Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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\u2212==\u394
\u394= \u3bb 
 
22112112
2112
21
12
22112112
1
2
21 1 KKKK
KK
K
KKKK
u
ya y \u2212=\u21d2
\u2212==\u394
\u394= \u3bb 
e 
 
21122211
2211
22
11
21122211
2
2
22 1 KKKK
KK
K
KKKK
u
ya y \u2212=\u21d2
\u2212==\u394
\u394= \u3bb 
 
 
 
 
Os ganhos relativos, arranjados em forma matricial fornecem a MATRIZ DE GANHOS 
RELATIVOS (RGA, Relative Gain Array). 
 
 
\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1=\u39b
2221
1211
\u3bb\u3bb
\u3bb\u3bb
 (13.10) 
 
 
Na RGA, observa-se que: 
 
\u2022 a soma dos termos de cada linha é 1 
 
\u2022 a soma dos termos de cada coluna é 1 
 
Estas conclusões obtidas para um sistema 2x2 são gerais para qualquer sistema nxn: 
 126
1
1
1
1
=
=
\u2211
\u2211
=
=
n
i
ij
n
j
ij
\u3bb
\u3bb
 (13.11) 
 
Generalizando-se a definição para um sistema nxn: 
 
jk
jk
yj
i
uj
i
ij
u
y
u
y
\u2260
\u2260
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
=
\u2202
\u2202
\u2202
\u2202
\u3bb (13.12) 
 
Note-se, pela definição, que: 
 
perfeito) (controle FECHADAS
 malhas demais as todascom j, manipulada na variaçoesa i controlada da Ganho
ABERTAS malhas demais as todascom j, manipulada na variaçoesa i controlada da Ganho=ij\u3bb
 
Desta forma, \u3bbij é uma medida de interação entre as malhas de controle em uma 
determinada configuração. 
 
13.2 Efeito Retaliatório em Sistemas Multivariáveis 
 
Para o sistema 2x2 representado na Figura 13.2. 
 
Figura 13.2: Sistema Multivariável 2X2 
 
O efeito retaliatório da malha 2 sobre a malha 1 está destacado na linha pontilhada da 
Figura 13.3, configurando um feedback escondido. 
 127
 
Figura 13.3: Feedback Escondido em Sistemas Multivariáveis: Caso 2x2 
 
Definindo-se: 
 
1,1
11,1
y controlada na malhas demais das riadretaliato influencia a
y controlada na u manpulada da direta influencia a
=\u394
=\u394
r
m
y
y
 
 
tem-se: 
 
*
1
,1
,1,1
,1
11 y
y
yy
y m
rm
m
\u394
\u394=\u394+\u394
\u394=\u3bb 
 
Para um sistema 2x2: 
 
\u3bb11=1 \u21d2 u1 não afeta y2 (não há ação de controle retaliatória por u2) 
 u1 afeta y2 mas a ação retaliatória de u2 não afeta y1. 
 
 LOGO, u1 É PERFEITA PARA CONTROLAR y1 
 
\u3bb11=0 \u21d2 u1 não afeta y1 
 LOGO u1 DEVE CONTROLAR y2 
 
0<\u3bb11<1 \u21d2 a direção do efeito de interação é a mesma da do efeito 
 principal. 
 
\u3bb11>0,5 \u21d2 o efeito principal (\u394y1,m) contribui mais do que o efeito da 
 interação 
 
\u3bb11<0,5 \u21d2 a contribuição da interação prevalesce 
 128
\u3bb11>1 \u21d2 
mrrmm
rm
m
yyyyy
yy
y
,1,1,1,1,1
,1,1
,1
11
 a oposto sinal tem)(
1
\u394\u394\u21d4\u394+\u394>\u394
\u21d2>\u394+\u394
\u394=\u3bb
 
\u3bb11<0 \u21d2 
0 
 0 
,1
,1,1
,1,1
,1
11
<\u394
\u394<\u394\u21d2<\u394+\u394
\u394=
m
rm
rm
m
y
yy
yy
y\u3bb
 
 
a direção em que u1 afeta y1 com a malha 2 aberta é oposta à 
 direção quando esta malha estiver fechada, com conseqüências 
 catastróficas. 
 
 
O cálculo da RGA exposto para um sistema 2x2 pode ser estendido para um sistema nxn: 
 
Seja K a matriz de ganhos estáticos do processo multivariável, define-se 
 
R=(K-1)T (com elementos (rij)) 
 
e 
 
\u3bbij=Kij rij 
 
 
Exemplo 13.2 
 
Dada a Matriz de Ganhos Estacionários de um Processo 4x4, calcula-se a RGA em 
ambiente MATLAB e seleciona-se o emparelhamento adequado: 
 
ExRGA.m 
 
K=[3 2 4 5.5 
 0.7 2 3 1 
 1 1 2 1 
 0 4 3 2.5] 
RGA = (inv(K))'.* K 
%Soma Linha 1: 
SL1 = sum(RGA(1,:)) 
%Soma Coluna 1: 
SC1 = sum(RGA(:,1)) 
 
Executando o código: 
 
>> ExRGA 
 
K = 
 3.0000 2.0000 4.0000 5.5000 
 0.7000 2.0000 3.0000 1.0000 
 129
 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 
 0 4.0000 3.0000 2.5000 
 
 
RGA = 
 -2.0000 -1.1810 1.5619 2.6190 
 -2.3333 -4.7619 7.1429 0.9524 
 5.3333 3.4381 -5.6762 -2.0952 
 0 3.5048 -2.0286 -0.4762 
 
SL1 = 
 1.0000 
 
SC1 = 
 1.0000 
 
Na linha 1 da matriz RGA, o elemento não-negativo mais próximo de 1 é 1,5619, 
correspondente à terceira coluna (terceira variável manipulada). Logo, y1 deve se 
controlada por u3. 
 
