Aula 00 (Parte 1) Números Reais

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplica-
ções. Noções introdutórias sobre a integral de Riemann, cálculo de primitiva, aplicações da integral.
LIVRO TEXTO: STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 7
a
edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
Aula Introdutória: Números, Desigualdades e Módulo
Objetivos da Aula
• Representar geometricamente o conjunto R dos números reais;
• Resolver desigualdades com números reais usando suas propriedades;
• Resolver desigualdades contendo valor absoluto de números reais usando suas propriedades;
• Definir valor absoluto de um número real e apresentar algumas de suas propriedades.
1 Número Reais
O conjuntos dos números reais, denotado por R, é a base do cálculo. Os números deste conjunto podem
ser positivos, negativos ou zero e podem ser classificados como racional ou irracional. Um número racional
é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isto é, um número racional
é da forma p/q, onde p e q são números inteiros e q 6= 0. Os números racionais podem ser:
• Números inteiros:
..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
• Frações:
1
2
,−3
7
46 =
46
1
• Números decimais exatos:
1, 7 =
17
10
− 3, 15 = −63
50
• Dízimas periódicas:
0, 333... =
1
3
= 0, 3 1, 285714285714... = 1, 285714
Os números reais que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma p/q, são chamados
números irracionais. Esses números não são decimais exatos e nem dízimas periódicas. Por exemplo:
√
2 = 1, 414213562373095... pi = 3, 141592653589793...
Ao pararmos a expansão decimal de qualquer número em uma certa casa decimal, obtemos uma apro-
ximação dele. Por exemplo, podemos escrever:
pi ≈ 3, 14159265
1
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onde o símbolo ≈ deve ser lido como "é aproximadamente igual a". Quanto mais casas decimais forem
mantidas, melhor será a aproximação obtida.
Em R podemos definir duas operações denominadas de adição e multiplicação:
(R,+, ·).
Se a e b forem elementos de R, a + b denotará a soma de a e b, enquanto que, a · b denotará a sua
multiplicação. Em relação a estas operações, valem as seguintes propriedades:
1. (Comutatividade da adição) a+ b = b+ a
2. (Associatividade da adição) a+ (b+ c) = (a+ b) + c
3. (Existência do elemento neutro para a adição) a+ 0 = 0 + a = a
4. (Inverso aditivo) para cada a ∈ R existe sempre um elemento de R, denotado por −a que satisfaz
a+ (−a) = 0. É chamado de elemento simétrico, oposto ou inverso aditivo.
5. (Comutatividade da multiplicação) ab = ba
6. (Associatividade da multiplicação) a(bc) = (ab)c
7. (Distributividade da multiplicação em relação a adição) a(b+ c) = ab+ ac
8. (Existência do elemento neutro para a multiplicação)1a = a
9. (Inverso multiplicativo) para cada a ∈ R∗, sempre existe um elemento de R, denotado por 1
a
que
satisfaz a
(
1
a
)
= 1. É chamado de elemento inverso ou inverso multiplicativo de a.
1.1 Reta numérica
Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta. A direção positiva (à direita) é
indicada por uma flecha, conforme a figura abaixo.
A construção da reta numérica é feita escolhendo-se aleatoriamente um ponto de referência arbitrário, O,
denominado origem, que corresponde ao número real 0. De acordo com a unidade de medida estabelecida,
cada número positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades de distância, à esquerda
da origem e cada número negativo −x é representado pelo ponto sobre a reta que está a x unidades de
distância, à esquerda da origem.
Figura 1: Representação de um número na reta numérica
Desta forma, todo número real é representado por um ponto na reta, e todo ponto P sobre a reta
corresponde a único número real. Este número real associado ao ponto P , chamamos de abscissa ou
coordenada de P .
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2 Desigualdades em R
Como dissemos anteriormente, é possível definir em R duas operações: adição e multiplicação. Estas
operações tem as seguintes propriedades:
1. A soma de números reais positivos é um número real positivo.
2. O produto de números reais positivos é um número real positivo.
Os números reais são ordenados. A seguir, apresentaremos a seguinte definição:
Definição 1. Dados números reais x e y, dizemos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se a
diferença y − x é um número real positivo.
Se x < y, dizemos também que y é maior do que x e escrevemos y > x. Geometricamente, x < y
indica que x está à esquerda de y na reta real.
Usa-se também a notação x ≤ y para indicar que x < y ou x = y, ou seja, a diferença y − x é um
número real positivo ou nulo.
