Aula 30 – Integrais triplas em coordenadas esféricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 30
Assunto: Integrais triplas. Coordenadas esféricas
Palavras-chaves: integrais triplas, coordenadas esféricas,cálculo de volume
Coordenadas esféricas
Seja P = (x, y, z) um ponto do espaço R3 em que x, y e z são coordenadas cartesianas de P .
As coordenadas esféricas de P são os números θ, ρ e ϕ em que θ é o ângulo (medido no sentido anti-horário)
entre o semi-eixo positivo 0x e o segmento de extremidades em (0, 0, 0) e (x, y, 0), ρ é a distância entre os
pontos (0, 0, 0) e P e ϕ é o ângulo (medido no sentido anti-horário) entre o semi-eixo positivo 0z e o segmento
de extremidades em (0, 0, 0) e P .
Vamos denotar por d a distância entre a origem e o ponto (x, y, 0). Temos que
sinϕ =
d
ρ
⇒ d = ρ sinϕ
cos θ =
x
d
⇒ x = d cos θ
Portanto, x = ρ sinϕ cos θ,
sin θ =
y
d
⇒ y = d sin θ
Logo, y = ρ sinϕ sin θ. E
cosϕ =
z
ρ
⇒ z = ρ cosϕ
Portanto, as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas se relacionam como segue

x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ
Consideremos a função
ϕ(θ, ρ, ϕ) = (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ)
e o conjunto
Eθρϕ = {(θ, ρ, ϕ) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ pi}
em que r ≥ 0.
A função ϕ transforma o conjunto Eθρϕ na esfera E de centro na origem e raio r.
Vamos calcular o determinante jacobiano da função ϕ.
∂(x, y, z)
∂(θ, ρ, ϕ)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂θ
∂x
∂ρ
∂x
∂ϕ
∂y
∂θ
∂y
∂ρ
∂y
∂ϕ
∂z
∂θ
∂z
∂ρ
∂z
∂ϕ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣
−ρ sinϕ sin θ sinϕ cos θ ρ cosϕ cos θ
ρ sinϕ cos θ sinϕ sin θ ρ cosϕ sin θ
0 cosϕ −ρ sinϕ
∣∣∣∣∣∣∣
= ρ2 sin3 ϕ sin2 θ + ρ2 sinϕ cos2 ϕ sin2 θ + ρ2 sin3 ϕ cos2 θ + ρ2 sinϕ cos2 ϕ cos2 θ
= ρ2 sinϕ[sin2 ϕ sin2 θ + cos2 ϕ sin2 θ + sin2 ϕ cos2 θ + cos2 ϕ cos2 θ]
= ρ2 sinϕ[sin2 ϕ(sin2 θ + cos2 θ) + cosϕ(sin2 θ + cos2 θ)]
= ρ2 sinϕ[sin2 ϕ+ cos2 ϕ]
= ρ2 sinϕ
Portanto,
∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, ϕ)
∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ
Assim, aplicando-se coordenadas esféricas à fórmula de mudança de variável na integral tripla, obtemos
∫ ∫
E
∫
f(x, y, z) dxdydz =
∫ ∫
Eθρϕ
∫
f(ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ)ρ2 sinϕ dθdρdϕ
Exemplo 1 Calcule
∫ ∫
B
∫
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV , onde B é a bola unitária
B = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 ≤ 1}
Resolução:
2
Para que um ponto P , com coordenadas esféricas θ, ρ e ϕ, percorra toda bola unitária B, devemos ter

