Conceito de Limites em Matemática

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LIMITES
1. Conceito
Em limites, de um modo não rigoroso, mas intuitivo, estamos interessado em responder a seguinte pergunta: ”na medida em que x se aproxima cada vez mais de a (
), as imagens correspondentes f(x) da função ficam cada vez mais próxima de algum número L? Se a resposta for afirmativa dizemos que o limite de f(x), para x tendendo a, é igual a L e, escrevemos 
.
O objetivo do limite é examinar o comportamento de uma função nas proximidades (vizinhanças) de um ponto pertence ou não ao domínio da mesma. Nesse estudo encontraremos diversos “comportamentos” possíveis para as funções. Na pergunta acima o ponto crucial é a expressão “ficar mais próxima” que não permite uma conceituação matemática precisa. Para fugir dela emprega-se definição abaixo. E nós dela (da definição)! 
DEFINIÇÃO - Formalmente limite é definido do seguinte modo: Seja f(x) uma função definida nas vizinhanças de a e L um valor do seu contradomínio. Então dizer que
“
 significa que, para todo 
 existe um 
, tal que, para todo x do conjunto 
 (vizinhança de a), tem-se 
 (vizinhança de L).
 A definição anterior está dizendo que f(x) pode tornar-se arbitrariamente próxima de L, escolhendo-se x suficientemente próximo de a, pois 
 pode tornar-se arbitrariamente pequeno.
Propriedades 
P1) Se f(x) possuir limite em a, então esse valor é único.
P2) O limite de uma constante é a própria constante.
CÁCULO DE LIMITE - Na prática, em geral, usamos a seguinte regra: 
 (“parte” da definição de função contínua), exceto quando aparecem as formas indeterminadas 
 (que exigem técnicas especiais) ou quando não existe o limite.
 f(a)
 a
 
Exercício 1 - Calcular os limites:
 (resposta: 
).
 (resposta: 
). 
2. LIMITES LATERAIS – Estudam o comportamento da função em cada lado do ponto (direito e esquerdo). Considere o gráfico da função 
 
.
podemos notar que para valores próximos de zero pelo seu lado esquerdo, a função assume sempre o valor –1, já pelo lado direito, assume sempre o valor +1.
Isto ocorre por a função é descontínua no ponto x =0.
�
Expressamos este comportamento em termos de limites da seguinte maneira:
 
 denominado de limite lateral à esquerda 
 
 denominado de limite lateral à direita. 
Como o valor do limite deve ser único (propriedade anterior) implica na não existência desse limite: 
 no ponto x=0. Observe que o gráfico da função tem uma ruptura (salto). Vamos dizer que a função tem limite no ponto, quando os limites laterais forem iguais.
Propriedade da existência do limite
 
.
Nos demais casos, a função não tem limite no ponto. 
NOTAS: Definições formais de limites laterais:
 1)
 2)
 
Observações:
O limite de uma função pode existir sem que ela esteja definida no ponto.
 
 (resolução: 
).
(O gráfico dessa função é uma reta com um “furo” em 
).
Uma outra forma de não existência do limite, além do caso ter limites laterais diferentes, aparece quando não é possível de modo algum calcular o seu valor:
 
 . 
(Use uma calculadora gráfica para fazer o gráfico dessa função).
Quando o limite existe é igual ao valor da função no ponto dizemos que função é contínua nesse ponto: 
.
) FORMA INDETERMINADA: 
- A resolução dos limites que apresentam essa forma dependente do tipo da função 
. Vejamos alguns casos:
a) No caso de 
ser um quociente de polinômios produzindo 
. Fatorar os polinômios, em seguida simplificar o fator comum: 
 . Isto é dividir o numerador e o denominador por 
, onde 
 é a tendência do limite. 
b) No caso de 
ser um quociente de expressões envolvendo pelo menos um radical do tipo: 
, produzindo 
. Devemos multiplicar e dividir a expressão de 
pela forma “conjugada”: 
 , seguida de uma simplificação.
 A fórmula de fatoração vista no colégio são extremamente úteis nos cálculos de limites nas formas indeterminadas:
IMPORTANTE: Só é possível fazer simplificações quando o numerador e denominador da função quociente estiver na forma fatorada. 
Pode ocorrer que num limite seja necessário aplicar uma combinação de técnicas estudadas. 
Exercícios:
2 - Calcular 
 (
).
Dispositivo prático Briot-Ruffini:
+ →
 →
 ↓
↓
↓
3
2
 -5
 0
-9
X↑ ←
2
 1
 3
0
 ←
←
←
←
3 - Calcular 
 
(
).
4 - Calcular os limites laterais. Existe o limite da função no ponto considerado?
Resolução: a) 
b) 
Não, pois os limites laterais são diferentes.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Calcular os limites:
 ( resolução : 
 )
 ( resolução: 
)
Calcular 
Resolução: 
Briott-Ruffini
3 (+→)
1 →
-5↓
2↓
12↓
(X ←)
1
-2
-4
0
3 (+→)
1
-5↓
6↓
(x ←
1
-2
0
 
logo: 
 válida para 
Portanto: 
Calcular 
 
Resolução:
 
 Portanto 
4) Calcular
Resolução: Para expressões com raiz cúbica empregamos as identidades 
.
Logo 
.
5) Calcular 
Resolução: 
. Pondo 
e substituindo no limite:
.
6) Calcular: : 
.
Resolução: : 
.
7) Calcular 
 sabendo que 
.
Resolução:
8) Considere a função escada assim definida:
 onde N é o maior inteiro contido em 
.
Ache o conjunto imagem de 
.
Calcule os limites laterais: 
sendo 
um inteiro.
Resolução:
 e 
9)Calcular: 
Resolução: 
��EMBED Equation.3
1
0
-1
Essa função não é contínua em x=0. Nesse ponto ela tem uma ruptura.
�EMBED Equation.3���
_1265528692.unknown
_1265528708.unknown
_1265528716.unknown
_1265528720.unknown
_1265528722.unknown
_1265528723.unknown
_1265528721.unknown
_1265528718.unknown
_1265528719.unknown
_1265528717.unknown
_1265528712.unknown
_1265528714.unknown
_1265528715.unknown
_1265528713.unknown
_1265528710.unknown
_1265528711.unknown
_1265528709.unknown
_1265528700.unknown
_1265528704.unknown
_1265528706.unknown
_1265528707.unknown
_1265528705.unknown
_1265528702.unknown
_1265528703.unknown
_1265528701.unknown
_1265528696.unknown
_1265528698.unknown
_1265528699.unknown
_1265528697.unknown
_1265528694.unknown
_1265528695.unknown
_1265528693.unknown
_1265528676.unknown
_1265528684.unknown
_1265528688.unknown
_1265528690.unknown
_1265528691.unknown
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_1265528686.unknown
_1265528687.unknown
_1265528685.unknown
_1265528680.unknown
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_1265528679.unknown
_1265528677.unknown
_1265528660.unknown
_1265528668.unknown
_1265528672.unknown
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_1265528673.unknown
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_1265528666.unknown
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_1265528653.unknown
_1265528644.unknown
_1265528648.unknown
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_1265528646.unknown
_1265528647.unknown
_1265528645.unknown
_1265528639.unknown
_1265528641.unknown
_1265528642.unknown
_1265528640.unknown
_1265528637.unknown
_1265528638.unknown
_1265528635.unknown
_1265528636.unknown
_1265528633.unknown
_1265528634.unknown
_1265528500.unknown