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PREFÁCIO Fundamentos matemáticos é a primeira apostila desenvolvida pela equipe WebZhiak. Nosso intuito com esse material complementar é fazer com que os nossos alunos tenham acesso aos conceitos fundamentais da matemática de uma forma intuitiva e integradora ao seu aprendizado. “Conhecimento foi feito para ser partilhado e não guardado.” Edward Klumpp 0 MÓDULO 1 • O BÁSICO O módulo básico do curso fundamentos matemáticos é composto por conceitos importantes para o entendimento e a criação de uma lógica matemática consolidada e duradoura. Esse módulo é composto, assim como todos os outros, por explicações teóricas e exercícios práticos, onde o aluno tem a capacidade de exercitar e criar uma consolidação do conteúdo pragmático. Capítulos do módulo: 1. Um pouco de história; 2. Operações básicas; 3. Regra de 3; Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 1 CAPÍTULO 1 • Um pouco de história Desde que as civilizações começaram a ser criadas, o ser humano percebeu uma certa importância em quantificar dados e informações. A necessidade de comparar uma coisa com outra formou, aos poucos, nossa capacidade de entender e decifrar conceitos simples do mundo ao nosso redor. 1.1 - Onde e quando surgiu a matemática?! Não se sabe ao certo onde(nem quando) surgiram os primeiros conceitos matemáticos, porém os textos matemáticos mais antigos, que se tem registros, foram encontrados na Mesopotâmia; A contagem de ovelhas, nas fazendas antigas, possibilitou a consolidação de conceitos básicos para a formulação da matemática; O ábaco, primeiro instrumento de cálculo, foi inventado na China entre 3000 e 2500 a.C; Pesquisadores afirmam que alguns pássaros conseguem diferenciar dois ovos em um ninho de três, o que possibilita um conclusão para saber se algum filhote caiu do ninho. 1.2 - Pitágoras, uma revolução para o cálculo! Pitágoras, segundo dados históricos, em uma de suas visitas ao Egito, desenvolveu um dos teoremas mais importantes e influenciadores, sendo este concluído apenas por observações às pirâmides, possibilitando o cálculo um lado do triângulo a partir dos outros dois. Teve também a participação no desenvolvimento da tabua de multiplicação, mais conhecida hoje como tabuada. Seus seguidores foram os primeiros a identificar uma relação entre a aritmética e a geometria. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 2 CAPÍTULO 2 • Operações básicas Apesar de ser um fato obvio, ainda existem várias pessoas que saem do ensino médio sem saber efetuar algumas operações básica e essenciais em nossas vidas. 2.1 - Somando e subtraindo É provavelmente universal o conceito que afirmar que se somarmos dois com dois teremos quatro e que se tivermos cinco e retirarmos cinco vamos ficar com zero, mas e quando a conta fica maior e misturada? Simples! Separe em etapas: ● 2 + 2 = 4 ● 5 5 = 0 ● 2 + 3 1 = (2 + 3) 1 = 5 1 = 4 ● 7 + 3 9 1 = (7 + 3) 9 1 = (10 9) 1 = 1 1 = 0 ● 8 (7 + 9) 1 = (8 16) 1 = 8 1 = 9 Percebeu como algumas separações usando parenteses podem nos auxiliar em contas com um tamanho relativamente grande? 1) Experimente realizar algumas operações para treinar seu raciocínio lógico separandoas em etapas: a) 6 + 9 10 + 7 = b) 8 + 3 1 + 1 0 + 3 = c) 2 + 8 + 1 7 4 + 3 7 + 8 = d) 5 (7 7 + 7) 9 = e) 7 + 9 9 7 = Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 3 2.2 - Relacionando no nosso cotidiano Relacionar as operações matemáticas com o nosso cotidiano é uma estrategia usada para exercitar e aprender os conceitos matemáticos essenciais. Podemos relacionar lucros e gastos com as simples contas de soma e subtração. Por exemplo, vamos imaginar o seguinte problema matemático: ex01.: Nicholas ganhou R$87,00 de seu pai para ir em uma loja e comprar uma camiseta nova. Ele gastou R$40,00 em um site de roupas online. Na mesma semana, Anne, irmã de Nicholas, ganhou R$95,00 para comprar um vestido novo que custava R$68,50 em um saldão. Sabendo que o dia dos pais estava chegando, Nicholas e Anne decidem usar esse dinheiro que sobrou para comprar um tênis de presente para seu pai, porém o calçado custa R$80,50 e a quantia que eles tem é menos que o valor total. De quantos reais eles precisam para conseguir comprar o calçado em uma só parcela e sem troco? Resolução: ● Nicholas tinha R$87,00 e gastou R$40,00, ficando com R$47,00. ● Anne tinha R$95,00 e gastou R$68,50, ficando com R$26,50. ● Somando o saldo atual dos dois temos que: R$47,00 + R$26,50 = R$73,50 ● Pegando a diferença do valor do calçado em relação ao saldo atual deles, temos: R$80,50 R$73,50 = R$7,00 ● Logo, afirmamos que Nicholas e Anne precisam de R$7,00 para conseguirem comprar o presente de seu pai! Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 4 2) Paula, filha do José, pediu R$20,00 para comprar doces em uma loja. Ela gastou R$3,00 em balas, R$4,00 em uma caixa com 15 doces de amendoim, R$7,00 em garrafas de suco e R$1,50 em 3 pirulitos, quantos reais Paula precisa devolver para seu pai? _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ 2.3 - Multiplicação e divisão A multiplicação é a operação matemática que diz quantas vezes devemos somar um determinado valor, por exemplo, se você tiver 3x5 sabe que precisa somar o número 5 três vezes, logo 3x5 = 5 + 5 + 5 = 15. Já a divisão é a operação reversa, ou seja, no lugar de somarmos um valor por uma quantidade n de vezes, vamos separar esse valor em n partes iguais, por exemplo, se você tem o número 30 divido em 3 partes iguais, logo você terá que cada parte obterá o valor 10, pois 30/3 = 10, então a operação inversa é provada com 10x3 = 10 + 10 + 10 = 30. Basta pegarmos alguns valores e estudarmos essa lógica: ● 9x3 = 9 + 9 + 9 = 18 + 9 = 27 ● 7x2 = 7 + 7 = 14 ● 4x8 = (8 + 8) + (8 + 8) = 16 + 16 = 32 ● 100/2 = 50 (pois 50x2 = 50 + 50 = 100) ● 9/3 = 3 Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 5 CAPÍTULO 3 • Regra de três A regra de três é o processo destinado a resolver problemas onde existem valores direta ou inversamente proporcionais. Com a regra de três simples, conseguimos encontrar um quarto valor se já tivermos os outros três conhecidos. Por exemplo, um hotel tem como o valor da diária R$350,00, se uma pessoa ficar duas noites, logo irá pagarpor duas diárias, então, 2x350 = R$700,00. 3.1 - Diretamente proporcional ex01.: Para se construir um muro de 20m² são necessários 2 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 80m²? ● Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. Área Nº de trabalhadores 20m² 2 80m² X ● Inicialmente vemos que, a área inicial era de 20m² e depois ela subiu para 80m², temos ai então um aumento na orientação dos valores. ● Depois temos que, para 20m² precisamos de 2 trabalhadores, e sabendo que o tempo de construção não muda, afirmamos que para uma área maior, vamos precisar de mais pessoas trabalhando na obra. ● Com isso em mente, a única coisa que precisamos fazer é multiplicar cruzado, ou seja, o primeiro valor da área Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 6 com o segundo valor de trabalhadores e o segundo valor da área com o primeiro valor de trabalhadores: ○ 20m² x X = 20xX ○ 80m² x 2 = 80x2 = 160 ● Depois disso, pegamos o 20xX e igualamos ao 160: ○ 20xX = 160 ○ X = 160/20 ■ (Se estava multiplicando, passa pro outro lado dividindo) ○ X = 8 ● Então, para fazer a obra do muro com uma área de 80m² são necessários 8 trabalhadores. 3.2 - Inversamente proporcional ex01.: Um automóvel com velocidade de 40 km/h gasta 10 minutos em certo percurso. Se a velocidade for reduzida para 20 km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo percurso? ● Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. Velocidade Tempo 40 km/h 10 min. 20 km/h X min. ● Inicialmente vemos que esse automóvel fazia um determinado percurso em 10 minutos se a velocidade Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 7 média dele fosse de 40km/h, porém, se diminuirmos a velocidade, o tempo irá aumentar ou diminuir? ○ É por convenção lógica que quanto mais lento estivermos, mais demorado será para efetuar um determinado percurso. ● Temos que a primeira velocidade era de 40km/h e passou a ser 20km/h, logo temos uma diminuição nos valores. ● Já no tempo temos uma inversão de valores, diferentemente da velocidade, nosso tempo inicia com um valor de 10 minutos e depois irá se tornar em um valor maior, ou seja, temos um aumento nos valores. ● Com isso em mente, temos que multiplicar os valores em linha reta, ou seja, o primeiro valor da velocidade com o primeiro valor do tempo e o segundo valor da velocidade com o segundo valor do tempo: ○ 40km/hx10min = 400 ○ 20km/hxXmin = 20xX ● Depois disso pegamos o 20xX e igualamos ao 400: ○ 20xX = 400 ○ X = 400/20 Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 8 ■ (Se estava multiplicando, passa pro outro lado dividindo) ○ X = 20 ● Então, se a velocidade reduzir para 20km/h, vamos ter que percorrer o caminho durante 20 minutos. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 9 MÓDULO 2 • POTÊNCIA Sabendo que as potências tem grande importância no mundo da lógica matemática, nosso curso terá por objetivo demonstrar onde podemos utilizar esses conceitos no nosso cotidiano e vida profissional. Capítulos do módulo: 1. Número em forma de potência; 2. Regras de potenciação e radiciação; 3. Fatoração. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 10 CAPÍTULO 1 • Número em forma de potência A ideia de potência é um conceito bem antigo que ajuda na solução de problemas de um alto grau de complexidade. Por exemplo, se tivermos que fazer 2x2x2x2x2, podemos dizer que temos 25, o que resulta em 32. 1.1 - Por que utilizar potências? Essa necessidade de utilizar potências para representar um número é útil quando temos um valor muito grande ou extremamente pequeno. Se você tiver o número 1048576, que não é tão grande, pode facilmente substituído pela potência de 220, que é nada mais do que 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2, percebeu a redução de tamanho? 1.2 - No nosso cotidiano! Um jogo de xadrez é formado por um tabuleiro tipo 8x8 e representa uma matriz quadrada de ordem 8. Podemos calcular o número de casas desse tabuleiro utilizando conhecimentos sobre potência. Para isso, elevamos o número de linhas (8) ao número de colunas (8), ficando 8²=64. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 11 CAPÍTULO 2 • Regras de potenciação e radiciação Assim como qualquer conceito matemático, existem regras importantes para a execução das operações de potências e de raízes. 2.1 - Regras de potenciação: 1. Todo número diferente de zero e elevado a zero é um. a. 20 = 1 b. 3240 = 1 c. (12)0 = 1 2. Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número. a. 21 = 2 b. 981 = 98 3. Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero. a. 098 = 0 b. 012 = 0 4. Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo. a. (3)3 = (3)x(3)x(3) = 27 b. (4)5 = (4)x(4)x(4)x(4)x(4) = 1024 5. Base negativa e expoente par, resultado positivo. a. (2)4 = (2)x(2)x(2)x(2) = +16 b. (7)2 = (7)x(7) = +49 6. Se a base for um número racional (fração): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o denominador da fração. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 12 a. 7. Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do expoente para positivo. a. Uma importante aplicação de potenciação é a notação científica, usada para expressar valores muito grandes ou muito pequenos. A notação é usada por cientistas, como astrônomos, físicos, biólogos, químicos entre outros. Exemplos: ● 6.120.000, podemos representálo usando a seguinte notação decimal 6,12x106. ● 0,00012, pode ser representado por 1,2x104. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 13 2.2 - Regras de radiciação: Radiciação é a operação inversão à potenciação. Se tivermos um valor 5², dizemos que o 5 está multiplicando ele mesmo, ou seja, 5x5 = 25, porém, e quando queremos saber o inverso dessa operação? Se pegarmos o 25 e tirarmos a raiz dele, teremos √(25) = 5 <> 5² = 25. ● Potenciação de Radicais Observando as potencias, temos que: De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:● Divisão de Radicais Segundo as propriedades dos radicais, temos que: De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos: : = Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 14 Se os radicais forem diferentes, devemos reduzilos ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos: Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 15 CAPÍTULO 3 • Fatoração Mas você deve estar se perguntando: como eu faço para o obter o resultado de uma radiciação? Simples, separe em fatores! 1.1 - Como fatorar? A ideia de fatoração consiste em pega o valor do radicando e ir dividindo ele pelos números primos, por exemplo, para resolver a raiz quadrada de 64, podemos fazer o seguinte: √(64) = 8 64 | 2 32 | 2 16 | 2 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 | ● Após efetuar a fatoração, precisamos tirar os valores em grupos com quantidades referentes ao número no índice, ou seja, no exemplo a cima, vamos tirar um número à cada dois dele mesmo. ● Como temos seis números dois, vamos tirar três deles, fazendo agora a multiplicação: ○ 2x2x2 = 8 Vamos tirar a raiz de √(75): 75 | 3 25 | 5 5 | 5 1 | ● Como o nosso índice é 2, vamos tirar um, ou mais números, à cada dois dele mesmo. