Cálculo de áreas lista

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE
SANTANA
Profa. Josemiller Fe´lix
II Lista de Exercı´cios - Ca´lculo Diferencial e Integral II
Nome:
Questa˜o 1. Utilize as propriedades de integral definida para calcular:
(a)
∫ 1
0
√
1 + x dx
(b)
∫ 2
1
x3 + x4
x
dx
(c)
∫ 3
1
5
x4
− 2
x3
dx
(d)
∫ pi
2
0
sin(x) cos(x) dx
(e)
∫ 8
0
√
2x+ 3
√
x dx
(f)
∫ 1
0
(x− 2ex) dx
(g)
∫ e
1
(1 + lnx)
x
dx
(h)
∫ pi
2
pi
6
cosx
sin3 x
dx
(i)
∫ 1
−1
xdx
(x2 + 1)2
(j)
∫ 1
0
1
ex + e−x
dx
(k)
∫ 2
0
dx√
16− x2
(l)
∫ 1
0
dx
ex + 1
Questa˜o 2. Determine a soma de Riemann, tanto pela esquerda quanto pela direita, para a func¸a˜o f(x) =
1
x , no intervalo de [0,n]. Compare os resultados.
Questa˜o 3. Dado o seguinte limite da soma de Riemann limn→+∞ Sn = limn→+∞
∑n
i=1
i4
n5 . Transforme
na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo [0,1].
Questa˜o 4. Utilize as propriedades para escrever como uma integral u´nica na forma
∫ b
a
f(x) dx a:∫ 2
−2
f(x) dx+
∫ 5
2
f(x) dx−
∫ −1
−2
f(x) dx
1
Questa˜o 5. Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade abaixo, sem calcular as inte-
grais:
2 ≤
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx ≤ 2
√
2
Questa˜o 6. Calcule y
′
, quando
(a) y = f(x) =
∫ x
0
t3 sin t dt;
(b) y = f(x) =
∫ x2
0
t3 sin t dt;
(c) y = f(x) =
∫ x4
1
sec t dt;
(d) y = f(x) =
∫ x3√
x
cos(t2) dt.
Questa˜o 7. Esboce a regia˜o A, determinada entre o gra´fico das curvas abaixo, e calcule sua a´rea.
(a) y = x2 − 4 e y = 0 para −1 ≤ x ≤ 3;
(b) y = x2 e y =
√
x para 0, 25 ≤ x ≤ 1;
(c) y = 5x− x2 e y = 2x;
(d) y = 3
√
x e y = 6x − 3;
(e) y = 2x3 + 2x2 − 4x e o eixo x;
(f) y = −x3 + 4x e o eixo x;
(g) y = −x e y = √2− x;
(h) y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x;
(i) y = x; y = x4 e y =
1
x para x > 0;
(j) y = cos(x); y = x− pi2 e x = 0;
(k) y = x2 − 1 e x = −|y − 1|.
Questa˜o 8. Considere f(x) = 1 +
√
9− x2.
(a) Verifique se f e´ contı´nua em [-3,0];
(b) Identifique a a´rea C, esbocando o gra´fico de f ;
(c) Calcule a a´rea de C, no intervalo [-3,0].
Questa˜o 9. Determine a a´rea limitada pelas curvas dadas abeixo. Dica: o limite de integrac¸a˜o pode ser
dado em relac¸a˜o a y:
(a) x = 4− y2 e o eixo y;
(b) x = y2 − 2y e x = 2y − 3;
(c) y2 − x− 1 = 0 e 2y − x+ 2.
Questa˜o 10. Determine a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante, limitada pelas curvas y2 = 4ax, x+y = 3a
e y = 0, para todo a > 0. Ver
Questa˜o 11. A integral S(x) =
∫ x
0
sin
(
pit2
2
)
dt e´ chamada func¸˜a˜o de Fresnel e apareceu pela primeira vez
no trabalho do fı´sico franceˆs Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por suas contribuic¸˜o˜es
em o´tica sobre a difrac¸˜a˜o de ondas de luz. Para quais valores de x, a func¸˜a˜o de Fresnel tem
ma´ximos locais? Justifique.
Questa˜o 12. Uma partı´cula desloca-se sobre eixo x e sabe-se que no instante t, t ≥ 0, a velocidade e´
v(t) = 2t+ 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partı´cula encontra-se na posic¸a˜o x = 1.
Determine a posic¸a˜o x = x(t) da partı´cula no instante t.
GABARITO
2
1. a) 23 (2
√
2− 1); b) 7312 ; c) 7312 ; d) 12 ; e) 1003 ; f) 52 − 2e ; g) 32 ; h) 32 ; i)0 ; j)
arctan e− pi4 ; k)pi6 ; l)ln
(
2e
e+1
)
;
2. Sn =
∑n−1
i=0
4
n+4i (esquerda); Sn =
∑n
i=1
4
n+4i (direita); Sn(direita) − Sn(esquerda) = − 165n .
Isso nos diz que a soma pela esquerda e´ maior, e faz todo sentido, ja´ que f e´uma func¸a˜o
decrescente.
3. 15
4. Dica: Use as propriedades
∫ b
a
f(x) dx = − ∫ a
b
f(x) dx e
∫ b
a
f(x) dx+
∫ c
b
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx.
5. Dica: Considere g(x) =
√
1 + x2 e compare com seus pontos ma´ximos e mı´nimos.
6. a)x3 sinx; b)2x7 sin(x2); c) 4x3 sec(x4); d)− cos
2
√
x
+ cos(x6)3x2
7. a)343 u.a. b)
49
192 ; c)
9
2 u.a d)6 ln 2−1 u.a. e) 376 u.a. f) ; g) 103 u.a. h)11.833 u.a.
i)ln 2 u.a. j)(1 + pi
2
8 ) u.a. k)
13
6 u.a.
8. a) Sim; b) — ; c) 9pi4
9. a) 323 u.a; b)
4
3u.a ; c)
32
3 u.a
10. 10a
2
3 u.a
11. x =
√
2k; k impar
12. x(t) = t2 + t+ 1
Bom trabalho! ;)
3