Aula 06

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
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06: Derivadas
Objetivos da Aula
• Definir derivada de uma função em um ponto;
• Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto;
• Entender a derivada como uma função;
• Definir e determinar as derivadas de ordem superior;
• Calcular a derivada de funções elementares;
• Determinar a equação da reta tangente a um ponto do gráfico de uma função utilizando os conheci-
mentos de derivada;
• Utilizar a relação entre derivabilidade e continuidade para verificar a existência de derivada em um
ponto dado.
1 Derivada
Começaremos essa seção falando do problema da tangente. A ideia de tangente é conhecido desde os
gregos antigos, porém de uma forma um tanto que imprecisa. Nessa seção, procuramos resolver o seguinte
problema: Dada uma curva y = f(x) como determinar a reta tangente à curva em um ponto P
dado?.
Então, considere uma função y = f(x). Sabemos que, dado um ponto (x0, f(x0)) pertencente à reta,
a equação da mesma é dada da forma:
y − f(x0) = m(x− x0)
Logo, nosso problema se resume em: Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
da função f(x) no ponto (x0, f(x0)). Desse modo, considere um número x0 ∈ Df e o ponto (x0, f(x0))
sobre o gráfico da função, representado pela letra P . Seja x ∈ Df e considere o ponto Q como sendo o
ponto (x, f(x)).
Figura 1: Gráfico de uma Função f
1
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Assim, podemos traçar uma reta que liga os dois pontos e notamos que essa reta é secante ao gráfico
da função f .
Figura 2: Gráfico de uma Função f
O coeficiente angular mQ dessa reta secante é dado por:
mQ = tg θ =
f(x)− f(x0)
x− x0
Se fizermos x se aproximar cada vez mais de x0, a cada x tomado, temos uma nova reta secante.
Figura 3: Gráfico de uma Função f
Notamos que quando o ponto Q se aproxima do ponto P , as retas secantes formadas se aproximam
de uma reta que, para pontos suficientemente próximos de x0 , toca apenas no ponto P , chamada reta
tangente ao gráfico de f no ponto x0.(Ver Observação 1)
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Figura 4: Gráfico da reta tangente ao gráfico da função f no ponto P
Ao saber disso, notamos que o coeficiente angular mP da reta tangente é dado por
mP = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 (1)
Dessa forma, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é dada pela equação:
y − f(x0) = mP (x− x0) (2)
O limite em (1) está presente em muitos fenômenos estudados por várias ciências. Esse limite é chamado
derivada. A definição a seguir resume um pouco essa ideia.
Definição 1. Seja f uma função e x0 um ponto do seu domínio. Dizemos que f é derivável em x0 se o
limite, denotado por f ′(x0) (lê-se f linha de x0) e dado por
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 (3)
existe e é finito. Em algumas situações é comum fazermos a mudança de variável h = x−x0 e reescrevermos
o limite (3) como
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
(4)
Observação 1. Em geral, utilizaremos a notação f ′(x0) para nos referirmos a derivada de uma função f
no ponto x0. Entretanto, uma notação muito utilizada é aquela atribuída a Leibniz dada por
df
dx
∣∣∣∣
x=x0
para indicar a derivada da função f calculada no ponto x0. Então:
df
dx
∣∣∣∣
x=x0
= f ′(x0)
Outra notação também é Df(x0).
Vejamos alguns exemplos de cálculo de derivadas
Exemplo 1. Seja f(x) = x3.Calcule:
a) f ′(2);
b)
df
dx
∣∣∣∣
x=−5
.
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Solução:
a)
f ′(2) = lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2
x3 − 23
x− 2 = limx→2
���
�(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
���x− 2 = limx→2x
2 + 2x+ 4
= 22 + 2.2 + 4 = 12
Então, f ′(2) = 12.
b)
df
dx
∣∣∣∣
x=−5
= lim
h→0
f(−5 + h)− f(−5)
h
= lim
h→0
(−5 + h)3 − (−5)3
h
= lim
h→0
h3 − 15h2 + 75h−��125 +��125
h
= lim
h→0
h3 − 15h2 + 75h
h
= lim
h→0
�h(h2 − 15h+ 75)
�h
= lim
h→0
h2 − 15h+ 75 = 02 − 15.0 + 75 = 75
Então,
df
dx
∣∣∣∣
x=−5
= 75.
�
Exemplo 2. Determine a derivada das funções dadas nos pontos indicados em cada item.
a) f(x) =
√
x e x0 = 3;
b) g(x) =
1
x
e x0 = −1.
