0≤n≤49
g) x6[n] = (−0, 8)n	0≤n≤99
h) x7[n] = (−1, 5)n	0≤n≤49
�
Capítulo 3 
Transformada de Fourier 
A análise de Fourier é uma família de técnicas matemáticas, todas elas baseadas na decomposição de sinais em senóides. Apartir da classificação dos sinais, contínuos ou discretos e periódicos ou aperiódicos, a família da transformada de Fourier é classificada [10]: 
• Sinais contínuos e aperiódicos: Transformada de Fourier; 
• Sinais contínuos e periódicos: Série de Fourier; 
• Sinais discretos e aperiódicos: Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT - Discrete-Time Fourier Transform); 
• Sinais discretos e periódicos: Transformada Discreta de Fourier ou Série de Fourier Discreta (TFD - Discrete Fourier Transform). 
Todos os quatro membros da família de transformadas de Fourier assumem que os sinais sob análise têm duração infinita. Porém, para analisar os sinais com um computador ou um DSP (Digital Signal Processor), os sinais têm necessariamente que ter duração finita. Desta forma, temos que fazer com que os sinais "pareçam" ter duração infinita, sendo feito de duas maneiras: considerar que o sinal é nulo fora do intervalo de análise (aperiódico - DTFT) e considerar que o sinal se repete periodicamente (periódico - TFD) 
3.1 	A Transformada de Fourier de Tempo Discreto 
A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) de uma sequência 
discreta no tempo x[n] é uma representação de uma sequência em termos de expo-
nenciais complexas ejωn, para o qual ω é a frequência real. A DTFT X(ejω ) de uma 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	33
sequência x[n] é definida por: 
∑ 
X(ejω ) =	x[n]e−jωn.
n=−∞ 
A DTFT de x[n] é uma função contínua de ω. Entretanto, ao contrário da Transfor-
mada de Fourier de Tempo Contínuo (TFTC), a DTFT é uma função periódica em ω 
com período 2π. A inversa da DTFT é calculada utilizando a seguinte expressão
�
x[n] =
Exemplo 3.1 x[n] = δ[n]
X(ejω )
�1
2π
=
�∫ π
X(ejω )ejωn.
−π
∑
δ[n]e−jωn
n=−∞ 
�
= 1
Exemplo 	3.2 	x[n] = αnu[n], |α| < 1 
∑	∑
X(ejω )	=	αnu[n]e−jωn =	αne−jωn
n=−∞	n=0
∑	1
=	(αe−jω )n =
n=0	1−αe−jω
Exemplo	3.3	x[n] = −αnu[−n − 1], |α| > 1
∑	∑
X(ejω )	=	−αnu[−n − 1]e−jωn = −	αne−jωn
n=−∞	n=−∞
∑	∑
= −	α−nejωn = −	(α−1 · ejω )n + 1
n=1	n=0
1	1
�
= −
∑
Exemplo 3.4 X(ejω ) =
n=−∞
�1−α−1ejω +1= 1−αe−jω
2π δ(ω − ω0 + 2πr)
1	∫ π 	∑
�
x[n]	=
=
�2π 	−π
1	∫ π
2π 	−π
�2πδ(ω − ω0 + 2πr)ejωn
n=−∞
2πδ(ω − ω0)ejωn 
�
∴ x[n]	= ejω0n, ∀n
�
34	TRANSFORMADA DE FOURIER
3.1.1	Propriedades Básicas da DTFT
Como a DTFT é uma função complexa de uma variável real ω, podemos expressá-la da seguinte forma 
X(ejω ) = Xre(ejω ) + jXim(ejω ), 
para a qual Xre(ejω ) e Xim(ejω ) correspondem, respectivamente, à parte real e à parte imaginária de X(ejω ): 
1	{
Xre(ejω )	=	X(ejω ) + X∗(ejω )} ,
2
1	{
Xim(ejω )	=
�
2
�X(ejω ) − X∗(ejω )} . 
�
A DTFT também pode ser expressa na sua forma polar 
X(ejω ) = |X(ejω )|ejθ(ω), 
para a qual 
{ 
θ(ω) = arg	X(ejω )} .
|X(ejω )| é a magnitude de X(ejω ), enquanto que θ(ω) é a fase. As relações entre as
formas polares e retangulares são as seguintes

Xre(ejω )	=	X(ejω )cos θ(ω),

Xim(ejω )	=	X(ejω )sen θ(ω),
	2
X(ejω )	= X(ejω)X∗(ejω)=	re(ejω ) + 	im(ejω ),
tan θ(ω)	= Xim(ejω )
Xre(ejω ) . 
3.1.2	Relações de Simetria da DTFT
Uma função x[n] pode ser expressa como a soma de suas partes conjugadas
simétrica e anti-simétrica:
x[n] = xcs[n] + xca[n],
para a qual a parte conjugada simétrica é dada por
�
xcs[n] = x[n] + x∗[−n] 
	2
eaparteconjugadaanti-simétricaédadapor
�
= xcs[−n],
�
xca[n] = x[n] − x∗[−n] 
	2
�
= −xca[−n]. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	35
Da mesma forma, a DTFT X(ejω ) também pode ser expressa como a soma de suas partes conjugadas simétrica e anti-simétrica: 
X(ejω ) = Xcs(ejω ) + Xca(ejω ), 
para a qual a parte conjugada simétrica é dada por 
[ 
Xcs(ejω ) = 1
�
2
�X(ejω ) + X∗(e−jω )] = 	cs(e−jω ) 
�
eaparteconjugadaanti-simétrica
�
Xca(ejω ) = X(ejω ) − X∗(e−jω ) 
	2
Se x[n] é real (x∗[n] = x[n])
�
= − 	ca(e−jω ). 
�
xcs[n] = xp[n] = xp[−n]
�
e
�
xca[n] = xi[n] = −xi[−n].
Para uma sequência complexa x[n] com DTFT X(ejω ), calculemos a DTFT de x[−n]:
∑	∑
DTFT{x[−n]} =	x[−n]e−jωn =	x[m]ejωm = X(e−jω ).
n=−∞	m=∞
Logo, DTFT{x[−n]} = X(e−jω ). De maneira similar, calculando a DTFT de x∗[n]
�
∑
DTFT{x∗[n]} =
n=−∞
�(
∑
x∗[n]e−jωn =
n=−∞
�)∗ 
x[n]e−jωm 	=X∗(e−jω). 
�
Ou seja, DTFT{x∗[n]} = X∗(e−jω ). Combinando estas duas expressões obtemos que DTFT{x∗[−n]} = X∗(ejω ). 
