Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo


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D = diâmetro (que corresponde a altura total do vaso) e VT = volume total do vaso. 
Considerando-se as variáveis desvios em relação a estados de referência, Vref = VT/2 e href = 
D/2: 
 
Vol = V - VT/2 (2.14) 
 
y = h \u2013 D/2 (2.15) 
 
a Equação 2.13 pode ser reescrita como 
 
yCDVol \u22c5= (2.16) 
 
Note-se que, neste caso, a derivada em relação ao tempo é 
 
dt
dyCD
dt
dVol \u22c5= (2.17) 
 
A Figura 2.7 mostra as diferenças resultantes da linearização. Vê-se que em torno da 
metade do vaso os erros são menores. 
 
Analogamente, a expansão em série de Taylor pode ser empregada para linearizar equações 
diferenciais ordinárias não-lineares: 
))(()( txf
dt
tdx = (2.18) 
Linearizando-se em torno do estado estacionário x resulta em 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]xtxtdx
txdfxf
dt
xtxd
dt
tdx \u2212\u2245\u2212= + )(
x
 (2.19) 
Assim, definindo a variável desvio como sendo 
xtxy \u2212= )( (2.20) 
Obtém-se 
 13
( ) ( )[ ]
( ) ( ) y(t) dt
d
x=tx
\u22c5\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1\u2245
tdx
txdfty (2.21) 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
11
0
V
h
D
\u239b\u239c\u239d
\u239e\u239f\u23a0
Vlinear
h
D
\u239b\u239c\u239d
\u239e\u239f\u23a0
10 h
D 
Figura 2.7: Não linearidade do nível em vasos horizontais 
 
No caso das funções com múltiplas variáveis dependentes, tem-se: 
( )
( )
( ) [ ] ( ) [ ] u
du
,vxdfty 
xd
x,vdf
dt
dyx ,v f
dt
dx 
, v, xxf
dt
dx
, v, xxf
dt
dx
vv
x=x
vv
x=x
\u22c5\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1
+\u22c5\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1
\u2248\u21d2=
\u23aa\u23aa\u23ad
\u23aa\u23aa\u23ac
\u23ab
=
=
==
212
2
211
1
 
 (2.22) 
onde vvu \u2212= e xxy \u2212= são representações vetoriais. 
Adota-se na continuidade do desenvolvimento, que o valor inicial corresponde ao estado 
estacionário. Ou seja, as análises partirão sempre do repouso e adotam-se as seguintes 
convenções: 
 x0 = valor inicial 
x = valor no estado estacionário 
 14
y = sinal de saída do sistema, variável desvio em relação ao estado estacionário. 
u = sinal de entrada do sistema, variável desvio em relação ao estado estacionário. 
 
Exemplo 2.3 
Utilizando-se as linearizações efetuadas para a válvula (Exemplo 2.1) e para o volume do 
vaso (Exemplo 2.2), propõe-se um modelo linear do vaso horizontal da Figura 2.5. Do 
Exemplo 2.2, tem-se que o balanço de massa linearizado é dado pela Equação (2.3). 
)()()( tLtL
dt
tdhCD outin \u2212= (2.23) 
Substituindo-se a expressão para Lout obtida no Exemplo 2.1, tem-se: 
))(()()( hthKLtL
dt
tdhCD outin \u2212\u2212\u2212= (2.24) 
Lembrando que no estado estacionário (zerando a variação temporal da equação do balanço 
de massa) outin LL = obtém-se: 
[ ] ))(()()( hthKLtL
dt
hthdCD inin \u2212\u2212\u2212=\u2212 (2.25) 
E, definindo-se as variáveis desvio ( ) ( ) hthty \u2212= e ( ) ( ) inin LtLtu \u2212= resulta 
)()()( tutKy
dt
tdyCD =+ (2.26) 
Dividindo-se por K e definindo-se 
hCvxDCTp \u3b3\u3c1 0690.
\u22c5\u22c5\u22c5= e 
Cvx
h
K p \u22c5=
\u3b3\u3c1 0690.
 (2.27) 
obtém-se: 
)()()( tuKty
dt
tdyT pp =+ (2.28) 
 
Exemplo 2.4 
Em uma variação do Exemplo 2.1, a linearização da equação da válvula considerando-se a 
abertura, x, como variável e não mais o nível, com expansão em série de Taylor tem-se: 
 
)( vvKLL voutout \u2212+= (2.29) 
 
onde 
 15
hCvvLout \u22c5\u22c5= \u3b3\u3c1 0693,0 e 20693,0
hCvvKv
\u22c5\u22c5= \u3b3\u3c1 (2.30) 
 
Adotando-se as variáveis desvio, outout LtLty \u2212= )()( e vtvtu \u2212= )()( , resulta em 
 
)()( tuKty v\u2212= (2.31) 
 
Exemplo 2.5. 
Com as linearizações efetuadas para a válvula (Exemplo 2.4) e para o volume do vaso 
(Exemplo 2.3) obtém-se um segundo modelo linear do vaso horizontal. Do Exemplo 2.2, 
tme-se que o balanço de massa torna-se igual a: 
outin LtLdt
tdhCD \u2212= )()( (2.32) 
Substituindo-se a expressão para Lout obtida no Exemplo 2.4 (Equação 2.30), tem-se: 
))(()()( vtvKLtL
dt
tdhCD voutin \u2212\u2212\u2212= (2.33) 
Lembrando que outin LL = , então 
[ ] ))(()()( xtvKLtL
dt
hthdCD vinin \u2212\u2212\u2212=\u2212 (2.34) 
Definindo-se as variáveis desvio ( ) ( ) inin LtLtu \u2212=1 e xtxtu \u2212= )()(2 resulta em 
)()()( 21 tuKtudt
tdyT vp \u2212= (2.35) 
onde 
CDTp = e 206930
hCvxKv
\u22c5\u22c5= \u3b3\u3c1 , (2.36) 
 16
 
3 RESOLUÇÃO DE EDOs LINEARES POR TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
A transformada de Laplace é utilizada para resolução de equações diferenciais ordinárias 
(EDO) lineares ou linearizadas. O sistema originalmente descrito no espaço t transforma-se 
em equações algébricas no espaço s, um número complexo. 
 
