Estatistica descritiva parte 2

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Estatística Descritiva Profª Maria Eliane 
 
Licenciatura em Biologia, Educação à Distância, UESC 2011.2 46 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 
CONCEITO São medidas denominadas de estatísticas, que dão uma idéia condensada 
de todo o conjunto de dados. Também são conhecidas como medidas de 
localização, e em conjunto com as medidas de dispersão formam as 
medidas resumo. 
 
 
UTILIDADE Fornecer uma descrição resumida sobre o comportamento de um 
determinado fenômeno; caracterizar um grupo como um todo, através de 
um valor único. 
Ex.: Quanto é o gasto médio mensal da família brasileira com alimentação? 
 Qual o tipo sangüíbneo mais comum? 
 Qual o valor que divide um lote de produtos, em produtos de qualidade 
superior e de qualidade inferior? 
 
TIPOS Abordaremos os aspectos mais importantes de seis medidas de posição, 
para dados isolados. Essas medidas são: 
 
� Média 
 
� Mediana 
 
� Moda 
 
 
• Quartil 
• Decil 
• Percentil 
 
Medidas de Tendência Central para Dados Isolados (dados que não estão em intervalos ou faixas) 
 
1. Média 
 
É o valor que pode substituir todos os valores da variável, isto é, é o valor que a variável teria se em vez 
de variável ela fosse constante. A média torna todos os valores de um conjunto de dados iguais a um 
único valor, que é resultante da operação de cálculo. 
 
Existem vários tipos de médias: aritmética, geométrica e harmônica. Estudaremos a média aritmética 
simples. 
 
Média Aritmética: é o resultado da soma de todos os valores dos dados dividido pelo número de dados. 
É a mais utilizada e geralmente quando se menciona o termo média, refere-se à aritmética. 
 
Medidas de Tendência Central: 
assim chamadas porque estão no 
valor central de um conjunto de 
dados ordenado, ou o mais próximo 
dele. 
Separatrizes: assim chamadas porque 
separam, dividem um conjunto de dados 
ordenado em partes percentuais iguais. 
 
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O modelo de cálculo da média amostral é dado por: n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
 
Onde, 
 
Σxi= somatório dos valores de xi 
 
i = índice que varia de 1 a n elementos da amostra ou 
 n= tamanho da amostra em estudo. 
 
Exemplo→→→→ a pesagem individual de uma amostra dos componentes de um grupo de macacos (adultos) 
em uma área de proteção ambiental (APA), apresentou os seguintes valores em quilograma: 
 
 5 6 4 5 7 8 
 
A amostra tem 6 elementos (seis macacos), então n=6. Significa que i= macaco 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ou seja, 
 
x= peso em Kg de macacos adultos é a variável a ser conhecida, será representada individualmente pelo 
peso de cada macaco da amostra (x1 x2 x3 x4 x5 e x6). Desse modo, 
 
 
 5 6 4 5 7 8 
 x1 x2 x3 x4 x5 x6 
 
Colocando os valores no modelo de cálculo da média temos 6
6
1
∑
=
=
i
ix
x
 
 
Kgxxxxxxx 83,5
6
35
6
875465
6
654321
==
+++++
=
+++++
=
 
 
Significa que o grupo de macacos da APA pesam em média 5,83Kg. Todos os macacos terão esse valor 
para representar o seu peso. 
 
 
Verifique que, ao ordenar os dados de forma crescente, o valor da média encontrada estará no centro dos 
valores do conjunto de dados. Por esse motivo a média é uma medida chamada de tendência central: 
 
 
4 5 5 5,83 6 7 8 
 Centro 
 
 
 
 
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Mas é preciso ter cuidado ao utilizar a média em pesquisas, pois é uma medida que sofre a influência de 
valores muito pequenos ou muito grandes presentes em um conjunto de dados. Isso faz com que haja 
uma distorção nos resultados. Falaremos desse assunto após conhecermos as outras medidas de 
tendência central. 
 
 
2. Mediana 
 
É o valor central dos valores ordenados (de forma crescente ou decrescente), que estabelece um limite 
que separa os dados em metade superior (50%) e metade inferior a ele (50%). É simbolizado pela sigla 
Me ou por x~ . 
 
Valor mínimo Mediana Valor máximo 
50% 50% 
 
50% dos valores do conjunto de dados estão abaixo do valor da Me 50% dos valores do conjunto de dados estão acima do valor da Me 
 
 
Exemplo: 3 4 5 6 7 
↑é o valor mediano desse conjunto de dados, observe que está no centro. 
Por isso é uma medida de tendência central. 
 
Para encontrar a posição do elemento mediano em um conjunto de dados com número ímpar de 
elementos usamos o seguinte modelo matemático: 
 
2
1nPEMe += Onde PEMe = Posição do Elemento Mediano 
 n= número de elementos que compõem o conjunto de dados (população ou amostra) 
 
Exemplo: suponha que a amostra do grupo de macacos pesquisado na APA, fosse de 5 elementos. O 
elemento que será o peso mediano é: 
 
posiçãoa3==+=+=
2
6
2
15
2
1nPEMe , 
 
com os pesos ordenados de forma crescente: 4 5 5 6 7 
 ↑esta é a 3ª posição 
 
Portanto, o peso mediano desse grupo de maçados é de 5Kg. Significa que 50% dos macacos do grupo 
possuem peso igual ou abaixo de 5Kg, e 50% dos macacos do grupo possuem peso acima de 5Kg. 
 
Se não fosse utilizado o fator de correção +1, a posição do elemento seria: 5/2= 2,5aposição. Observe 
que para esta posição o valor do elemento estaria deslocado do centro do conjunto de dados, não iria 
representar uma divisão exatamente ao meio com 50% para cada lado em relação ao valor. 
 
Observe que o cálculo feito apenas encontra a posição do elemento mediano, e não o seu valor. O valor 
é encontrado por meio da visualização do conjunto ordenado, onde identificamos qual é o valor que está 
na posição encontrada no cálculo. Cuidado para não confundir a posição com o valor do dado mediano. 
 
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Para encontrar a posição do elemento mediano em um conjunto de dados com número par de 
elementos usamos o mesmo modelo matemático. Assim, considerando a amostra do peso de seis 
macacos: 
 
.5,3 posiçãoa==+=+=
2
7
2
16
2
1nPEMe O valor do peso mediano está entre a 3ª e a 4ª posição 
 
 
 com os pesos ordenados de forma crescente: 4 5 5 6 7 8 
 ↑ ↑ 
3ª 4ª 
 
O valor da mediana corresponderá à média aritmética entre os valores encontrados nas posições: 
.5,56 Kg==+=
2
11
2
5
eM 
 
 
 
3. Moda 
 
É o valor que apresenta a maior frequência no fenômeno estudado. É a única medida de tendência 
central que pode ser aplicada a todos os níveis de medida (nominal, ordinal, intervalar e racional). É 
simbolizado pela sigla Mo ou por xr . 
 
 
Exemplo→ para a amostra do peso de seis macacos: 4 5 5 6 7 8 
 
O peso modal é 5Kg, porque é o peso que aparece com maior freqüência (2 vezes). O conjunto de dados 
com uma única moda é chamado de UNIMODAL. 
 
Numa série ou conjuntode dados pode ocorrer que: 
 
• A moda seja dois números: 
4 5 5 6 6 7 8 , Mo= 5 e 6 (BIMODAL) 
 
 
• A moda seja mais de números: 
4 5 5 6 6 7 7 8 , Mo= 5; 6 e 7 (MULTIMODAL) 
 
 
• Não existir valor modal: 4 5 6 7 8 , (AMODAL) 
 
 
A moda (para dados isolados) é estimada pela simples inspeção dos dados, observando-se qual o valor 
onde há maior número de freqüência. Não há cálculo. 
 
Observe que o valor modal tende a ser um número central ou o mais próximo do centro do conjunto de 
dados, por isso a moda também é uma medida de tendência central. 
 
 
 
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Cuidado ao utilizar a média 
 
Voltemos a falar sobre o cuidado ao utilizar a média em pesquisas, pois é uma medida que sofre a 
influência de valores muito pequenos ou muito grandes presentes em um conjunto de dados. Isso faz 
com que haja uma distorção nos resultados. 
 
