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Relato´rio de F´ısica II - Oscilac¸o˜es forc¸adas Juliana Maria, Bruno Medauar, Sa´vio Albuquerque e Jonathan Reis Julho, 2016 Suma´rio 1 Resumo 2 2 Introduc¸a˜o 2 3 Procedimento Experimental 2 3.1 TRATAMENTO DE DADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 RELACA˜O ENTRE A FRAQUEˆNCIA ANGULAR (ω) E O COMPRI- MENTO DA HASTE (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Resultados 5 5 Conclusa˜o 5 6 Refereˆncias 5 1 1 Resumo Este relato´rio foi realizado a partir da experieˆncia vivenciada em Laborato´rio no estudo de Osciladores Forc¸ados, na Universidade Federal da Bahia. Utilizamos como recurso um amplificador de som, que regula a freqeˆncia de oscilac¸a˜o e a amplitude de uma haste, a qual teve comprimento variado no desenvolvimento da experieˆncia. A partir dos dados coleta- dos no experimento, foi possivel determinar a curva de ressonaˆncia do oscilador forc¸ado e o fator de qualidade. Os dados coletados e os gra´ficos associados estara˜o dispon´ıveis no final do relato´rio. 2 Introduc¸a˜o O presente documento relata a experieˆncia realizada na aula de laborato´rio da dis- ciplina F´ısica Geral e Experimental II-E da Universidade Federal da Bahia e apresenta dados e concluso˜es no estudo dos Osciladores Forc¸ados, atrave´s da observac¸a˜o e registros do comportamento de uma haste de bicicleta ao ser submetido a uma forc¸a externa. A oscilac¸a˜o forc¸ada ocorre quando uma forc¸a externa e´ aplicada ao sistema que esta´ sendo estudado. No sistema de oscilac¸o˜es forc¸adas, atuam as frequeˆncias agular natural (f) e da forc¸a externa (ω). A amplitude das oscilac¸o˜es depende da relac¸a˜o entre estas frequeˆncias e atinge seu valor ma´ximo quando a freqeˆncia natural for igual a frequeˆncia angular da forc¸a externa. Considera-se que quando a forc¸a de amortecimento (ou forc¸a de atrito) e´ pequena, na˜o ha´ alterac¸a˜o na frequeˆncia natural do sistema. A amplitude em func¸a˜o de ω e´ dada por: A(ω) = F0 m √ [(ω2 − f 2)2 + γ2ω2] Onde Fo e´ a forc¸a aplicada pela fonte externa e γ e´ o fator de amortecimento que pode ser calculado pela raza˜o entre o coeficiente da forc¸a de atrito e a massa (m) do objeto. Em uma curva de ressonaˆncia, onde se relaciona a amplitude e a frequeˆncia angular externa ω, podemos achar o valor de γ caculando a variac¸a˜o de ω nos pontos onde a amplitude elevada ao quadrado e´ igual a amplitude ma´xima. Ou seja, onde vale a relac¸a˜o A = Ama´x√ 2 . A relac¸a˜o que determina a existeˆncia de muito ou pouco atrito no sitema e´ chamada de Fator de Qualidade e e´ expressa por: Q = ω0 γ . 3 Procedimento Experimental Para detectar o momento em que houve maior amplitude ou ressonaˆncia em cada valor de comprimento da haste, foi registrado o comportamento oscilato´rio da mesma a cada mudanc¸a de frequeˆncia , ate´ que, visualmente, fosse poss´ıvel detectar quando houve maior amplitude. A partir disto,variou-se a frequeˆncia estrategicamente, de modo que fossem registrados valores de amplitude no intervalo de ressonaˆncia para que pudessemos construir o gra´fico de disperc¸a˜o que define a melhor curva de ressonaˆncia. Os dados foram 2 coletados de modo que na˜o houvesse alterac¸o˜es de equipamentos, para que os mesmos fossem os mais reais poss´ıveis. 