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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 10 Assuntos: Continuidade de funções e limite Palavras-chaves: continuidade, funções contínuas, limite Bola Aberta Sejam p ∈ Rn e r ∈ R com r > 0. A bola aberta de centro em p e raio r é o conjunto: Br(p) = {x ∈ Rn; ||x− p|| < r} No R2, a bola aberta de centro em p = (x0, y0) é constituída por todos os pontos (x, y) que são internos a circunferência de centro em p e raio r. No R3 a bola aberta de centro em p = (x0, y0, z0) é formada por todos os pontos (x, y, z) que são internos a esfera de centro em p e raio r. Continuidade de funções Exemplo: f : R2 −→ R definida por: f(x, y) = { 1, se x2 + y2 > 1 2, se x2 + y2 ≤ 1 Todos os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1 e os pontos internos dessa circunferência são levados no 2 pela função f . Dos pontos externos a essa circunferência são levados por f no 1. Gráfico de f : 2 Consideremos um ponto p0 = (x0, y0) que esteja sobre a circunferência de centro na origem e raio 1. Sejam agora um intervalo I de "centro"em 2 e "raio"menor que 1. Temos que toda bola aberta de centro em p0 sempre conterá um ponto p tal que f(p) não pertence ao intervalo I. Isso sempre acontecerá por menor que seja o intervalo I. Portanto, em se tratando dos valores de f , a função apresenta um salto em p0. Isso é nitidamente observado no gráfico da função. Dizemos então que a função f não é contínua em p0 ou que ela é descontínua em p0. 3 Diremos que uma função f : A ⊂ R2 −→ R é contínua em p0 ∈ Df se ela não apresentar um salto em seus valores tal como a função do exemplo anterior. Essa noção de continuidade é estendida para funções de mais de duas variáveis. Uma função f : A ⊂ Rn −→ R é contínua em p0 ∈ Df se, para todo � > 0, existe δ > 0 tal que: x ∈ Df ; ||x− p0|| < δ ⇒ |f(x)− f(p0)| < � Diremos que uma função f é contínua em B ⊂ Df se f é contínua em todos os pontos de B. Se uma função f é contínua em Df , diremos, simplesmente, que f é contínua.É fácil ver que toda função constante é contínua. O gráfico de uma função contínua, referente as componentes conexas do domínio da função, não apresenta saltos. Outra função contínua é a função f(x, y) = x. De fato, mostremos que f é contínua em p0 = (x0, y0). Dado � > 0, consideremos δ = �. Assim, para todo x = (x, y) tal que ||x− p0|| < δ, temos: |f(x)− f(p0)| = |f(x, y)− f(x0, y0)| = |x− x0| ≤ ||(x− x0, y − y0)|| = ||(x, y)− (x0, y0)|| = ||x− p0|| < δ = � Analogamente,a função g(x, y) = y é contínua. Também de maneira análoga,a função h : Rn −→ R definida por h(x1, x2, ..., xn) = xi, para algum i ∈ 1, ..., n é contínua. O teorema a seguir fornece uma maneira de verificar se muitas funções são contínuas. Teorema 1 Sejam k uma constante e f, g : A ⊂ Rn −→ R funções. Se f e g são contínuas em p0 ∈ A então kf, f + g, f − g, fg são contínuas em p0. Além disso, se g(p0) 6= 0, então f g é contínua em p0. Para dar uma idéia de como seria a demonstração desse teorema, mostraremos que f + g é contínua. Seja p0 ∈ A. Dado � > 0, consideremos o número �2 . Como f e g são contínuas em p0, para esse número existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que: 4 ||x− p0|| < δ1 ⇒ |f(x)− f(p0)| < � 2 ||x− p0|| < δ2 ⇒ |g(x)− g(p0)| < � 2 para x ∈ A. Seja δ = min{δ1, δ2}. Tomemos x ∈ A com ||x−p0|| < δ. Logo ||x−p0|| < δ1, e ||x−p0|| < δ2. Assim, temos: |(f + g)(x)− (f + g)(p0)| = |f(x) + g(x)− f(p0)− g(p0)| = |f(x)− f(p0) + g(x)− g(p0)| ≤ |f(x)− f(p0)|+ |g(x)− g(p0)| < � 2 + � 2 = � ∴ f + g é contínua em p0. Vamos utilizar o teorema anterior para mostrar que a função: h(x, y) = 2xy x2 + 5 é contínua. Com efeito, a função xy é contínua, pois é o produto das funções f(x, y) = x e g(x, y) = y, que são contínuas. A função 2xy é contínua, pois é o produto de uma constante por uma função contínua. A função x2 é contínua, pois é o produto da função f(x, y) = x por ela mesma. A função x2 + 5 é contínua, pois é a soma da função x2 coma função constante, que são contínuas. Finalmente, a função 2xy x2 + 5 é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas, coma função do denominador sempre não nula. Procedendo desse mesmo modo, podemos mostrar que todas as funções a seguir são contínuas. Por exemplo: • f(x, y) = x2 + y2 • f(x, y) = 1 x2 + y2 • f(x, y, z) = 2xy2 − x2z − z3 • f(x1, x2, x3, x4) = 5x1x2x3 − 2x54 + 7 O próximo teorema aumenta a nossa capacidade de reconhecer se uma dada função é contínua. Teorema 2 Sejam f : A ⊂ Rn −→ R e ϕ : B ⊂ R −→ R funções tais que Imf ⊂ Df . Se f é contínua em p0 ∈ Df e ϕ é contínua em f(p0) então ϕof é contínua em p0. 