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 16 ● O número 5 pode sair da raiz, pois temos duas unidades dele. ● Já o número 3 só tem uma vez na execução da fatoração. ● Logo, deixamos o 5 fora do radical e o 3 permanece dentro dele: ○ 5√(3) ● Como vemos, nem sempre o resultado vai ser uma raiz exata, mas nós, matemáticos, sabemos que a multiplicação de 5 pela raiz de 3 é igual ao resultado que uma calculadora iria dar para a raiz de 75. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 17 MÓDULO 3 • CONJUNTOS Saber identificar os conjuntos numéricos em diferentes situações é uma habilidade essencial na vida de qualquer pessoa, seja ela um matemático ou não! Podemos dizer que qualquer coisa pode ser resumida em números, desde a quantidade de alunos de uma sala até a quantidade de fios de cabelos da sua cabeça. “Existem conjuntos em todas as coisas e todas as coisas são conjuntos de outras coisas”. Capítulos do módulo: 1. Teoria dos conjuntos e Operações com conjuntos; 2. Conjuntos numéricos; 3. Notação matemática. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 18 CAPÍTULO 1 • Teoria dos conjuntos e Operações com conjuntos Os conjuntos são, basicamente, a organização de elementos de uma determinada especie, por exemplo, no conjunto dos números naturais positivos temos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e assim sucessivamente! 1.1 - Teoria? Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 19 1.2 - Alguns conceitos! Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos. Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada 'está contido'. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. O (A): ● União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 20 B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. ● Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. ● Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação Ac é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn. ● Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) \ (A ∩ B). ● Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 21 CAPÍTULO 2 • Conjuntos numéricos Como falamos anteriormente, um conjunto é a organização de elementos de uma determinada espécie. Mas que espécie seria essa? Em matemática, falamos que os números são divididos em naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 2.1 - Números naturais Os números naturais são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais nãonulos (excluindo o zero), devese colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} 2.2 - Números inteiros Os números inteiros são todosos números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 22 Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z: Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0} Inteiros não negativos e nãonulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representase esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Z*+ = N* Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z excluindo o zero. Representase por Z*. Z* = {... 4, 3, 2, 1} 2.3 - Números racionais Os números racionais englobam os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 23 Os racionais são representados pela letra Q. 2.4 - Números irracionais Os números irracionais são formados pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265… Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135...) 2.5 - Números reais Esse conjunto é formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 24 CAPÍTULO 3 • Notação matemática A lógica matemática só é possível através da linguagem matemática. Essa língua é formada por números, letras e, principalmente, símbolos! 3.1 - Mas que símbolos são esses? Existem diversos simbolos usados na matemática, mas como nosso foco é conjuntos, vamos lhe apresentar alguns simbolos usados nas orientações e operações(união, intersecção, etc) dos conjuntos. Logo, podemos dizer que, se um conjunto A tem os elementos 1, 2 e 3, então 3 ∈ A (3 pertence ao conjunto A). Um outro exemplo seria o conjunto A = {1, 2} e o conjunto B = {1, 2, 3}, podemos afirmar que A ⊂ B (A está contido em B, pois todos os elementos de A estão em B, é como se A estivesse dentro do B). Saiba mais em: webzhiak.com.br/doc/mat/ | Fundamentos Matemáticos 25
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