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Aula 10 Continuidade de funções de Rn em R

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 10
Assuntos: Continuidade de funções e limite
Palavras-chaves: continuidade, funções contínuas, limite
Bola Aberta
Sejam p ∈ Rn e r ∈ R com r > 0. A bola aberta de centro em p e raio r é o conjunto:
Br(p) = {x ∈ Rn; ||x− p|| < r}
No R2, a bola aberta de centro em p = (x0, y0) é constituída por todos os pontos (x, y) que são internos a
circunferência de centro em p e raio r.
No R3 a bola aberta de centro em p = (x0, y0, z0) é formada por todos os pontos (x, y, z) que são internos
a esfera de centro em p e raio r.
Continuidade de funções
Exemplo: f : R2 −→ R definida por:
f(x, y) =
{
1, se x2 + y2 > 1
2, se x2 + y2 ≤ 1
Todos os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1 e os pontos internos dessa circunferência
são levados no 2 pela função f . Dos pontos externos a essa circunferência são levados por f no 1.
Gráfico de f :
2
Consideremos um ponto p0 = (x0, y0) que esteja sobre a circunferência de centro na origem e raio 1.
Sejam agora um intervalo I de "centro"em 2 e "raio"menor que 1. Temos que toda bola aberta de centro
em p0 sempre conterá um ponto p tal que f(p) não pertence ao intervalo I. Isso sempre acontecerá por menor
que seja o intervalo I.
Portanto, em se tratando dos valores de f , a função apresenta um salto em p0. Isso é nitidamente observado
no gráfico da função.
Dizemos então que a função f não é contínua em p0 ou que ela é descontínua em p0.
3
Diremos que uma função f : A ⊂ R2 −→ R é contínua em p0 ∈ Df se ela não apresentar um salto em seus
valores tal como a função do exemplo anterior.
Essa noção de continuidade é estendida para funções de mais de duas variáveis.
Uma função f : A ⊂ Rn −→ R é contínua em p0 ∈ Df se, para todo � > 0, existe δ > 0 tal que:
x ∈ Df ; ||x− p0|| < δ ⇒ |f(x)− f(p0)| < �
Diremos que uma função f é contínua em B ⊂ Df se f é contínua em todos os pontos de B. Se uma função
f é contínua em Df , diremos, simplesmente, que f é contínua.É fácil ver que toda função constante é contínua.
O gráfico de uma função contínua, referente as componentes conexas do domínio da função, não apresenta
saltos. Outra função contínua é a função f(x, y) = x. De fato, mostremos que f é contínua em p0 = (x0, y0).
Dado � > 0, consideremos δ = �. Assim, para todo x = (x, y) tal que ||x− p0|| < δ, temos:
|f(x)− f(p0)| = |f(x, y)− f(x0, y0)| = |x− x0|
≤ ||(x− x0, y − y0)|| = ||(x, y)− (x0, y0)||
= ||x− p0|| < δ = �
Analogamente,a função g(x, y) = y é contínua. Também de maneira análoga,a função h : Rn −→ R
definida por h(x1, x2, ..., xn) = xi, para algum i ∈ 1, ..., n é contínua. O teorema a seguir fornece uma maneira
de verificar se muitas funções são contínuas.
Teorema 1 Sejam k uma constante e f, g : A ⊂ Rn −→ R funções. Se f e g são contínuas em p0 ∈ A então
kf, f + g, f − g, fg são contínuas em p0. Além disso, se g(p0) 6= 0, então f
g
é contínua em p0.
Para dar uma idéia de como seria a demonstração desse teorema, mostraremos que f + g é contínua. Seja
p0 ∈ A. Dado � > 0, consideremos o número �2 . Como f e g são contínuas em p0, para esse número existem
δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
4
||x− p0|| < δ1 ⇒ |f(x)− f(p0)| < �
2
||x− p0|| < δ2 ⇒ |g(x)− g(p0)| < �
2
para x ∈ A. Seja δ = min{δ1, δ2}. Tomemos x ∈ A com ||x−p0|| < δ. Logo ||x−p0|| < δ1, e ||x−p0|| < δ2.
Assim, temos:
|(f + g)(x)− (f + g)(p0)| = |f(x) + g(x)− f(p0)− g(p0)|
= |f(x)− f(p0) + g(x)− g(p0)|
≤ |f(x)− f(p0)|+ |g(x)− g(p0)| < �
2
+
�
2
= �
∴ f + g é contínua em p0.
Vamos utilizar o teorema anterior para mostrar que a função:
h(x, y) =
2xy
x2 + 5
é contínua. Com efeito, a função xy é contínua, pois é o produto das funções f(x, y) = x e g(x, y) = y,
que são contínuas.
A função 2xy é contínua, pois é o produto de uma constante por uma função contínua.
A função x2 é contínua, pois é o produto da função f(x, y) = x por ela mesma.
A função x2 + 5 é contínua, pois é a soma da função x2 coma função constante, que são contínuas.
Finalmente, a função
2xy
x2 + 5
é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas, coma função do
denominador sempre não nula.
Procedendo desse mesmo modo, podemos mostrar que todas as funções a seguir são contínuas. Por exemplo:
• f(x, y) = x2 + y2
• f(x, y) = 1
x2 + y2
• f(x, y, z) = 2xy2 − x2z − z3
• f(x1, x2, x3, x4) = 5x1x2x3 − 2x54 + 7
O próximo teorema aumenta a nossa capacidade de reconhecer se uma dada função é contínua.