Solução:
a)
df
dx
∣∣∣∣
x=3
= lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3 = limx→3
√
x−√3
x− 3 = limx→3
(
√
x−√3)(√x+√3)
(x− 3)(√x+√3)
= lim
x→3
���x− 3
���
�(x− 3)(√x+√3) = limx→3
1√
x+
√
3
=
1
2
√
3
b)
f ′(−1) = lim
h→0
f(h− 1)− f(−1)
h
= lim
h→0
1
h− 1 −
1
−1
h
= lim
h→0
1
h− 1 + 1
h
= lim
h→0
h
h− 1
h
= lim
h→0
�h
�h(h− 1) = limh→0
1
h− 1
= −1
�
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Reta Tangente e Derivada
A definição a seguir é o resumo da discussão feita no início dessa nota.
Definição 2 (Interpretação Geométrica da Derivada). A derivada de uma função f no ponto x0 é o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x0.
Dessa forma, a equação (2) pode ser reescrita como
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
Observação 2. Para que não fique nenhum resto de dúvida, se faz necessário justificar a colocação da
frase pontos suficientemente próximos de x0. Isso se dá por que reta tangente não deve ser entendida
como uma reta que toca em apenas um ponto. Tal ideia não é verdadeira. Para isso, considere a função
f(x) = x3 − 2x+ 3, cujo gráfico é:
Figura 5: Gráfico da função f(x) = x3 − 2x+ 3
A reta tangente ao gráfico da função f no ponto (1, f(1)) é
y = x+ 1
Graficamente,
Figura 6: Gráfico da reta tangente à função f(x) = x3 − 2x+ 3 no ponto (1, f(1))
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Mas, note que o ponto (−2,−1) pertence a reta, de fato, pois
y(−2) = −2 + 1 = −1
E a reta y = x+1 é tangente ao gráfico da função f no ponto (1, f(1)). Isso mostra que existem tangentes
que tocam em mais de um ponto.
Portanto, devemos entender a reta tangente como o limite de uma sequência de retas secantes. Usando
a ideia de que o limite é uma propriedade pontual, podemos afirmar que existe então uma vizinhança do
ponto x0 na qual a reta tangente toca o gráfico da função f , apenas no ponto de abscissa x0.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 3. Seja f(x) = x2 + 3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos
indicados abaixo:
a) (1, f(1));
b) (−2, f(−2)).
Solução:
a) Note que f(1) = 12 + 3 = 4 e que
f ′(1) = lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(h+ 1)2 + 3− 4
h
= lim
h→0
h2 + 2h+ �4− �4
h
= lim
h→0
h2 + 2h
h
= lim
h→0
�h(h+ 2)
�h
= lim
h→0
h+ 2
= 2
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)) é dada por:
y − 4 = 2(x− 1) ⇔ y = 2x+ 2
Graficamente,
Figura 7: Exemplo 1
b) Note que f(−2) = (−2)2 + 3 = 4 + 3 = 7, e também que
f ′(−2) = lim
x→−2
f(x)− f(−2)
x− (−2) = limx→−2
x2 + 3− 7
x+ 2
= lim
x→−2
x2 − 4
x+ 2
= lim
x→−2
(x− 2)����(x+ 2)
���x+ 2
= lim
x→−2
x− 2
= −4
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Dessa forma, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (−2, f(−2)) é
y − 7 = −4(x− (−2)) ⇔ y = −4x− 1
Graficamente,
Figura 8: Exemplo 2
�
2 Função Derivada
Quando uma função f é derivável em todos os pontos do seu domínio, Df , dizemos que é derivável
em Df . Dito isso, considere uma função f : A → R derivável em A. Podemos agora, definir uma nova
função, que será denotada por f ′, chamada função derivada de f , essa nova função associa cada ponto
x ∈ A à derivada da função f aplicada em x, ou seja,
f : A → R
x 7→ f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
Agora, quando falarmos em determinar a derivada de uma função f , estamos nos referindo a determinar
a função derivada de f . Vendo de uma outra forma,estamos calculando os limites (3) e (4) para todo x
no domínio de f .
Exemplo 4. Considere a função f(x) = c, com c uma constante. Mostre que f ′(x) = 0, para todo x ∈ R.
Solução: Pela definição de derivada, temos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0
h
= 0
�
Exemplo 5. Seja g(x) = x5. Mostre que g′(x) = 5x4, para todo x ∈ R.