5 Demonstração: Dado � > 0, como ϕ é contínua em f(p0), existe δ1 > 0 tal que: t ∈ Dϕ, |t− f(p0)| < δ1 ⇒ |ϕ(t)− ϕ(f(p0))| < � Agora, como f é contínua em p0, existe δ > 0 tal que: x ∈ Df , |x− p0| < δ ⇒ |f(x)− f(p0)| < δ1 Logo, segue dessa última expressão que: |ϕ(f(x))− ϕ(f(p0))| < � Portanto, ϕof é contínua em p0 Concluímos, a partir desse teorema, que se tivermos uma função ϕ(t) de uma variável e uma função f(x1, x2, ..., xn) de várias variáveis, ambas contínuas, então a função composta ϕ(f(x1, x2, ..., xn)) é contínua. Por exemplo, a função g(x, y) = cos(5xy2 − x3) �w contínua, pois ϕ(t) = cos(t) e f(x, y) = 5xy2 − x3 são funções contínuas. Segue desses dois teoremas que as funções a seguir são todas contínuas. Por exemplo: • f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1) • f(x, y) = ex arctan(xy ) • f(x, y, z) = |z|√ x2 + y4 + 1 6 Limite Sejam A ⊂ Rn e p0 ∈ R dizemos que p0 é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em p0 contém um ponto de A diferente de p0 Intuitivamente, se p0 é um ponto de acumulação de A, então existem infinitos pontos de A, diferentes de p0 e que estão arbitrariamente próximos de p0. Por exemplo, consideremos o conjunto A = { (x, y) ∈ R2; 1 ≤ y < 3} e os pontos p1 = (1, 1), p2 = (1, 2), p3 = (1, 3), p4 = (1, 4). p1, p2 e p3 são pontos de acumulação de A. Porém, p4 não é ponto de acumulação de A. Observemos que p1, p2 ∈ A, mas p3 6∈ A. Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função, p0 um ponto de acumulação de Df e L ∈ R. De maneira intuitiva, diremos que L é o limite de f quando x tende para p0, e escreveremos: lim x→p0 f(x) = L, se, para "todo"x "próximo"de p0, o valor de f(x) está "próximo"de L. Quando isto não acontece, diremos que o limite lim x→p0 f(x) não existe. Por exemplo, consideremos a função 7 f(x, y) = 2xy x2 + y2 onde Df = R2 − {(0, 0)}. ∴ (0, 0) é ponto de acumulação de Df Desejamos saber se o limite lim (x,y)→(0,0) f(x, y) existe ou não. Se tomarmos pontos próximos de (0, 0), mas que estão sobre o eixo x, isto é, pontos da forma (x, 0), temos que f(x, 0) = 2x.0 x2 + 02 = 0 x2 = 0 Agora se tomarmos pontos próximos de (0, 0), mas que estejam sobre a bissetriz do primeiro quadrante, ou seja, pontos da forma (x, x), temos: f(x, x) = 2xx x2 + x2 = 2x2 2x2 = 1 Portanto, o limite lim (x,y)→(0,0) 2xy x2 + y2 não existe, pois para certos pontos do R2 próximos de (0, 0) o valor desses pontos estão "próximos"(na verdade são iguais) de zero e para outros pontos do R2 próximos da origem, o valor de f está próximo (na verdade são iguais) de 1. O que garante a existência e a unicidade do limite é a condição dada na seguinte definição: Definição 1 Sejam f : A ⊂ Rn −→ R, p0 um ponto de acumulação de Df e L ∈ R. O número L é o limite de f quando x tende para p0 se, dado � > 0, existe δ > 0 tal que: x ∈ Df , 0 < ||x− p0|| < δ ⇒ |f(x)− L| < � Segue dessa definição e da definição de função contínua que 8 f é contínua em p0 ⇔ limx→p0 f(x) existe elim x→p0 f(x) = f(p0) Temos então que: lim (x,y)→(−2,1) xy2 + 8 x2 − y3 = 2 pois f(x, y) = xy2 + 8 x2 − y3 é uma função contínua, logolim (x,y)→(−2,1) f(x, y) = f(−2, 1) = −2.1 2 + 8 (−2)2 − 13 = 6 3 = 2 Tal como este, podemos calcular os seguintes limites: 1. lim (x,y)→(0,1) ex(x2 + xy − 1) = e0(02 + 0.1− 1) = −1 2. lim (x,y)→(2,2) x cos(x− y) x2 + y2 = 2 cos(2− 2) 22 + 22 = 2 8 = 1 4 3. lim (x,y,z)→(1,−2,2) √ 2x+ y2 + 5z = √ 2.1 + (−2)2 + 5.2 = √ 16 = 4 9
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