Gabarito Probabilidade - Lista 2

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Lista 2 - Gabarito
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Probabilidade
1. Seja X = { numero de homens }
a) P (X ≥ 1) =∑3x=1 (3x)(0.51)x(.49)3−x = 1− P (X = 0) = 1− 0.1176 = 0.8824
b) 1− P (X = 3) = 1− (3
3
)
(0.51)3 = 1− 0.1327 = 0.8673
2. Seja A = { sabe a questão} e B = { escolhe a resposta certa}. Assim, P (B|A) = 1,
P (B|A) = 0.2, P (A) = 0.7 e P (A) = 0.3.
a) P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|A)P (A) = 1× 0.7 + 0.2× 0.3 = 0.76
b) P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B)
= 1×0.7
0.76
= 0.9210
3. Seja A = { a mulher é solteira} e B = { a mulher tem distúrbio hormonal}. Assim,
P (B|A) = 0.1, P (B|A) = 0.3, P (A) = 0.4 e P (A) = 0.6.
a) P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|A)P (A) = 0.1× 0.4 + 0.3× 0.6 = 0.22
b) P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B)
= 0.1×0.4
0.22
= 0.1818
4. Seja Fi = { o i-éismo satélite funciona}. Então queremos P (F1 ∪ F2 ∪ F3) = 1 −
P (F1 ∪ F2 ∪ F3) = 1− P (F1 ∩ F2 ∩ F3)1− (0.05)3 = .9999
5. P (A) = (0, 2)(0, 8) + (0, 3)(0, 2) = 0, 22
6. Seja A = { produtos altamente aprovado}, B = { produtos moderadamente aprovado},
C = { produtos ruins} e D = { produtos recebia boa revisão}. Assim, P (D|A) = 0.95,
P (D|B) = 0.6, P (D|C) = 0.1, P (A) = 0.4, P (B) = 0.35 e P (C) = 0.25.
a) P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) + P (D|C)P (C) = 0.95× 0.4 + 0.6× 0.35 +
0.1× 0.25 = 0.615
b) P (A|D) = P (D|A)P (A)
P (D)
= 0.95×0.4
0.615
= 0.6179
b) P (A|D) = P (D|A)P (A)
P (D)
= (1− P (D|A))P (A)
1−P (D) =
0.05×0.4
0.385
= 0.0519
7. a) fX(0) = 1/3, fX(1.5) = 1/3, fX(2) = 1/6 e fX(3) = 1/6.
1
b)
FX(x) =

0 x < 0
1/3 0 ≤ x < 1, 5
2/3 1, 5 ≤ x < 2
5/6 2 ≤ x < 3
1 x ≥ 3
c)
E(X) = 0× 1/3 + 1.5× 1/3 + 2× 1/6 + 3× 1/6 = 4/3
V (X) = E(X2)+E2(X). Então E(X) = 02×1/3+1.52×1/3+22×1/6+32×1/6 =
35/12 . Logo V (X) = 35/12− (4/3)2 = 89/36
8. fX(0) = (0, 02)3, fX(1) = 3((0, 2)(0, 2)(0, 98)), fX(2) = 3((0, 2)(0, 98)(0, 98)) e fX(3) =
(0, 98)3.
9. a) P (X ≤ 1/18) = 0, 2
b) P (X ≤ 1/4) = 0, 9
c) P (X ≤ 5/16) = 0, 9
d) P (X > 1/4) = 0, 1
e) P (X ≤ 1/2) = 1
f) fX(1/18) = 0.2, fX(1/4) = 0.7 e fX(3/8) = 0.1.
10. a) P (X = 3) = 0, 215
b) P (X ≤ 9) = 1− P (X = 10) = 0, 9999
c) E(X) = np = 4
d) V (X) = np(1− p) = 2.4
11. a) P (X = 4) = 0, 0064
b) P (X ≤ 4) = 0, 9984
c) P (X ≥ 4) = 0, 008
d) E(X) = 1/p = 1.25
12. X = numero de crianças do sexo feminino
a) P (X = 5) + P (X = 0) = (.5)5 + (1− 0.5)5 = 0.0625
b) (0.5)3(0.5)2 = 1/32
c) P (X = 2) =
(
5
2
)
(.5)2 + (1− 0.5)3 = 0.3125
d) (0.5)2 = 1/4
2
e) P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− (1− 0.5)5 = 31/32
13. a) P (X = 5) = 0, 2461
b) P (X ≤ 2) = 0, 0547
c) P (X ≥ 9) = 0, 0107
d) P (3 ≤ X < 5) = 0, 3222
14. P (X = 0) = e−λ = 0.2. Então λ = 1.61. Assim, P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) =
1− 0.7808 = 0.2192
15. Sabemos que e−λ2λ
2
= 2e
−λ
3
. Então λ = 0.415
a) P (X = 0) = 0.6603
b) P (X = 3) = 0.0079
16. Temos que λ5 = 20
a) P (X = 19) = 0.0888
b) P (X ≤ 20) = 0.5591
c) P (X ≥ 17) = 0.7030
d) P (X = 0) = 2.06× 10−9
3