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Aula 06 Funções de R em Rn

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 06
Assunto:Funções de uma variável real a valores em Rn, domínio e imagem, limite
Palavras-chaves: Funções vetoriais, domínio e imagem, trajetória,limite.
Funções de uma variável real a valores em Rn
Sejam A ⊂ R e α uma função tal que
α : R −→ Rn
t 7−→ α(t)
Vamos interpretar essas funções como uma regra que associa a cada número real de A uma única n−upla.
Exemplo 1 α(t) = (t, t2)
{
x(t) = t
y(t) = t2
α : R −→ R2
t 7−→ (t, t2)
Temos que,
α(1) = (1, 1)
α(2) = (2, 4)
α(0) = (0, 0)
α(−1) = (−1, 1)
Exemplo 2 α(t) =
(
cos t, sin t,
t
4
)
, t ≥ 0
α : [0,+∞) −→ R3
t 7−→
(
cos t, sin t,
t
4
)
Temos que:
α(0) =
(
cos 0, sin 0,
0
4
)
= (1, 0, 0)
α
(pi
2
)
=
(
cos
pi
2
, sin
pi
2
,
pi
2
4
)
=
(
0, 1,
pi
8
)
α(pi) =
(
cospi, sinpi,
pi
4
)
=
(
−1, 0, pi
4
)
2
Toda função α : A ⊂ R −→ Rn é dada por
α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))
Quando n = 2, escrevemos (x(t), y(t)).
Quando n = 3, escrevemos (x(t), y(t), z(t)).
As funções x1(t), x2(t), ..., xn(t) são chamadas de funções componentes de α.
Exemplo 3 As funções componentes de α(t) = (t, t2) são
�
x(t) = t , y(t) = t2
Exemplo 4 As funções componentes de α(t) =
(
cos t, sin t,
t
4
)
são
x(t) = cos t , y(t) = sin t , z(t) =
t
4
Exemplo 5 As funções componentes de α(t) = (
√
t, et sin t, ln t, arctan t) são
x1(t) =
√
t, x2(t) = e
t sin t, x3(t) = ln t, x4(t) = arctan t
Uma função α : A ⊂ R −→ Rn pode também ser interpretada como uma função que a cada t ∈ A associa
ao vetor α(t). Neste caso, dizemos que α é uma função vetorial.
3
Domínio
Quando, para uma função α, especificamos o subconjunto de R no qual devemos tomar t, o domínio Dα
de α é esse tal subconjunto.
Exemplo 6 α(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi
Dα = [0, 2pi]
Exemplo 7 γ(t) = (t, t2, 2t+ t2), t ≥ 0
Dγ = [0,+∞)
Quando não é especificado um tal subconjunto, tomamos como o domínio de α o "maior"subconjunto
possível de R no qual todas as funções componentes de α podem ser calculadas. Portanto,
Dα = Dx1 ∩Dx2 ∩ ... ∩Dxn
Imagem
Seja α : R −→ Rn uma função. O conjunto imagem Imα de α é dado por
Imα = {α(t) ∈ Rn; t ∈ Dα
Quando n = 2 ou n = 3, podemos representar (no R2 ou no R3, respectivamente) o conjunto imagem de
α, que, em geral, será uma curva.
4
O desenho do conjunto imagem de α é chamado de trajetória ou traço de α. Por isso que também chamamos
a função α, de curva.
Exemplo 8 Desenhe a trajetória da função dada
(a) α(t) = (4t+ 2, t+ 3)
Temos que,
α(t) = (4t+ 2, t+ 3) = (2, 3) + t(4, 1)
Logo, a trajetória de α é a reta que passa pelo ponto P0 = (2, 3) e tem a direção do vetor
−→v = (4, 1)
α(−1) = (−2, 2), α(0) = (2, 3), α(1) = (6, 4), α(2) = (10, 5)
5
{
x = 4t+ 2
y = t+ 3
⇒ t = x− 4
2
, t = y − 3 ⇒ x− 4
2
= y − 3
Logo,
x− 2 = 4y − 12
x− 4y = −10
4y = x+ 10
y =
x
4
+
5
2
Equação reduzida da reta
(b) α(t) = (t, t2)
{
x = t
y = t2
⇒ y = x2
Portanto, o traço de α é uma parábola
α(−2) = (−2, 4), α(−1) = (−1, 1), α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α(2) = (2, 4)
6
(c) α(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi
{
x = cos t
y = sin t
⇒
{
x2 = cos2 t
y2 = sin2 t
Portanto,
x2 + y2 = cos2 t+ sin2 t⇒ x2 + y2 = 1
α(0) = (1, 0), α
(pi
4
)
=
(√
2
2
,
√
2
2
)
, α
(pi
2
)
= (0, 1), α(pi) = (−1, 0), α
(
3pi
2
)
= (0,−1), α(2pi) = (1, 0)
A trajetória de α é a circunferência de centro na origem e raio 1
(d) α(t) = (2 cos t, 2 sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi
{
x = 2 cos t
y = 2 sin t
⇒
{
x2 = 4 cos2 t
y = 4 sin2 t
Portanto,
x2 + y2 = 4 cos2 t+ 4 sin2 t = 4(sin2 t+ cos2 t) = 4
A trajetória de α é a circunferência de centro na origem e raio 2.
7
(e) α(t) = (t cos t, t sin t), t ≥ 0
α(0) = (0, 0), α
(pi
2
)
=
(
0,
pi
2
)
, α(pi) = (−pi, 0), α
(
3pi
2
)
=
(
0,
−3pi
2
)
, α(2pi) = (2pi, 0)
A trajetória de α é uma espiral.