Solução: Usando a definição de derivada, se p ∈ R, então
g′(x) = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p = limx→p
x5 − p5
x− p
= lim
x→p
���
�(x− p)(x4 + px3 + p2x2 + p3x+ p4)
���x− p
= lim
x→px
4 + px3 + p2x2 + p3x+ p4 = p4 + pp3 + p2p2 + p3p+ p4
= 5p4
Como p ∈ R, podemos substituir p por x, e obter que g′(x) = 5x4. �
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2.1 Derivada de Funções Elementares
Nessa seção abordaremos as primeiras regras de derivação que serão úteis para o nosso estudo de
derivadas.
Proposição 1. Seja α ∈ R. A derivada da função potência f(x) = xα é
df
dx
(x) = αxα−1
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 6. Determine a derivada das seguintes funções:
(i) f(x) = x7;
(ii) g(x) =
1
x3
;
(iii) h(x) = 5
√
x;
(iv) p(x) =
7
√
x3.
Solução: Utilizaremos a proposição anterior. Desse modo,
(i) f ′(x) = 7x7−1 = 7x6
(ii) Utilizando as propriedades das potências
g′(x) =
(
1
x3
)′
=
(
x−3
)′
= −3x−3−1 = − 3
x4
(iii) Utilizando a propriedade dos expoentes racionais, obtemos que
dh
dx
(x) =
(
5
√
x
)′
=
(
x
1
5
)′
=
1
5
x
1
5
−1 =
1
5
x−
4
5 =
1
5
(
1
x
) 4
5
=
1
5
1
x
4
5
=
1
5
5
√
x4
(iv) Fazendo como anteriormente, temos que
dp
dx
(x) =
(
7
√
x3
)′
=
(
x
3
7
)′
=
3
7
x
3
7
−1 =
3
7
x−
4
7 =
3
7
(
1
x
) 4
7
=
3
7
1
x
4
7
=
3
7
7
√
x4
�
A próxima proposição nos dá a derivada de mais duas funções úteis em nossos cálculos.
Proposição 2. Se x ∈ R, então,
(senx)′ = cos x e (cos x)′ = −senx
Demonstração Basta utilizar a definição de função derivada. Seja f(x) = senx, e p ∈ R qualquer.
Então
f ′(x) = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p = limx→p
senx− sen p
x− p = limx→p
2sen
(x−p
2
)
cos
(x+p
2
)
x− p
= lim
x→p
sen
(x−p
2
)
cos
(x+p
2
)
x−p
2
= lim
x→p
sen
(x−p
2
)
x−p
2
lim
x→p cos
(
x+ p
2
)
= 1.cos
(
�2p
�2
)
= cos p
Como p ∈ R então, podemos escrever
(senx)′ = cos x
A outra igualdade é provada de modo análogo e será deixado como exercício. A seguir, vamos determinar
um critério para sabermos se uma função é derivável em um ponto utilizando a propriedade de continuidade.
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2.2 Derivadas de Ordens Superiores
Suponha f : I → R derivável em I. Em aulas anteriores definimos a função derivada de f e a mesma
coisa pode ser feita para f ′ : I → R, ou seja, podemos definir a função segunda derivada de f , denotada
por f ′′, como sendo uma função de I em R que é a derivada da função derivada. De outra forma, f ′′ = (f ′)′
e pela notação de Leibniz,
f ′′(x) =
d2f
dx2
(x) =
d
dx
(
df
dx
)
(x)
Vejamos um exemplo.
Exemplo 7. Seja f(x) = x3 − x. Encontre f ′′(x).
Solução: Por definição, a função f ′′ é a derivada da função f ′. Como f ′(x) = 3x2−1, então por definição,
f ′′(x) = lim
h→0
f ′(x+ h)− f ′(x)
h
= lim
h→0
[3(x+ h)2 − 1]− [3x2 − 1]
h
= lim
h→0
��3x2 + 6xh+ 3h2 − �1−��3x2 + �1
h
= lim
h→0
�h(6x+ 3h)
�h
= 6x+ 3.0 = 6x
�
Analogamente, podemos definir a terceira derivada de uma função f(x) como sendo a derivada da
função segunda derivada de f(x).
f ′′′(x) =
d3f
dx3
=
d
dx
(
d2f
dx2
)
Generalizando, podemos definir a derivada de ordem n como sendo a derivada da função derivada de ordem
n− 1 de f(x). Desse modo,
f (n)(x) =
dnf
dxn
=
d
dx
(
dn−1f
dxn−1
)
, n = 1, 2, 3, ...
Exemplo 8. Seja f(x) = x4 − 12x2 + cosx. Determine df
dx
,
d2f
dx2
,
d3f
dx3
e
d4f
dx4
.
