Limite - parte 2

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
o
05: Limites Laterais. Teorema do Confronto. Teorema do Valor Intermediário. Limite
Fundamental Trigonométrico. Limite da Função Composta
Objetivos da Aula
• Definir limites laterais de uma função em um ponto de seu domínio;
• Utilizar os limites laterais para verificar a existência de um limite;
• Exibir o Teorema do Confronto e sua utilidade para verificar a existência de uma limite;
• Enunciar o Teorema do Valor Intermediário e suas aplicações;
• Apresentar o Limite Fundamental Trigonométrico.
1 Limites Laterais
Ao discutirmos a ideia intuitiva de limite de uma função f num ponto a na aula passada, fizemos questão
de sempre exibir uma tabela tomando valores maiores que a (à direita de a) e menores que a (à esquerda
de a). Essa preocupação pode ser exemplificada no seguinte exemplo:
Exemplo 1. Considere a função de Heaviside, definida por
H(t) =
{
1 se t ≥ 0
0 se t < 0
é possível calcular limt→0H(t)?
Utilizando o gráfico da função H(t)
Figura 1: Gráfico de Função de Heaviside
1
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Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x à direita de um número
real a, significa dizer que estamos nos aproximando de a por valores maiores que ele. Sempre que fizermos
isso, utilizaremos a notação x→ a+. Analogamente, se considerarmos pontos x à esquerda de um número
real a, significa que estamos nos aproximando de a por números menores que ele, e isso será denotado por
x→ a−.
No caso da função de H(t), notamos que limx→0+ H(t) = 1 e limx→0− H(t) = 0. Formalizando essa
ideia:
Definição 1. Dizemos que L é o limite à direita da função f(x) quando x→ a+ e escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L
se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < x− a < δ então |f(x)− L| < ε.
Definição 2. Dizemos que L é o limite à esquerda da função f(x) quando x→ a− e escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L
se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < a− x < δ então |f(x)− L| < ε.
Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t→ 0, dizemos
que lim
t→0
H(t) não existe e esse fato é enunciando no nosso próximo teorema, que relaciona a definição de
limite com as definições de limite à esquerda e à direita:
Teorema 1. lim
x→a f(x) = L se, e somente se limx→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
Portanto, o teorema acima é um bom critério para sabermos se o limite de uma função existe ou não,
como podemos observar nos seguinte exemplos:
Exemplo 2. Calcule o valor de lim
x→0
|x|, se existir.
Solução: Por definição, f(x) é dada por
f(x) =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Observemos que f(x) = x se x→ 0+ e f(x) = −x se x→ 0−. Logo, calculando os limites laterais, temos
que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x = 0
E
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0+
−x = 0
Logo, pelo teorema 1, lim
x→0
|x| = 0 �
Exemplo 3. Vamos verificar que o limite lim
x→0
|x|
x
não existe.
Note que
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
−1 = −1
Como lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x) então, pelo teorema ??, temos que lim
x→0
|x|
x
não existe.
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2 Teorema do Valor Intermediário
Apresentaremos a seguir, uma propriedade importante das funções contínuas
Teorema 2 (do Valor Intermediário). Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja
N um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) 6= f(b). Então existe um número c em (a, b) tal
que f(c) = N .
O Teoreoma do Valor Intermediário (TVI) estabelece que uma função contínua assume todos os valores
intermediários entre os valores de f(a) e f(b). Geometricamente, o TVI diz que se for dada uma reta
horizontal qualquer y = N entre y = f(a) e y = f(b), como mostra a figura abaixo, então o gráfico de f
intercepta a reta y = N pelo menos uma vez.
Figura 2: Ilustração geométrica do Teorema do Valor Intermediário
Observação 1. É importante que a função f do TVI seja contínua. O Teorema do Valor Intermediário não
é verdadeiro em geral para funções descontínuas.
Um caso particular do Teorema do Valor Intermediário será apresentado a seguir. É o Teorema de
Bolzano (ou do Anulamento).