As Propriedades de simetria da DTFT de uma sequência complexa são apresentadas na Tabela 3.1 e as de sequência real na Tabela 3.2: 
3.1.3 	Teoremas da DTFT 
Nesta seção são apresentados os Teoremas da DTFT. 
Linearidade 
ax[n] + by[n] ↔ aX(ejω ) + bY (ejω ) 
�
36	TRANSFORMADA DE FOURIER
Tabela 3.1: Propriedades de Simetria da DTFT de uma sequência complexa.
Sequência	DTFT
x[n]	↔	X(ejω )
x[−n]	↔	X(e−jω )
x∗[n]	↔	X∗(e−jω)
x∗[−n]	↔	X∗(ejω)
Re{x[n]}	↔	Xcs(ejω )
jIm{x[n]}	↔	Xca(ejω )
xcs[n]	↔ XR(ejω ) = Re{X(ejω )}
xca[n]	↔ jXI(ejω) = jIm{X(ejω)}
Tabela 3.2: Propriedades de Simetria da DTFT de uma sequência real.
Sequência	DTFT
x[n]	↔ XR(ejω ) + jXI(ejω )
xp[n]	↔ XR(ejω )
xi[n]	↔ jXI(ejω)
X(ejω )	= X∗(e−jω)
XR(ejω )	= XR(e−jω )
Relações	XI(ejω )	=	−Im{X(e−jω )}
de Simetria	|X(ejω )|	=	|X(e−jω )|
arg{X(ejω )}	=	−arg{X(ejω )}
∑	∑	∑
DTFT {ax[n] + by[n]}	=	(ax[n] + by[n]) e−jωn = a	x[n]e−jωn + b	y[n]e−jωn
n=−∞	n=−∞	n=−∞
= aX(ejω ) + bY (ejω )
Deslocamento no Tempo
x[n − n0] ↔ ejωn0 X(ejω )
∑	∑
DTFT {x[n − n0]}	=	(x[n − n0]) e−jωn =	x[m]e−jω(m+n0) = e−jωn0 X(ejω )
n=−∞	m=−∞
Deslocamento na Frequência
ejω0nx[n] ↔ X(ej(ω−ω0))
�
{
�
∑
�
(
�
∑ 
�
DTFT	ejω0nx[n]}	=	ejω0nx[n]) e−jωn =	x[n]e−j(ω−ω0)n = X(ej(ω−ω0))
�
n=−∞	n=−∞
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	37
Inversão no Tempo
x[−n] ↔ X(e−jω )
∑	∑
DTFT {x[−n]}	=	x[−n]e−jωn =	x[m]ejωn = X(e−jω )
n=−∞	m=∞
Derivação na Frequência
nx[n] ↔ j ∂X(ejω )
∂ω
∑	∑	−1	∂	(
�
DTFT {nx[n]} =
n=−∞
Convolução no Tempo
�(nx[n]) e−jωn =
n=−∞
�j	∂ω
�x[n]e−jωn) = j ∂ 
	∂ωX(ejω) 
�
x[n] ⊛ y[n] ↔ X(ejω )Y (ejω )
�
∑	∑	∑
�
DTFT {x[n] ⊛ y[n]}	=	(x[n] ⊛ y[n]) e−jωn =	(x[k]y[n − k]) e−jωn
�
n=−∞	n=−∞k=−∞
�
∑	∑	∑
�
=	x[k]	y[n − k]e−jωn =	x[k]e−jωkY (ejω )
�
k=−∞	n=−∞	k=−∞
�
∑
�
= Y(ejω)	x[k]e−jωk = Y (ejω )X(ejω )
�
k=−∞
Modulação ou Janelamento
1	∫ π
�
x[n] · y[n] ↔ 
	2π
∑
�X(ejθ )Y (ej(ω−θ))dθ
−π
∑ 	∫ π
�
DTFT {x[n] · y[n]} =
n=−∞
�(x[n] · y[n]) e−jωn = 
	(
�x[k]e−jωn 1
2π 	−π 
n=−∞
)
�Y (ejθ )ejθndθ
�
=
�1	∫ π
2π 	−π
�∑
Y (ejθ )	x[k]e−j(ω−θ)n
n=−∞
�∫ π
dθ = 1	Y (ejθ )X(ej(ω−θ))dθ
2π 	−π 
�
38	TRANSFORMADA DE FOURIER
Relação de Parseval
�
∑
x[n] · y∗[n] ↔
n=−∞
∑ 	∑ 	1	∫ π
�
1	∫ π
X(ejω )Y ∗(ejω )dω 
2π −π
∑ 	1	∫ π
�
x[n] · y∗[n] = 	x[n] ·
n=−∞ 	n=−∞
1	∫ π
�2π
�Y∗(e−jω)ejωndω =
−π
(	)
∑
�x[n] · 	Y∗(ejω)e−jωndω
2π 	−π 
n=−∞
∫ π
�
=
Se y[n] = x[n], temos
�2π
�Y∗(ejω)
−π
∑
�x[k]e−jωn
n=−∞
1	∫ π
�dω = 1	Y∗(ejω)X(ejω)dω
2π 	−π
�
|x[n]|2 ↔
n=−∞
�2π−π
�|X(ejω )|2dω 
�
Um resumo dos teoremas da DTFT é apresentado na Tabela 3.3.
�
Tabela 3.3: Teoremas da DTFT
�
Teorema	Sequência	DTFT
�
x[n]	↔	X(ejω )
�
y[n]	↔	Y (ejω )
�
Linearidade
Deslocamento no tempo
Deslocamento na frequência
Inversão no tempo
Derivação na frequência
�
ax[n] + by[n]	↔ aX(ejω ) + bY (ejω )
x[n − n0]	↔ 	ejωn0 X(ejω )
ejω0nx[n]	↔ 	X(ej(ω−ω0))
x[−n]	↔ 	X(e−jω )
X∗(ejω), se x[n] é real
nx[n]	↔ 	j∂X(ejω) 
�
∂ω
�
Convolução	x[n] ⊛ y[n]	↔
Modulação	x[n] · y[n]	↔
∑
Relação de Parseval	x[n] · y∗[n]	↔
�
1
2π
1
�X(ejω )Y (ejω )
∫ π
X(ejθ )Y (ej(θ−ω))dθ
−π
∫ π 
	X(ejω )Y ∗(ejω )dω
�
n=−∞
�2π 	−π 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	39
3.1.4	Pares de DTFT
Na Tabela 3.4 podem ser observados alguns exemplos de pares de DTFT
para algumas das sequências mais comuns.