0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ ϕ ≤ pi
Para

x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ
temos que
x2 + y2 + z2 = (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 + (ρ cosϕ)2
= ρ2 sin2 ϕ cos2 θ + ρ sin2 ϕ sin2 θ + ρ2 cos2 ϕ
= ρ2[sin2 ϕ cos2 θ + sin2 ϕ sin2 θ + cos2 ϕ]
= ρ2[sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) + cos2 ϕ]
= ρ2[sin2 ϕ+ cos2 ϕ]
= ρ2
Portanto,
∫ ∫
B
∫
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV =
∫ ∫
Bθρϕ
∫
e(ρ
2)
3
2 ρ2 sinϕ dθdρdϕ
=
∫ ∫
Bθρϕ
∫
eρ
3
ρ2 sinϕ dθdρdϕ
=
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∫ 1
0
eρ
3
ρ2 sinϕ dρdϕdθ
Temos que
∫ 1
0
eρ
3
ρ2 sinϕ dρ = sinϕ
∫ 1
0
eρ
3
ρ2 dρ = sinϕ
[
1
3
eρ
3
]1
0
=
1
3
sinϕ
[
eρ
3
]1
0
=
1
3
sinϕ
[
e1
3 − e03
]
=
1
3
sinϕ(e− 1) = e− 1
3
sinϕ
Logo,
∫ ∫
B
∫
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
e− 1
3
sinϕ dϕdθ =
e− 1
3
∫ 2pi
0
∫ pi
0
sinϕ dϕdθ
3
Temos agora que,
∫ pi
0
sinϕ =
[
− cosϕ
]pi
0
= [− cospi + cos 0] = [1 + 1] = 2
Portanto,
∫ ∫
B
∫
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV =
e− 1
3
∫ 2pi
0
2 dθ =
e− 1
3
[
2θ
]2pi
0
=
e− 1
3
[2.2pi − 2.0] = 4
3
pi(e− 1)
Exemplo 2 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z =√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = z.
Resolução:
A equação x2 + y2 + z2 = z pode ser reescrita como segue
x2 + y2 + z2 − z = 0
x2 + y2 + z2 − 2.1
2
.z +
(
1
2
)2
=
(
1
2
)2
(x− 0)2 + (y − 0)2 +
(
z − 1
2
)2
=
(
1
2
)2
Portanto, essa equação representa a esfera de centro no ponto
(
0, 0,
1
2
)
e raio
1
2
.
A equação dessa esfera em coordenadas esféricas é dada por
(ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 + (ρ cosϕ)2 = ρ cosϕ⇒
ρ2 = ρ cosϕ⇒
ρ = cosϕ
A equação do cone z =
√
x2 + y2 em coordenadas esféricas é dada por
ρ cosϕ =
√
(ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2
=
√
ρ2 sin2 ϕ cos2 θ + ρ2 sin2 ϕ sin2 θ
=
√
ρ2 sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ)
= ρ sinϕ
Portanto, cosϕ = sinϕ. Como 0 ≤ ϕ ≤ pi, temos que ϕ = pi
4
. Logo ϕ =
pi
4
é a equação do cone
z =
√
x2 + y2 em coordenadas esféricas.
4
Para melhor visualização do sólido, que vamos denotar por E, determinemos a intersecção da esfera com
o cone, embora isso não seja necessário para o cálculo da integral
{
z = x2 + y2 + z2
z =
√
x2 = y2
⇒
{
z2 = z − x2 − y2
z2 = x2 + y2
Somando membro a membro essas duas igualdades, obtemos:
2z2 = z ⇒ 2z2 − z = 0⇒ z(2z − 1) = 0⇒ z = 0 ou z = 1
2
Para z = 0, obtemos x2 + y2 = 0. Logo x = y = 0. Portanto, (0, 0, 0) é um ponto de intersecção da esfera
com o cone.
Para z = 12 , obtemos x
2 = y2 =
1
2
. Portanto,