Para ilustrar, suponha um estudo realizado em três regiões geográficas diferentes, para estimar o número 
de uma espécie de pássaro. Em cada região foram selecionadas cinco áreas, onde o número de pássaros 
foi contado, obtendo-se os seguintes resultados: 
 
Região Área 1 Área 2 Área 3 Área 4 Área 5 Medidas de Tendência central 
 Média Mediana Moda 
A 1 1 2 3 3 2 2 1 e 3 
B 1 2 2 3 4 2,4 2 2 
C 1 2 3 3 31 8 3 3 
 
Observe que o valor da média de pássaros da região C ( )8=x foi muito influenciada pelo valor da 
contagem da área 5 (n=31), que é bem maior que os demais valores do conjunto de dados dessa região. 
A idéia que esse resultado passa é que em toda a região C o número de pássaros é maior que nas demais 
regiões, o que não é verdade porque apenas uma área da região C apresentou alta contagem de número 
de pássaros. 
Quando em uma amostra ou dado da pesquisa encontramos um valor muito elevado ou muito pequeno 
em relação aos demais valores do conjunto de dados estudados, dizemos que é um valor discrepante, 
também chamado de valor extremo ou outlier. É o que ilustra bem o valor n=31 da área 5 em relação 
aos demais valores de contagens de pássaro das outras áreas da região C. E para todo o conjunto das 
regiões, este valor também é valor extremo. 
Sobre cuidados ao utilizar e interpretar as medidas de tendência central (média, mediana e moda), leia a 
crítica de Ubaldo Ribeiro no texto complementar da p.54. 
 
SEPARATRIZES 
 
Existem diversas situações nas quais o interesse principal é a posição relativa de um elemento no grupo, 
e não o desempenho do grupo como um todo. A interpretação de um resultado isoladamente é 
impossível, sendo necessário indicar a posição específica que um determinado resultado ocupa no grupo 
através de medidas que possibilita interpretar o seu significado. 
 
Essas medidas são denominadas de separatrizes, pois separam a distribuição em partes percentualmente 
iguais. As mais utilizadas são: 
 
Quartil: divide o conjunto de dados ordenados em 4 partes iguais, de 25% cada parte . Os valores são 
identificados por Q1 (25% dos dados estão abaixo do valor do 1ºquartil); Q2 (50% dos dados estão 
abaixo do valor do 2ºquartil, observe que o Q2 é a mediana) e Q3 (75% dos dados estão abaixo do valor 
do 3ºquartil). Não existe Q4. 
 
 Q1 Q2 Q3 
25% 25% 25% 25% 
 
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Para o cálculo da posição do Quartil: 
4
niQPE i
×
= Onde, i = quartil que se deseja obter (i=1,2,3) 
n = quantidade de elementos observados, ou 
tamanho da amostra 
 
Decil: divide o conjunto de dados ordenados em 10 partes iguais, cada parte com 10% dos valores do 
conjunto de dados. Os valores são identificados por D1, D2, D3,..., D9. Não existe D10. 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 
 
Para a posição do Decil: 
10
niDiPE ⋅= Onde, i = decil que se deseja obter (i=1,2,3,...,9) 
 
 
 
Centil ou Percentil: divide o conjunto de dados ordenados em 100 partes iguais, cada parte com 1% 
dos valores do conjunto de dados. Os valores são identificados por P1, P2, P3,..., P99. 
 
Para a posição do percentil: 
100
niPiPE ⋅= Onde, i = centil que se deseja obter (i=1,2,3,...,99) 
 
Exemplo de uso das separatrizes: suponha que um entomologista selecionou 50 exemplares de uma 
espécie de inseto, de mesma ninhada e período de eclosão dos ovos. Submeteu os insetos às mesmas 
condições ambientais e nutricionais, para estimar o tempo de vida (longevidade) da espécie. Ao final do 
experimento, o pesquisador obteve os seguintes dados de longevidade (em dias de sobrevivência para 
cada exemplar). 
 
16 17 18 18 18 20 20 21 21 21 
22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 
27 27 28 29 30 31 31 33 33 34 
36 36 37 38 38 41 42 42 43 45 
45 46 47 50 52 53 59 61 65 70 
 
Determinando-se o 1º e 3º quartis: 
posiçãoª5,12==
4
50x 1QPE 1 , o valor está entre os valores da 12ª e 13ª posição dos elementos 
ordenados de forma crescente (23 e 23 respectivamente). Assim, Q1= 23 dias. 
 
Significa que 25% dos insetos tiveram um tempo de vida igual ou menor que 23 dias, e 75% período de 
vida igual ou maior que 23 dias. 
 
posiçãoª5,37==
4
50x 3QPE 3 , o valor está entre os valores da 37ª e 38ª posição dos elementos 
ordenados de forma crescente (42 e 42 respectivamente). Assim, Q3= 42 dias. 
 
Significa que 75% dos insetos tiveram um tempo de vida igual ou menor que 42 dias, e 25% período de 
vida igual ou maior que 23 dias. 
 
 
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Construindo um intervalo com estes valores observamos: 
Q1=23 Q3=42 
25% 25% 25% 25% 
 
Entre 23 e 42 dias é o período de tempo que viveram 50% dos insetos, excluindo-se 25% dos menores 
períodos e 25% dos maiores períodos de longevidade. 
 
 
Outros exemplos de uso das separatrizes 
 
Exemplo 1 
 
É muito comum o uso das separatrizes na área da Economia, principalmente em estudos de séries de 
tempo, pois o fracionamento percentual dos dados facilita observar se houve mobilidade ou 
permanência de valores de um fenômeno econômico. 
 
 
Rendimento Real Trimestral Máximo e Mínimo dos Ocupados e dos Assalariados no Trabalho Principal (1)
Região Metropolitana de Salvador
2010
Jan-2010 314 492 677 1.256 2.161 492 534 785 1.323 2.390
Fev 312 528 680 1.177 2.123 492 534 780 1.270 2.329
Mar 311 529 680 1.244 2.223 529 534 777 1.258 2.420
Abr 310 525 676 1.210 2.274 525 530 743 1.248 2.409
Mai 309 523 694 1.230 2.384 523 528 747 1.253 2.395
Jun 308 522 699 1.230 2.370 522 525 771 1.302 2.389
Jul 308 523 718 1.237 2.389 523 526 783 1.345 2.563
Ago 309 526 718 1.237 2.268 524 526 809 1.363 2.466
Set 308 525 719 1.238 2.272 525 526 805 1.358 2.479
Out 308 523 703 1.237 2.160 523 525 801 1.340 2.377
Nov 305 519 712 1.231 2.257 519 526 814 1.334 2.383
Dez 304 518 711 1.231 2.298 517 528 812 1.339 2.441
Fonte: PED-RMS – Convênio SEI, Setre, Dieese, Seade, MTE/FAT.
(1) Inflator utilizado: IPC - SEI; valores em reais de janeiro de 2011.
(2) Excluem os assalariados e os empregados domésticosassalariados que não tiveram remuneração no mês, os trabalhadores familiares sem
 remuneração salarial e os trabalhadores que ganharam exclusivamente em espécie ou benefício.
(3) Excluem os assalariados que não tiveram remuneração no mês.
10% Mais 
Ricos Ganham 
Acima de
Rendimento Real Trimestral
Ocupados (2) Assalariados (3)
10% Mais 
Pobres 
Ganham Até
25% Mais 
Pobres 
Ganham Até
50% Mais 
Pobres 
Ganham Até
25% Mais 
Ricos Ganham 
Acima de
Trimestres
50% Mais 
Pobres 
Ganham Até
25% Mais 
Ricos Ganham 
Acima de
10% Mais 
Ricos Ganham 
Acima de
10% Mais 
Pobres 
Ganham Até
25% Mais 
Pobres 
Ganham Até
 
 
Os 10% mais pobres é o D1 
Os 10% mais ricos é o D9 
 
Os 25% mais pobres é o Q1 
Os 25% mais ricos é o Q3 
 
Os 50% mais pobres é o Q2 , é a mediana. 
 
Observe que houve pouca mobilidade econômica para os trabalhadores. A melhoria salarial não é 
significativa, pois a tendência revela decrescimento, ou seja perda de rendimentos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2 
 
 
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QUAL MEDIDA DE POSIÇÃO USAR ? 
 
 
A decisão sobre qual medida empregar envolve a consideração de uma série de fatores: 
 
• nível de mensuração (se a variável é qualitativa ou quantitativa); 
 
• formas de distribuição (simétrica, assimétrica ou uniforme); 
 
• exatidão requerida (uma medida central mais exata ou mais empírica); 
 
• estabilidade da medida; 
 
• manipulação subseqüente (se os resultados servirão para outros cálculos e para inferência); 
 
• objetivo da pesquisa (apurar os resultados de forma mais sofisticada ou comunicá-los de forma mais 
simples). 
 