Tabela 3.4: Teoremas da DTFT.
�
Teorema	Sequência
δ[n]	↔
δ[n − n0]	↔
1	↔
ejω0n	↔
∑ 
cos ω0n + φ 	↔
�
[
�DTFT
1
e−jωn0
∑
2πδ(ω + 2πn)
n=−∞
∑
2πδ(ω − ω0 + 2πn)
n=−∞
]
N 
	ω0 + 2πn)
�
n=−∞
anu[n] (|a| < 1)	↔
u[n]	↔
�2 ejφδ(ω − ω0 + 2πn) + 2 e−jφδ(ω +
1
1−ae−jω
1	∑
πδ(ω + 2πn)
�
(n + 1)anu[n] (|a| < 1)
�1−e−jω + 
↔
�n=−∞
1 
�
(1 − ae−jω )2
�
rnsen(ωp(n + 1)) 
	sen(ωp)
sen(ωcn)
�
(|r| < 1)	↔
�1
1−2rcosωpe−jω +r2e−2jω
{ 
	1, |ω| < ωc
�
πn
�(|r| < 1)	↔
0, ωc ≤ |ω| ≤ π
�
rnsen(ωp(n + 1)) 
	sen(ωp)
{
�
(|r| < 1)	↔
�1
1−2rcosωpe−jω +r2e−2jω
�
x[n] =
�1, 0≤n<M 
0, c.c.
�sen (ω(M + 1)/2)
↔ 	e−jωM/2
sen (ω/2) 
�
3.2	Transformada Discreta de Fourier (TFD)
�
Considere um sinal periódico , x[n], com período N:
�
x[n] = x[n + r · N ],	∀ n, r inteiros.	(3.1)
�
Este sinal discreto e periódico pode ser representado por uma série de Fou-
�
rier:
1	∑
�
x[n]	=
�X
N
k=−∞
�[k]ej2πkn/N .	(3.2) 
�
40	TRANSFORMADA DE FOURIER
A expressão acima é composta pela soma de infinitas exponenciais. Entretanto, observamos que como k e n são números inteiros as exponenciais discretas resultantes são periódicas: 
ek[n]	= ej2N	= ek[n + r · N ],
ou, mais genericamente,
ek+lN [n]	= ej 2π(kNlN )n = ej 2N ej2πln = ej 2N	= ek[n].
Como só há N exponenciais distintas, podemos definir a Série Discreta de
Fourier como uma soma finita de exponenciais:
�
x[n] =
�
1
N
�
N∑−1
X
[k]ej2πkn/N	(3.3)
k=0 
�
Como consequência desta diferença entre as séries discretas e contínuas, temos 
que 
• No contínuo, a série de Fourier exige um número infinito de harmônicas; 
• No discreto, a TFD correspondente a um sinal discreto de período N requer apenas N exponenciais complexas. 
Como consequência, temos duas interpretações para a sequência formada pelos coeficientes da série discreta de Fourier. Estes coeficientes podem ser interpretados como 
• uma sequência de comprimento finito ou 
• uma sequência periódica definida para todos os valores de n. 
	Com o objetivo de simplificar a notação, definimos 
WN = e−j2πn/N . 
A Série Discreta de Fourier (TFD) é então definida pelos seguintes equações: 
Análise: 
N∑−1 
X[k] =	x[n]W	N	(3.4)
n=0 
Síntese: 
N∑−1 
x[n] = 1/N	X[k]WN	(3.5)
k=0 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	41
Exemplo 3.5 Calcule os coeficientes da TFD de
∑
x[n] =	δ[n − r · N ].
r=−∞
Dentro do intervalo 0 ≤ n ≤ N − 1, x[n] = δ[n]. Os coeficientes da TFD são
N∑−1	N∑−1
X[k]	=	x[n]W	δ[n]W
N =	N =	N
n=0	n=0
X[k]	= 1, ∀k.
3.2.1 	Propriedades da TFD 
Os coeficientes da TFD de um sequência periódica x[n] de período N formam uma sequência X[k], também periódica de período N , ou seja: 
x[n] ←→ X[k] 
As propriedades da TFD são semelhantes às propriedades da Série de Fourier. Entretanto, como o número de exponenciais é finito algumas diferenças podem ser observadas. 
Linearidade 
Considerando
x1[n] ←→ X˜1[k]
e 
x2[n] ←→ X˜2[k] 
temos que 
a·x˜1[n]+b·x˜2[n]←→a· 	X1[k] + b · 	X2[k] 
Deslocamento no Tempo
x[n − m] ←→ W	N	X[k]
E se m ≥ N ? Podemos escrever m = m1 + m2 · N , no qual m1 = m mod N . Logo,
x[n − m] = x[n − m1 + m2 · N ] = x[n − m1]
W	= 	=
N	N	N 	N
WN	= 	N
�
42	TRANSFORMADA DE FOURIER
Dualidade 
Devido à similaridade das expressões de x[n] (eq. 3.5) e X[k] (eq. 3.4), podemos encontrar uma relação de dualidade entre as duas expressões. Analisando as expressões de análise e síntese, obtemos: 
N∑−1 
X[k] =	x[n]WN ,	(3.6)
n=0 
N∑−1 
x[n] = 1/N	X[k]WN	(3.7)
k=0 
Observamos que as únicas diferenças são o fator 1/N e os exponenciais com potências de sinal oposto. Se fizermos n = −n′ na eq. 3.7 
N∑−1 
x[−n′] = 1/N	X[k]WN	(3.8)
k=0 
Se fizermos n′ = k e k = n na eq. 3.8, obtemos a expressão 
N∑−1 
N·x[−k]=	X[n]WN .	(3.9)
n=0 
Observe que a eq. 3.9 é idêntica a eq. 3.6, ou seja, 
X[n] ←→ N · x[−k] 
Tabela de Propriedades 
As Propriedades de simetria da TFD de uma sequência periódica são apresentadas na tabela a seguir. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	43
Sequência	DTFT
x[n]	↔	X[k]
x[−n]	↔	X[−k]
x∗[n]	↔	X∗[−k]
x∗[−n]	↔	X∗[k]
�
Re{x[n]}	↔
jIm{x[n]}	↔
xe[n] = 1/2 (x[n] + x∗[−n])	↔
xo[n] = 1/2 (x[n] − x∗[−n])	↔
Se o sinal é real
�(	)
Xe[k] = 1/2	X[k] + X∗[−k]
(	)
Xo[k] = 1/2	X[k] − X∗[−k]
Re{ X[k]} 
jIm{ X[k]}
X[k] = X∗[−k]
Re X[k] = Re X[−k] 
ImX[k]= Im X[k] 
	 	 	 	 
�
X[k]=	X[−k]
∠X[k]=−∠X[−k] 
3.2.2 	Convolução Periódica 
Se x1[n] e x2[n] são periódicas com período N e 
	x1[n] ←→ X˜1[k] 
e 
x2[n] ←→ X˜2[k]. 
