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Lista 4
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Probabilidade
1. Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre (−1, 1). Seja Y = 4−X2. Ache
a fdp de Y , g(y). Verifique que g(y) é adequada, ou seja,
∫
g(y)dy = 1. (Dica use o
teorema 5.2 do livro do Meyer)
2. Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre (1, 3). Ache a fdp das seguintes
variáveis aleatórias:
a) Y = 3X + 4
b) Z = eX
Para cada função mostre que a fdp é valida.
3. Suponha que a variável aleatória contínua X tenha fdp f(x) = e−x, x > 0. Ache a fpd
das seguintes variáveis aleatórias:
a) Y = X3
b) Z = 3/(X + 1)2
Para cada função mostre que a fdp é valida.
4. Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre (−1, 1). Ache a fdp das seguintes
variáveis aleatórias
a) Y = sin(piX
2
)
b) Z = cos(piX
2
)
c) W = |X|
5. Uma correntel elétrica oscilante I pode ser considerada uma variável aleatória uniforme-
mente distribuída sobre o intervalo (9, 11). Se essa corrente passar em um resistor de
2 ohms, qual será a fdp da potência P = 2I2?
6. Suponha que X tenha fdp dada por f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1.
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a) Determine a fgm de X
b) Empregando a fgm, calcule o E(X) e V (X)
7. Seja X o resultado da jogada de uma moeda equilibrada
a) Determine a fgm de X
b) Empregando a fgm, ache E(X) e V (X)
8. Suponha que a fgm da variável aleatória X seja da forma
MX(t) = (0.4e
t + 0.6)8
a) Qual será a fgm da variável aleatória Y = 3X + 2?
b) Calcule E(X)
c) Você pode verificar a sua resposta em (b), por algum outro método? [Tente “recon-
hecer” Mx(t)]
9. Empregue a fgm para mostrar que, se X eY forem variáveis aleatórias independentes,
com distribuição N(µx, σ2x) e N(µy, σ2y), respectivamente, então Z = aX+bY será tam-
bém normalmente distribuída, onde a e b constantes. Descubra também os parâmetros
da distribuição de Z.
10. Se X tiver distribuição de χ2n, empregando a fgm, mostre que E(X) = n e V (X) = 2n
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