3.1 TRATAMENTO DE DADOS Registros de dados para L = 24, 5 f(Hz) 10 15 21 22 23 24 25 25, 5 A(cm) 0, 40 0, 50 0, 70 1 1, 40 2, 20 4, 20 6, 5 ω(rad/s) 62, 8 94, 2 131, 88 138, 16 144, 44 150, 72 157 160, 14 f(Hz) 26 27 28 29 30 35 40 A(cm) 4, 40 2, 30 1, 40 1, 10 0, 70 0, 40 0, 30 ω(rad/s) 163, 28 169, 56 175, 84 182, 12 188, 40 219, 8 251, 2 Portanto, a freqeˆncia de ressonaˆncia quando L = 24, 5 e´ de 160, 14Hz Temos, para estes dados, que: A = Ama´x√ 2 = 4, 60cm e γ = ∆w = 4, 396rad/s O valor de γ determina a semi-largura de pico. Fator de qualidade: Q = W0 γ = 36, 4285714 Registros de dados para L = 21, 5 f(Hz) 37, 2 37, 7 38, 2 38, 7 39, 2 39, 7 40, 2 40, 7 41, 2 A(cm) 0, 80 1, 10 1, 70 2, 80 3, 40 2, 80 2, 30 1,90 1, 60 ω(rad/s) 233, 62 236, 76 239, 90 243, 04 246, 18 249, 32 252, 46 255, 60 258, 74 Portanto, a freqeˆncia de ressonaˆncia quando L = 21, 5 e´ de 246, 18rad/s Temos, para estes dados, que: A = Ama´x√ 2 = 2, 40cm e γ = ∆w = 10, 048rad/s O valor de γ determina a semi-largura de pico. Fator de qualidade: Q = W0 γ = 24, 5 Registros de dados para L = 18, 5 f(Hz) 49, 90 50, 90 51, 90 52, 40 52, 90 53, 40 53, 90 54, 90 55, 90 A(cm) 1, 20 1, 80 2, 30 2, 50 2, 60 2, 50 2, 30 2,00 1, 50 ω(rad/s) 313, 37 319, 65 325, 93 329, 07 332, 21 335, 35 338, 49 344, 77 351, 05 Portanto, a freqeˆncia de ressonaˆncia quando L = 18, 5 e´ de 332, 21rad/s Temos, para estes dados, que: A = Ama´x√ 2 = 1, 84cm e γ = ∆w = 346, 5− 319 = 27, 5rad/s O valor de γ determina a semi-largura de pico. Fator de qualidade: Q = W0 γ = 332, 21 27, 5 = 12, 08. 3 Registros de dados para L = 15, 5 f(Hz) 73, 50 74, 50 75, 50 76, 50 77, 50 78, 50 79, 50 80, 50 81, 50 A(cm) 0, 80 0, 90 1, 20 1, 30 1, 40 1, 30 1, 20 1,10 1, 00 ω(rad/s) 461, 58 467, 86 474, 14 480, 42 486, 70 492, 98 499, 26 505, 54 511, 82 Portanto, a freqeˆncia de ressonaˆncia quando L = 18, 5 e´ de 332, 21rad/s Temos, para estes dados, que: A = Ama´x√ 2 = 0, 99cm e γ = ∆w = 511, 82− 469, 90 = 41, 92rad/s O valor de γ determina a semi-largura de pico. Fator de qualidade: Q = W0 γ = 486, 70 41, 92 = 11, 61. Registros de dados para L = 17cm f(Hz) 60, 70 61, 70 62, 70 63, 20 63, 70 64, 20 64, 70 65, 70 66, 70 A(cm) 1, 10 1, 40 1, 50 1, 70 1, 80 1, 70 1, 60 1,50 1, 20 ω(rad/s) 381, 20 387, 48 393, 76 396, 90 400, 04 403, 18 406, 32 412, 60 418, 88 Portanto, a freqeˆncia de ressonaˆncia quando L = 18, 5 e´ de 400, 04rad/s Temos, para estes dados, que: A = Ama´x√ 2 = 1, 30cm e γ = ∆w = 511, 82− 469, 90 = 26, 376rad/s O valor de γ determina a semi-largura de pico. Fator de qualidade: Q = W0 γ = 486, 70 41, 92 = 15, 166. 