Definimos a sua convolução periódica como 
N∑−1
�
x3[n] =
Prova:
�x1[m]x˜2[n − m] ←→ X3[k] = X1[k] · X2[k].
m=0
(	) 
�
N∑−1	N∑−1
�
X3[k]	=	x1[m]x˜2[m − n]	WN
�
n=0	m=0
�
N∑−1	N∑−1
�
=	x1[m]	x2[m − n]W	N
�
m=0	n=0
�
N∑−1	N∑−1
�
=	x1[m]X˜2[k]W	N	=X˜2[k]	x1[m]WN
�
m=0	m=0
�
=	X2[k]X˜1[k].
�
44	TRANSFORMADA DE FOURIER
3.2.3	Convolução Circular
A convolução circular para sequências finitas pode ser definida partindo-se da definição da convolução para sequências periódicas: 
N∑−1 
x3[n] =	x1[m]x˜2[n − m].
m=0 
Se utilizarmos as relações entre as sequências periódicas e de comprimento finito, definidas nas seções anteriores, e usarmos o fato que 0 ≤ n ≤ N − 1, podemos reescrever a equação anterior da seguinte forma 
N∑−1 
x3[n] =	x1[((m))N ] · x2[((n − m))N ].
m=0 
Como ((m))N = m para 0 ≤ m ≤ N − 1, a equação pode ser simplificada e obtemos 
N∑−1 
x3[n] =	x1[m] · x2[((n − m))N ],
m=0 
que é a relação que estávamos procurando. Definimos, então, a convolução circular de N pontos pela seguinte relação: 
○x2[n] 
Exemplo 3.6 Na Figura 3.1 é apresentado um exemplo de uma convolução circular 
	○x2[n] é dado por (Figura 3.2): 
x3[0] = 5 × 0 + 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 0 + 3 × 0 + 4 × 0 = 0 
x3[1] = 4 × 0 + 5 × 1 + 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 0 + 3 × 0 = 5 
x3[2] = 3 × 0 + 4 × 1 + 5 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 0 = 4 
x3[3] = 2 × 0 + 3 × 1 + 4 × 0 + 5 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 = 3 
x3[4] = 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × 0 + 4 × 0 + 5 × 0 + 0 × 0 = 2 
x3[5] = 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 + 3 × 0 + 4 × 0 + 5 × 0 = 1 
Exemplo 3.7 Na Figura 3.3 é apresentado um exemplo de uma convolução circular 
	○x2[n] é 
dado por (Figura 3.4): 
x3[0] = 5 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 + 3 × 0 + 4 × 0 = 1 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	45
x1(m)	x2(m)
6	2
5 
4 
3	1
2 
1 
0	0
−1	0	1	2	3	4	5	6	−1	0	1	2	3	4	5	6
6	x1(0−m)	6	x1(1−m)
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1
0−6	−4−2	0	2	4	6	0−6	−4	−2	0	2	4	6
x1(2−m)	x1(3−m)
6	6
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1
0	0
−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
x1(4−m)	x1(5−m)
6	6
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1
0−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	0−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
Figura 3.1:	Convolução circular de N pontos de duas sequências de comprimento
PeL,paraaqualP =5,L=2eN =6	=L+P −	1.
6	x3(m)
5 
4 
3 
2 
1 
00	1	2	3	4	5	6
Figura 3.2: Convolução circular com período igual a 6. 
x3[1] = 4 × 0 + 5 × 1 + 1 × 0 + 2 × 0 + 3 × 0 = 5 
x3[2] = 3 × 0 + 4 × 1 + 5 × 0 + 1 × 0 + 2 × 0 = 4 
x3[3] = 2 × 0 + 3 × 1 + 4 × 0 + 5 × 0 + 1 × 0 = 3 
x3[4] = 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × 0 + 4 × 0 + 5 × 0 = 2 
�
46	TRANSFORMADA DE FOURIER
x1(m)	x2(m)
6	2
5 
4 
3	1
2 
1 
0	0
0	1	2	3	4	5	0	1	2	3	4	5
x1(0 − m)	x1(1 − m)
6	6
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1
0−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	0−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6
x1(2 − m)	x1(3 − m)
6	6
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1
0	0
−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6
6	x1(4 − m)
5 
4 
3 
2 
1 
0−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6
Figura 3.3:	Convolução circular de N pontos de duas sequências de comprimento
PeL,paraaqualP =5,L=2eN =5	<L+P −1.
6	x3(m)
5 
4 
3 
2 
1 
0	0	1	2	3	4	5
Figura 3.4: Convolução circular com período igual a 5.
3.3	Algoritmos Rápidos para a Transformada Discreta de
Fourier
Como já discutido, a DFT tem um papel importante no projeto, análise e 
implementação de algoritmos e sistemas de processamento de sinais discretos no 
tempo. A exitência de algoritmos rápidos para a implementação da DFT a torna 
uma poderosa ferramenta, razão pela qual a DFT é utilizada em várias aplicações. 
Conforme definido anteriormente, a DFT de uma sequência de comprimento 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	47
finito N é dada por: 
N∑−1 
X[k] =	x[n]W	N	0≤k≤N−1,	(3.10)
n=0 
easuainversaé 
N∑−1 
x[n] = 1/N	X[k]W	N	,	0≤n≤N−1.	(3.11)
k=0 
no qual WN = e−j(2π/N ). 
Para calcular a complexidade de um algoritmo utilizado para calcular a DFT, 
nos concentraremos na sua forma de análise (eq. 3.10). Os resultados podem 
ser generalizados para a equação de síntese, uma vez que as suas formas são semelhantes. 
Analisando a eq. 3.10 podemos observar que para cada valor de k são necessárias N multiplicações complexas e (N − 1) adições complexas: 
X[k] = x[0] · W N + x[1] · WN +x[2]· 	N +...+x[N−1]· 	N 
Ou seja, na expressão acima há N “·” (multiplicações complexas) e (N − 1) “+” (adições complexas). 