 
A média é preferível especialmente em distribuições aproximadamente simétricas, devido à sua maior 
estabilidade e à manipulações estatísticas posteriores. 
 
A mediana é mais apropriada quando a assimetria é acentuada; os valores (limites) extremos da primeira 
e última classes não são definidos, e quando o nível de mensuração é ordinal. 
 
A moda é empregada em situações em que uma estimativa rápida e grosseira da medida central é 
suficiente; os dados atingem apenas o nível nominal ou o caso típico é desejado. 
 
Além dessas regras, deve-se examinar cada distribuição de dados e o objetivo específico do estudo. O 
ideal não é optar entre as medidas, mas usá-las todas, quando o nível de mensuração permite, pois cada 
uma fornece uma visão parcial dos dados e elas se complementam umas às outras. 
 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
 
AKAMINE, Carlos e YAMAMOTO, Roberto. Estatística descritiva. São Paulo: Érica, 1998, p.139-80. 
 
BUNCHAFT, Guenia. Estatística sem mistério. Petropólis, RJ: Vozes, 1998, p.107-53. 
 
FRANCISCO, Valter de. Estatística. São Paulo: Atlas, 1982, p.20-28. 
 
PEREIRA, Wilson e TANAKA, Oswaldo. Estatística. São Paulo: Mc-Graw Hill do Brasil, 1990, p.73-
120. 
 
 
 
 
 
 
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Texto complementar 
 
Artigo do jornal "O Estado de São Paulo" de 28/09/2008 
 
Domingo, 28 de setembro de 2008 
 
João Ubaldo Ribeiro 
 
 NÃO SOMOS TODOS BURROS 
 
"Às vezes fico meio sem jeito para tratar de certos assuntos aqui, achando que vou chover no 
molhado ou repetir coisas que todo mundo sabe. Mas, em outras ocasiões, me bate sensação oposta, a de 
que a maioria não sabe. Hoje, por exemplo. Fico lendo os jornais, ouvindo comentários e sendo alvejado 
por declarações pomposas não contestadas por ninguém e penso que de fato conseguiram fazer um 
Brasil virtual, distinto do real. Aí corro o risco de provocar tédio nos que de fato já sabem como somos 
tapeados, e pouca serventia virá a ter a coluna de hoje. Mas faz parte, vamos lá. 
Fala-se muito mal da Estatística. De um lado, constitui grande injustiça para com uma ciência 
sem a qual hoje talvez nem sobrevivêssemos direito. De outro, trata-se da compreensível reação contra a 
maneira pela qual a Estatística é usada e abusada para "provar" o duvidoso e manipular a chamada 
realidade objetiva. Compreendo o sujeito que disse, como já lembrei aqui antes, que a Estatística é a arte 
de mentir com precisão, porque de fato o seu uso inescrupuloso e falsário equivale a isso. 
Começo lembrando a famosa média. Em grande parte dos casos em que ela é empregada em 
indicadores sociais e econômicos, não quer dizer nada, ou melhor, quer dizer muito pouco. Se Bill Gates 
passasse a ser residente da cidade de Itaparica, teríamos talvez a renda per capita mais alta do planeta 
ou com certeza uma das mais altas, sem que um itaparicano sequer passasse a ganhar mais um centavo. 
Isso porque a renda per capita é uma média aritmética e, por conseguinte, sensível em excesso aos 
valores extremos. Então, numa população em que um ganha por mês um milhão de borodongas e os 
outros cinco borodongas cada, falar em renda per capita é ridículo. 
Precisamos, portanto, saber da mediana. Talvez por às vezes revelar-se incomodativa, não é 
muito mencionada, notadamente em estatísticas oficiais. A mediana dá mais peso e significado à média. 
É o valor que se encontra exatamente no meio dessa coletividade. Ou seja, não é bastante saber que a 
renda média é 1.000. É preciso saber também (estou simplificando e peço desculpas a estatísticos e 
matemáticos em geral) o valor que divide esses indivíduos pela metade, ou seja, o ponto em relação ao 
qual exatamente a metade ganha menos e a metade ganha mais. Quando a média é próxima da mediana, 
isso significa que a distribuição é mais ou menos simétrica. Quando não, a distribuição é tortinha. Logo, 
a mediana pode, por exemplo, desmoralizar a renda per capita, se demonstrar que metade da população 
ganha muito abaixo desta e a outra metade muito acima. Mas ninguém fala na mediana. 
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Também tem, desculpem, a moda. Não a moda fora da qual estou, mas a moda estatística 
mesmo, ou seja, o valor mais freqüente, o que mais ocorre numa população determinada. Assim, se a 
renda média dos habitantes da próspera comunidade de Lulalápolis, é R$ 1.000 por mês, mas a mediana 
é 100 e/ou a moda é oitentinha, já vemos bem como podemos (e somos) ser engabelados. É por isso que 
até a Bethânia, que não é de sair por aí falando ou fazendo manifestações, se revelou na imprensa um 
pouco irritada com esse país maravilhoso (virtual, estatisticamente siliconado, digo eu) a que ela não 
consegue chegar. 
Também convivemos acriticamente com uma porção de chutes que desonram e desmerecem a 
Estatística, tais como a conversão de coexistência numa relação de causa e efeito. É como o torcedor do 
Flamengo achar que a causa da vitória do time dele foi ter entrado um urubu em campo, logo antes do 
jogo. Não vamos discutir com torcedor, tudo bem. Mas coisas boasque acontecem são vinculadas a 
outras de maneira absolutamente arbitrária e aí, em propaganda comercial por exemplo, para esquecer 
um pouco a política, acabamos acreditando em afirmações que não passam de reformulações de 
vigarices como "todos os que morreram de enfarte do miocárdio no ano passado faziam uso de água". 
Verdade, mas claro que não prova que tomar banho faz mal ao coração. Com espertas artes, porém, nos 
enrolam muito nessa linha. 
E as categorias? O sujeito enche a boca e diz: "Depois de tantos anos de meu governo, o número 
de ricos cresceu em 20% e o de pobres diminuiu em 32%." Além dos probleminhas de média, mediana e 
moda, que sempre estão rondando, é muito fácil (e é isso que se faz) dizer que rico é quem ganha mais 
de R$2.000 por mês. Fico até admirado por não haverem proposto R$ 1.500, porque o número de ricos 
ia bombar. Até a felicidade é quantificada e lemos a sério, como parvos, que o povo tal tem o maior 
índice de felicidade do mundo ou semelhantes despautérios. 
E a coleta dos dados? Desde antes da definição das categorias e das perguntas, desde o início do 
planejamento, um dos maiores problemas que o estatístico sério encontra é a feitura de uma coleta de 
dados "neutra", que não influencie as respostas. Em rigor, impossível, porque até condições 
meteorológicas podem influir nas respostas. As próprias perguntas podem induzir a determinado tipo de 
resposta. A roupa, o sexo, a idade, o sotaque, o local, a época, a hora, as palavras e expressões usadas, a 
ordem das perguntas, o tamanho do questionário, e centenas de outros fatores podem, mesmo nas 
pesquisas mais honestas e cientificamente orientadas, levar à distorção de resultados. Há até, em 
confusão com esses e outros fatores, o perigo de o entrevistado querer responder o que acredita que se 
espera dele e não o que de fato pensa. 
Há muito mais, um dia desses falo mais. Enche mesmo o saco nos tratarem como a uma tropa de 
burros, que não somos. Somos, sim, otários, comodistas, coniventes e subservientes, mas isso já é outro 
problema."■ 
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MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 
 Em nosso estudo sobre as medidas de posição observamos que é preciso tomar cuidado com o 
uso da média e sua interpretação, pois como é influenciada por valores extremos esconderá muitos 
aspectos métricos sobre o conjunto de dados. Observemos mais um exemplo, para entendermos porque 
a média necessita de outras medidas estatísticas que auxiliem em seu uso e interpretação. 
 Suponha que em duas regiões geográficas diferentes subdivididas em cinco áreas, o número de 
uma espécie de planta encontrada por área foi: 
 
Região A: 4 5 6 7 8 Número médio de plantas = 6unidades 
 
Região B: 2 4 6 8 10 Número médio de plantas = 6unidades 
 
 Se considerarmos apenas o número médio de plantas encontradas, diríamos que as duas regiões 
são iguais em relação à ocorrência do número dessa planta. Contudo, pela contagem individual em cada 
área verificamos que há diferenças de dispersão e concentração do número de plantas em cada área das 
duas regiões. Por esse motivo precisamos medir o padrão de dispersão do conjunto de contagem de cada 
região. 
É o que faz as medidas de dispersão, também como forma de resumir as informações presentes 
em um conjunto de dados. As medidas de dispersão de uma distribuição são os valores que indicam o 
grau de afastamento dos valores da variável em relação à média do conjunto de dados. 
 
