Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo


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se o processo não apresentar integrador, o controlador é a única alternativa para que 
a função de transferência de malha aberta apresente integrador. 
 
Para generalizar, considere define-se: 
 
 86
G1MA(s) = GMA(s) / sNI 
 
onde NI é o número de integradores em GMA(s). A malha fechada submetida a perturbação 
de set-point 
 
R(s)= 1 / SNR 
 
onde NR é o número de integradores em R(s) (degrau: NR=1), tem erro de rastreamento 
dado por: 
 
))(())(()(1
)(
1
1)( 111 sGs
s
sGss
s
sGs
ssR
G
sE
MA
NI
NRNI
MA
NINI
NR
MA
NI
NR
MA +
=+=+=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
+=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
 
 
Conclui-se que, para eliminar off-set, NI > NR 
 
 
Exemplo 7.3 
 
Com base no diagrama de blocos do controle de nível dos separadores apresentado na 
Figura 7.2, reproduzida abaixo, determine as funções de transferência entre a referencia r e 
o nível h e entre a vazão de entrada Lin e o nível h. 
 
 
Figura 7.3: Diagrama de Blocos de Vaso Horizontal 
 
As funções de controle servo e regulatório são, respectivamente 
 
GpGvGc
GpGvGc
sr
sh
\u22c5\u22c5+
\u22c5\u22c5=
1)(
)( 
 
e 
 87
GpGvGc
Gp
sL
sh
in \u22c5\u22c5+
=
1)(
)( 
 
 
Exemplo 7.4 
 
Para a malha feedback do Exemplo 5.5, deseja-se calcular o off-set para perturbação de 
carga: 
s
sL 1)( = . Da função de transferência doe controle regulatório obtém-se: 
sKsss
sC
C
1
88126
8
23 \u22c5++++=)( 
 
e, aplicando-se o teorema do valor final: 
 
CC
s KK
ssYty +=+==\u221e= \u2192 1
1
88
8
0
)(lim)( 
 
Conclui-se que KC elevado leva a 0)( \u2192ty mas que este é diferente de zero. Convém 
mencionar que a elevação de KC terá o efeito paralelo de ampliar ruídos de medição além 
de apresentar um valor limite de estabilidade. 
 88
 
8 RESPOSTA FREQÜENCIAL DE CONTROLADORES 
 
Para uma função de transferência G(s), a função G(wi) é obtida substituindo-se s por wi e 
racionalizando para obter: 
 
G(wi) = Re(G(wi)) + Im(G(wi)) i 
 
Define-se então: 
 
22 ))(Im())(Re()( wiGwiGiGRA +== \u3c9 (8.1) 
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=\u2220=
))(Re(
))(Im(tan)(
wiG
wiGaiG \u3c9\u3c6 (8.2) 
 
a) Controlador Proporcional 
 
CC KsG =)( 
00
222
===
=+=
)/K(a)/(a\u3c6
KRA
c
C
tanReImtan
ImRe 
 
 
b) Controlador PI 
 
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b +=
s
KsG
I
CC \u3c4
11)( 
( )
( ) \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b +=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b +=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b += 2
21111)(
w
wwiK
wi
wi
wi
wiK
wi
wiK
wi
KwiG
I
II
C
I
I
I
I
C
I
I
C
I
CC \u3c4
\u3c4\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4 
 { } CKwiG =)(Re 
 
{ }
w
KwiG
I
C
\u3c4
\u2212=)(Im 
 
22
11
I
CKRA \u3c4\u3c9+= (8.3) 
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b\u2212= \u2212 \u3c9\u3c4\u3c6 I
1tan 1 (8.4) 
 
 
Exemplo 9.1 
 89
 
Construir o diagrama de Bodé da resposta freqüêncial de controladores PI: 
 
Kc=1; ti=1; 
Gc=tf(Kc*[ti 1],[ti 0]) 
[mag,phase,w] = bode(Gc); 
 
for i=1:length(w) 
 RA(i)=mag(1,1,i); 
 phi(i)=phase(1,1,i); 
end 
 
subplot(2,1,1),loglog(w,RA), grid on, xlabel('W(rad/min)'), ylabel('RA'), 
hold on 
subplot(2,1,2),semilogx(w,phi), grid on, xlabel('W(rad/min)'), 
ylabel('Phi'), hold on 
 
Kc=10; ti=2; 
Gc=tf(Kc*[ti 1],[ti 0]) 
[mag,phase,w] = bode(Gc); 
for i=1:length(w) 
 RA(i)=mag(1,1,i); 
 phi(i)=phase(1,1,i); 
end 
subplot(2,1,1),loglog(w,RA,'r') 
subplot(2,1,2),semilogx(w,phi,'r') 
 
 
Figura 9.1: Diagrama de Bodé de Controladores PI 
 
 
Para KC = 2, \u3c4 I =10 tem-se o diagrama da Figura 9.2 : 
 
 
 90
 
Figura 9.2: Diagrama de Bode de Controlador PI: KC = 2, \u3c4 i =10 
 
Pela análise de assíntotas (indicadas pelas curvas tracejadas), tem-se: 
I
quebra \u3c4\u3c9
1= , e a 
inclinação )0( \u2192\u3c9 é \u20131 
 
 
c) Controlador PD 
 
Seguindo procedimento análogo ao PI: 
 ( )sKsG DCC \u3c4+= 1)( (9.5) 
 