Logo, o cálculo de todos os N valores de X[k] exige: 
N·N =N2 multiplicaçõescomplexas; 
N·(N−1)=N2 −N adiçõescomplexas. 
Para estimar a complexidade da DFT em termos de adições e multiplicações reais, expressamos X[k] em termos de suas componentes reais e imaginárias (lembrando que x[n] é um número complexo).
�
N∑−1
X[k]	=
n=0
�[(	)
Re{x[n]} · Re{WN }−Im{x[n]}·Im{	N } 
�
(	)]
�
+j	Re{x[n]} · Im{WN }+Im{x[n]}·Re{	N }	(3.12)
Observe que há 4 “·” (multiplicações reais) e 2 “+” (adições reais). Ou seja, cada multiplicação complexa requer 4 multiplicações reais e 2 adições reais. Com relação às adições complexas, observe que 
(a0 + jb0) + (a1 + jb1) 	= (a0 + a1) + j(b0 + b1) 
Logo, cada adição complexa requer 2 adições reais. Se temos N − 1 adições com-
�
48	TRANSFORMADA DE FOURIER
plexas: 
N∑−1 
(an + jbn) 	= (a0 + jb0) + (a1 + jb1) + . . . + (aN −1 + jbN −1) 
n=0 
= (a0 + a1 + . . . + aN −1) + j(b0 + b1 + . . . + bN −1) 
serão necessárias 2(N − 1) “+” (adições reais). No total, para cada valor de X[k], precisamos calcular: 
• N multiplicaçõescomplexas≡4·multiplicaçõesreais+2·N adiçõesreais; 
• (N − 1) adições complexas ≡ 2 · (N − 1) adições reais. 
Ou seja, para calcular os N valores de X[k] precisamos de 
4N · N = 4N 2 multiplicações reais; 
(2N + 2(N − 1)) · N = (4N 2 − 2N ) adições reais. 
Além disso, é necessário armazenar N valores complexos de x[n] e dos coeficientes 
WN . 
Como a complexidade tem uma ordem N 2, fica evidente que o cálculo da DFT para sinais com comprimento “grande” se torna impraticável. Os gráficos da Figura 3.5 dão uma idéia da diferença entre as funções com crescimento linear e funções com crescimento quadrático. Fica claro neste gráfico que a “simplificação” é um fator crucial para implementação da DFT. 
100 
90	f[n] =n
80	f[n] = 2n
f[n] = 5n
70
f[n] = n2
60
50 
40 
30 
20 
10 
2	4	6	8	10
n 
Figura 3.5: Comparação entre funções lineares e quadrática. Um breve histórico dos algoritmos rápidos para DFT: 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	49
• Runge (1905) e Danielson e Lanczos (1942) - Complexidade de N log N . Entretanto, o trabalho não chamou muita atenção porque para a ordem de valores que se trabalhava na época a diferença não era significante. 
• Goertzel (1958) - Complexidade da ordem de N 2. Não está restrito a DFT. 
• Cooley e Tukey (1965) - FFT!!! 
3.3.1	Transformada Rápida de Fourier (FFT) - Algoritmo de Dizimação
no Tempo
Considerando a expressão para cálculo da DFT:
N∑−1
X[k] =	x[n]WN ,	0≤k≤N−1.
n=0
Se considerarmos N = 2ν (potência de 2), podemos separar x[n] em termos pares
em ímpares
N∑−1	N∑−1
X[k] =	x[n]WN +	x[n]WN .	(3.13)
n par, n=0	n impar, n=0
Substituindo as variáveis n = 2 · r para n par e n = 2 · r + 1 para n ímpar, obtemos
∑	∑
X[k]	=	x[2r]W	+	x[2r + 1]W
�
r=0
∑
�
(
�
N
�
r=0
∑
�
N
( 
�
=	x[2r]	x[2r + 1]	WN)krWN.
�
r=0	r=0
�
Mas, como W N = ej(2π/N )2 = ej(2π/(N/2) = W N/2, temos
∑	∑
X[k]	=	x[2r]WN/2 + W N	x[2r + 1]W	N/2.	(3.14)
r=0	r=0
Podemos então reescrever a expressão 
X[k]	= G[k] + W N H[k]	(3.15)
no qual G[k] é uma DFT de N/2 pontos correspondente às amostras pares, en-
quanto que H[k] é uma DFT de N/2 pontos correspondente às amostras ímpares. 
	Na Figura 3.6 é apresentado o diagrama de blocos para implementação da eq. 3.14 (ou 3.15) para N = 8. Neste diagrama pode-se observar que a ordem das amostras x[n] na entrada estão separadas em um conjunto de amostras pares e um conjunto de amostras ímpares. Vale lembrar que como H[k] e G[k] são pariódicos 
�
50	TRANSFORMADA DE FOURIER
com período N/2 temos que 
H[4] = H[0]; H[5] = H[1]; H[6] = H[2]; H[7] = H[3]; H[5] = H[1]; 
G[4] = G[0]; G[5] = G[1]; G[6] = G[2]; G[7] = G[3]; G[5] = G[1]; 
e, portanto, no diagrama vemos que cada saída das duas DFT são utilizadas para calcular dois coeficientes. 
Figura 3.6: Fluxograma para cálculo de X[k]. 
E quanto a complexidade? Sabemos que o cálculo da DFT na sua implementação direta requer N 2 adições complexas e ∼ N 2 multiplicações complexas. Partindo da eq. 3.15, temos que para cálculo de 
• 2DFTdeN/2pontos: ∼2(N/2)2 adiçõescomplexase∼2(N/2)2 multiplicações complexas; 
• multiplicação por W N : N multiplicações complexas; 
• soma de H[k] e G[k]: N adições complexas. 
Logo, para calcular a DFT utilizando o esquema na Figura 3.6, são necessáriosN+2(N/2)2 =N+N2/2adiçõescomplexas; 
N+2(N/2)2 =N+N2/2multiplicaçõescomplexas. 
Para que valores esta complexidade é menor que a complexidade para o cálculo direto da DFT? Ou seja 
N+N2/2<N2 
N2/2 − N > 0. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	51
A equação acima corresponde a uma parábola com concavidade positiva e zeros em 
N =2eN =0. Ouseja,comoN >0(pordefinição),N+N2/2<N2 paraN >2. 