Teorema 3 (de Bolzano ou do Anulamento). Se f for contínua e f(a) e f(b) assumirem assumirem sinais
contrários, então existirá c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Uma importante aplicação do TVI é a localização das raízes de equações. A seguir, apresentaremos
alguns exemplos.
Exemplo 4. Mostre que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 entre 1 e 2.
Solução: Seja f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f(c) = 0.
Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do Valor intermediário, temos:
f(1) = −1 < 0
f(2) = 12 > 0.
Logo, f(1) < 0 < f(2), isto é N = 0 é um número entre f(1) e f(2). Como f é contínua, por ser um
polinômio, o TVI afirma que existe um núero c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0. Em outras palavras, a equação
4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2).
Graficamente, temos:
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�
Exemplo 5. Mostre que a equação x3 − 4x+ 8 = 0 admite pelo menos uma solução real.
Solução: Considerando a função f(x) = x3−4x+8, temos f(0) = 8, f(−3) = −7 e f é contínua, segue
do Teorema do Anulamento que existe pelo menos um c em (−3, 0) tal que f(c) = 0, isto é, a equação
x 3− 4x+ 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real entre -3 e 0.
�
3 Teorema do Confronto
Teorema 4 (do Confronto). Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto que contenha a
(exceto possivelmente a) e
lim
x→a f(x) = limx→ah(x) = L,
então
lim
x→a g(x) = L.
A mensagem do Teorema do confronto é que se uma função que está no meio de outras duas funções
que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras
duas, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.
Exemplo 6. Seja f uma função definida em R tal que para todo x 6= 1, temos:
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
Solução: Como:
• lim
x→1
−x2 + 3x = 2
• lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = 2
temos, pelo Teorema do Confronto:
lim
x→1
−x2 + 3x ≤ lim
x→1
f(x) ≤ lim
x→1
x2 − 1
x− 1 ⇐⇒ 2 ≤ limx→1 f(x) ≤ 2.
Portanto:
lim
x→1
f(x) = 2.
�
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Exemplo 7. Mostre que lim
x→0
x2.sen
(
1
x
)
= 0.
Solução: Como
−1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ 1
Multiplicando por x2 a desigualdade, temos:
−x2 ≤ x2.sen
(
1
x
)
≤ x2
Como lim
x→0
−x2 = lim
x→0
x2 = 0, pelo Teorema do Confronto, temos:
lim
x→0
x2.sen
(
1
x
)
= 0.
Graficamente, note que que a função f(x) = x2.sen
(
1
x
)
é limitada superiormente pela função g(x) =
x2 e limitada inferiormente pela função h(x) = −x2.
�
Exemplo 8. Suponha f uma função contínua e suponha que para todo x, |f(x)| < x2.
(a) Calcule, caso exista, lim
x→0
f(x).
(b) f é contínua em 0? Por quê?
Solução: (a) Pelas propriedades de módulo, temos:
|f(x)| ≤ x2 ⇐⇒ −x2 ≤ f(x) ≤ x2.
Como lim
x→0
−x2 = 0 = lim
x→0
x2, segue pelo Teorema do Confronto que
lim
x→0
f(x) = 0.
(b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se f(0) = 0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo x, logo,
|f(0)| ≤ 0 e, portanto, f(0) = 0. Assim,
lim
x→0
f(x) = 0 = f(0),
ou seja, f é contínua em 0.
�
O próximo exemplo nos diz que se f tiver limite 0 em p e se g for limitada, então o produto f · g terá
limite 0 em p.
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Exemplo 9. Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que lim
x→p f(x)= 0 e |g(x)| ≤M para
todo x em A, em que M > 0 é um número real fixo. Prove que:
lim
x→p f(x)g(x) = 0.