As principais medidas de dispersão são: 
 
1. variância 
2. desvio padrão 
3. coeficiente de variação 
 
 
1. Variância: 
é o desvio quadrático médio dos dados em relação à média. Expressa a variabilidade dos dados como 
uma grandeza elevada ao quadrado (exemplo: altura2). Por esse motivo é uma medida de difícil 
interpretação universal. 
A variância possui o seguinte modelo de cálculo: 1111nnnn
))))xxxx(x(x(x(x
ssss
n
nn
n
1
11
1i
ii
i
2
22
2
i
ii
i
2
22
2
−
−
=
∑
=
 
 
Onde: 
 s2 = símbolo da variância amostral 
 Σ = somatório dos valores da diferença entre os valores individuais e a média amostral 
 xi = valor de cada elemento da amostra 
 x = símbolo da média amostral 
n -1= graus de liberdade, que é uma correção para o valor do cálculo na amostra 
 
 
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 Calculemos a variância para o exemplo da contagem do número de uma espécie de plantas em 
duas regiões, anteriormente descrito: 
Região A Região B 
)( xxi − 2)( xxi − )( xxi − 2)( xxi − 
4 – 6 = -2 4 2 – 6 = -4 16 
5 – 6 = -1 1 4 – 6 = -2 4 
6 – 6 = 0 0 6 – 6 = 0 0 
7 – 6 = 1 1 8 – 6 = 2 4 
8 – 6 = 2 4 10 – 6 = 4 16 
Σ 10 Σ 40 
Variância região A: 
1111nnnn
))))xxxx(x(x(x(x
ssss
n
nn
n
1
11
1i
ii
i
2
22
2
i
ii
i
2
22
2
−
−
=
∑
=
 
25,210 plantas=
−
=
11115555
ssss 2222 
 
Variância região B: 
1111nnnn
))))xxxx(x(x(x(x
ssss
n
nn
n
1
11
1i
ii
i
2
22
2
i
ii
i
2
22
2
−
−
=
∑
=
 
21040 plantas=
−
=
11115555
ssss 2222 
 
 
2. Desvio Padrão: de todas as medidas de dispersão esta é a mais utilizada, e é definida como a raiz 
quadrada da variância. Ela exprime o resultado na mesma medida da variável em estudo, ao contrário da 
variância. Por esse motivo é mais utilizada, permite uma interpretação universal do resultado. 
 
Modelo para o cálculo do desvio padrão: 2222
n
nn
n
1
11
1i
ii
i
2
22
2
i
ii
i
ssss1111nnnn
))))xxxx(x(x(x(x
ssss =
−
−
=
∑
=
 
 
Para o nosso exemplo do número de uma espécie de plantas por região temos os seguintes desvios 
padrão por região: 
 
Desvio padrão região A: 
1111nnnn
))))xxxx(x(x(x(x
ssss
n
nn
n
1
11
1i
ii
i
2
22
2
i
ii
i
−
−
=
∑
=
 
plantas58,110 =
−
=
11115555
ssss 
 
Desvio padrão região B: 
1111nnnn
))))xxxx(x(x(x(x
ssss
n
nn
n
1
11
1i
ii
i
2
22
2
i
ii
i
−
−
=
∑
=
 
plantas16,340 =
−
=
11115555
ssss 
 
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Estes resultados indicam que em torno do número médio da espécie de planta existente na região A a 
variabilidade de plantas é de 1,58 plantas; já em torno da média da região B é de 3,16plantas. A região B 
tem maior dispersão de número de plantas, é o dobro da dispersão encontrada na região A. 
 
Esses resultados são expressos na forma de um intervalo de valores em torno da média, pois a dispersão 
pelo desvio padrão indicará quantos elementos estão abaixo e acima da média encontrada. Assim, 
 
Região A: =± sx 6±1,58 Em torno da média 6plantas, o número de plantas da região A pode 
 variar de 4,42plantas (6-1,58) a 7,58plantas (6+1,58), para 68% dascontagens. 
 
Região B: =± sx 6±3,16 Em torno da média 6plantas, o número de plantas da região B pode 
variar de 2,84plantas (6-3,16) a 9,16plantas (6+3,16) ), para 68% 
das contagens. 
 
 
3. Coeficiente de Variação: indica a proporção do desvio padrão em relação à média, expresso em 
percentagem. Pode ser usada para comparar a dispersão de dois conjuntos de dados, sem que eles 
estejam necessariamente na mesma unidade de medida. 
 
Modelo para o cálculo do: 100×=
x
sCV 
 
 
Para o nosso exemplo do número de uma espécie de plantas por região, a dispersão do número de 
plantas em torno da média por região, em termos percentuais é de: 
 
Região A: %33,26100
6
58,1100 =×=×=
A
A
A
x
sCV 
 
 
Região B: %67,52100
6
16,3100 =×=×=
B
B
B
x
sCV 
 
Percentualmente, confirma-se que a dispersão da espécie de plantas na região B é o dobro da dispersão 
da região A. Portanto, a região A possui uma distribuição mais homogênea do número dessa espécie do 
que a região B. A ocorrência da espécie nessas regiões não é igual, como levaria a acreditar o valor 
apenas da média calculada. 
 
 
Em relação à variância e o desvio padrão, o coeficiente de variação tem a vantagem de possibilitar 
comparar a dispersão de dados que estejam em unidades de medida diferentes, por exemplo: 
a) comparar altura (em cm) e peso (em g); 
b) comparar valor monetário (em R$) e peso (em Kg); 
c) comparar volume (em cm3) e quantidade (em unidades). 
 
Observação: tratamos a comparação entre médias e medidas de variabilidade de modo bem simples. 
Porém, estatisticamente, é preciso fazer testes mais apurados para comparar e detectar as diferenças, o 
que é feito por meio dos testes de hipóteses de médias (que serão vistos no capítulo de probabilidade), e 
teste de variância por ANOVA. 
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Gráficos especiais para avaliar a variabilidade de um conjunto de dados: 
 
1. Box-plot ou Desenho Esquemático 
 
Este é um gráfico mais elaborado do que o dot-plot, usando algumas medidas obtidas dos dados, a saber: 
mediana, 1°quartil, 3°quartil, valor máximo e valor mínimo. Colocamos sobre a reta essas cinco 
medidas e traçamos um retângulo com extremos em Q1 e Q3, marcondo dentro dele o lugar 
correspondente à mediana. Em seguida marcamos sobre a reta dos valores (Q1 – 1,5(Q3-Q1)) e 
(Q1 + 1,5 (Q3-Q1)). Os valores dos dados que estiverem acima ou abaixo desses dois valores calculados 
serão considerados como valores extremos (outliers). 
 
 
 
 
 
 
 
O Box plot pode ser desenhado em palno horizontal ou vertical. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de uso do Box plot: 
 
Sobrevivência em dias da Coytiera pertusa 
 
8888N =
Nível de maturação das folhas de Theobroma cacao
4321
So
br
e
vi
vê
n
ci
a
 
e
m
 
di
a
s 
da
 
Co
yt
ie
ra
 
pe
rtu
sa
100
80
60
40
20
0
11
 
 
Fonte: Terra e Sousa, 2004. Sobrevivência de Coytiera pertusa e de Percolapsis ornata segundo a ontogênese das folhas de 
cacau (Theobroma cacao) e de ingá (Inga ebulis) usadas na alimentação em cativeiro. 
 
 
2. Dot-plot: representa na reta todos os dados de um conjunto, com as repetições necessárias. 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
 
AKAMINE, Carlos e YAMAMOTO, Roberto. Estatística descritiva. São Paulo: Érica, 1998. 
 
BOTTER, Denise et alli. Noções de Estatística. São Paulo:EDUSP, 1996. 
 
BUNCHAFT, Guenia. Estatística sem mistério. Petropólis, RJ: Vozes, 1998. 
 
FRANCISCO, Valter de. Estatística. São Paulo: Atlas, 1982. 
 
PEREIRA, Wilson e TANAKA, Oswaldo. Estatística. São Paulo: Mc-Graw Hill do Brasil, 1990. 
 
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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE PROBABILIDADE 
 
 
 
PROBABILIDADE É o estudo dos fenômenos aleatórios que, a princípio, define a 
possibilidade de ocorrência de um evento. 
 