2.1 Propriedades das desigualdades em R
Para quaisquer números reais x, x′, y e y′ são válidas as seguintes propriedades:
1. Se x < y e y < z, então x < z.
2. Se x < y, então x+ z < y + z, qualquer que seja o número real z.
3. Se x < y e x′ < y′, então x+ x′ < y + y′.
4. Se x < y, então xz < yz, para qualquer número real positivo z.
5. Se x < y, então yz < xz, para qualquer número real negativo z.
6. Se x < y e x′ < y′, então xx′ < yy′, desde que x′ e y′ sejam números reais positivos.
7. x2 > 0, para todo x 6= 0 (o quadrado de qualquer número real não nulo é sempre positivo).
8. Se x > 0, então 1x > 0.
9. Se 0 < x < y, então 0 < 1y <
1
x (quanto maior for um número positivo, menor será o seu inverso
multiplicativo.
3 Intervalos
Sejam a e b dois números reais, com a < b. Dizemos que um número real x está entre a e b, se a < x
e x < b.
Figura 2: a < x < b
Podemos dizer isto escrevendo:
a < x < b.
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O conjunto formado por todos os números reais que satisfazem a desigualdade anterior é chamado de
intervalo aberto. Mas precisamente, se a < b são números reais, os subconjuntos de R abaixo descritos são
chamados de intervalos:
Observamos que:
• Os números a e b são chamados os extremos do intervalo, os quais podem ou não fazer parte do
intervalo. Indicamos isto na notação usando colchetes para a inclusão e parênteses para a exclusão do
extremo. Na reta real a inclusão e a exclusão são representadas, respectivamente, pela bolinha cheia
(dizemos que o intervalo é fechado) e a bolinha vazia (dizemos que o intervalo é aberto);
• Os primeiros quatro intervalos dados no quadro acima são ditos limitados, os demais são ilimitados;
• +∞ e −∞ não são números reais, mas apenas notações para indicar intervalos ilimitados;
• Na definição de intervalo consideramos sempre a < b. Quando a = b, o conjunto [a, a] = {a}
chama-se um intervalo degenerado e (a, a) = 0/.
• Como os intervalos são conjuntos, podemos efetuar com eles as operações usuais de conjuntos, tais
como união e interseção.
4 Inequações
Resolver uma inequação é encontrar valores de x que satisfaz uma desigualdade. Os valores de x que
satisfaz a inequação são conhecidos como conjunto solução, geralmente representado por um intervalo.
Exemplo 1. Resolva a inequação:
x+ 2 < 4x+ 3.
Solução: Podemos resolver de várias maneiras. Usando a propriedade 2, para z = −2
x+ 2− 2 < 4x+ 3− 2
x < 4x+ 1
e agora subtraindo 4x de ambos os membros (propriedade 2, com z = −4x):
x− 4x < 4x+ 1− 4x
−3x < 1
Dividindo ambos os membros por −3 (propriedade 5, muda o sinal da desigualdade):
−3x
−3 >
1
−3
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resulta
x > −1
3
.
O conjunto solução desta inequação é o intervalo
(
−1
3
,+∞
)
, isto é, os valores de x que são maiores
que −1
3
.
�
Observação 1. Para resolver uma inequação não é necessário constar todas as propriedades utilizadas nas
etapas da resolução.Você pode resolver usando as regras da desigualdade ao mesmo tempo, como se segue:
x+ 2 < 4x+ 3
x− 4x < 3− 2
−3x < 1
x > −1
3
.
Exemplo 2. Resolva a inequação:
5 < 2x− 1 ≤ 11.
Solução: Resolvendo as duas desigualdades simultaneamente somando 1 nos três membros, obtemos:
5 + 1 < 2x ≤ 11 + 1
6 < 2x ≤ 12
3 < x ≤ 6.
Portanto, o conjunto solução é (3, 6].
�
Exemplo 3. Resolver a inequação:
x3 − 3x2 > 10x.
Solução: Resolver a inequação x3 − 3x2 > 10x é o mesmo que resolver x3 − 3x2 − 10x > 0 ou ainda
x(x2− 3x− 10) > 0. Note que 0, −2 e 5 são as raízes da equação x(x2− 3x− 10) = 0. Para resolver esta
inequação, vamos fazer o estudo do sinal de ambos os fatores do produto x(x2 − 3x+ 10). Temos que:
Assim, o conjunto solução da inequação x(x2 − 3x− 10) > 0 é (−2, 0) ∪ (5,+∞).
�
5 Valor Absoluto
Definição 2. O valor absoluto ou módulo de um número real x, indicado por |x|, é definido por:
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
É importante destacar que |x| é a distância de x até 0, na reta real. Como as distâncias são sempre
positivas ou zero, temos:
|x| ≥ 0,
para todo número x.