O método apresenta 3 etapas: 
 
1) Transformação da EDO (linear) em equação algébrica; 
2) Resolução da Equação Algébrica resultante em termos da variável independente s 
3) Aplicação da transformada inversa para obter a resolução da EDO. 
 
De forma esquemática, o procedimento é descrito na Figura 3.1. 
 
 
 
Figura 3.1: Transformada de Lapalce 
 
Por definição, para t>0: 
 
\u222b==
\u221e \u2212
0
dtetfsFtfL st)()())(( 
 
Existem diversas referências com Tabelas de Transformadas de Laplace, onde as 
transformações são obtidas diretamente. A Tabela 3.1 é um exemplo resumido. 
 
 
Exemplo 3.1 
 
)cos()( wttf = (3.1) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, obtém-se: 
\u222b==
\u221e \u2212
0
dtewtsFtfL st)cos()())(( (3.2) 
e, aplicando-se a Identidade de Euler, 
2
wtiwti eewt
\u2212+=)cos( , resulta em 
\u222b +=\u222b +=
\u221e +\u2212\u2212\u2212\u221e \u2212\u2212
00 2
1
2
1 dteedteeesF wtiswtisstwtiwti )()()( )()( (3.3) 
 
 17
ou 
 
2222
0
2
2
1
2
1
ws
s
ws
s
iws
e
iws
esF
wtiswtis
+=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
+=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
+\u2212\u2212\u2212=
\u221e+\u2212\u2212\u2212 )()(
)( (3.4) 
 
 
Tabela 3.1: Algumas Transformadas de Laplace 
 
 f(t) F(s) 
1 ( )t\u3b4 , Impulso unitário 1 
2 A , Degrau 
s
A 
3 rt , Rampa 
2s
r 
4 \u3c4/te\u2212 , Exponencial 
1
1
+s\u3c4 
5 ate 
as \u2212
1 
6 \u3c4/te\u2212\u22121 
)( 1
1
+ss \u3c4 
7 tn-1 
ns
n )!( 1\u2212 
8 
)!(
/
1
1 1
\u2212
\u2212\u2212
n
et tn
n
\u3c4
\u3c4 , (n>0) ( )ns 1
1
+\u3c4 
9 ( )tsen \u3c9 
22 s+\u3c9
\u3c9 
 
 
Exemplo 3.2 
 
1=)(tf (3.6) 
 
Pela definição da Transformada de Laplace, tem-se: 
ss
edtesF
t
t
st
st 11
00
==\u222b=
\u221e=
=
\u2212\u221e \u2212)()( (3.7) 
 
 
Exemplo 3.3 
 
Neste Exemplo, apresentam-se as Transformadas de derivadas: 
 
 18
a) Derivada de Primeira Ordem 
 
\u222b==
\u221e \u2212
0
dtetfsFtfL st)(')())('( (3.8) 
Definindo-se 
 
\u23a9\u23a8
\u23a7
==
\u2212== \u2212\u2212
)(');(
;
tfvtfv
dtsedueu stst
 (3.9) 
 
e lembrando que \u222b \u222b\u2212= vduuvudv : 
 
)()()()()( ssFfdtetfsetfsF stst +\u2212=\u222b+=
\u221e \u2212\u221e\u2212 0
00
 (3.10) 
 
b) Derivada de Segunda Ordem 
 
[ ]\u23aa\u23aa
\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23aa
\u23a8
\u23a7
\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 +\u2212=\u2212\u2212=
\u2212==
\u222b==
\u221e \u2212
)()()()()()()(
)()}({)}('{)(
)('')())(''(
0000
0
2
0
dt
dfsfsFs
dt
dffssFssF
dt
dftf
dt
dsLtf
dt
dLsF
dtetfsFtfL st
 (3.11) 
 
c) Derivada de Ordem n 
 
\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
++\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 +\u2212=
\u222b==
\u2212
\u2212
=
\u2212\u2212
\u221e \u2212
1
1
0
21
0
0 n
n
t
nnn
stn
dt
fd
dt
dfsfssFssF
dtetfsFtfL
...)()()(
)('')())((
 (3.12) 
 
Exemplo 3.4 
 
Para integrais, a Transformada de Laplace é: 
\u222b\u222b=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7\u222b
\u221e \u2212\u221e ' ')'()(
t
st dttfedttfL
000
 (3.13) 
 
Definindo-se: 
 
 19
\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
=\u222b=
\u2212==
\u2212
\u2212
)(;')'(
;
'
tfdvdttfv
s
edueu
t
st
st
0
 (3.14) 
 
tem-se: 
 
\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
+\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1\u222b=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7\u222b
\u222b\u2212\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1\u222b\u2212=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7\u222b
=
\u221e
\u221e \u2212\u221e\u2212\u221e
s
sFdttf
s
dttfL
dttf
s
edttf
s
edttfL
t
t
sttst
)(')'()(
)(')'()(
'
'
000
0000
1
 (3.15) 
 
Exemplo 3.5 
 
Considere 
 
0000022
2
===++ )('),()(,)()()( yyty
dt
tdy
dt
tyd (3.16)