Aula 14 Funções diferenciáveis (continuação)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 14
Assunto: Funções diferenciáveis
Palavras-chaves: derivadas, derivadas parciais, diferenciabilidade
Funções diferenciáveis(continuação)
Vimos que, se uma função f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então f admite derivadas parciais em (x0, y0)
e tais derivadas parciais são justamente as constantes a e b que aparecem na função erro.
Para o que vem a seguir precisamos do conceito de conjunto abertp
Conjunto Aberto
Um subconjunto A do Rn é chamado de conjunto aberto, se para todo p ∈ A, existe uma bola aberta de
centro em p e contida em A
Em outras palavras, um subconjunto A do Rn é aberto, se todos os seus pontos são pontos interiores, ou
ainda, se A =
o
A.
Exemplo 1 • O conjunto
A =
{
(x, y) ∈ R2; 1 < y < 3}
é um conjunto aberto, pois todos os pontos de A são pontos interiores de A.
• O conjunto
A =
{
(x, y) ∈ R2; 1 < y ≤ 3}
não é um conjunto aberto, pois, por exemplo, o ponto (1, 3 ∈ A) e (1, 3) não é ponto interior de A
• O conjunto
A =
{
(x, y) ∈ R2;−1 < x < 1 e − 1 < y < 1}
é um conjunto aberto
• Toda bola aberta é um conjunto aberto
2
• O conjunto
A =
{
(x, y) ∈ R2;x = y}
não é aberto
O próximo teorema nos diz que a existência e continuidade das derivadas parciais de um função f é uma
condição suficiente para a diferenciabilidade de f
Teorema 1 Sejam A ⊂ R2 → R, com A aberto, e (x0, y0) ∈ A
As derivadas parciais de f existem em A e são contínuas em (x0, y0)
⇒
6⇐ f é diferenciável em (x0, y0)
Exemplo 2 Vamos usar esse teorema para mostrar que a função
f(x, y) =
1
x− y
é diferenciável no ponto (1, 2). Com efeito, o domínio de f é o conjunto
Df =
{
(x, y) ∈ R2;x 6= y}
3
Portanto Df é um conjunto aberto. Temos que:
∂f
∂x
=
0.(x− y)− 1.1
(x− y)2 = −
1
(x− y)2
∂f
∂y
=
0.(x− y)− 1.(−1)
(x− y)2 =
1
(x− y)2
Portanto, as derivadas parciais de f existem em Df e são contínuas em (1, 2). Logo, pelo teorema anterior,
f(x, y) é diferenciável em (1, 2).
Diremos que uma função f(x, y) é diferenciável em B ⊂ Df se f(x, y) é diferenciável em todos os pontos
de B. Se f(x, y) for diferenciável em Df , diremos, simplesmente, que f(x, y) é diferenciável.
Sejam f(x, y) uma função e A um subconjunto aberto de Df . Diremos que f(x, y) é de classe C
1
em A se
as derivadas parciais de f são contínuas em A. O seguinte corolário é uma consequência do teorema anterior
Corolário 1 Sejam f(x, y) uma função e A ⊂ Df , com A aberto. Se
f é de classe C1 em A
⇒
6⇐ f é diferenciável em A
Exemplo 3 Consideremos a função f(x, y) =
√
x2 + y2. O domínio de f é todo o R2. Já sabemos que f não
é diferenciável em (0, 0). Para (x, y) 6= (0, 0), temos:
∂f
∂x
=
x√
x2 + y2
∂f
∂y
=
y√
x2 + y2
Portanto, as derivadas de parciais de f(x, y) existem e são contínuas em R2 − {(0, 0)} que é um conjunto
aberto. Assim, f(x, y) é de classe C1 em R2 − {(0, 0)}, logo f(x, y) é diferenciável nesse conjunto.
Exemplo 4 Mostremos que a função
4
f(x, y) =

x2y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é diferenciável. Vamos mostrar de f é de classe C1 no R2.
Para (x, y) 6= (0, 0), temos:
∂f
∂x
(x, y) =
2xy2(x2 + y2)− x2y22x
(x2 + y2)2
= �
��2x3y2 + 2xy4 −���2x3y2
(x2 + y2)2
=
2xy4
(x2 + y2)2
Calculemos agora
∂f
∂x
(0, 0)
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
x2.02
x2+02 − 0
x
= lim
x→0
0
x
= 0
Portanto,
∂f
∂x
(x, y) =

2xy4
(x2 + y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Analogamente,
∂f
∂y
(x, y) =

2x4y
(x2 + y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Segue da expressão
∂f
∂x
(x, y) que essa derivada é contínua em (x, y) 6= (0, 0). Verifiquemos a continuidade
de
∂f
∂x
(0, 0). Assim, teremos
lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
2xy4
(x2 + y2)2
= lim
(x,y)→(0,0)
tende a zero︷︸︸︷
2x
y2
x2 + y2
y2
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
limitada
= 0 =
∂f
∂x
(0, 0)
Portanto
∂f
∂x
é contínua em (0, 0). Logo
∂f
∂x
é contínua em R2.
Analogamente,
∂f
∂y
é contínua em R2. Logo f é diferenciável em R2, isto é, f é diferenciável.
Exemplo 5 Considere a função
5
f(x, y) =
 (x
2 + y2) sin
(
1
x2 + y2
)
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Essa função é um contra-exemplo para mostrar que a recíproca do corolário e do teorema anterior não são
válidas, pois tal função é diferenciável, mas as derivadas parciais de f não são contínuas em (0, 0).
Todos os conceitos e resultados, relativos a funções diferenciáveis, vistos até aqui para funções de duas
variáveis, são válidos para funções de três ou mais variáveis.
Seja f : A ⊂ Rn → R, A é aberto, e p0 ∈ A com p0 = (p1, p2, ..., pn). Escrevamos h = (h1, h2, ..., hn). A
função f é diferenciável em p0 se existem a1, a2, ..., an em R tais que
lim
h→0
f(p0 + h)− f(p0)−
n∑
i=1
aihi
||h|| = 0
Se f é diferenciável em p0, então f é contínua em p0 e existem as derivadas parciais de f em p0. Além
disso,
ai =
∂f
∂xi
(p0)
Se as derivadas parciais de f existem em A e são contínuas em p0, então f é diferenciável em p0. Dizemos
que f é de classe C1 no subconjunto aberto B de Df se as derivadas parciais de f existem e são contínuas em
A. Se f é de classe C1 em B, então f é diferenciável em B.
Para funções de uma variável as palavras derivável e diferenciável são sinônimos e ambas as referem a
existência de derivadas da função.
Para funções de várias variáveis essas palavras tem significado diferentes, pois f : A ⊂ Rn → R ser
derivável em p0 ∈ A siginifica que f tem derivadas parciais em p0, enquanto que o fato de f ser diferenciável
em p0 significa que
lim
h→0
f(p0 + h)− f(p0)−
n∑
i=1
∂f
∂xi
(p0)hi
||h|| = 0
em que h = (h1, h2, ..., hn). E, além disso, sabemos que
f é diferenciável em p0
⇒
6⇐ f é derivável em p0
6