3.2 RELACA˜O ENTRE A FRAQUEˆNCIA ANGULAR (ω) E O COMPRIMENTO DA HASTE (L) Utilizamos o me´todo dos mı´nimos quadrados para determinar a relac¸a˜o existente entre ω e L. Pela observac¸a˜o do gra´fico no papel Log-log, iferimos que a func¸a˜o e´ do tipo ω = a ∗ (L0)b. Portanto temos: log(ω) = log(a∗ (L0)b)←→ log(ω) = log(a) + log((L0)b)←→ log(ω) = log(a) + b∗ log(L0) Fac¸a: log(ω) = Ω log(a) = A log(L0) = L Temos que: Ω = A+ b ∗ L Realizando os ca´lculos necessa´rios para identificar os valores de A e b, obtemos: A = 5, 52 e b = −2, 37. Da´ı, temos: Ω = 5, 52− 2, 37 ∗ L 4 4 Resultados A freque˜ncia de ressonaˆncia ocorre quando a frequeˆncia exercida pela forc¸a externa e´ igual a frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o da haste. Quando a forc¸a externa tende ao infinito, a amplitude do movimento da haste, tende a zero. Pode-se perceber isso atrave´s das observac¸o˜es dos dados coletados no experimento. Vale ressaltar que as condic¸o˜es iniciais do sitema influenciam nos resultados obtidos. Um exemplo disso e´ o fato de a frequeˆncia de ressonaˆncia sofrer alterac¸a˜o a medida em que altera-se o tamanho inicial da haste. O fator de qualidade apresentado na experieˆncia na˜o assume valor alto, o que nos leva a perceber que a experieˆncia na˜o atingiu resultado satisfato´rio. Acreditamos que as dificuldades encontradas na medic¸a˜o dos dados esta˜o relacionadas a mudanc¸as sut´ıs no aparelho de medic¸a˜o e aos erros associados a estes aparelhos. 5 Conclusa˜o Pode-se evidenciar atrae´s do experimento realizado que a variac¸a˜o no comprimento da haste produz uma variac¸a˜o na sua frequeˆncia de ressonaˆncia. Ale´m disso, em um sistema de oscilac¸a˜o forc¸ada, a frequeˆncia de oscilac¸a˜o e´ diferente para cada comprimento de barra. Isso e´ consequeˆncia da alterac¸a˜o na frequeˆncia natural.Ou seja, alterando o comprimento da haste, altera-se a freque˜ncia necessa´ria para que este entre em ressonaˆncia. Portanto, podemos afirmar que a alterac¸a˜o no comprimento da haste, provoca alterac¸a˜o tanto na frequeˆncia angular quanto na frequeˆncia natural do sitema. Nota-se que a medida que o comprimento da haste (L) diminui, a frequeˆncia de ressonaˆncia aumenta. Como pode ser observado experimentalmente, quando a frequeˆncia de ressonaˆncia e´ atingida, qual- quer alterac¸a˜o realizada na frequeˆncia externa, com mesma intensidade, ha´ alterac¸a˜o na amplitude do sitema. Verifica-se tambe´m a relac¸a˜o entre o comprimento da haste e a frequeˆncia angular e conclui-se que quanto maior a haste, menor a frequeˆncia angular no sistema. Apesar dos cuidados nos registros das medidas, os resultados na˜o foram satisfato´rios, uma vez que, o fator de qualidade observado experimentalmente em cada situac¸a˜o foi abaixo do esperado, exceto no caso em que o comprimento da haste foi igual a 24,5 cm. 6 Refereˆncias • Fernanda Gonc¸alves, Relato´rio Oscilador Forc¸ado, Salvador, 2014; • Halliday, F´ısica 2, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2003; • Tiago Paes, Material Oscilador Forc¸ado, Instituto de F´ısica da UFBA, Salvador, 2016. 5
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