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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 06 Assunto:Funções de uma variável real a valores em Rn, domínio e imagem, limite Palavras-chaves: Funções vetoriais, domínio e imagem, trajetória,limite. Funções de uma variável real a valores em Rn Sejam A ⊂ R e α uma função tal que α : R −→ Rn t 7−→ α(t) Vamos interpretar essas funções como uma regra que associa a cada número real de A uma única n−upla. Exemplo 1 α(t) = (t, t2) { x(t) = t y(t) = t2 α : R −→ R2 t 7−→ (t, t2) Temos que, α(1) = (1, 1) α(2) = (2, 4) α(0) = (0, 0) α(−1) = (−1, 1) Exemplo 2 α(t) = ( cos t, sin t, t 4 ) , t ≥ 0 α : [0,+∞) −→ R3 t 7−→ ( cos t, sin t, t 4 ) Temos que: α(0) = ( cos 0, sin 0, 0 4 ) = (1, 0, 0) α (pi 2 ) = ( cos pi 2 , sin pi 2 , pi 2 4 ) = ( 0, 1, pi 8 ) α(pi) = ( cospi, sinpi, pi 4 ) = ( −1, 0, pi 4 ) 2 Toda função α : A ⊂ R −→ Rn é dada por α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) Quando n = 2, escrevemos (x(t), y(t)). Quando n = 3, escrevemos (x(t), y(t), z(t)). As funções x1(t), x2(t), ..., xn(t) são chamadas de funções componentes de α. Exemplo 3 As funções componentes de α(t) = (t, t2) são � x(t) = t , y(t) = t2 Exemplo 4 As funções componentes de α(t) = ( cos t, sin t, t 4 ) são x(t) = cos t , y(t) = sin t , z(t) = t 4 Exemplo 5 As funções componentes de α(t) = ( √ t, et sin t, ln t, arctan t) são x1(t) = √ t, x2(t) = e t sin t, x3(t) = ln t, x4(t) = arctan t Uma função α : A ⊂ R −→ Rn pode também ser interpretada como uma função que a cada t ∈ A associa ao vetor α(t). Neste caso, dizemos que α é uma função vetorial. 3 Domínio Quando, para uma função α, especificamos o subconjunto de R no qual devemos tomar t, o domínio Dα de α é esse tal subconjunto. Exemplo 6 α(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi Dα = [0, 2pi] Exemplo 7 γ(t) = (t, t2, 2t+ t2), t ≥ 0 Dγ = [0,+∞) Quando não é especificado um tal subconjunto, tomamos como o domínio de α o "maior"subconjunto possível de R no qual todas as funções componentes de α podem ser calculadas. Portanto, Dα = Dx1 ∩Dx2 ∩ ... ∩Dxn Imagem Seja α : R −→ Rn uma função. O conjunto imagem Imα de α é dado por Imα = {α(t) ∈ Rn; t ∈ Dα Quando n = 2 ou n = 3, podemos representar (no R2 ou no R3, respectivamente) o conjunto imagem de α, que, em geral, será uma curva. 4 O desenho do conjunto imagem de α é chamado de trajetória ou traço de α. Por isso que também chamamos a função α, de curva. Exemplo 8 Desenhe a trajetória da função dada (a) α(t) = (4t+ 2, t+ 3) Temos que, α(t) = (4t+ 2, t+ 3) = (2, 3) + t(4, 1) Logo, a trajetória de α é a reta que passa pelo ponto P0 = (2, 3) e tem a direção do vetor −→v = (4, 1) α(−1) = (−2, 2), α(0) = (2, 3), α(1) = (6, 4), α(2) = (10, 5) 5 { x = 4t+ 2 y = t+ 3 ⇒ t = x− 4 2 , t = y − 3 ⇒ x− 4 2 = y − 3 Logo, x− 2 = 4y − 12 x− 4y = −10 4y = x+ 10 y = x 4 + 5 2 Equação reduzida da reta (b) α(t) = (t, t2) { x = t y = t2 ⇒ y = x2 Portanto, o traço de α é uma parábola α(−2) = (−2, 4), α(−1) = (−1, 1), α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α(2) = (2, 4) 6 (c) α(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi { x = cos t y = sin t ⇒ { x2 = cos2 t y2 = sin2 t Portanto, x2 + y2 = cos2 t+ sin2 t⇒ x2 + y2 = 1 α(0) = (1, 0), α (pi 4 ) = (√ 2 2 , √ 2 2 ) , α (pi 2 ) = (0, 1), α(pi) = (−1, 0), α ( 3pi 2 ) = (0,−1), α(2pi) = (1, 0) A trajetória de α é a circunferência de centro na origem e raio 1 (d) α(t) = (2 cos t, 2 sin t), 0 ≤ t ≤ 2pi { x = 2 cos t y = 2 sin t ⇒ { x2 = 4 cos2 t y = 4 sin2 t Portanto, x2 + y2 = 4 cos2 t+ 4 sin2 t = 4(sin2 t+ cos2 t) = 4 A trajetória de α é a circunferência de centro na origem e raio 2. 