Função de Probabilidade

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Variáveis Aleatórias
Uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de uma experiência. 
Uma variável aleatória discreta pode assumir tanto um número finito de valores ou uma sequência infinita de valores.
Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou um conjunto de intervalos.
‹nº›
x = 1 se animal de outro dono;
= 2 se cão próprio somente;
= 3, se gato próprio somente;
= 4, se cão e gato próprio;
Questão
Variável Aleatória x
Tipo
Tamanho da
família 
x = Número de dependentes 
Encontrados na declaração IR
Discreta
Distância da 
casa até a UFMS
x = Distância em Km de
casa para a UFMS
Contínua
Próprio Cão 
Ou Gato
Discreta
‹nº›
Distribuição Discreta de Probabilidade 
A distribuição de probabilidade para uma variável aleatória descreve como as probabilidades são distribuídos ao longo dos valores da variável aleatória.
Podemos descrever uma distribuição de probabilidade discreta com uma tabela de gráfico, ou equação.
‹nº›
 Un. Vend. N˚ de Dias
	0	 80
 	1	 50
 	2	 40
 	3	 10
 	4	 20
		 200
	 
 x	 f(x)
 0	 0,40
 1	 0,25
 2	 0,20
 3	 0,05
 4	 0,10
 1,00
80/200
Distribuição Discreta de Probabilidade
	Usando dados históricos sobre as vendas de TV, uma representação tabular da distribuição de probabilidade para vendas de televisores foi desenvolvido.
‹nº›
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3 4
Valores aleatórios da Variável x (TV vendidas)
Probabilidade
Representação Gráfica da distribuição da Probabilidade Discreta.
‹nº›
Distribuição Discreta de Probabilidade
f(x) > 0
f(x) = 1
A distribuição de probabilidade é definida por uma função de probabilidade, denotada por f (x), que fornece a probabilidade para cada valor da variável aleatória.
As condições necessárias para uma função de probabilidade discreta são:
‹nº›
Distribuição Discreta Uniforme de Probabilidade
f(x) = 1/n
onde:
	n = número de valores que a variável 
aleatória pode assumir.
	 
Os valores da variável aleatória são igualmente prováveis
  A distribuição de probabilidade discreta uniforme é o exemplo mais simples de uma distribuição de probabilidade discreta dada por uma fórmula. A função de probabilidade discreta uniforme é;
‹nº›
Valor Esperado e Variância
Var(x) =  2 = (x - )2f(x)
E(x) =  = xf(x)
O valor esperado, ou média, de uma variável aleatória é uma medida da sua localização central.
A variância resume a variabilidade no valores de uma variável aleatória.
O Desvio Padrão, , é definido como a raiz quadrada positiva da variância.
‹nº›
Média amostral
 A média amostral é um estimador da média populacional tendo duas características principais:
É um estimados não viciado ( assume valores próximos a média populacional). 
E consistente ( a medida que a amostra aumenta a média amostral assume valores mais próximos a média populacional).
Valor Esperado e Variância
Número de TVs vendida em um dia.
 x	 f(x)	 xf(x)
 0	 0,40	 0,0
 1	 0,25	 0,25
 2	 0,20	 0,40
 3	 0,05	 0,15
 4	 0,10	 0,40
	 E(x) = 1,20
‹nº›
Variância e Desvio Padrão 
0
1
2
3
4
-1,2
-0,2
 0,8
 1,8
 2,8
1,44
0,04
0,64
3,24
7,84
0,40
0,25
0,20
0,05
0,10
0,576
0,010
0,128
0,162
0,784
x - 
(x - )2
f(x)
(x - )2f(x)
Variância de vendas diárias = s 2 = 1,66
x
Desvio Padrão das vendas diárias = 1,29 TVs
‹nº›
	De acordo com uma pesquisa do Data Journal, 70% das pessoas que trabalham em escritório utilizam PCs da IBM. Se dois indivíduos que trabalham em escritórios são selecionados, encontre a distribuição de probabilidade da variável X – número de usuários dos PCs da IBM. Calcule a média e o desvio padrão dessa variável.
Exercício 1
Distribuição Binomial
Propriedades de um experimento Binomial
experimento consiste em n ensaios idênticos.
dois resultados, sucesso e fracasso, são possíveis em cada tentativa. 
a probabilidade de um sucesso, denotado por p, não muda de julgamento a julgamento.
os ensaios são independentes.
‹nº›
Distribuição Binomial
 Nosso interesse são os números de sucessos em n ensaios.
E x denota o número de sucessos ocorrendo nos ensaios n.
‹nº›
 onde:
 f(x) = probabilidade de x sucessos em n ensaios
 n = numero de ensaios
 p = probabbilidade de sucesso em algum ensaio
Distribuição Binomial
Função de probabilidade Binomial
‹nº›
Função de probabilidade binomial
Probabilidade de uma 
  sequência de resultados dos 
ensaios com x sucessos em 
n tentativas
Número de experimental de
  resultados fornecem 
exatamente x sucessos em 
n tentativas
‹nº›
Exercício 2
Evans está preocupado com uma taxa de retenção baixa para os funcionários. Nos últimos anos, a gestão tem visto um volume de negócios de 10% dos funcionários pagos por hora anualmente. Assim, para qualquer empregado pagos por hora escolhidos de forma aleatória, a Administração estima uma probabilidade de 0,1 de que a pessoa não estará com a empresa no próximo ano. Qual é a probabilidade de que escolhendo 3 funcionários pagos por hora de forma aleatória um deles deixe a empresa este ano? 
‹nº›
Distribuição Binomial
E(x) =  = np
Var(x) =  2 = np(1 - p)
Valor Esperado
Variância
Desvio Padrão
‹nº›
Distribuição Binomial
 = 0,52
E(x) =  = 3(0,1) = 0,3 empegrados fora de 3
Var(x) =  2 = 3(0,1)(0,9) = 0,27
Valor esperado
Variância
Desvio Padrão
‹nº›