Aula 27 Integral dupla em coordenadas polares

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 27
Assunto: Mudança de Variável na Integral Dupla e Coordenadas Polares
Palavras-chaves: mudança de variável, integrais duplas, coordenadas polares
Mudança de variável na integral dupla(Continuação)
Exemplo 1 Calcule
∫ ∫
B
cos(x− y)
sin(x+ y)
dxdy, em que B é o trapézio 1 ≤ x+y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
Resolução:
Temos que
x+ y = 1⇒ y = −x+ 1
x+ y = 2⇒ y = −x+ 2
Vamos fazer a seguinte mudança de variável
{
x− y = u
x+ y = v
Logo, obteremos
2x = u+ v ⇒ x = u
2
+
v
2
2y = v − u⇒ y = v
2
− u
2
Portanto,
ϕ(u, v) =
(u
2
+
v
2
,
v
2
− u
2
)
Observamos que a função
ϕ−1 = (x− y, x+ y)
é a inversa da função ϕ.
Precisamos agora determinar o conjunto Buv do plano uv que satisfaz B = ϕ(Buv). Por-
tanto, tal conjunto também satisfaz ϕ−1(B) = Buv. Assim, para encontrarmos Buv basta
determinar a imagem do conjunto B pela função ϕ−1.
A imagem da reta x+ y = 1 que implica em y = −x+ 1 será,
ϕ−1(x,−x+ 1) = (x− (−x+ 1), x+ (−x+ 1))
= (x+ x− 1, x− x+ 1)
= (2x− 1, 1)
= (−1, 1) + (2x, 0)
= (−1, 1) + x(2, 0)
essa é a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (−1, 1) e tem a direção do vetor
(2, 0).
A imagem da reta x+ y = 2 que implica em y = −x+ 2 será,
2
ϕ−1(x,−x+ 2) = (x− (−x+ 2), x+ (−x+ 2))
= (x+ x− 2, x− x+ 2)
= (2x− 2, 2)
= (−2, 2) + (2x, 0)
= (−2, 2) + x(2, 0)
essa é a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (−2, 2) e tem a direção do vetor
(2, 0).
A imagem do eixo x(y = 0) será,
ϕ( − 1)(x, 0) = (x, x) = (0, 0) + x(1, 1)
essa é a equação vetorial da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor (1, 1).
A imagem do eixo y(x = 0) será,
ϕ( − 1)(0, y) = (−y, y) = (0, 0) + y(−1, 1)
essa é a equação vetorial da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor (−1, 1).
Assim, temos a seguinte situação geométrica
Portanto,
Buv = {(u, v) ∈ R2; 1 ≤ v ≤ 2,−v ≤ u ≤ v}
Calculemos o determinante jacobiano de ϕ
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
1
2
−1
2
1
2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
1
4
+
1
4
=
1
2
Usando agora a fórmula de mudança de variável, temos
3
∫ ∫
B
cos(x− y)
sin(x+ y)
dxdy =
∫ ∫
Buv
cos(x− y)
sin(x+ y)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ dudv =
∫ ∫
Buv
cosu
sin v
1
2
dudv
=
1
2
∫ ∫
Buv
cosu
sin v
dudv =
1
2
∫ 2
1
∫ v
−v
cosu
sin v
dudv
Vamos calcular separada a integral
∫ v
−v
cosu
sin v
du. Assim,
∫ v
−v
cosu
sin v
du =
1
sin v
∫ v
−v
cosu du =
1
sin v
[
sin u
]v
−v
=
1
sin v
[sin v − sin(−v)] = 1
sin v
[sin v + sin v]
=
2 sin v
sin v
= 2
Portanto,
∫ ∫
B
cos(x− y)
sin(x+ y)
dxdy =
1
2
∫ 2
1
2 dv =
1
2
[
2v
]2
1
=
1
2
[2.2− 2.1] = 1
2
[4− 2] = 1
2
.2 = 1
Então,
∫ ∫
B
cos(x− y)
sin(x+ y)
dxdy = 1
Coordenadas Polares
Coordenadas polares são pares de números que se destinam a localizar pontos do plano de
uma maneira distinta de como é feito para coordenadas cartesianas.
As coordenadas polares são determinadas a partir de um ponto O do plano de polo e de um
semi-eixo com origem em O, e geralmente desenhado na horizontal, chamado de eixo polar.
Todo ponto P do plano fica então determinado pela distância ρ de P a O e pelo ângulo θ
entre o eixo polar e o segmento OP .
4
Os números ρ e θ são as coordenadas polares do ponto P e dizemos que o ponto P é dado
por (ρ, θ), ou seja, P = (ρ, θ).
