Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 03: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas
Objetivos da Aula
• Definir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas;
• Enunciar suas principais propriedades e reconhecer o gráfico dessas funções.
A ideia de função está relacionada em estabelecermos uma relação biunívoca entre dois conjuntos, de
forma que os elementos do primeiro conjunto tenham uma única correspondência no segundo conjunto. Na
aula de hoje, definiremos uma função de uma forma diferente da que estamos acostumados, em que dizemos
explicitamente os conjuntos domínio e contradomínio, que é a função logarítmica natural e a partir dela
definiremos a função exponencial e as funções hiperbólicas.
1 Função Logarítmica Natural
Seja x > 0. Definimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área
abaixo da hipérbole y =
1
t
, entre t = 1 e t = x. Graficamente, essa área é dada como abaixo:
Figura 1: O Logaritmo Natural de x
Então podemos escrever que
f : R∗+ → R
x 7→ f(x) = ln x = Área abaixo da função g(t) = 1
t
entre as retas t = 1 e t = x
Durante nosso estudo, definiremos mais precisamente como calcular essa área, contudo a ideia que
deve ficar presente em nossas mentes é que a relação que acabamos de definir é uma função, pois a cada
1
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x tomado, temos uma região correspondente a esse x; e a essa região temos um único número real que
corresponde a sua área. Por exemplo, para x = 2, temos que o valor de ln 2 é o valor da área da região
Figura 2: Região cuja área corresponde a ln 2
Para x =
1
2
,
Figura 3: Região cuja área corresponde a ln
1
2
Observação 1. Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com
x > 0.
Observação 2. A princípio, definiremos que se x > 1 então f(x) > 0 e se 0 < x < 1 então f(x) < 0,
contudo essa afirmação será provada nas aulas seguintes.
Definição 1. Definimos o número e como sendo o número tal que f(e) = ln e = 1.
A seguir, enunciaremos algumas propriedades da função logarítmica natural que serão demonstradas nas
aulas seguintes:
Proposição 1. Sejam a, b > 0, então
(i) ln(a.b) = ln a+ ln b;
(ii) ln
(a
b
)
= ln a− ln b;
(iii) ln(ac) = c ln a, c ∈ R
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O Gráfico de f(x) = ln x é:
Figura 4: Gráfico da função f(x) = ln x
2 Função Exponencial Natural
Observando o gráfico de f(x) = lnx, podemos notar que f é injetora, uma vez que verifica o teste da
reta horizontal; e também é sobrejetora, pois Imf = R. Logo, a função logarítmica natural é bijetora e
portanto, inversível. Desse modo, podemos definir uma função g : R→ R∗+, denotada por
g(x) = exp(x)
tal que g(x) = f−1(x).
Utilizando as propriedades de função inversa e função composta, temos que
f(g(x)) = x, ∀x ∈ R e g(f(x)) = x, ∀x ∈ R∗+
Logo,
exp(1) = exp(ln e) = e exp(0) = exp(ln 1) = 1
Se x for qualquer número real, então a propriedade do logaritmo da potência nos dá:
ln(ex) = x ln(e) = x.
Portanto,
exp(x) = ex.
Logo,
ex = exp(x)
Em outras palavras, definimos ex como a função inversa de ln x:
ex = y ⇐⇒ ln y = x. (1)
Pelas propriedades de função composta:
eln x = x x > 0 (2)
e
ln(ex) = x ∀x. (3)
Supondo que as propriedades dos logaritmos são verdadeiras, podemos mostrar o seguinte teorema
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Teorema 1. Se x e y forem números reais, então
1. ex+y = ex.ey
2. ex−y =
ex
ey
3. (ex)y = exy
DemonstraçãoDe fato, note que:
ln(ex.ey) = ln(ex) + ln(ey) = x+ y = ln(ex+y)
Como a função logarítmica natural é injetora, segue que ex.ey = ex+y. Analogamente,
ln
(
ex
ey
)
= ln(ex)− ln(ey) = x− y = ln(ex−y)
Como a função logarítmica natural é injetora, segue que ex−y =
ex
ey
. Finalmente, temos:
ln(exy) = xy. ln(e) = xy = y. ln(ex) = ln((ex)y).
Como a função logarítmica natural é injetora, segue que (ex)y = exy.
�
Agora, utilizando a propriedade gráfica da função inversa, obtemos que o gráfico da função exponencial
natural é
3 Funções Logarítmicas e Exponenciais Gerais
Definição 2. Se a > 0 e x são números reais, então:
ax = (eln a)x = ex ln a.
Portanto, definimos
ax = ex ln a (4)
A função f(x) = ax é chamada função exponencial com base a. Observe que ax é positivo para
todo x, pois ex é positivo para todo x.
A Definição 2 nos permite estender uma das propriedades de logaritmos. Já sabemos que ln(ax) =
x. ln a, logo:
ln ax = ln(ex ln a) = x. ln a ∀x ∈ R
As propriedades gerais dos expoentes seguem da Definição 2 com as propriedades do expoentes para ex.
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Teorema 2. Se x e y forem números reais e a, b > 0, então:
1. ax+y = ax.ay
2. ax−y =
ax
ay
3. (ax)y = axy
4. (ab)x = ax.bx
A demonstração desse resultado decorre do teorema 1.