	Podemos continuar a simplificação do caálculo da DFT se representarmos as 
2 DFTs de N/2 pontos (ver Figura 3.6) por DFT menores através do mesmo processo de dizimação. Partindo da expressão de X[k] 
X[k] = G[k]	+ WNH[k],
no qual G[k] e H[k] são DFTs de N/2 pontos. Reescrevendo G[k] da mesma maneira
que fizemos com X[k] obtemos:
∑
G[k]	=	g[r]W	N/2	(3.16)
r=0
∑	∑
=	g[2l]WN/2 +	g[2l + 1]W	N/2	(3.17)
l=0	l=0
∑	∑
=	g[2l]WN/4 + W N/2	g[2l + 1]W	N/4,	(3.18)
l=0	l=0
no qual os somatórios correspondem a DFT de N/4 pontos. O mesmo procedimento
pode ser utilizado para H[k]
∑
H[k]	=	h[r]W	N/2	(3.19)
r=0
∑	∑
=	h[2l]WN/4 + W N/2	h[2l + 1]W	N/4.	(3.20)
l=0	l=0
Na Figura 3.7(a) é apresentado o diagrama para implementação da DFT de 4 pon-
tos utilizando as eqs.	3.16	(ou 3.19). Na Figura 3.7(b) é observado o diagrama
resultante para implementação da DFT completa. Observe que as diferenças nos
coeficientes da Figura 3.7(b) se devem a
W N/2	= WN
W N/2	= WN
W N/2	= WN
W N/2	= WN.
A decomposição continua até atingirmos uma DFT de apenas dois pontos. Neste caso, temos as seguintes relações 
∑ 
X[k]	=	x[n]W	2	= x[0]W2 +x[1]	2,
n=0 
�
52	TRANSFORMADA DE FOURIER
(a)
(b)
Figura 3.7: Fluxograma para cálculo de X[k].
como W	2= ej(2π/2) = −1 e W	2= ej(2π/2)0 = 1, a DFT de 2 pontos pode ser imple-
mentada conforme apresentado na Figura 3.8. Esta estrutura é conhecida como
Borboleta.
Figura 3.8: Borboleta: DFT de 2 pontos. 
Na Figura 3.9 nova estrutura utilizando a borboleta de 2 pontos é apresentada. Observe que para N = 8 o diagrama é formado por 3 estágios. Cada estágio requer N multiplicações complexas e N adições complexas. 
Para calcular a DFT utilizando o esquema na Figura 3.7(b), são necessários 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	53
Figura 3.9: Fluxograma de uma FFT de 8 pontos utilizando dizimação no tempo. 
N+2(N/2+2(N/4)2)=(2N+N2/4)adiçõescomplexas; 
N+2(N/2+2(N/4)2)=(2N+N2/4)multiplicaçõescomplexas. 
Se decompormos até atingirmos a DFT de 2 pontos, ou seja, ν = log2 N vezes, ao final, teremos uma complexidade igual a 
N·ν =N·log2N, 
no qual N é o número de multiplicações ou adições complexas e log2 N é o número 
de estágios. Esta complexidade representa uma redução considerável em relação a 
complexidade da implementação direta (N 2 multiplicações complexas e N 2 adições 
complexas). Vejamos uma comparação para alguns valores de N do número de 
multiplicações complexas (ou adições) necessárias para o cálculo da DFT na forma 
direta ou da FFT. 
N	DFT Direta	FFT
2	22 = 4	2·log22=2
23 = 8	82 = 64	8·log223 =24
27 = 128	1282 = 16.384	128 · log227 = 896
210 = 1.024	10242 = 1.048.576	1024 · log2210 = 10.240
O cálculo da DFT pode ser ainda mais simplificado se analisarmos a estru-
tura comum a todas as borboletas corresponde a borboleta apresentada na Figura
3.10(a). Observe que
WN	=WrNWN/2 =WrNej(2π/N)N/2 =−WN.
�
54	TRANSFORMADA DE FOURIER
Logo, podemos colocar W N em evidência no fluxograma, obtendo uma nova estrutura apresentada na Figura 3.10(b). Como a multiplicação por -1 requer baixíssimo custo, a nova estrutura exige metade das multiplicações complexas da anterior. A estrutura FFT para cálculo da DFT de 8 pontos utilizando as borboletas simplificadas é apresentada na Figura 3.11. 
(a)	(b)
Figura 3.10: Borboleta. 
Figura 3.11: Fluxograma de uma FFT de 8 pontos utilizando dizimação no tempo. 
3.4	Exercícios
Exercício 3.1 Determine os coeficientes da Série Discreta de Fourier das sequências periódicas a seguir, usando a definição e a implementação através do Matlab. 
a. x1[n] = {2,0,2,0}, N=4 
b. x2[n] = {0,0,1,0,0}, N=5 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	55
c. x3[n] = {3,-3,3,-3}, N=4 
d. x4[n] = {j,j,-j,-j}, N=4 
e. x5[n] = {1,j,j,1}, N=4 
Exercício 3.2 Considere x1[n] uma sequência periódica , com período fundamental N=50, em que um período é dado por: 
{
�
x1[n] =
�ne−0,3n	0≤n≤24 
0 	25 ≤ n ≤ 49 
�
Encontre a DFS X1[k] de x1[n] e plote (usando Matlab) as amostras (usando a função stem) de amplitude e fase em função de k. 
Exercício 3.3 Calcule a DFT de N pontos de cada uma das seguintes sequências: 
a. x1[n] = δ[n] 
b. x2[n] =δ[n − n0] 
c. x3[n] = αn, 0 ≤ n ≤ N 
d. x4[n] = u[n] − u[n − n0], 
Exercício 3.4 Plote as magnitudes da transformada de Fourier das seguintes sequências, usando a DFT como ferramenta computacional. Atribua os valores para o comprimento N de forma que seu gráfico tenha significado correto. 
a. x1[n] = 2cos[0, 2πn](u[n] − u[n − 10]) 
b. x2[n] =sen[0, 45πn]sen[0, 55πn], 0 ≤ n ≤ 50 
c. x3[n] = 3(2)n, −10 ≤ n ≤ 10 
d. x4[n] = (−0, 5)n, −10 ≤ n ≤ 10 
e. x5[n] = 5(0, 9ejπ/4)nu[n] 
Exercício 3.5 Determine os coeficientes da série de Fourier de tempo discreto. 
a. x[n] = sen[π(n − 1)/4] + cos[3πn/4] 
b. x[n] = sen[4π/21] + cos[10πn/21] + 1 
c. x[n] periódico com período ilustrado na figura abaixo: 
d. x[n] = cos[6πn/13 + π/6] 
�
56	TRANSFORMADA DE FOURIER
Exercício 3.6 Calcule a transformada de Fourier de tempo discreto direta ou inversa, conforme o caso. 
a. x[n] = (1/2)nu[n − 2] 
b. X(Ω) = 1 − e(−j3Ω) + 4e(j2Ω) + 3e(−j6Ω) 
c. x[n] = (n − 2)(u[n − 5] − u[n − 6]) 
d. x[n] = (1/2)n+2u[n − 2] 
e. x[n] = δ[n] + 4δ[n − 3] − δ[n + 6] 
f. X(Ω) = 1 para |Ω| < W e X(Ω) = 0 para W < |Ω| < π 
Exercício 3.7 Prove a propriedade da TFTD da convolução. 