Solução: Note que:
|f(x)g(x)| = |f(x)|.|g(x)| ≤M.|f(x)|,
para todo x em A. Daí, para todo x em A
−M.|f(x)| ≤ |f(x)|.|g(x)| ≤M.|f(x)|
Como lim
x→p f(x) = 0, segue que limx→pM.|f(x)| = 0 e limx→p−M.|f(x)| = 0. Pelo Teorema do Confronto:
lim
x→p f(x)g(x) = 0.
�
Exemplo 10. Calcule lim
x→0
x.sen
(pi
x
)
.
Solução: Note que lim
x→0
x = 0 e
∣∣∣sen (pi
x
)∣∣∣ ≤ 1. Pelo resultado obtido no Exemplo 9, temos:
lim
x→0
x.sen
(pi
x
)
= 0.
Graficamente, temos:
�
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4 Limite Trigonométrico Fundamental
Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio 1 e o Teorema do Confronto demonstra-se
que
lim
x→0
senx
x
= 1
A demonstração usando a regra do L'Hospital é mais simples que vou deixar para depois da aula de
derivadas.
Exemplo 11. Calcule lim
x→0
sen (5x)
x
.
Solução: Note que:
lim
x→0
sen (5x)
x
= lim
x→0
5.
sen (5x)
5x︸︷︷︸
u
= lim
u→0
sen 5u
u
= 5.
Ou seja:
lim
x→0
sen (5x)
x
= 5.
�
Exemplo 12. Calcule lim
x→0
1− cosx
x2
.
Solução: Note que:
1− cosx
x2
=
1− cos2 x
x2
· 1
1 + cosx
=
sen
2x
x2
· 1
1 + cosx
.
Assim:
lim
x→0
1− cosx
x2
= lim
x→0
sen
2x
x2
· 1
1 + cosx
=
1
2
,
pois lim
x→0
sen
2x
x2
= 1 e lim
x→0
1
1 + cosx
=
1
2
.
�
Exemplo 13. Calcule lim
x→0
sen (6x)
5x
.
Solução: Seja u = 6x. Quando x→ 0, temos u→ 0 e, como
sen (6x)
5x
=
1
5
.
6.sen (6x)
6x
=
6
5
.
sen (6x)
6x
=
6
5
.
senu
u
.
Passando o limite, temos:
lim
x→0
sen (6x)
5x
= lim
u→0
6
5
.
senu
u
=
6
5
.
�
Exemplo 14. Calcule lim
x→0
tg x
x
.
Solução: Note que:
tg x
x
=
senx
x cosx
=
1
cosx
.
senx
x
Segue que:
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
1
cosx
.
senx
x
= lim
x→0
1
cosx
. lim
x→0
senx
x
= 1
�
Exemplo 15. Calcule lim
x→pi
senx
x− pi .
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Solução: Fazendo u = x− pi, temos:
senx
x− pi =
sen (u+ pi)
u
=
senu cospi + cosusenpi
u
= −senu
u
.
Quando, x→ pi, temos que u→ 0. Portanto:
lim
x→pi
senx
x− pi = − limu→0
senu
u
= −1.
�
5 Limite de uma Função Composta
Nosso intuito nessa seção é estudar o limite de uma função composta. Apresentaremos dois resultados
importantes para o nosso estudo que nos permitirá calcular certos limites que ainda não eram possíveis.
Teorema 5. Sejam f, g duas funções tais que Imf ⊆ Dg. Se lim
x→a f(x) = b e g é contínua em b, então, a
composta g(f(x)) será contínua em a e
lim
x→a g(f(x)) = g
(
lim
x→a f(x)
)
Exibiremos agora alguns exemplos de utilização do resultado anterior.
Exemplo 16. Calcule:
(a) lim
x→1
cos
(
1−√x
1− x
)
;
(b) lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1 ;
(c) lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1 ;
(d) lim
x→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
.