z =
1
2
x2 + y2 =
(√
2
2
)2
Portanto, a esfera e o cone também se interceptam na circunferência de centro no ponto (0, 0,
1
2
), raio
1
2
e contida em um plano paralelo ao plano xy.
Esse sólido pode ser descrito, em coordenadas polares, por
{
(θ, ρ, ϕ); 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ pi
4
}
V = volume de E =
∫ ∫
E
∫
dxdydz =
∫ ∫
Eθρϕ
∫
dθdρdϕ =
∫ 2pi
0
∫ pi
4
0
∫ cosϕ
0
ρ2 sinϕ dρdϕdθ
Temos que
∫ cosϕ
0
ρ2 sinϕ dρ = sinϕ
∫ cosϕ
0
ρ2 dρ = sinϕ
[
ρ3
3
]cosϕ
0
=
1
3
sinϕ
[
ρ3
]cosϕ
0
=
1
3
sinϕ cos3 ϕ
Portanto,
V =
∫ 2pi
0
[∫ pi
4
0
1
3
sinϕ cos3 ϕ dϕ
]
dθ
Calculemos a integral interna
5
∫ pi
4
0
1
3
sinϕ cos3 ϕ dϕ =
1
3
∫ pi
4
0
sinϕ cos3 ϕ dϕ =
1
3
[
−1
4
cos4 ϕ
]pi
4
0
= − 1
12
[
cos4 ϕ
]pi
4
0
= − 1
12
[
cos4
pi
4
− cos4 0
]
= − 1
12
(√2
2
)4
− 1
 = − 1
12
[
1
4
− 1
]
= − 1
12
[
−3
4
]
=
1
16
Logo,
V =
∫ 2pi
0
1
16
dθ =
1
16
∫ 2pi
0
dθ =
1
16
[
θ
]2pi
0
=
1
16
[2pi − 0] = pi
8
Exemplo 3 Use a integral tripla para calcular o volume da esfera de raio r.
Resolução:
Consideremos a esfera E de raio r e centro na origem
Temos que
V = volume da esfera =
∫ ∫
E
∫
dxdydz
Vamos usar coordenadas esféricas. Para isso, devemos considerar o seguinte conjunto
Eθρϕ = {(θ, ρ, ϕ) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ pi}
e, assim, temos,
V =
∫ ∫
E
θρϕ
∫
ρ2 sinϕ dθdρdϕ =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∫ r
0
ρ2 sinϕ dρdϕdθ
Temos que,
∫ r
0
ρ2 sinϕ dρ = sinϕ
∫ r
0
ρ2 dρ = sinϕ
[
ρ3
3
]r
0
= sinϕ
[
r3
3
− 0
3
3
]
=
r3
3
sinϕ
Então,
V =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
r3
3
sinϕ dϕdθ =
r3
3
∫ 2pi
0
∫ pi
0
sinϕ dϕdθ
Agora temos que,
6
∫ pi
0
sinϕ dϕ =
[
− cosϕ
]pi
0
= [− cospi + cos 0] = [1 + 1] = 2
Portanto,
V =
r3
3
∫ 2pi
0
2 dθ =
r3
3
[
2θ
]2pi
0
=
r3
3
[2.2pi − 2.0] = 4
3
pir3
Exemplo 4 Use integrais triplas para determinar o volume do cone circular reto de altura h e raio da base r.
Resolução:
Consideremos o cone da figura
Por semelhança de triângulo, obtemos
r
ρ
=
h
z
⇒ z = h
r
ρ
Vamos usar coordenadas cilíndricas. Para que um ponto P percorra todo o cone é necessário que as suas
coordenadas cilíndricas variem nos seguintes intervalos

0 ≤ θ≤ 2pi
0 ≤ ρ ≤ r
h
r
ρ ≤ z ≤ h
Denotando por C o cone, devemos ter então
Cθρz =
{
(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi; 0 ≤ ρ ≤ r, h
r
ρ ≤ z ≤ h
}
Temos então
V = volume do cone =
∫ ∫
C
∫
dxdydz =
∫ ∫
Cθρz
∫
ρ dθdρdz =
∫ 2pi
0
∫ r
0
∫ h
h
r ρ
ρ dzdρdθ
Temos que,
∫ h
h
r ρ
ρ dz = ρ
∫ h
h
r ρ
dz = ρ
[
z
]h
h
r ρ
= ρ
[
h− h
r
ρ
]
= hρ− h
r
ρ2
Assim,
V =
∫ 2pi
0
∫ r
0
(
hρ− h
r
ρ2
)
dρdθ
7
Logo,
∫ r
0
(
hρ− h
r
ρ2
)
dρ =
[
1
2
hρ2 − h
3r
ρ3
]r
0
=
1
2
hr2 − h
3r
r3
=
1
2
hr2 − h
3
r2 =
(
1
2
− 1
3
)
hr2
=
1
6
hr2
Portanto,
V =
∫ 2pi
0
1
6
hr2 dθ =
1
6
hr2
∫ 2pi
0
dθ =
1
6
hr2
[
θ
]2pi
0
=
1
6
hr2[2pi − 0] = 1
3
pir2h
8