Exercício 3.8 Encontre a convolução circular das duas sequências com período N = 
4: 
g[n] = δ(n) + 2δ(n − 1) + δ(n − 3) 
h(n) = 2δ(n) + 2δ(n − 1) + δ(n − 2) + δ(n − 3) 
Exercício 3.9 Para cada um dos casos abaixo, determine os coeficientes da série de Fourier de tempo discreto. 
a. x[n] = cos[πn/3] + sen[πn/4] 
b. x[n] ilustrada na figura abaixo. 
Exercício 3.10 Encontre a transformada de Fourier de tempo discreto para cada uma das seguintes sequências: 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	57
a. x[n] = 3n [u(n+3) - u(n-3)]
b. x[n] = u[n] - u[n - N]
�
4 )
c. x[n] = sen( 
	πn
�2 )
+ sen( 
	πn 
�
Exercício 3.11 Calcule a IDFT de N pontos das seguinte sequência:
�

�
3, m = 0
�
X(m) =
�
1,	1≤m≤N 
�
Exercício 3.12 Calcule a DFT de 10 pontos da sequência (considere somente o caso geral em que ω0 = (m − m0)/2π e resolva a série): 
x(n) = cos(nω0) 
Exercício 	3.13 Calcule a DFT de N pontos das seguintes sequências: 
a. x1(n) = δ(n − n0), em que 0 < n0 < N ; 
b. x2(n) = u(n) − u(n − n0), em que 0 < n0 < N ; 
Exercício	3.14 Calcule a DFT de N pontos das seguintes sequências:
a. x1(n) = αn, em que 0 ≤ n0 < N ;
b. x2(n) = u(n) − u(n − n0), em que 0 < n0 < N ; 
c. x5(n) = δ(n) + δ(n − 5), em que 0 < n0 < N ; 
Exercício	3.15 Calcule a IDFT de N pontos das seguinte sequência:

1, m = 0
X(m) =
2,	1≤m≤N
Exercício	3.16 Um Filtro passa-baixas ideal tem resposta impulsiva em frequência:
{ 
1	|w| < 0, 2π
H(ejw) = 
0	0, 2π ≤ |w| ≤ π
a) Encontre a resposta impulsiva do filtro passa-baixas, h[n], através do cálculo 
	da Transformada de Fourier inversa de H(ejw).O passa-baixa é um sistema 
	causal? 
�
58	TRANSFORMADA DE FOURIER
b) Determine a função transferência, H2(ejw), do sistema da figura abaixo em ter-
	mos de H(ejw). (Lembre-se que (−1)n = ejπn.) 
c) Esboce H2(ejw) para |w| ≤ π e expresse a resposta impulsiva h2[n] em termos de 
	h[n]. 
d) Utilizando soft plote H2[ejw]. 
Exercício 3.17 Determine a transformada de Fourier das seguintes sequências: (lembre-se de fazer na mão e por algum soft!) 
a) x1[n] = αnu[n − 1], α < 1 
b) x2[n] = (n + 1)αnu[n], α < 1 
c) x3[n] = u[n] − u[n − 5] 
	{
�
d) x4[n] =
�cos(πn/2N ), −N ≤ n ≤ N 
0, 	c.c. 
�
Exercício 3.18 Determine a resposta da saída y[n] de um sistema LIT em tempo discreto com resposta impulsiva (lembre-se de fazer na mão e por algum soft!) 
h[n] = sen((n − 2)π/3) 
(n − 2)π 
e entrada
�
( 
x[n] = 3sen
�πn 
	3
�)	(	)
2πn
+ 5cos 
	5 
�
Exercício 3.19 Demonstre as propriedade comutativa e distributiva da convolução:
�
(Não precisa fazer em soft!
�
a) Comutativa
�
a) Expresse a resposta em frequênciado sistemacomplexo em termos de H1(ejw),
�
H2(ejw) e H3(ejw) .
b) Distributiva 
b) Encontre a respostaem frequência)se h(n) ∗ x1(n) + h(n) ∗ x2(n) 
Exercício 3.20 Considere ah1(n)r= δ(n) + 2δ(n − 2) + δ(n − 4)mostrada na Figura se-
guinte: (lembre-se de fazer na mão e por algum soft!) 
h2(n) = (0, 2n)u(n) 
h3(n) = δ(n − 2) 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	59
Exercício 3.21 Determine a transformada de Fourier das seguintes sequências: 
a) x1[n] = (1/3)n+2u(n − 2) 
b) x2[n] = ansen(nw0)u(n) 
c) x3[n] = u[n] − u[n − 5] 
	{
�
d) x4[n] =
�cos(πn/2N ), −N ≤ n ≤ N 
0, 	c.c. 
�
Exercício 3.22 Encontre a convolução circular das duas sequências com período 
N =4: 
g[n] = δ(n) + 2δ(n − 1) + δ(n − 3) 
h(n) = 2δ(n) + 2δ(n − 1) + δ(n − 2) + δ(n − 3) 
Exercício 3.23 Mostre que x1[n] ∗ x2[n] = X1[k] X2[k]. 
Exercício 3.24 Mostre que x(n − n0) = e−jn0wX(ejw). 
Exercício 3.25 Encontre e desenhe X[k] a partir da sequência
�
( 
x[n] = Acos
�nπ) 
	2 
�
Exercício 3.26 Calcule a função de transferência para o sistema abaixo. Na qual 
h1(n) = u(n−1)−u(n−4), h2(n) = (n+2)[u(n+1)−u(n−2)] e h3(n) = 0, 5n[u(n)−u(n−6)] 
�
Capítulo 4 
Transformada Z 
A Transformada Z (TZ) (no domínio digital) corresponde à Transformada de Laplace no domínio contínuo. Podemos também interpretá-la como uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) para a qual a variável independente z tem valores no plano complexo. 
