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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 28 Assunto: Integrais Triplas Palavras-chaves: integração, integrais triplas, volume, teorema de Fubini, soma de Riemann Integrais triplas Assim como existem as integrais simples (ou unidimensionais) para funções de uma variável e as integrais duplas para duas variáveis, há as integrais triplas para funções de três variáveis. Definiremos as integrais triplas, inicialmente, de uma função f(x, y, z) sobre um paralelepípedo (caixa retangular). B = {(x, y, z) ∈ R3; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s} Sejam P1 : a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b uma partição do intervalo [a, b], P2 : c = y0 < y1 < y2 < ... < ym = d uma partição do intervalo [c, d] e P3 : r = z0 < z1 < z2 < ... < zl = s uma partição do intervalo [r, s] O conjunto P = {(xi, yj , zk); i = 0, 1, 2, ..., n , j = 0, 1, 2, ...,m , k = 0, 1, 2, ..., l} é uma partição do paralelepípedo B. Essa partição de B determina uma subdivisão de B em paralelepípedos menores e da forma Bijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zi] Em cada sub-paralelepípedos Bijk escolhemos um ponto Xijk = (xi, yj , zk). O conjunto X dos pontos Xijk é chamado de conjunto admissível à partição P . A soma n∑ i=1 m∑ j=1 l∑ k=1 f(xi, yj , zk)∆xi∆yj∆zk é chamada de soma de Riemann de f(x, y, z) relativa á partição P e ao conjunto admissível X e é denotada por S(f, P,X). O número ∆, que é o maior dentre os números ∆xi∆yj e ∆zk com i = 0, 1, 2, ..., n, j = 0, 1, 2, ...,m e k = 0, 1, 2, ..., l é chamado de norma da partição P . Dizemos que um número L é o limite das somas de Riemann S(f, P,X), quando ∆ tende para zero, se para todo � > 0, existe δ > 0 tal que, para toda partição P com ∆ < δ e para todo conjunto X admissível à P , temos |S(f, P,X)−L| < �. Quando tal limite existe, é único, é chamado de integral tripla de f(x, y, z) em B e é denotada por ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz ou por ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dV . Escrevemos ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = n∑ i=1 m∑ j=1 l∑ k=1 f(xi, yj , zk)∆xi∆yj∆zk O cálculo da integral tripla é feito utilizando-se o teorema de Fubini. Teorema 1 (Teorema de Fubini para integrais triplas) Se f(x, y, z) é contínua em um paralelepípedo B = [a, b]× [c, d]× [r, s], então ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ s r ∫ d c ∫ b a f(x, y, z) dxdydz Fazendo mudanças na ordem de integração obtemos cinco outras integrais iteradas que são iguais a integral anterior. 2 ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ s r ∫ d c ∫ b a f(x, y, z) dxdydz = ∫ d c ∫ b a ∫ s r f(x, y, z) dzdxdy = ∫ b a ∫ s r ∫ d c f(x, y, z) dydzdx = ∫ d c ∫ s r ∫ b a f(x, y, z) dxdzdy = ∫ s r ∫ b a ∫ d c f(x, y, z) dydxdz = ∫ b a ∫ d c ∫ s r f(x, y, z) dzdydx Todas essas integrais iteradas fornecem o mesmo valor. Exemplo 1 Calcule a integral tripla ∫ ∫ B ∫ xyz2 dxdydz em que B é o paralelepípedo dado por B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} Resolução: Precisamos escolher a ordem de integração com a qual resolveremos a integral tripla dada. Existem seis possibilidades. Vamos adotar aquela em que integramos primeiro com relação a x, depois em relação a ye, finalmente, com relação a z. Assim, temos: ∫ ∫ B ∫ xyz2 dxdydz = ∫ 3 0 ∫ 2 −1 ∫ 1 0 xyz2 dxdydz = ∫ 3 0 ∫ 2 −1 [∫ 1 0 xyz2 dx ] dydz Resolvendo a integral mais interna, teremos: ∫ 1 0 xyz2 dx = [ 1 2 x2yz2 ]1 0 = 1 2 yz2 Assim, ∫ ∫ B ∫ xyz2 dxdydz = ∫ 3 0 ∫ 2 −1 1 2 yz2 dydz = 1 2 ∫ 3 0 ∫ 2 −1 yz2 dydz = 1 2 ∫ 3 0 [∫ 2 −1 yz2 dy ] dz Resolvendo agora a integral interna obteremos, ∫ 2 −1 yz2 dy = [ 1 2 y2z2 ]2 −1 = 1 2 z2 [ y2 ]2 −1 = 1 2 z2[4− 1] = 3 2 z2 Portanto, 3 ∫ ∫ B ∫ xyz2 dxdydz = 1 2 ∫ 3 0 3 2 z2 = 3 4 ∫ 3 0 z2 dz = 3 4 [ z3 3 ]3 0 = 3 4 [ 27 3 − 0 ] = 27 4 Sejam agora f(x, y, z) uma função, E um sólido do espaço R3, para qual existe um