Observação 3. Se a > 1, então ln a > 0, logo ax. ln a > 0, o que mostra que y = ax é crescente.
Analogamente, se 0 < a < 1, então ln a < 0 e, portanto, y = ax é decrescente.
Definiremos agora a função logarítmica geral.
Se a > 0 e a 6= 1, então f(x) = ax é uma função injetora. Sua função inversa é chamada função
logarítmica de base a e é denotada por f(x) = loga x. Logo:
loga x = y ⇐⇒ ay = x (5)
Em particular:
loge x = ln x.
E as propriedades de lnx se estendem a loga x.
4 Funções Hiperbólicas
Nessa seção apresentaremos as funções hiperbólicas, que são funções obtidas por combinação das funções
ex e e−x. Elas são:
• Função Seno Hiperbólico é a função f : R → R dada por f(x) = senh (x) = e
x − e−x
2
. O seu
gráfico é
Figura 5: Gráfico da Função f(x) = senhx
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• Função Cosseno Hiperbólico é a função g : R→ R∗+, dada por g(x) = cosh(x) =
ex + e−x
2
, e seu
gráfico é:
Figura 6: Gráfico da Função f(x) = cosh x
A partir dessas duas funções podemos definir as outras que seguem abaixo:
• Função Tangente Hiperbólica é a função f : R → (−1, 1) dada por f(x) = tgh (x) = senhx
cosh x
=
ex − e−x
ex + e−x
, o seu gráfico é o seguinte:
Figura 7: Gráfico da Função f(x) = tghx
• Função Secante Hiperbólica é a função g(x) = 1
cosh(x)
e cujo gráfico é:
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Figura 8: Gráfico da Função f(x) = sechx
• Função Cossecante Hiperbólica é a função f(x) = 1
senh(x)
e cujo gráfico é:
Figura 9: Gráfico da Função f(x) = cossechx
• Função Cotangente Hiperbólica é a função g(x) = 1
tgh(x)
=
cosh(x)
senhx
e cujo gráfico é:
Figura 10: Gráfico da Função f(x) = cotghx
Vejamos alguns exemplos de cálculos simples:
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Exemplo 1. Calcule o valor de
(a) senh 0
(b) cosh 0
(c) tgh 1
(d) senh (ln 2)
(e) sech 0
(f) cotgh (ln 3)
(g) cossech (ln 2)
Solução:
(a) senh 0 =
e0 − e−0
2
=
0
2
= 0
(b) cosh 0 =
e0 + e−0
2
=
2
2
= 1
(c) tgh 1 =
senh 1
cosh 1
=
e1 − e−1
e1 + e−1
=
e− e−1
e+ e−1
(d) senh (ln 2) =
eln 2 − e− ln 2
2
=
2−
(
1
2
)
2
=
3
2
2
=
3
4
(e) sech 0 =
1
cosh 0
=
1
1
= 1
(f) cotgh (ln 3) =
cosh ln 3
senh ln 3
=
eln 3 + e− ln 3
2
eln 3 − e− ln 3
2
=
eln 3 + e− ln 3
eln 3 − e− ln 3 =
3 +
1
3
3− 1
3
=
10
3
8
3
=
5
4
(g) cossech (ln 2) =
1
senhx
=
2
eln 2 − e− ln 2 =
2
2− 1
2
=
2
3
2
=
4
3
�
A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade como
a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse
decaimento representado poresse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para
descrever a forma de um fio dependurado entre duas hastes, como por exemplo o fio elétrico entre dois postes.
Em geral, esse fio assume a forma de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c+ a cosh
(
x
a
)
.
Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda
aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada
pela função:
v =
√
gL
2pi
tgh
(
2pid
L
)
onde g é a aceleração da gravidade.
A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas:
Proposição 2. Sejam x ∈ R. Então:
(i) senh (−x) = −senhx
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(ii) cosh(−x) = coshx
(iii) cosh2 x− senh2x = 1
(iv) 1− tgh2x = sech2 x
(v) senh(x+ y) = senhx cosh y + senh y cosh x
(vi) cosh(x+ y) = coshx cosh y + senhxsenh y
DemonstraçãoProvaremos os itens (iii) e (iv) e os outros ficam como exercício.
(iii) Note que
cosh2 x− senh2x =
(
ex + e−x
2
)2
−
(
ex − e−x
2
)2
=
(
e2x + 2exe−x + e−2x
4
)
−
(
e2x − 2exe−x + e−2x
4
)
=
��e2x + 2 +��
�e−2x −��e2x + 2−���e−2x
4
=
4
4
= 1
(iv) Observe que
1− tgh2x = 1− senh
2x
coshx
=
cosh2 x− senh2x
cosh2 x
=
1
cosh2 x
= sech2x
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 48− 53, 55− 62 e no Apêndice G do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 53,54, 64,65,66 e os exercícios do Apêndice G do livro texto.
Dica importante
Os conceitos de função, função composta e função inversa são necessários para o bom entendimento
das funções exponencial e logarítmica. Por isso, se esses conceitos não estão bem firmados em sua mente,
relembre a aula 01 e faça os exercícios lá indicados.
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