P = (ρ, θ), em coordenadas polares
Convencionamos que os valores positivos de θ correspondem a ângulos medidos no sentido
anti-horário e valores negativos correspondem a ângulos medidos no sentido horário.
Se P = (ρ, θ) com ρ > 0, então o ponto Q = (−ρ, θ) é aquele que também é representado
por (ρ, θ + pi).
É possível converter coordenadas polares em coordenadas cartesianas e vice-versa, local-
izando o sistema de coordenadas cartesianas sobre o sistema de coordenadas polares, de modo
que a origem do primeiro coincida com o polo do segundo, e o semi-eixo positivo do eixo x do
primeiro sistema coincida com o eixo polar do segundo sistema.
Seja P um ponto do plano de modo que (x, y) são as suas coordenadas cartesianas e (ρ, θ)
são as suas coordenadas polares.
Assim,
{
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
,


tan θ =
y
x
ρ =
√
x2 + y2
Exemplo 2 1. O conjunto dos pontos do plano dado por
{(
ρ,
pi
3
)
; ρ ∈ R
}
é constituído pelos pontos da reta esboçada abaixo.
Dizemos então que θ =
pi
3
é a equação dessa reta em coordenadas polares.
De um modo geral θ = c, com c constante, é a equação de uma reta em coordenadas
polares.
Para obtermos a equação, em coordenadas cartesianas, da reta dada em coordenadas
polares por θ =
pi
3
, podemos proceder como segue
θ =
pi
3
⇒ tan θ = tan pi
3
⇒ y
x
=
√
3
5
Portanto,
y =
√
3x
2. O conjunto dos pontos do plano dado por
{(2, θ); 0 ≤ θ ≤ 2pi}
é constituído pelos pontos da circunferência de centro no polo e raio 2.
Dizemos então que ρ = 2 é a equação da circunferência em coordenadas polares.
Segue de ρ =
√
x2 + y2 que a equação dessa circunferência em coordenadas cartesianas
é
√
x2 + y2 = 2⇒ x2 + y2 = 4
De um modo geral, a equação ρ = c, c constante, representa a circunferência de centro
no polo e raio c. A equação dessa circunferência em coordenadas cartesianas é
x2 + y2 = c
3. ρ = θ (espiral)
4. ρ = 2 cos θ
Circunferência de centro em (1, 0) e raio 1
Observamos que ρ =
√
x2 + y2, logo
x = ρ cos θ ⇒ cos θ = x
ρ
⇒ cos θ = x√
x2 + y2
Portanto,
ρ = 2 cos θ ⇒
√
x2 + y2 = 2
x√
x2 + y2
⇒ x2 + y2 = 2x
⇒ x2 − 2x+ y2 = 0
⇒ x2 − 2x+ 1 + y2 = 1
⇒ (x− 1)2 + y2 = 1
6
5. ρ = 1 + sin θ (Cardióide)
6. ρ = cos 2θ (Rosácea de quatro pétalas)
Nosso interesse em coordenadas polares no momento, reside no fato de fazermos mudança
de variável na integral dupla
∫ ∫
B
f(x, y)dxdy
utilizando a função ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ sin θ).
Essa mudança é chamada de mudança de variável para coordenadas polares na integral
dupla. Onde
{
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
e
∂(x, y)
∂(ρ, θ)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂θ
∂x
∂ρ
∂y
∂θ
∂y
∂ρ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ −ρ sin θ cos θρ cos θ sin θ
∣∣∣∣∣ = −ρ sin2 θ − ρ cos2 θ = −ρ
Portanto,
∣∣∣∣∂(x, y)∂(ρ, θ)
∣∣∣∣ = | − ρ| = ρ
Exemplo 3 Calcule
∫ ∫
R
(3x + 4y2)dA, onde R é a região no semiplano superior limitada
pelos círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Resolução:
Temos que
R = {(x, y) ∈ R2; y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}
{
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
, dxdy = ρdθdρ
7
Da fórmula de variável para coordenadas polares teremos que
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
Rθρ
f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dθdρ
Assim,
∫ ∫
R
(3x+ 4y2)dxdy =
∫ ∫
Rθρ
(3ρ cos θ, 4(ρ sin θ)2)ρ dθdρ
=
∫ pi
0
∫ 2
1
(3ρ cos θ, 4ρ2 sin2 θ)ρ dρdθ
=
∫ pi
0
∫ 2
1
(3ρ2 cos θ, 4ρ3 sin2 θ)dρdθ
Calculando a integral interna teremos,
∫ 2
1
(3ρ2 cos θ, 4ρ3 sin2 θ)dρ =
[
ρ3 cos θ + ρ4 sin2 θ
]2
1
= 23 cos θ + 24 sin2 θ − (13 cos θ + 14 sin2 θ)
= 8 cos θ + 16 sin2 θ − cos θ − sin2 θ
= 7 cos θ + 15 sin2 θ
Portanto,
∫ ∫
R
(3x+ 4y2)dxdy =
∫ pi
0
(7 cos θ + 15 sin2 θ)dθ
Lembre-se que sin2 θ =
1
2
(1− cos 2θ). Logo,
∫ ∫
R
(3x+ 4y2)dxdy =
∫ pi
0
(
7 cos θ +
15
2
(1− cos 2θ)
)
dθ
=
∫ pi
0
(
7 cos θ +
15
2
− 15
2
cos 2θ
)
dθ
=
[
7 sin θ +
15
2
θ − 15
4
sin 2θ
]pi
0
= 7 sin pi +
15
2
pi − 15
4
2pi −
(
7 sin 0 +
15
2
.0− 15
4
sin 2.0
)
=
15
2
pi
8
Exemplo 4 Determine o volumedo sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabolóide
z = 1− x2 − y2.