paralelepípedo B tal que E ⊂ B e B ⊂ Df. Consideremos a função F (x, y, z) definida em B por F (x, y, z) = { f(x, y, z) se (x, y, z) ∈ E 0 se (x, y, z) 6∈ E Assim, temos que ∫ ∫ E ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ E ∫ F (x, y, z) dxdydz Vamos considerar somente três conjuntos sobre os quais o cálculo da integral tripla recai em uma integral dupla • 1◦ caso: Sejam z = g(x, y) e z = h(x, y) funções de duas variáveis definida em um conjunto K com g(x, y) ≤ h(x, y), para todo (x, y) ∈ K. Consideremos B o seguinte conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ K e g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y)} Neste caso a integral tripla de f(x, y, z) sobre B é dada por ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ K [∫ h(x,y) g(x,y) f(x, y, z) dz ] dxdy • 2◦ caso: Sejam y = g(x, z) e y = h(x, z) funções definidas em um conjunto K com g(x, y) ≤ h(x, y), para todo (x, z) ∈ K. Consideremos B o seguinte conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3; (x, z) ∈ K e g(x, z) ≤ y ≤ h(x, z)} Neste caso temos, ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ K [∫ h(x,z) g(x,z) f(x, y, z) dy ] dxdz • 3◦ caso: Sejam x = g(y, z) e x = h(y, z) funções definidas em um conjunto K com g(y, z) ≤ h(y, z), para todo (y, z) ∈ K. Consideremos B o seguinte conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3; (y, z) ∈ K e g(y, z) ≤ x ≤ h(y, z)} Neste caso temos, ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ K [∫ h(y,z) g(y,z) f(x, y, z) dx ] dydz 4 Exemplo 2 Calcule ∫ ∫ E ∫ z dV , onde E é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y + z = 1. Resolução: Neste caso podemos tomar K como sendo o triângulo no plano xy de vértice nos pontos (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Assim, o conjunto E pode ser descrito como segue E = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ K, 0 < z < 1− x− y} Portanto, temos: ∫ ∫ E ∫ z dV = ∫ ∫ K [∫ 1−x−y 0 z dz ] dxdy Resolvendo a integral mais interna teremos, ∫ 1−x−y 0 z dz = [ z2 2 ]1−x−y 0 = 1 2 [ z2 ]1−x−y 0 = 1 2 (1− x− y)2 Assim, ∫ ∫ E ∫ z dV = ∫ ∫ K 1 2 (1− x− y)2 dxdy = 1 2 ∫ ∫ K (1− x− y)2 dxdy Temos que, ∫ ∫ E ∫ z dV = 1 2 ∫ 1 0 [∫ 1−x 0 (1− x− y)2 dy ] dx Resolvendo a integral interna obteremos ∫ 1−x 0 (1−x−y)2 dy = [ −1 3 (1− x− y)3 ]1−x 0 = −1 3 [ (1−x−y)3 ]1−x 0 = −1 3 [(1−x−(1−x))3−(1−x−0)3] = 1 3 (1−x)3 Portanto, ∫ ∫ E ∫ z dV = 1 2 ∫ 1 0 1 3 (1− x)3dx = 1 6 ∫ 1 0 (1− x)3dx = 1 6 [ −1 4 (1− x)4 ]1 0 = − 1 24 [ (1− x)4 ]1 0 = − 1 24 [(1− 1)4 − (1− 0)4] = 1 24 5 Exemplo 3 Calcule ∫ ∫ E ∫ √ x2 + z2 dV , onde E é a região limitada pelo parabolóide y = x2+z2 pelo plano z = 4. Resolução: Neste caso, podemos considerar K como sendo o disco x2 + z2 ≤ 4 no plano xz. O conjunto E pode então ser descrito como segue E = {(x, y, z) ∈ R3; (x, z) ∈ K,x2 + z2 ≤ y ≤ 4} Assim, temos ∫ ∫ E ∫ √ x2 + z2 dV = ∫ ∫ K [∫ 4 x2+z2 √ x2 + z2 dy ] dxdz Calculando a integral mais interna obteremos, ∫ 4 x2+z2 √ x2 + z2 dy = √ x2 + z2 ∫ 4 x2+z2 dy = √ x2 + z2 [ y ]4 x2+z2 = √ x2 + z2[4− (x2 + z2)] = √ x2 + z2(4− x2 − z2) = (4− x2 − z2) √ x2 + z2 Assim, ∫ ∫ E ∫ √ x2 + z2 dV = ∫ ∫ K (4− x2 − z2) √ x2 + z2 dxdz Vamos fazer uma mudança de variável para coordenadas polares fazendo { x = ρ cos θ z = ρ sin θ , ∂(x, z) ∂(θ, ρ) = ρ ; 0 ≤ θ ≤ 2pi e 0 ≤ ρ ≤ 2 e ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). Temos que, x2 + z2 = (ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2 = ρ2 cos2 θ + ρ2 sin2θ = ρ2(cos2 θ + sin2 θ) = ρ2 Logo, 6 ∫ ∫ E ∫ √ x2 + z2 dV = ∫ ∫ K (4− (x2 + z2)) √ x2 + z2 dxdz = ∫ ∫ Kθρ (4− ρ2) √ ρ2ρ dθdρ = ∫ ∫ Kθρ (4− ρ2)ρ2 dθdρ = ∫ ∫ Kθρ (4ρ2 − ρ4) dθdρ = ∫ 2pi 0 [∫ 2 0 (4ρ2 − ρ4) dρ ] dθ Resolvendo a integral interna obteremos, ∫ 2 0 (4ρ2 − ρ4) dρ = [ 4 3 ρ3 − 1 5 ρ5 ]2 0 = 4 3 .8− 1 5 .32 = 32 3 − 32 5 = 160− 96 15 = 64 15 Portanto, ∫ ∫ E ∫ √ x2 + z2 dV = ∫ 2pi 0 64 15 dθ = 64 15 [ θ ]2pi 0 = 64 15 .2pi = 128 15 pi 7
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