Para a variável controlada 2, verifica-se que o ganho relativo 0,9524 é o melhor, indicando 
o emparelhamento y2 com u4. 
 
Restam duas variáveis a emparelhar: y3 e y4. Como y4 não reage a u1 (primeira coluna da 
quarta linha é nula), e u3 e u4 já estão comprometidas com o controle de y1 e y2, 
respectivamente, y4 deverá ser emparelhado com u2. O último par é y3 \u2013 u1. 
 
Por último, SL1 e SL2 (somatório dos elementos da primeira linha, SL1, e somatório dos 
elementos da primeira coluna, SC1) foram calculados para confirmar a propriedade 
anunciada na Equação 13.11. 
 
13.3 Desacopladores 
 
Interações apresentadas por processos multivariáveis resultam em ação retaliatória de uma 
malha sobre a outra, configurando o \u201cfeedback escondido\u201d da Figura 13.3. Através de um 
emparelhamento bem planejado, a interação pode ser reduzida (com sorte eliminada). 
Porém, pode ser necessário adotar um esquema especial de controle para desacoplamento 
das malhas, visando reduzir as interações existentes. 
 
No desenvolvimento a seguir, para simplificar a análise, as válvulas e sensores são 
assumidos com função de transferência unitária (GMi = KI/PGVi =1). O diagrama de blocos 
apresentado na Figura 13.4 considera emparelhamento 1-1/2-2, com desacopladores (D21 e 
D12). 
 
 130
 
Figura 13.4: Desacopladores de Malhas para Sistema 2x2 
 
Os desacopladores são projetados considerando que uma malha é uma perturbação de carga 
para a outra (na malha 1, L=M2GP12), como controladores feedforward. 
 
 
13.3.1 Projeto dos Desacopladores 
 
O desacoplador D21 é projetado para cancelar C21 (i.e., interação M1-C2). Para R2 = 0, a 
imposição C2 = 0 (i.e., cancelar C21): 
 
21112
21211122
2222
2221
0
 e 0
00,0
MGMGC
MMMMM
MCR
PP +==
\u2234==\u21d2=
=\u21d2==
 
mas 
 
112121 MDM = 
logo 
\u21d2=+ 0)( 11212221 MDGG PP )(
)(
22
21
 
 
21 sG
sG
D
P
P\u2212= 
 
O desacoplador D12 é projetado para cancelar C12 (i.e., interação M2-C1). 
 
22121
12122211
1111
1211
0
 e 0
00,0
MGMGC
MMMMM
MCR
PP +==
\u2234==\u21d2=
=\u21d2==
 
mas 
221212 MDM = 
logo 
\u21d2=+ 0)( 2212 1211 MGDG PP )(
)(
11
12
 
 
12 sG
sG
D
P
P\u2212= 
 131
Desenhando o diagrama de blocos com as válvulas e sensores: 
 
Figura 13.5: Descacopladores para Sistema 2x2, com Válvulas 
 
Para situações em que os desacopladores obtidos são fisicamente não-realizáveis, 
aconselha-se o uso de desacopladores estáticos (obtidos fazendo s=0). 
 
Exemplo 13.3 
 
Dado 
 
\u23a5\u23a5
\u23a5\u23a5
\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2
\u23a2\u23a2
\u23a3
\u23a1
++
++= \u2212\u2212
\u2212\u2212
110
6
112
3
18
2
14
5
)( 33
45
s
e
s
e
s
e
s
e
sG ss
ss
P
 
 
 
)112(
)110(5,0
14
5
18
2
5
4
12 +
+\u2212=
+
+\u2212= \u2212
\u2212
s
s
s
e
s
e
D s
s
, unidade lead-lag 
 
( )
( ) ss
s
e
s
s
s
e
s
e
D
18
1425,0
110
6
112
3
3
3
12 +
+\u2212=
+
+\u2212= \u2212
\u2212
, Fisicamente não realizável! 
Uma aproximação razoável é utilizar ( )( )18
1425,012 +
+\u2212=
s
sD . 
 132
 
Algumas observações finais sobre desacopladores: 
 
\u2022 É possível utilizar desacopladores parciais (quando apenas uma das variáveis é de 
importância). 
 
\u2022 Para processos não-lineares, é possível adaptar os parâmetros dos desacopladores 
de acordo com o ponto operacional. 
 
\u2022 Os desacopladores sofrem a mesma crítica feita a controladores feedforward: são 
suscetíveis a erros de modelagem. 
 133
 
14 MODELAGEM DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 
 
Neste capítulo, são apresentados modelos de separadores bifásicos, trifásicos e 
hidrociclones. 
 
14.1 Separadores Bifasicos 
 
Considere o separador bifásico esquematizado na Figura 14.1.