Teorema 2 Sejam f : A ⊂ Rn −→ R e ϕ : B ⊂ R −→ R funções tais que Imf ⊂ Df . Se f é contínua em
p0 ∈ Df e ϕ é contínua em f(p0) então ϕof é contínua em p0.
5
Demonstração: Dado � > 0, como ϕ é contínua em f(p0), existe δ1 > 0 tal que:
t ∈ Dϕ, |t− f(p0)| < δ1 ⇒ |ϕ(t)− ϕ(f(p0))| < �
Agora, como f é contínua em p0, existe δ > 0 tal que:
x ∈ Df , |x− p0| < δ ⇒ |f(x)− f(p0)| < δ1
Logo, segue dessa última expressão que:
|ϕ(f(x))− ϕ(f(p0))| < �
Portanto, ϕof é contínua em p0
Concluímos, a partir desse teorema, que se tivermos uma função ϕ(t) de uma variável e uma função
f(x1, x2, ..., xn) de várias variáveis, ambas contínuas, então a função composta ϕ(f(x1, x2, ..., xn)) é contínua.
Por exemplo, a função
g(x, y) = cos(5xy2 − x3)
�w contínua, pois ϕ(t) = cos(t) e f(x, y) = 5xy2 − x3 são funções contínuas.
Segue desses dois teoremas que as funções a seguir são todas contínuas. Por exemplo:
• f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1)
• f(x, y) = ex arctan(xy )
• f(x, y, z) = |z|√
x2 + y4 + 1
6
Limite
Sejam A ⊂ Rn e p0 ∈ R dizemos que p0 é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em
p0 contém um ponto de A diferente de p0
Intuitivamente, se p0 é um ponto de acumulação de A, então existem infinitos pontos de A, diferentes de
p0 e que estão arbitrariamente próximos de p0. Por exemplo, consideremos o conjunto
A =
{
(x, y) ∈ R2; 1 ≤ y < 3}
e os pontos p1 = (1, 1), p2 = (1, 2), p3 = (1, 3), p4 = (1, 4).
p1, p2 e p3 são pontos de acumulação de A. Porém, p4 não é ponto de acumulação de A. Observemos que
p1, p2 ∈ A, mas p3 6∈ A.
Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função, p0 um ponto de acumulação de Df e L ∈ R. De maneira intuitiva,
diremos que L é o limite de f quando x tende para p0, e escreveremos:
lim
x→p0
f(x) = L,
se, para "todo"x "próximo"de p0, o valor de f(x) está "próximo"de L. Quando isto não acontece, diremos
que o limite lim
x→p0
f(x) não existe. Por exemplo, consideremos a função
7
f(x, y) =
2xy
x2 + y2
onde Df = R2 − {(0, 0)}.
∴ (0, 0) é ponto de acumulação de Df
Desejamos saber se o limite
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
existe ou não. Se tomarmos pontos próximos de (0, 0), mas que estão sobre o eixo x, isto é, pontos da
forma (x, 0), temos que
f(x, 0) =
2x.0
x2 + 02
=
0
x2
= 0
Agora se tomarmos pontos próximos de (0, 0), mas que estejam sobre a bissetriz do primeiro quadrante, ou
seja, pontos da forma (x, x), temos:
f(x, x) =
2xx
x2 + x2
=
2x2
2x2
= 1
Portanto, o limite lim
(x,y)→(0,0)
2xy
x2 + y2
não existe, pois para certos pontos do R2 próximos de (0, 0) o valor
desses pontos estão "próximos"(na verdade são iguais) de zero e para outros pontos do R2 próximos da origem,
o valor de f está próximo (na verdade são iguais) de 1.
O que garante a existência e a unicidade do limite é a condição dada na seguinte definição:
Definição 1 Sejam f : A ⊂ Rn −→ R, p0 um ponto de acumulação de Df e L ∈ R. O número L é o limite
de f quando x tende para p0 se, dado � > 0, existe δ > 0 tal que:
x ∈ Df , 0 < ||x− p0|| < δ ⇒ |f(x)− L| < �
Segue dessa definição e da definição de função contínua que
8
f é contínua em p0 ⇔
 limx→p0 f(x) existe elim
x→p0
f(x) = f(p0)
Temos então que:
lim
(x,y)→(−2,1)
xy2 + 8
x2 − y3 = 2
pois f(x, y) =
xy2 + 8
x2 − y3 é uma função contínua, logolim
(x,y)→(−2,1)
f(x, y) = f(−2, 1) = −2.1
2 + 8
(−2)2 − 13 =
6
3
= 2
Tal como este, podemos calcular os seguintes limites:
1. lim
(x,y)→(0,1)
ex(x2 + xy − 1) = e0(02 + 0.1− 1) = −1
2. lim
(x,y)→(2,2)
x cos(x− y)
x2 + y2
=
2 cos(2− 2)
22 + 22
=
2
8
=
1
4
3. lim
(x,y,z)→(1,−2,2)
√
2x+ y2 + 5z =
√
2.1 + (−2)2 + 5.2 =
√
16 = 4
9

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