Solução:
df
dx
= 4x3 − 24x− senx
d2f
dx2
= 12x2 − 24− cos x
d3f
dx3
= 24x+ senx
d4f
dx4
= 24 + cos x
�
3 Derivabilidade e Continuidade
Derivabilidade e Continuidade são características desejáveis ao estudarmos uma determinada função. O
seguinte teorema relaciona essas duas propriedades.
Teorema 1. Se f é derivável em p ∈ R então f é contínua em p.
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Queremos saber quando uma função é derivável, mas o teorema supõe que a função já é derivável.
Contudo, observando o enunciado do teorema, notamos que ele pode ser reescrito da seguinte forma:
Se f NÃO for contínua então f NÃO é derivável.
Essa versão do teorema acima é chamada contra positiva da afirmação e é equivalente ao próprio teorema.
Dessa forma, ainda não conseguimos dizer com precisão se uma função é derivável, porém podemos saber
quando ela não é, basta mostrar que ela não é contínua. Por exemplo, considere a função
f(x) =
{
2− x se x < 2
−2x+ 1 se x ≥ 2
queremos saber se essa função é derivável em p = 2. Para isso, vamos tentar verificar se ela não é. Utilizando
o teorema anterior, temos de verificar a continuidade de f em p = 2. Se f não for contínua em p = 2 então
ela não é derivável em p = 2, do contrário não podemos usar o resultado dessa seção. Mas note que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
−2x+ 1 = −2.2 + 1 = −3
e
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
2− x = 2− 2 = 0
Logo, o limite lim
x→2
não existe. Dessa forma, a função f não é contínua em p = 2 e, portanto, não é
derivável. Isso também pode ser visto através do gráfico da função f .
Figura 9: Exemplo de uma função descontínua em x = 2 e portanto não derivável em x = 2
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 9. Considere as seguintes funções. Verifique se elas são contínuas no ponto p = 1. Elas são
deriváveis em p = 1?
(a)
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
(b)
f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1
Solução:
(a) Verificaremos primeiramente se g é contínua em p = 1. Note que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2 = 2
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e que
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 12 = 1
Como lim
x→1+
f(x) 6= lim
x→1−
f(x) então lim
x→1
f(x) não existe. Assim, a função g não é contínua em
p = 1. Pelo teorema anterior, f não é derivável em p = 1.
(b) Vamos verificar primeiramente a continuidade da função f . Para isso, calculamos o seguinte limite:
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 12 = 1
e
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2x− 1 = 2.1− 1 = 1
Logo, lim
x→1
f(x) = 1 = f(1). Portanto, f é contínua em p = 1, o que não nos permite utilizar o
resultado dessa seção. Sendo assim, vamos ter de calcular a derivada de f em p = 1. Dessa forma,
note que
f(x)− f(1)
x− 1 =
 x
2 − 1
x− 1 se x < 1
2 se x > 1
Agora calculando os limites laterais abaixo, temos:
lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
x2 − 1
x− 1 = limx→1−
���
�(x− 1)(x+ 1)
���x− 1 = limx→1− x+ 1 = 1 + 1 = 2
lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1+ 2 = 2
Como,
lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = 2
Então
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = 2
ou seja, f é derivável em p = 1
�
Observação 3. A recíproca do teorema 1 não é verdadeira. Um exemplo é a função
h(x) =
{
x2 se x ≤ 1
1 se x > 1
Deixamos a cargo do aluno verificar que essa função é contínua em 1, mas não é derivável em 1. Observando
o gráfico dessa função,
Figura 10: Contra Exemplo do Teorema 1
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notamos que em x = 1 a função apresenta um �bico�. Esse fato é umcritério para determinarmos
geometricamente os pontos do domínio em que uma função não é derivável. Portanto, nos pontos do
domínio onde o gráfico da função possui �bicos� são pontos em que a função não é derivável. Um outro
exemplo que será deixado como exercício é verificar que a função f(x) = |x| é contínua em 0, mas não é
derivável em 0.
Exemplo 10. Dados o seguinte gráfico, e os pontos considerados. Determine em que pontos a função não
é diferenciável e justifique.
Figura 11: Exemplo
Solução: Note que a função descrita no gráfico acima não é diferenciável no ponto de abscissa -1, pois é
descontínua; e também nos pontos de abscissas x = 1, 5 e x = 3 pois nos mesmos a função apresenta um
�bico�.
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 109− 117 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 117− 119 do livro texto.
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