Resolução:
Esse sólido está abaixo do parabolóide e acima do disco x2 + y2 ≤ 1 no plano xy. Seja
D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1}
Portanto o volume do sólido é dado por
V =
∫ ∫
D
(1− x2 − y2) dxdy
V =
∫ ∫
D
(1− x2 − y2) dxdy =
∫ ∫
Dθρ
(1− (ρ cos θ)2 − (ρ sin θ)2)ρ dθdρ
=
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(1− ρ2 cos2 θ − ρ2 sin2 θ)ρ dθdρ
=
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(1− ρ2)ρ dρdθ
=
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(ρ− ρ3)dρdθ
Resolvendo a integral mais interna teremos,
∫ 1
0
(ρ− ρ3)dρ =
[
ρ2
2
− ρ
4
4
]1
0
=
1
2
− 1
4
=
1
4
Portanto,
V =
∫ 2pi
0
1
4
dθ =
1
4
∫ 2pi
0
dθ =
1
4
[
θ
]2pi
0
=
1
4
.2pi =
pi
2
Exemplo 5 Utilize integral dupla em coordenadas polares para determinar a área da circun-
ferência de raio r.
9
Resolução:
Consideremos a circunferência de centro na origem e raio r e seja D o disco
D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ r2}
A área do disco D é dada por
A =
∫ ∫
D
dxdy
Fazendo a mudança de variável para coordenadas polares obtemos,
A =
∫ ∫
Dθρ
ρ dθdρ =
∫ 2pi
0
∫ r
0
ρ dρdθ
Temos que
∫ r
0
ρ dρ =
[
ρ2
2
]r
0
=
r2
2
Portanto,
A =
∫ 2pi
0
r2
2
dθ =
r2
2
∫ 2pi
0
dθ =
r2
2
[
θ
]2pi
0
=
r2
2
.2pi = pir2
Exemplo 6 Determine a área delimitada pelo cardióide ρ = 1 + sin θ.
Resolução:
Precisamos calcular a integral dupla A =
∫ ∫
D
dxdy, em que D é a região delimitada pela
cardióide ρ = 1 + sin θ.
Façamos a mudança para coordenadas polares
A =
∫ ∫
D
dxdy =
∫ ∫
Dθρ
ρ dθdρ =
∫ 2pi
0
∫ 1+sin θ
0
ρ dρdθ
Temos que,
10
∫ 1+sin θ
0
ρ dρ =
[
ρ2
2
]1+sin θ
0
=
1
2
[
ρ2
]1+sin θ
0
=
1
2
(1 + sin θ)2
Portanto,
A =
∫ 2pi
0
1
2
(1 + sin θ)2dθ =
1
2
∫ 2pi
0
(1 + sin θ)2dθ
=
1
2
∫ 2pi
0
(1 + 2 sin θ + sin2 θ)dθ
=
1
2
∫ 2pi
0
(
1 + 2 sin θ +
1
2
(1− cos 2θ)
)
dθ
=
1
2
∫ 2pi
0
(
3
2
+ 2 sin θ − 1
2
cos 2θ
)
dθ
=
1
2
[
3
2
θ − 2 cos θ − 1
4
sin 2θ
]2pi
0
=
1
2
[
3
2
2pi − 2 cos 2pi − 1
4
sin 4pi −
(
3
2
.0− 2 cos 0− 1
4
sin 0
)]2pi
0
=
1
2
[3pi − 2− 0− (0− 2− 0)]
=
3pi
2
11