 
PROVA, OBSERVAÇÃO 
OU EXPERIMENTO É todo fenômeno ou ação que geralmente pode ser repetido, cujo resultado 
é casual ou aleatório, por exemplo: o lançamento de um dado. Se 
estabelecermos todos os possíveis resultados de um experimento teremos 
um espaço amostral. 
 
 
ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto universo denotado por (Ω), (U) ou (S), ou seja, é o conjunto 
de todos os resultados possíveis de acontecer em uma observação. 
Ex.: O espaço amostral do lançamento de um dado é (U)={1,2,3,4,5,6} 
 
 
EVENTO: É cada subconjunto do espaço amostral (U). É representado por letras 
arábicas maiúsculas:A, B, C... Pode ser classificado como: 
 
•evento simples: formado por um único elemento do espaço amostral. 
•evento composto: formado por mais de um elemento do espaço amostral. 
•evento certo: ocorre em qualquer realização do experimento aleatório. 
•evento impossível: não ocorre em qualquer realização do experimento 
aleatório. 
•eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos ou incompatíveis: quando 
dois eventos a e b não puderem ocorrer simultaneamente, i. e., a interseção 
entre a e b é um conjunto vazio. 
•eventos dependentes: a ocorrência de um evento depende da ocorrência 
previa de um outro evento b. 
•eventos independentes: quando eles não exercem ações reciprocas, ou 
seja, o acontecimento de um não interfere no acontecimento do(s) outro(s). 
•evento complementar: é constituído pela parte do espaço amostral que 
não contém o evento desejado. 
•eventos condicionados: há vínculos entre eles, ou seja, a ocorrência de 
um dos eventos é afetada pelo fato de um outro ter ou não acontecido. 
 
DEFINIÇAO DE PROBABILIDADE: Dado um experimento aleatório (E) e (S) o espaço amostral, 
probabilidade de um evento (A) denotada como P(A), é uma função definida em S que associa a cada 
evento um numero real, satisfazendo os seguintes axiomas: 
 
 
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1. Para todo o evento A, a probabilidade de sua ocorrência será sempre um valor compreendido 
entre 0 e 1: 0<P(A)<1 . Significa que o resultado do cálculo de uma probabilidade não pode 
ser negativo, e pode ser escrito de modo percentual como de 0% a 100% de ocorrer. 
 
2. P(A) = 0 (quando for um evento impossível de acontecer) 
 
3. P(A) = 1 (quando for um evento certo de ocorrer) 
 
4. Se Ā é o evento complementar de A, então, 
 
P(Ā) = 1 - P(A) e P(A) + P(Ā) = 1 
 
5. P(S) = 1 (todo o espaço amostral tem soma igual a 1). Ex.: no lance de uma moeda o espaço 
amostral S= {Cara;Coroa}, como a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é de ½, então: 
 P(S)= P(Cara) + P(Coroa) = ½ + ½ = 1. 
 
6. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos ( A∩B = Ø ), então, P( A U B) = P(A) + P(B) 
 
Representando pelo diagrama de Venn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Se A e B forem eventos nãomutuamente exclusivos, então, P( A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 
 
Representando pelo diagrama de Venn: 
 
 
 
8. Se A e B são independentes P(A∩B) = P(A) * P(B) 
 
9.Probabilidade condicional: P(AB) = )(
)(
BP
BAP ∩
 
 
S 
A B 
A∩B 
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NOÇÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Exemplo: considere três pares de cromossomos homólogos com seus centrômeros identificados por 
A/a, B/b e C/c. Quantos tipos diferentes de produtos meióticos este indivíduo pode produzir? 
 
Cada cromossomo representa os estados da natureza: N 
Cada centrômero representa as ações possíveis: n 
 
Como o crescimento é multiplicativo geométrico, temos Nn 
 
Pela restrição da diferença de produtos (os produtos meióticos devem ser diferentes) N=2 
 
Então: Nn = 23 = 8 combinações diferentes possíveis. 
 
Ilustrando-se pela árvore de probabilidade temos: 
 
A 
B C ABC 
c Abc 
b C AbC 
c Abc 
 
a 
B C aBC 
c aBc 
b C abC 
c abc 
 
Observe que a árvore de probabilidade lembra o heredograma. 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
Em nossas aulas introdutórias, vimos que os resultados de uma característica, que se tem o 
interesse em pesquisar, podem ser classificados segundo duas categorias: qualitativa e 
quantitativamente. Vimos também que, como essa característica de interesse fornece resultados variados 
de elemento para elemento do conjunto pesquisado, ela é denominada de variável. E esboçamos o 
seguinte esquema de classificação e exemplificação: 
� Variável Qualitativa: ordinal e nominal; 
 
� Variável Quantitativa: discreta e contínua. 
 
 
Estamos interessados, em nossos estudos de Estatística, em medidas quantitativas. 
Das noções de probabilidade, vimos o que é experimento, evento, espaço amostral, 
possibilidades e probabilidade. Realizamos alguns cálculos simples através das quais associamos um 
número real a todo elemento do espaço amostral. Através destas noções básicas poderemos, agora, 
iniciar o estudo sobre variável aleatória. 
 
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Definição 1: variável aleatória (v.a.) é uma função numérica X, que associa a cada elemento do espaço 
amostral (ω ∈ Ω) um número real X(ω). 
Exemplo 1- No lance de uma moeda temos: 
Ω = {Cara, Coroa} 
X(ω) sejam os valores: 0 se for cara, e 1 se for coroa 
Então, o domínio de X(ω)= {Cara, Coroa} e o contradomínio {0,1}, ou seja, X(ω)=xi ⇒ xi=0,1. 
 
O termo aleatório indica que a cada possível valor da variável atribui-se uma probabilidade de 
ocorrência, por isso também é chamada de variável estocástica. Podemos nos referir à v.a. também 
como uma função aleatória ou função estocástica. 
Denota-se uma variável aleatória por uma letra latina maiúscula, como X, Y, Z, W,... . O mais 
usual é a utilização da letra X. 
Através da definição 1 trabalharemos o conceito de variável aprendido nas noções de estatística, 
reelaborando o conceito de variável quantitativa discreta e contínua à luz dessa definição. 
 
Variável aleatória discreta (v.a.d.) 
 
Definição 2: uma v.a.d. real X, em um espaço de probabilidade (Ω, A, P), é uma função real X(ω) cujo 
domínio é Ω e cujo contradomínio é um subconjunto finito ou infinito enumerável {x1, x2, x3,...} dos 
números reais ℝ , tal que {ω:X(ω) = xi} é um evento para todo i. Diz-se que os eventos da v.a.d. são 
unitários νX= { xi , i=1,2,3,...}. 
 
Variável aleatória contínua (v.a.c.) 
 
Definição 3: uma v.a.c. real X, em um espaço de probabilidade (Ω, A, P), é uma função real X(ω), ω ∈ 
Ω, tal que {ωX(ω) ≤ x} é um evento para -∞<x<∞. 
 
Em outras palavras, uma v.a.c. é aquela que toma um número infinito (não-enumerável) de valores. O 
contradomínio de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos. 
 
Funções da variável aleatória discreta 
Seja X uma v.a.d. com x1, x2, x3,..., seus diferentes (possíveis) valores. 
 
 
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Definição 4: a função que atribui a cada valor (x1, x2, x3,...) da v.a.d. sua probabilidade é denominada de 
função de probabilidade (f.p.). É denotada por: 
P(X= xi ) = p (xi ), i = 1,2,3,… 
ou P(X= xi ) = f (x) 
Como é uma função, p(⋅), deve satisfazer às seguintes propriedades: 
i) 0≤ p(xi ) ≤1, para todo xi 
ii) ( ) 1=∑
x
ixp 
 
Definição 5: a soma das probabilidades dos valores xi menores ou iguais a x, em um ponto x, é a função 
acumulada de probabilidades ou função de distribuição acumulada (f.d.a. ou f.d.). É denotada por: 
 
 
Em fenômenos da realidade algumas v.a.’s são muito notórias, sendo explicadas através de seus 
modelos de distribuição. 
Diante disso, as distribuições de probabilidade são úteis para investigação, pesquisa e observação 
de problemas com variáveis aleatórias discretas ou contínuas, facilitando a análise e interpretação dos 
dados para conclusão por dedução. Ou seja, servem para explicar fenômenos aleatórios de observação 
clínica, econômica, biológica, etc., através de modelo matemático probabilístico. 
Muitos são os modelos que descrevem o comportamento das variáveis aleatórias discretas, entre 
eles: 
• Binomial 
• Poisson 
 
Também são muitos os modelos que descrevem o comportamento das variáveis aleatórias 
contínuas, o principal é a distribuição Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )∑
≤
=
≤=
xx
iX
X
i
xpxF
xXPxF
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Distribuição binomial 
 
É constituída pelo número de vezes que ocorre determinado evento, quando a probabilidade desse 
evento for constante em cada prova. 
 
É adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados:Sucesso/Insucesso ou seja, 
 Ocorre/Não ocorre o evento em 
estudo. 
 
∗ Baseia-se nas seguintes hipóteses: 
H1 n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas 
H2 cada prova admite dois resultados: ocorre ou não ocorre o evento 
H3 a probabilidade de ocorrer o evento em cada prova é p e a de não ocorrer é 1-p=q. 
 
∗ Fundamenta-se nas possibilidades dadas pela função de Bernoulli: 
 
X=1 (ocorrência) = P(x1) = p 
 
X=0 (não ocorrência) = P(x2)= 1 – p = q 
 
∗ O somatório de todas as probabilidades da observação é igual a 1, ou seja, [p + (1-p)] = 1. 
 
∗ O nome binomial é devido ao fato de o grau da variável está relacionado ao desenvolvimento do 
binômio de Newton: (q+p)n. 
 
∗ O número de possibilidades favoráveis ao evento é: )!(!
!
xnx
nC xn
−
= 
 
A fórmula para a distribuição binomial é: xnx qp
xnx
n
xXP −⋅⋅
−
== )!(!
!)( 
 
Onde, P(X=x)= probabilidade de ocorrer o evento desejadox = número de provas 
 n = número de vezes que ocorre o evento 
 p = ocorrência do evento (em proporção ou freqüência relativa) 
 q = não ocorrência do evento (q = 1-p) 
 
 
∗ Parâmetros da Distribuição Binomial: 
 
Média µ = n · p 
Variância σ2= n · p · q 
Desvio padrão qpn ××=σ 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de distribuição binomial: 
 
Os tipos de sangue M-N dos seres humanos estão sob o controle genético de um par de alelos 
codominantes. Numa família com seis filhos, onde ambos os pais são do tipo MN, qual é a 
probabilidade de encontrarmos três crianças do tipo M? considere que a ocorrência do tipo M é ¼. 
 
Temos os seguintes fatos: 
 
n = 6 filhos 
 
x = 3 filhos 
 
p = ¼ = 0,25 ou 25% , que é a ocorrência do tipo M 
 
(1-p) = 1- 0,25 = 0,75 , que é a não ocorrência do tipo M. 
 
 
Substituindo esses valores no modelo da distribuição binomial: 
 
xnx qp
xnx
n
xXP −⋅⋅
−
== )!(!
!)( 
 
1318,04219,00156,002)75,0()25,0()!36(!3
!6)3( 363 =××=⋅⋅
−
==
−XP 
 
A probabilidade de em uma família com seis filhos, onde ambos os pais possuem sangue do tipo MN, 
encontrarmos três crianças do tipo M é de 13,18%. 
 
 
 
Distribuição de Poisson 
 
∗ Idealizada pelo matemático francês Simeon Poisson. 
 
∗ É um caso particular da distribuição de probabilidades, já que calcula apenas o número de 
ocorrências do evento e não calcula as não ocorrências. 
 
∗ Utilizada para descrever as possibilidades de determinado número de ocorrências em determinado 
intervalo, espaço ou campo contínuo (tempo, comprimento, área, volume, peso, etc). 
 
Ex.: Chegada de pacientes ao PS/minuto 
 Acidentes/dia 
 Microrganismos/cm3 de água 
 
Ou seja, trabalha com a variável discreta inserida em um espaço contínuo (tempo, área, volume). 
 
Baseia-se nas seguintes hipóteses: 
H1 o experimento é constituído de eventos independentes 
H2 só há um resultado possível: ocorrência do evento 
H3 a probabilidade de ocorrer o evento é constante em todo o intervalo (espaço contínuo em estudo) 
H4 a probabilidade de mais de uma ocorrência em um mesmo ponto é zero. 
 
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∗ A fórmula da distribuição de Poisson é dada por: )(
!
)()( t
x
e
x
t
xXP λλλλλλλλ −⋅== 
 Onde, 
 P(X=x)= probabilidade de ocorrer o evento desejado 
 λ = taxa média de ocorrências dos eventos por unidade de medida 
 (letra grega “lambda”) 
 t = espaço de medidas ou número de intervalos 
 x = número de ocorrências 
 e = base dos logaritmos neperianos (é um número infinito, e=2,71828...) 
 
 
∗ Parâmetros da Distribuição de Poisson: 
Média µ = λ 
Variância σ² = λ 
Desvio padrão λσ = 
 
 
Exemplo de distribuição de Poisson: 
 
Suponha que apenas um em cada mil indivíduos, em uma população, seja albino. Se uma amostra de 
100 indivíduos é retirada ao acaso desta população, qual é a probabilidade de se encontrar dois 
indivíduos albinos? 
 
Temos os seguintes fatos: 
 
t = 100 indivíduos 
 
x = 2 albinos 
 
λ = um em cada mil indivíduos = 1/1000 = 0,001 
 
Substituindo esses valores no modelo da distribuição de Poisson: 
 
)(
!
)()( t
x
e
x
t
xXP λλλλλλλλ −⋅== = 0045,0
2
)01,0)(9048,0(
!2
)100001,0()2( )100001,0(
2
==⋅
×
==
×−eXP 
 
A probabilidade de se encontrar dois indivíduos albinos nessa população, é 0,45% isto é, é menor do 
que 1% de chance. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distribuições contínuas: São as distribuições utilizadas para as variáveis aleatórias 
contínuas. 
 
Uma observação importante é que não se pode associar uma probabilidade pontual a cada valor da 
variável contínua, pois ao se aplicar a fórmula matemática de probabilidade: 
 
)(
)()(
Un
AnAP = como n(U) = ∞ ⇒ 0)()( =
∞
=
AnAP 
 
Assim a distribuição de probabilidade das variáveis contínuas são dadas para intervalos de valores da 
variável: P(a≤ X≤b). 
A principal dentre os vários tipos de distribuição contínua e a mais utilizada é a Distribuição Normal. 
 
 
Distribuição Normal: O estudo da variável contínua na distribuição normal é feita com o auxílio da 
curva normal padrão (denominada de curva de Gauss ou do Sino), através da Variável Aleatória 
Padronizada (VAP), denominada de Z cujos valores são lidos em uma tabela. 
 
A variável aleatória X tem distribuição normal com média µ e variância σ2 , representada por: 
X~N(µ ; σ2). Para a variável transformada Z representamos Z~N(0;1) sendo, 
 
σσσσ
µµµµ−
=
xZ 
 
∗ O modelo matemático da Distribuição Normal é: 
 
σσσσ
µµµµ
σσσσ
µµµµ −
≤≤
−
=≤≤=≤≤ 212121 )()(
x
Z
x
zZzPxXxP 
 
Onde, 
 x = valor da média da variável observada 
 µ= valor da média populacional 
 σ= valor do desvio padrão populacional 
 
Os resultados obtidos (área de z1 e de z2)são lidos na tabela normal padrão (em anexo). 
 
Como a área associada a um ponto é igual a zero, para o cálculo de probabilidades sob uma curva 
normal torna-se indiferente o uso dos sinais < ou ≤ bem como > ou ≥. 
 
A distribuição normal é a mais importante para os estudos da estatística, pois é através dela que se 
baseia toda a conclusão estatística por meio da Inferência, fazendo a ligação entre a Estatística 
Descritiva e a Probabilidade, dando sustentação ao caráter afirmativo de confiança nos estudos e testes 
realizados. 
 
Para o estudo da variável aleatória X com distribuição normal valem as seguintes propriedades: 
a) A curva é simétrica, centrada na média; 
b) A distância de µ aos pontos onde a curvatura da distribuição muda de sentido é igual a σ ; 
c) A moda e a mediana de X são iguais à média; 
d) A área sob a curva Normal e acima do eixo horizontal é igual a 1; 
e) É assintótica em relação ao eixo das abscissas. 
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Exemplo de distribuição Normal: em um estudo com a mosca das frutas, observou-se que o tempo 
decorrido entre a ovoposição e a emergência do adulto, na sequência ovo-larva-pulpa-adulto, é de 
273horas em média, com desvio padrão de 20horas (Nascimento, 1992). Qual é a probabilidade de 
ocorrer um tempo entre a ovoposição e a emergência, entre 260 e 280horas? 
 