(f) α(t) = (2 + t, 2 + 3t, 4 + 2t)
Temos que,
α(t) = (2, 2, 4) + t(1, 3, 2)
Portanto, a trajetória de α é a reta do R3 que passa pelo ponto P0 = (2, 2, 4) e tem a direção do vetor−→v = (1, 3, 2).
8
(g) α(t) = (cos t, sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2pi.
A trajetória de α é a circunferência de centro na origem, raio 1 e contida no plano xy.
(h) α(t) = (cos t, sin t, 3), 0 ≤ t ≤ 2pi.
A trajetória de α é a circunferência de centro em (0, 0, 3), raio 1 e contida no plano z = 3.
(i)
(
cos t, sin t,
t
4
)
, t ≥ 0.
A trajetória de α é uma hélice.
9
Operações com funções de uma variável real a valores reais
Sejam α, β : A ⊂ R −→ Rn e f : A ⊂ R −→ R uma função escalar.
Definimos a seguinte operação
(α+ β)(t) = α(t) + β(t)
(fα)(t) = f(t)α(t)
(α.β)(t) = α(t).β(t)
(α× β)(t) = α(t)× β(t) (n = 3)
Limite
Sejam α : A ⊂ R −→ Rn em que A é um intervalo ou uma reunião de intervalos, t0 um ponto de A ou
extremidade de um dos intervalos que compõem A e L ∈ Rn.
Dizemos que L é o limite de α(t) quando t tende para o t0, e escrevemos,
lim
t→t0
α(t) = L
se dado � > 0, existe δ > 0 tal que
t ∈ Dα e 0 < |t− t0| < δ ⇒ |α(t)− L| < �
10
Obs1: lim
t→t0
α(t) = L⇔ lim
t→t0
||α(t)− L|| = 0.
Isso é uma conseqüência da igualdade
||α(t)− L|| =
∣∣∣∣||α(t)− L|| − 0∣∣∣∣
Obs2: lim
x→x0
f(x) = l⇔ lim
t→t0
(f(x)− l) = 0.
(⇒) é conseqüência da propriedades operatórias de limite
(⇒)Segue da definição de limite (por �′s e δ′s) e da igualdade
|f(x)− l| = |(f(x)− l)− 0|
Obs3:
−→v = (x1, x2, ..., xn)⇒ |xi| ≤ ||−→v ||, i = 1.., n.
De fato,
x21 ≤ x21 + ...+ x21 + ...+ x2n
Portanto,
√
x21 ≤
√
x21 + ...+ x
2
1 + ...+ x
2
n ⇒ |xi| ≤ ||−→v ||
Proposição 1 Seja α : A ⊂ R −→ Rn dada por
α(t) = (x1(t) + x2(t) + ...+ xn(t))
e seja
L = (l1, l2, ..., ln)
11
Então,
lim
x→x0
α(t) = L⇔ lim
t→t0
xi(t) = li, i = 1, 2, .., n
Demonstração:
(⇒) Suponhamos que lim
x→x0
α(t) = L. Portanto, dado � > 0, existe δ > 0 tal que
t ∈ Dα e 0 < |t− t0| < δ ⇒ ||α(t)− L|| < �
Porém, temos que
α(t)− L = (x1(t)− l1 + x2(t)− l2 + ...+ xn(t)− ln)
Assim,
|xi(t)− li| ≤ ||α(t)− L|| < �, i = 1, 2, ..., n
Logo,
lim
t→t0
xi(t) = li
(⇐) Suponhamos agora que lim
t→t0
xi(t) = li, i = 1, 2, ..., n. Temos que
||α(t)− L|| =
√
(x1(t)− l1)2 + (x2(t)− l2)2 + ...+ (xn(t)− ln)2
Portanto,
lim
t→t0
||α(t)− L|| = lim
t→t0
√
(x1(t)− l1)2 + (x2(t)− l2)2 + ...+ (xn(t)− ln)2
=
√
lim
t→t0
[
(x1(t)− l1)2 + (x2(t)− l2)2 + ...+ (xn(t)− ln)2
]
=
√
lim
t→t0
(x1(t)− l1)2 + lim
t→t0
(x2(t)− l2)2 + ...+ lim
t→t0
(xn(t)− ln)2
=
√(
lim
t→t0
(x1(t)− l1)
)2
+
(
lim
t→t0
(x2(t)− l2)
)2
+ ...+
(
lim
t→t0
(xn(t)− ln)
)2
=
√
0 + 0 + ...0
= 0
Portanto,
lim
t→t0
α(t) = L
12
Segue dessa proposição que
lim
t→t0
α(t) = L = (l1, l2, ..., ln) =
(
lim
t→t0
x1(t), lim
t→t0
x2(t), ..., lim
t→t0
xn(t)
)
Exemplo 9 Seja α : R− {1} −→ R3 dada por α(t) =
(
t2 − 1
t− 1 ,
t3 − 1
t− 1 ,
√
t− 1
t− 1
)
.
Calcule lim
t→1
α(t).
Resolução:
Temos que,
lim
t→1
α(t) = lim
t→1
(
t2 − 1
t− 1 ,
t3 − 1
t− 1 ,
√
t− 1
t− 1
)
=
(
lim
t→1
t2 − 1
t− 1 , limt→1
t3 − 1
t− 1 , limt→1
√
t− 1
t− 1
)
=
(
lim
t→1
2t, lim
t→1
3t2, lim
t→1
1
2
√
t
)
=
(
2, 3,
1
2
)
Descrevemos que, este exemplo, α(1) não existe, mas existe o limite de lim
t→1
α(t).
Exemplo 10 Seja α : R− {0} −→ R3 definida por
α(t) =
(
1
t
, t, t2
)
Temos que lim
t→0
α(t) não existe, pois não existe o limite lim
t→01
t
.
13

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