Por que mais uma transformada? A maior motivação para utilização da TZ ao invés da DTFT é o fato da DTFT não convergir para todos os tipos de sequências. Sendo assim, a utilização de uma generalização da DTFT permite englobar uma classe de sinais mais ampla. Além disso, a notação da TZ é mais conveniente para a resolução de alguns tipos de problemas em PDS. 
Definição: A transformada Z de uma sequência x[n] é definida por 
∑ 
X(z) =	x[n]z−n.	(4.1)
n=−∞ 
Da Eq. 4.1 fica a clara a comparação com a Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto (DTFT): 
∑ 
X(ejω ) =	x[n]e−jωn.	(4.2)
n=−∞ 
Observa-se que X(ejω ) = X(z) |z=ejω . Portanto, a DTFT corresponde a restringir a 
TZ ao círculo unitário do plano complexo, ou seja, se z = |r|ejω para a DTFT temos 
que r = 1. Na Figura 4.1 os dois tipos de espaços de representação das transfor-
madas são ilustradas. A DTFT é representada em um eixo linear ω apresentado na 
Figura 4.1.a, no qual se considera o fato da DTFT ser uma função periódica com 
período 2π. Na Figura 4.1.b pode ser observado a representação da DTFT no plano 
z. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	61
Figura 4.1: Espaços de representação das transformadas: (1) eixo linear ω e (b) plano complexo z. 
4.1 	Região de Convergência da TZ 
Assim como a DTFT, a TZ não converge para todas as sequências ou todos os valores de z. O conjunto ou região de z para o qual a TZ converge é conhecido como Região de Convergência (RC) da transformada. Matematicamente, a RC corresponde a todos os valores de z para os quais 
∑ 
X(z) =	x[n]z−n < ∞.
n=−∞ 
Como a RC depende apenas de r = |z|, se existe a convergência para z = z1, en-
tão haverá convergência para todos os pontos z tais que r = |z|, ou seja, haverá 
convergência em uma circunferência de raio r centrada na origem do plano Z. 
Por definição não pode haver pontos de divergência no interior de uma região de 
convergência. Portanto, podemos afirmar que as regiões de convergência são de-
limitadas por circunferências, ou seja, são sempre o exterior ou interior de uma 
circunferência, ou ainda, um anel definido por duas circunferências. 
Como a DTFT corresponde a TZ para o círculo unitário, como consequência da definição da convergência da TZ, concluímos que a DTFT existe se, e somente se, a região de convergência da TZ incluir o círculo unitário. 
Exemplo 4.1 x[n] = anu[n] (sequência à direita, causal) 
∑	∑
X(z)	=	anu[n]z−n =	(az−1)n
n=−∞	n=0
Para que haja convergência da TZ a série deve convergir, ou seja 
∑ 
|az−1|n < ∞. 
n=0 
�
62	TRANSFORMADA Z
Por se tratar de uma série geométrica, esta converge para |az−1| < 1 ou |z| > |a|. 
Portanto, região de convergência corresponde a todos os valores de z para os quais 
|z| > |a|, ou seja, é a região exterior ao círculo de raio |a| conforme apresentado na 
Figura 4.2.a. 
Para |z| > |a|, temos
�
X(z)
Logo, a TZ de x[n] é dada por
X(z) =
�
∑
=	(az−1)n =
n=0
1
�
1
1−az−1
(4.3) 
�
1−az−1 = z−	a, RC:|z|>|a|.
Figura 4.2: Regiões de Convergência: (a) Exemplo 4.1 e (b) Exemplo 4.2. 
Exemplo 4.2 x[n] = −anu[−n − 1] (sequência à esquerda, não-causal)
∑	∑
X(z)	=	(−anu[−n − 1])z−n =	−anz−n
n=−∞	n=−∞
∑	∑
= 1−1	−a−nzn = 1 −	(a−1z)n
n=1	n=0
Para que haja convergência 
∑ 
|a−1z|n < ∞. 
n=−∞ 
Esta série converge para |a−1z| < 1 ou |z| < |a|. Portanto, a região de convergência corresponde a todos os valores de z para os quais |z| < |a|, ou seja, é a região interior ao círculo de raio |a| conforme apresentado na Figura 4.2.b. 
�
HAPOSTILA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS	63
Para |z| < |a|, temos
�
∑
X(z)	= 1− 	(a−1z)n = 1 −
n=0
1−a−1z−1
�
1
1−a−1z 
	−z 	1
�
=
�1−a−1z
�= −a−1z
1−a−1z ×a = a−z ×−1 
1
�
Logo, a TZ é dada por
�= z
z−a = 1−az−1
1
X(z) = 
	1−az−1 = z−
�
(4.4)
a, RC:|z|<|a|. 
�
Observe que a única diferença entre as expressões 4.3 (Exemplo 4.1) e 4.4 (Exemplo
�
4.2) está nas RCs.
�
Exemplo 4.3 x[n] = (1/2)nu[n] + (−1/3)nu[n]
∑	∑	∑
X(z)	=	((1/2)nu[n] + (−1/3)nu[n])z−n =	(1/2)nz−n +	(−1/3)nz−n
n=−∞	n=0	n=0
Para que haja convergência
|(1/2)z−1| < 1 =⇒ |z| > |1/2|
e 
|(−1/3)z−1| < 1 =⇒ |z| > |1/3|. 
A região de convergência deve corresponder a todos os valores de z para os quais as duas somas convergem, ou seja, é a região de interseção das duas RCs individuais (exceto quando há um cancelamento de pólos). Como {|z| > |1/3|} ∩ {|z| > |1/2|} = {|z| > |1/2|}, a RC resultante é exterior ao círculo de raio 1/2, conforme apresentado da Figura 4.3.a. Para |z| > |1/2|, temos
�
X(z)	=
=
�1	1	+3z−1 +1−2z−1 
1−2z−1 + 1+3z−1 = (1 1−2z−1)(1+3z−1)
2−6z−1	1−
12 z−1 
(1 − 2 z−1)(1 + 3 z−1) = 2(1 − 2 z−1)(1 + 3 z−1) 
�
Logo, para este exemplo, a TZ é dada por
�
X(z) =
�
2(1 − 12 z−1) 
(1 − 2 z−1)(1 + 3 z−1) , RC :|z| > |1/2|. 
�
64	TRANSFORMADA Z
(a)	(b)
Figura 4.3: Regiões de Convergência: (a) Exemplo 4.3 e (b) Exemplo 4.4. 
Exemplo 4.4 x[n] = −(1/2)nu[−n − 1] + (−1/3)nu[n] 
Analisando