Pelo desenho da curva, a ocorrência deseja representa a seguinte área hachurada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 260h 273h 280h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
no modelo de cálculo temos: 
3790,0)280260(
1368,02422,0)280260(
35,065,0)280260(
20
273280
20
273260)280260(
)()( 212121
=≤≤
+=≤≤
+≤≤−=≤≤
−≤≤−=≤≤
−
≤≤
−
=≤≤=≤≤
XP
XP
ZXPZXP
xZxzZzPxXxP
σ
µ
σ
µ
 
Logo, a probabilidade de ocorrer ovoposição emergência adulto em 
período de tempo entre 260-280horas é de 37,90%. 
Esses valores (-0,65 e +0,35) serão lidos na tabela da distribuição 
normal da p.71. Como a curva é simétrica (lado esquerdo e direito 
ao eixo da média são iguais) os valores são lidos como módulo, 
não se considera o sinal. Observe pela tabela que o valor para -
0,65 é 0,2422 e para +0,35 é 0,1368. Deixei marcado com um 
retângulo para facilitar sua compreensão. Como a área desejada 
está em torno da média, a operação feita é de soma desses dois 
valores encontrados para z1 e z2. 
Pelo enunciado do exemplo, sabemos 
que: 
 
a média é µ=273 
o desvio padrão é σ=20 
limite inferior do intervalo é z1=260 
limite superior do intervalo é z2=280 
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Tabela para leitura dos valores da distribuição Normal (x=z) 
 
 
 
 
 
 
 
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TESTES DE HIPÓTESES 
 
CONCEITO É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese com base nas 
diferenças observadas entre os valores alegados e aqueles fornecidos pelas 
estatísticas amostrais. 
 Hipótese estatística é uma suposição quanto ao valor de um parâmetro 
populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de 
uma variável populacional. 
 
UTILIDADE Fazer Inferência Estatística com o maior nível possível de confiança e 
representação, partindo de algum referencial (amostras). 
 
APLICAÇÃO Investigação, pesquisa e observação de problemas, especialmente para 
avaliação de situações múltiplas. Exemplos: 
a) testar as afirmativas feitas por fabricantes sobre % de defeitos de um 
lote de medicamentos; 
b) verificar se o teor de oxigênio DBO em amostras de um rio está dentro 
do limite tolerável estabelecido por órgão de controle ambiental. 
 
PRESSUPOSTO Variáveis normalmente distribuídas. 
ADOTADOS 
 
 
CONCEITUAÇÕES: Nível de significância: define a probabilidade de o teste aceitar 
IMPORTANTES uma hipótese falsa. É representado por α=0,05 α=0,01 α=0,1 que são os 
valores mais usados. Equivale à região crítica onde rejeita-se a hipótese 
principal. 
 
 Nível de confiança: define o intervalo em que deve cair o parâmetro 
amostral para que se possa considerar verdadeira a hipótese formulada. É 
representado por 1-α=0,9 (90%) 1-α=0,95 (95%) 1-α=0,99 (99%), 
sendo estes os valores mais usados, limitados pelos respectivos valores de 
z. Equivale à região de aceitação onde aceita-se a hipótese principal. 
 
 Hipótese nula ou principal (Ho): é a que afirma uma dada propriedade 
ou característica sobre a população. Vem sempre acompanhada do sinal =. 
 Hipótese alternativa (H¹): é a que se opõe ou nega a hipótese principal. 
Vem acompanhada de um dos sinais: ≠ > ou <. 
 Teste Bilateral: utiliza toda a área da curva normal (as duas caudas para 
os valores críticos), considerando os níveis: 90% 95% e 99%. 
 Teste Unilateral: utiliza uma parte da curva (à esquerda ou à direita para 
os valores críticos ), considerando os níveis de 40% 45% e 49%. 
Erro Tipo I ou alfa: é o erro de se aceitar H0, quando a H1 é verdadeira. 
Erro tipo II ou beta: é o erro de se rejeitar H0, sendo ela a hipótese 
verdadeira verdadeira. 
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• As hipóteses definidas da forma: H0: θ = x1 versus Ha: θ = x2 
 sem conter desigualdades, são denominadas hipóteses simples . 
 
• As hipóteses definidas da forma: H0: θ = θ0 
 H1: θ ≠ θ0 H1: θ > θ0 ou H1: θ < θ0 
são denominadas de hipóteses compostas, sendo as mais comumente utilizadas, definindo-se se o teste é 
uni ou bilateral, de acordo com o interesse do estudo. Por conveniência técnica, a hipótese nula sempre 
fica com o sinal de igualdade. 
 
• Uma parte importante do teste de hipóteses é controlar a probabilidade de cometer os erros 
associados: 
α = P(erro tipo I)= P(rejeitar H0|H0 verdadeira) 
 β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0| H0 falsa) 
 
A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades estão próximas de zero. Entretanto, à medida 
que diminui o erro alfa, a probabilidade de beta aumenta. Portanto, deve-se construir as hipóteses de 
maneira que o erro mais importante seja evitado, que é o erro tipo alfa. 
 
 
 
• De modo geral, como o erro beta depende do valor de µ, é conveniente obter uma função que ajude a 
caracterizar o desempenho do teste: Função de Poder do Teste, dada por: 
)(1)( µβµ −=g 
Para um mesmo nível de significância α, quanto maior o poder melhor o teste. 
 
Como não se pode diminuir os dois erros simultaneamente, uma alternativa é aumentar o tamanho da 
amostra, pois quanto maior for n, melhor é a precisão do estimador utilizado e maior é o poder do teste. 
 
A função β é também chamada Curva Característica de Operação CCO, que são gráficos que indicam 
as probabilidades de erros do tipo II, sob várias hipóteses. Elas proporcionam indicações de como testes 
bem aplicados podem possibilitar a redução ao mínimo de erros do tipo I e II, i.é., indicam o poder do 
teste, para evitar que sejam tomadas decisões erradas. São úteis no planejamento de experiências, por 
mostrarem, por exemplo, que tamanhos de amostras devem ser usados. 
 
 
• Os testes de hipóteses para a média apresentados pressupõem variância conhecida. Se a variância for 
desconhecida, deve-se utilizar a estatística t-Student, valendo-se do estimador da variância 
populacional, que é a variância amostral s2. 
 
 
• Se a variável de interesse, além de ter variância desconhecida, não tiver densidade Normal, é 
necessário utilizar técnicas não-paramétricas para a realização do teste da média. 
 
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Testes de Hipóteses Utilizando o Nível Descritivo: 
Ao realizarmos um teste de hipóteses, partimos de um dado valor de alfa pré-fixado, para 
construir a regra de decisão. Uma alternativa é deixar a cargo de quem vai utilizar as conclusões do teste 
a escolha do valor para a probabilidade alfa, que não precisará ser fixada a priori. 
A idéia consiste em calcular, supondo que a hipótese nula seja verdadeira, a probabilidade de se 
obter estimativas mais desfavoráveis ou extremas (à luz da H1) do que a que está sendo fornecida pela 
amostra. 
Esta probabilidade será o nível descritivo, denotado por α∗ (ou p-valor). Valores pequenos de 
α∗ indicam que a hipótese nula é falsa pois, sendo a amostra a ferramenta de inferência sobre a 
população, ela fornece uma estimativa que teria probabilidade muito pequena de acontecer, se H0 fosse 
verdadeira. O conceito do que é pequeno fica a cargo do usuário, que assim decide qual alfa utilizar para 
comparar com o valor α∗ obtido. 
 
Observações importantes: 
• Para comparaçãode médias de mais do que duas populações, o método utilizado é o teste ANOVA 
(Análise de Variância). 
• Para a comparação de várias variâncias deve-se utilizar o teste de Cochran (para amostras de mesmo 
tamanho), e o teste de Bartlett ( para amostras de tamanhos diferentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TESTES DE HIPÓTESES (Clássico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teste Bilateral: 
 
 
 
 
 
 
 H0 : θ = θ = θ = θ = x (Hipótese Nula) 
 -z + z 
H1 : θθθθ≠≠≠≠ x (Hipótese Alternativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste Unilateral à Esquerda: 
 
 H0 : θ = θ = θ = θ = x (Hipótese Nula) 
 
 
 
 -z H1 : θ < θ < θ < θ < x (Hipótese Alternativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste Unilateral à Direita: 
 
 
H0 : θ = θ = θ = θ = x (Hipótese Nula) 
 H1 : θ > θ > θ > θ > x (Hipótese Alternativa) 
 z 
 
 
 
 
 
Valores Críticos de ±±±±z: 
 
Para α = 10%α = 10%α = 10%α = 10% α = 5%α = 5%α = 5%α = 5% α = 1%α = 1%α = 1%α = 1% 
 
 
Teste 
Bilateral 1,64 1,96 2,58 
 
 
 
Teste 
Unilateral 1,28 1,64 2,33 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região de 
Rejeição 
α/2α/2α/2α/2 
Região de 
Rejeição 
α/2 
Região de 
Aceitação 
para Ho 
1 - αααα 
Região de 
Rejeição 
α 
Região de 
Aceitação 
para Ho 
1 - αααα 
Região de 
Rejeição 
α Região de 
Aceitação 
para Ho 
1 - αααα 
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Distribuição t-Student: é utilizada para amostras com número de elementos menor do que 30, que têm 
a variável aleatória contínua X com uma distribuição normal. O estudo de X é feito através da variável 
t, chamada de variável estudentizada representada como t≈N(0;1) com valores também lidos em tabela. 
Os valores de t dependem do número de elementos da amostra em estudo, por isso a dependência dos 
graus de liberdade. 
 