7 (e) α(t) = (t cos t, t sin t), t ≥ 0 α(0) = (0, 0), α (pi 2 ) = ( 0, pi 2 ) , α(pi) = (−pi, 0), α ( 3pi 2 ) = ( 0, −3pi 2 ) , α(2pi) = (2pi, 0) A trajetória de α é uma espiral. (f) α(t) = (2 + t, 2 + 3t, 4 + 2t) Temos que, α(t) = (2, 2, 4) + t(1, 3, 2) Portanto, a trajetória de α é a reta do R3 que passa pelo ponto P0 = (2, 2, 4) e tem a direção do vetor−→v = (1, 3, 2). 8 (g) α(t) = (cos t, sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2pi. A trajetória de α é a circunferência de centro na origem, raio 1 e contida no plano xy. (h) α(t) = (cos t, sin t, 3), 0 ≤ t ≤ 2pi. A trajetória de α é a circunferência de centro em (0, 0, 3), raio 1 e contida no plano z = 3. (i) ( cos t, sin t, t 4 ) , t ≥ 0. A trajetória de α é uma hélice. 9 Operações com funções de uma variável real a valores reais Sejam α, β : A ⊂ R −→ Rn e f : A ⊂ R −→ R uma função escalar. Definimos a seguinte operação (α+ β)(t) = α(t) + β(t) (fα)(t) = f(t)α(t) (α.β)(t) = α(t).β(t) (α× β)(t) = α(t)× β(t) (n = 3) Limite Sejam α : A ⊂ R −→ Rn em que A é um intervalo ou uma reunião de intervalos, t0 um ponto de A ou extremidade de um dos intervalos que compõem A e L ∈ Rn. Dizemos que L é o limite de α(t) quando t tende para o t0, e escrevemos, lim t→t0 α(t) = L se dado � > 0, existe δ > 0 tal que t ∈ Dα e 0 < |t− t0| < δ ⇒ |α(t)− L| < � 10 Obs1: lim t→t0 α(t) = L⇔ lim t→t0 ||α(t)− L|| = 0. Isso é uma conseqüência da igualdade ||α(t)− L|| = ∣∣∣∣||α(t)− L|| − 0∣∣∣∣ Obs2: lim x→x0 f(x) = l⇔ lim t→t0 (f(x)− l) = 0. (⇒) é conseqüência da propriedades operatórias de limite (⇒)Segue da definição de limite (por �′s e δ′s) e da igualdade |f(x)− l| = |(f(x)− l)− 0| Obs3: −→v = (x1, x2, ..., xn)⇒ |xi| ≤ ||−→v ||, i = 1.., n. De fato, x21 ≤ x21 + ...+ x21 + ...+ x2n Portanto, √ x21 ≤ √ x21 + ...+ x 2 1 + ...+ x 2 n ⇒ |xi| ≤ ||−→v || Proposição 1 Seja α : A ⊂ R −→ Rn dada por α(t) = (x1(t) + x2(t) + ...+ xn(t)) e seja L = (l1, l2, ..., ln) 11 Então, lim x→x0 α(t) = L⇔ lim t→t0 xi(t) = li, i = 1, 2, .., n Demonstração: (⇒) Suponhamos que lim x→x0 α(t) = L. Portanto, dado � > 0, existe δ > 0 tal que t ∈ Dα e 0 < |t− t0| < δ ⇒ ||α(t)− L|| < � Porém, temos que α(t)− L = (x1(t)− l1 + x2(t)− l2 + ...+ xn(t)− ln) Assim, |xi(t)− li| ≤ ||α(t)− L|| < �, i = 1, 2, ..., n Logo, lim t→t0 xi(t) = li (⇐) Suponhamos agora que lim t→t0 xi(t) = li, i = 1, 2, ..., n. Temos que ||α(t)− L|| = √ (x1(t)− l1)2 + (x2(t)− l2)2 + ...+ (xn(t)− ln)2 Portanto, lim t→t0 ||α(t)− L|| = lim t→t0 √ (x1(t)− l1)2 + (x2(t)− l2)2 + ...+ (xn(t)− ln)2 = √ lim t→t0 [ (x1(t)− l1)2 + (x2(t)− l2)2 + ...+ (xn(t)− ln)2 ] = √ lim t→t0 (x1(t)− l1)2 + lim t→t0 (x2(t)− l2)2 + ...+ lim t→t0 (xn(t)− ln)2 = √( lim t→t0 (x1(t)− l1) )2 + ( lim t→t0 (x2(t)− l2) )2 + ...+ ( lim t→t0 (xn(t)− ln) )2 = √ 0 + 0 + ...0 = 0 Portanto, lim t→t0 α(t) = L 12 Segue dessa proposição que lim t→t0 α(t) = L = (l1, l2, ..., ln) = ( lim t→t0 x1(t), lim t→t0 x2(t), ..., lim t→t0 xn(t) ) Exemplo 9 Seja α : R− {1} −→ R3 dada por α(t) = ( t2 − 1 t− 1 , t3 − 1 t− 1 , √ t− 1 t− 1 ) . Calcule lim t→1 α(t). Resolução: Temos que, lim t→1 α(t) = lim t→1 ( t2 − 1 t− 1 , t3 − 1 t− 1 , √ t− 1 t− 1 ) = ( lim t→1 t2 − 1 t− 1 , limt→1 t3 − 1 t− 1 , limt→1 √ t− 1 t− 1 ) = ( lim t→1 2t, lim t→1 3t2, lim t→1 1 2 √ t ) = ( 2, 3, 1 2 ) Descrevemos que, este exemplo, α(1) não existe, mas existe o limite de lim t→1 α(t). Exemplo 10 Seja α : R− {0} −→ R3 definida por α(t) = ( 1 t , t, t2 ) Temos que lim t→0 α(t) não existe, pois não existe o limite lim t→01 t . 13
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