Solução:
(a) Um primeiro passo a ser dado é identificar na composta g(f(x)) = cos
(
1−√x
1− x
)
, qual é a função
f(x) e g(u). Nesse caso, fica claro que
f(x) =
1−√x
1− x
e que
g(u) = cosu
Agora, devemos verificar se as funções dadas satisfazem as hipóteses do teorema 5. Primeiramente,
vamos calcular o seguinte limite limx→1 f(x). Observe que
lim
x→1
1−√x
1− x = limx→1
1−√x√
1
2 −√x2
= lim
x→1
���
�1−√x
���
��(1−√x)(1 +√x)
= lim
x→1
1
1 +
√
x
=
1
2
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O segundo passo a ser dado é verificar se g(u) é contínua em u =
1
2
. De fato, pois a função
g(u) = cosu é contínua em R. Logo, pelo teorema 5, temos que
lim
x→1
cos
(
1−√x
1− x
)
= cos
(
lim
x→1
1−√x
1− x
)
= cos
(
1
2
)
(b) Note que h(x) =
√
x2 − 1
x− 1 = g(f(x)), em que
f(x) =
x2 − 1
x− 1 e g(u) =
√
u
Note também que
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
���
�(x− 1)(x+ 1)
���x− 1
= lim
x→1
x+ 1
= 2
Como a função g(u) =
√
u é contínua em 2, então segue do teorema 5 que
lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1 =
√
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 =
√
2
(c) Observe que não podemos enxergar nitidamente que a função
h(x) =
(3− x3)4 − 16
x3 − 1
é a composta de duas outras funções. Para isso, fazemos o seguinte método, chamado mudança de
variável no limite. Como o nome diz, devemos mudar a variável x para uma variável u de tal forma
que o limite possa ser facilmente resolvido. Dessa forma, façamos
u = 3− x3
Logo, a função h(x) será escrita como
q(u) =
u4 − 16
2− u
Agora, devemos determinar a nova tendência de u. Por uma substituição simples, podemos fazer:
u(1) = 3− 13 = 2
Logo, se x→ 1 então u→ 2. E assim, calculamos:
lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1 = limu→2
u4 − 16
2− u
= lim
u→2
u4 − 16
−(u− 2)
= − lim
u→2
���
�(u− 2)(u3 + 2u2 + 4u+ 8)
���u− 2
= − lim
u→2
u3 + 2u2 + 4u+ 8 = −32
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(d) Assim como no exemplo anterior, vamos aplicar a mudança de variável no limite
lim
x→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
Fazendo
u = 3
√
x+ 2
temos que se x→ −1 então u→ 1. Logo,
lim
x→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
= lim
u→1
u− 1
u3 − 1
= lim
u→1
���u− 1
���
�(u− 1)(u2 + u+ 1)
= lim
u→1
1
u2 + 2u+ 1
=
1
3
�
O próximo teorema será útil, pois garante quando a composta de duas funções contínuas também é
contínua.
Teorema 6. Sejam f, g funções tais que Imf ⊆ Dg. Se f for contínua em a e g for contínua em f(a)
então a função composta (g ◦ f)(x) = g(f(x)) é contínua em a.
A utilidade desse último resultado é mostrado nos seguintes exemplos:
Exemplo 17. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = cos(x2) é contínua.
Solução: Note que a função h(x) pode ser reescrita como (g ◦ f)(x) em que f(x) = x2 e g(u) = cosu.
Note que f é contínua em R e g é contínua em R. Logo, pelo teorema 6, temos que a composta g ◦ f é
contínua em A = R. �
Exemplo 18. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = ln(1 + sen x) é contínua.
Solução: Note que a função f(x) = 1 + sen x é contínua em R. Mas, a função g(u) = lnu é contínua
em seu domínio que é o conjunto [0,+∞). Sendo assim, devemos tomar os valores de x ∈ Df tais que
f(x) > 0, ou seja senx > −1. Desse modo, a composta não está definida para x = ±3pi
2
,±7pi
2
, ..., sendo
a mesma contínua nos outros valores. Portanto,
A = R−
{
3pi
2
+ 2kpi
}
, k ∈ Z
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 85, 86, 97, 115 e 116 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 88, 90, 98, 99, 117, 118 e 119 do livro texto.
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