 
O modelo de cálculo da Distribuição t é: 
 
nnnn
ssss
μμμμxxxxtttt −= 
 
Onde, 
 x = valor da média da variável observada 
 µ = valor da média populacional 
 s = valor do desvio padrão amostral 
 n = tamanho da amostra 
 
 
A leituras dos valores da área de t levam em consideração o nível de confiança (probabilidade) e o grau 
de liberdade (n-1). Também tem seus valores lidos em tabela (ver p.78). 
 
 
A distribuição T-Student tem a curva semelhante à curva Normal, todavia é mais achatada e com 
probabilidades mais densas nas caudas, conforme mostra a figura 5.3 a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de teste de hipóteses: estudos anteriores mostravam que a alcalinidade média do rio Caí era 
de 19,6mg de CaCo3/L (Vargas, 1992). Entretanto, estudo recente com 16 observações, a média de 
CaCo3/L encontrada foi de 16,2mg e desvio padrão de 7,7mg. Esse novo valor estará indicando que a 
alcalinidade no rio se modificou? ou será que a diferença de 3,4mg é devida a um erro aleatório? 
 
Como o que se deseja é apenas verificar se a alcalinidade se modificou, e não se é menor que 19,6mg, o 
teste é bilateral. 
 
Adotaremos nível de significância (ou seja, admitiremos erro máximo nesse teste de hipótese em relação 
ao verdadeiro valor da concentração de CaCo3/L no rio Caí) de α/2=5%/2=2,5%. Isso quer dizer que 
vamos comparar o valor de t-calculado com o valor de t-tabelado sob os seguintes critérios: 
 
α/2=5%/2=2,5%=0,025 para n-1graus de libredade = 16-1 = 15 na tabela t será o valor = 2,131 
(observe o valor marcado com um retângulo na tabela da p.78). 
 
O desenho da curva e escrita das hipóteses do teste bilateral é: 
 
 
 Teste Bilateral: 
 H0 : µx=19,90mg/L (Hipótese Nula) 
 
 
 
 
 
 
H1 : µx≠19,90mg/L (Hipótese Alternativa) 
 
 
 
 
 
 
-t=-2,131 +t=+2,131 
 
Se o valor de t-calculado estiver dentro de uma das áreas de α/2=0,025, rejeitamos a hipótese de que o 
valor da alcalinidade é de 19,9mg/L. Então vamos ao cálculo: 
 
pelo enunciado do exemplo sabemos que: 
 
a média da hipótese principal ou nula é µx=19,60 
 
a média da amostra em teste é µx=16,2 
 
o desvio padrão é conhecido por meio da amostra, portanto é s e não σ, s=7,7 
 
e o tamanho da amostra é n=16. Substituindo esses valores no modelo de cálculo: 
 
 
766,1
925,1
4,3
4
7,7
4,32,6
−=
−
=
−
=
−
=
−
=
16161616
7,77,77,77,7
19,619,619,619,61111
nnnn
ssss
μμμμxxxxtttt 
 
Então, como (t-calculado = -1,766) é maior que (t-tabelado = -2,131), isto é, pertence à área de aceitação 
da hipótese nula, podemos dizer que estatisticamente ao nível de confiança de 95% a alcalinidade do rio 
Caí não se modificou. 
 
 
Região de 
Rejeição 
α/2α/2α/2α/2=0,025=0,025=0,025=0,025 
Região de 
Rejeição 
α/2=0,025 
Região de 
Aceitação 
para Ho 
1 - αααα 
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Teste qui-quadrado (χ2): a distribuição qui-quadrado é contínua e assimétrica, assumindo apenas 
valores positivos. Assim como a distribuição normal e a distribuição t, a qui-quadrado também é 
tabelada (ver tabela na p.81).O valor depende do tamanho da amostra, portanto dos graus de liberdade. 
 
Como o teste qui quadrado é feito com dados representados por uma, tabela o graus de liberdade (g.l.) 
vai considerar o número de de linhas (r) e o número de colunas (c), do seguinte modo: 
g.l. = (r-1) x (c-1) 
 
 
O modelo de cálculo do teste é: 
i
ii
k
i e
eoQ
2
1
2 )( −
=∑
=
 
Onde, 
 Σ = somatório 
 oi = freqüência observada na i-ésima casela da tabela 
ei = freqüência esperada na i-ésima casela da tabela 
i = i-ésima casela, ou seja, casela 1, 2, 3,... de uma tabela. 
 
 
 A distribuição χ2 tem curva assimétrica, conforme gravura a seguir: 
 
 
 
 
Observe que os valores de χ2 serão todos positivos.O χ21-γ;ν é chamado de qui quadrado inferior; 
 
O χ2γ;ν é chamado de qui quadrado superior. 
 
 
 
 
 
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Exemplo do teste qui quadrado: em uma universidade foi apurada o número de estudantes dos cursos 
da área de ciências humanas e de ciências exatas. Uma amostra de 170 estudantes apontou os seguintes 
resultados, segundo o sexo: 
 Ciências 
humanas 
Ciências 
exatas Total 
Masculino 48 52 100 
Feminino 45 25 70 
Total 93 77 170 
 
Será que o sexo influência a escolha da área de estudo? 
 Para responder esta pergunta, primeiro precisamos transformas as freqüências absolutas (observadas) da 
tabela em freqüências percentuais (esperadas). 
 Ciências 
humanas 
Ciências 
exatas 
Masculino 55 45 
Feminino 38 32 
A pergunta agora é a proporção do sexo masculino (piM) é igual à de mulheres (piF) nas áreas de estudo? 
Vamos adotar um nível de significância de 5%. Os grau de liberdade para 2linhas e 2colunas será: 
(2-1)x(2-1)=1. Então 1 g.l. e α=0,05, o valor de χ2-tabelado = 3,841. 
 
O desenho da curva e a construção das hipóteses é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3,841 
 
O qui quadrado calculado é: 
 
79,4
32
)3225(
38
)3845(
45
)4552(
55
)5548()( 22222
1
2
=
−
+
−
+
−
+
−
=
−
=∑
= i
ii
k
i e
eoQ . 
 
Como (χ2-calculado = 4,79) é maior que ( χ2-tabelado = 3,841), ou seja, está na área de rejeição da 
hipótese nula, pode-se dizer que estatisticamente ao nível de confiança de 95% do teste há influência do 
sexo na escolha da área de estudo. 
Área de 
aceitação 
para H0 
Área de 
rejeição 
α=0,05 
H0 : piM = piF (as proporções são iguais nas áreas de estudo) 
 
H1 : piM ≠ piF (as proporções são diferentes nas áreas de estudo) 
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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 
 
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CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística. Porto Alegre: Artmed, 2003. 
FRANCISCO, Walter de. Estatística. São Paulo, Atlas, 1982, pg.71-121. 
GRIFFITHS, A. J. F. et al. Introdução à genética. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2006. 
HOEL, P. G.; PORT, S. C.; STONE, C.J. Introdução à teoria da probabilidade. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1978. 
LINDGREN, B. W. Introdução à estatística. São Paulo: Ao livro Técnico, 1972. 
MENDENHALL, W. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Campus, 1985. 
MEYER, P. Probabilidade – aplicações à estatística. Rio de Janeiro: 2.ª ed. Livros Técnicos e 
Científicos Editora, 1984. 
MILONE, G.; ANGELINI, F. Estatística Geral. São Paulo: Ed. Atlas, 1993. 
MIRSHAWKA, V. Estatística. São Paulo: Nobel, 1972. 
SPIEGEL, M.R. Probabilidade e Estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978. 
STANSFIELD, W.D. Genética. São Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1985. 
TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1994.