122 += DCKRA \u3c4\u3c9 (9.6) 
 ( )D\u3c9\u3c4\u3c6 1\u2212= tan (9.7) 
 
Note que a
D
quebra \u3c4\u3c9
1= e a assíntota de alta freqüência )( \u221e\u2192\u3c9 têm inclinação +1 
 
d) Controlador PID Ideal 
 
 
 91
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b ++= s
s
KsG D
I
CC \u3c4\u3c4
11)( (9.8) 
 
11
2
+\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212=
I
DCKAR \u3c9\u3c4\u3c9\u3c4 (9.9) 
 
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212= \u2212
I
D \u3c9\u3c4\u3c9\u3c4\u3c6
11tan (9.10) 
 
Para este controlador, a assíntota de alta freqüência tem inclinação +1 enquanto que a 
assíntota de baixa freqüência a inclinação é -1. 
 
8.1 Projeto de Controladores no Domínio da Freqüência 
 
A vantagem do projeto no domínio da freqüência é ser aplicável para ordens superiores, 
inclusive não-polinomiais (como tempo morto). O procedimento consiste em obter, para 
controlador puramente proporcional, o valor de KC que promove oscilação de amplitude 
sustentada, KC,LIM. Aplica-se, para identificar o KC;LIM e a freqüência de oscilação, wC o 
Critério de Estabilidade de Bode: 
 
Critério de estabilidade de Bodé: um sistema em malha fechada é instável se a resposta 
freqüencial da função de transferência da malha aberta GMA(s)= MPVC GGGG apresentar 
RA maior que 1 na freqüência crítica wC. Caso contrário, a malha fechada é estável. 
 
O critério de Estabilidade de Bode só é aplicável a sistemas estáveis em malha aberta e que 
apresentem uma única freqüência crítica. 
 
Exemplo 8.1 
 
Dado o processo representado pela função de transferência 
 
3)15.0(
2)( += ssGp 
 
com 
 
10,1.0 == MV GG , 
 
para controlador puramente proporcional, analise a estabilidade para 3 valores de KC: 1, 4 e 
20. 
 
GMA(s)= MPVC GGGG 
 
 92
3)15.0(
2
)( += s
K
sG CMA 
 
den=conv(conv([0.5 1],[0.5 1]),[0.5 1]) 
Gp=tf(2,den); 
Gc1 = tf(1); 
Gc2 = tf(4); 
Gc3 = tf(20); 
GMA1 = Gc1*Gp; 
GMA2 = Gc2*Gp; 
GMA3 = Gc3*Gp; 
bode(GMA1,'b', GMA2,'m', GMA3, 'g') 
 
Figura 8.1: Diagrama de Bode para 3 Ganhos de Controlador P 
 
Observa-se na Figura 9.3 que o ganho do controlador não altera a freqüência crítica, 
movendo apenas a curava de RA para cima a medida que aumenta. 
 
Pelo critério de Bode está na curva magenta (KC = 4). A Tabela 8.1 apresenta a análise de 
estabilidade obtida. 
 
Tabela 8.1: Análise de Estabilidade \u2013 Exemplo 8.1 
Kc RAMA ESTÁVEL? 
1 0.25 Sim 
4 1.0 Condicionalmente estável 
20 5.0 Não 
 
Com o limite de estabilidade e a freqüência crítica, a sintonia Ziegler Nichols apresentada 
no Capítulo 6 pode ser empregada. 
 93
 
Exemplo 8.2 
 
Determine a estabilidade em malha fechada do sistema 
15
4 2
+=
\u2212
s
esG
s
p )( 
 
para CCMV KGGG === e 25.0,0.2 . Qual o limite de estabilidade para o KC ? Considere 
as constantes de tempo em minutos. 
 
Tem-se que: 
 
CMVPMA RARARARARA = (9.11) 
 
CMVPMA \u3c6\u3c6\u3c6\u3c6\u3c6 +++= (9.12) 
 
Substituindo-se as expressões de RA e \u444 de cada elemento da malha nas Equações (9.11) e 
(9.12) obtém-se: 
 
( ) 15
25024
2 +
=
w
)K.)()((RA CMA (9.13) 
 
wwaMA 25 \u2212\u2212= )tan(\u3c6 (9.14) 
 
A freqüência crítica é obtida a partir de (9.13), pelo Critério de Bode 
 
%Obter wc igualando a Equação 9.12 a pi (180o.) 
phi=inline('pi-2*w-atan(5*w)','w'); 
wc=fzero(phi,1) 
 
%Obter Kc substituindo wc na Equação 9.13, 
%igualada a 1 (RA crítico) 
Kc=sqrt((5*wc)^2+1)/2 
 
wc = 
 0.8953 
 
Kc = 
 2.2934 
 
Logo, a malha é estável para valores de KC < 2,2934 rad/min. No valor limite de KC, a 
malha apresenta oscilação sustentada com período dado pela Equação 9.15. 
 
C
CP \u3c9
\u3c02\u2261 (9.15) 
 
 
 94
8.2 Margem de Ganho e Margem de Fase 
 
A margem de ganho (MG) e margem de fase (MF) são medidas da proximidade de um 
sistema em relação ao seu limite de estabilidade. 
 
Seja CMAC RARA \u3c9\u3c9 =\u2261 em . A margem de ganho é definida como 
 
CRA
MG 1\u2261 
 
Segundo o critério de estabilidade de Bodé, \u21d4> 1MG estabilidade. Os controladores 
são