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5.1 Propriedades do Módulo
As propriedades descritas a seguir são válidas para quaisquer números reais x, y e �, com � > 0.
1. −|x| ≤ x ≤ |x|;
2. |x| < � ⇐⇒ −� < x < �;
3. |x| > � ⇐⇒ x < −� ou x > �;
4. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (Desigualdade triangular);
5. |x|2 = x2;
6. |xy| = |x|.|y|;
7. |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x− y| (2a desigualdade triangular).
Exemplo 4. Expresse
∣∣∣∣2x3 − 5
∣∣∣∣ sem usar o símbolo de valor absoluto.
Solução: Utilizando a definição de valor absoluto, temos:
∣∣∣∣2x3 − 5
∣∣∣∣ =

2x
3
− 5, se 2x
3
− 5 ≥ 0
−
(
2x
3
− 5
)
, se
2x
3
− 5 < 0
∣∣∣∣2x3 − 5
∣∣∣∣ =

2x
3
− 5, se 2x
3
− 5 ≥ 0
−2x
3
+ 5, se
2x
3
− 5 < 0
Resolvendo as desigualdades separadamente, temos:
2x
3
− 5 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 15 ⇒ x ≥ 15
2
2x
3
− 5 < 0 ⇒ 2x < 15 ⇒ x < 15
2
Dessa forma: ∣∣∣∣2x3 − 5
∣∣∣∣ =

2x
3
− 5, se x ≥ 15
2
−2x
3
+ 5, se x <
15
2
�
Exemplo 5. Resolva |3x− 4| = 5.
Solução: Temos que:
3x− 4 = 5 ou 3x− 4 = −5.
Resolvendo as equações obtemos:
3x = 9 ⇒ x = 3 ou 3x = −1 ⇒ x = −1
3
.
Logo x = 3 ou x = −1
3
.
�
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Exemplo 6. Resolva |x+ 3| < 5.
Solução: Pela propriedade 2, a desigualdade |x+ 3| < 5 é equivalente a:
−5 < x+ 3 < 5.
Subtraindo 3 a cada membro da desigualdade, temos:
−8 < x < 2.
Logo, a solução da desigualdade |x+3| < 5 é o intervalo aberto (−8, 2). Geometricamente, o conjunto
solução consiste em todos os números x cuja distância de -3 é menor que 5 é o intervalo (−8, 2).
�
Exemplo 7. Resolva |3− 2x| ≥ 5.
Solução: Note que a desigualdade |3− 2x| ≥ 5 é equivalente a:
3− 2x ≥ 5 ou 3− 2x ≤ −5.
Resolvendo cada desigualdade, temos:
−2x ≥ 5− 3 = 2 de modo que, dividindo por -2 resulta x ≥ −1.
ou
−2x ≤ −5− 3 = −8, dividindo por -2 temos x ≥ 4.
Portanto, o conjunto solução da desigualdade |3− 2x| ≥ 5 é x ≤ −1 ou x ≥ 4, ou seja:
{x |x ≤ −1 ou x > 4} = (−∞,−1] ∪ [4,+∞).
Geometricamente, temos:
�
Exemplo 8. Se |x− 4| < 0, 1 e |y − 7| < 0, 2, use a desigualdade triangular para estimar |x+ y − 11|.
Solução: Utilizando a desigualdade triangular (|a+b| < |a|+ |b|), vamos considerar a = x−4 e b = y−7,
temos:
|(x− 4)(y − 7)︸ ︷︷ ︸
x+4−11
≤ |x− 4|+ |y − 7| < 0, 1 + 0, 2 = 0, 3.
Portanto, |x+ y − 11| < 0, 3.
�
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6 O conjunto R2
O produto cartesiano de R com R, denotado por R2, é o conjunto de todos os pares ordenados de
números reais, isto é,
R2 = {(x, y) |x, y ∈ R}.
Geometricamente, R2 é representado por um sistema de coordenadas retangulares, o qual consiste de
um par de eixos reais que são perpendiculares (formam entre si quatro ângulos retos) e tem a mesma origem
O (conforme figura 5). Em geral, a reta horizontal é chamada de eixo x e a reta vertical de eixo y. Estes
eixos são chamados de eixos coordenados.
Dado um sistema de coordenadas retangulares em um plano, a cada (a, b) ∈ R2 associamos um ponto
P no plano como segue: tomamos o ponto A no eixo x cuja coordenada é a e o ponto B no eixo y cuja
coordenada é b. A interseção da reta que passa por A e é paralela ao eixo y com a reta que passa por B e
é paralela ao eixo x, é o Ponto P de coodenadas (a, b).
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Apêndice A do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios do Apêndice A do livro texto.
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