Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo


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Aplicando-se a Transformada de Laplace a cada termo de uma EDO, obtém-se a Equação 
algébrica no domínio de Laplace 
 
\u23aa\u23aa
\u23aa\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7
=
\u2212=\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7
+\u2212=
\u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7
)()}({
)()()(
])()([)()(
sYtyL
yssF
dt
tdyL
dt
dysysFs
dt
tydL
0
0022
2
 (3.17) 
 
obtém-se 
 
01202 22 =++\u2234=++ )()()()()( sYsssYssYsYs (3.18) 
 
 
3.1 Transformada de Laplace de Funções Básicas 
 
Neste item, a transformada de Laplace de algumas funções úteis em controle de processos 
são apresentadas. 
 
a) Degrau 
 
 
f(t) 
t=0 
 20
 
 
 
\u23a9\u23a8
\u23a7
\u2264
>==
)(,
)(,
)()(
00
01
tt
tt
ktkutf (3.19) 
 
s
kdtekdtetuktuLktfL stst =\u222b=\u222b==
\u221e \u2212\u221e \u2212
00
1.)())}(({)}({ (3.20) 
 
b) Rampa 
 
\u23a9\u23a8
\u23a7
\u2264
>==
)(,
)(,
)()(
00
0
tt
ttkt
ktkutf (3.21) 
 
 
 
 
 
 
 
\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +\u2212=
\u222b==
\u221e
\u2212
\u221e \u2212
2
0
2
0
1
s
k
ss
tketfL
dttektuLktfL
st
st
)}({
))}(({)}({
 (3.22) 
 
 
c) Seno 
 
)()( wtsentf = (3.23) 
 
\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
+=\u222b +=
\u222b==
\u221e \u2212\u2212
\u221e \u2212
22
0
0
2
1
ws
wdteeesF
dtewtsensFtfL
stwtiwti
st
)()(
)()())((
 (3.24) 
 
d) Exponencial 
 
atetf \u2212=)( (3.25) 
)(
)())((
as
dteesFtfL stat +=\u222b==
\u221e \u2212\u2212 1
0
 (3.26) 
 
 
k 
f(t) 
t=0 
 21
3.2 Propriedades e Teoremas da Transformada de Laplace 
 
A Transformada de Laplace desfruta da propriedade de linearidade, ou seja: 
 { } )()()()( sbFsaFtbftafL 2111 +=+ (3.27) 
 
Alguns teoremas são de utilidade na análise dinâmica de processos: 
 
a) Teorema do deslocamento em t 
 
Aplica-se a atrasos de transporte: 
 
\u23a9\u23a8
\u23a7
<
\u2265\u2212=
0
00
0 tt
ttttf
tg
,
),(
)( (3.28) 
 
Ou, em gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()()}({ sFedtettfttfL stst 0
0
00
\u2212\u2212\u221e =\u222b \u2212=\u2212 (3.29) 
 
b) Teorema do deslocamento em s 
 
)()()()}({ )( asFdtetfedtetfetfeL tasatstatat \u2212=\u222b=\u222b= \u2212\u2212
\u221e\u2212\u221e
00
 (3.30) 
 
c) Teorema do Valor Final 
 
Este teorema permite calcular valor de estado estacionário no domínio de Laplace. 
 
)(lim)(lim ssFtf st 0\u2192\u221e\u2192 = (3.31) 
 
d) Teorema do Valor Inicial 
 
Analogamente, para calcular valor logo após a aplicação de uma perturbação, ainda no 
domínio de Laplace. 
 
)(lim)(lim ssFtf st \u221e\u2192\u2192 =0 (3.32) 
f(t)
t0 
g(t) 
 22
 
Exemplo 3.6 
 
Função Pulso 
 
 
 
 
 
 
 
)(,
,
,
,
)( áreahtk
ttt
tth
t
tf 0
0
0
0
0
00
=
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
>\u2264
\u2264\u2264=
<
= (3.33) 
 
)()()()}({ stst e
st
ke
s
h
s
htthuthutfL 01
0
0
\u2212\u2212 \u2212=\u2212=\u2212\u2212= (3.34) 
 
Observe-se que a Função Impulso é o limite do pulso quando t0 tende a zero: 
 
kst
st
ke
st
k
t
st
t ==\u2212 \u2192\u2212\u2192 0
0
0
0
0 0
0
0
1 lim)(lim (3.35) 
mas 
 
...
!!
+\u2212+\u2212=\u2212
32
1
33
0
22
0
0
0
ststste st (3.36) 
 
para k=1, tem-se 
 
\u23a9\u23a8
\u23a7
=
\u221e=\u21d2=
1
00
)}({ tL
ht
\u3b4 (3.37) 
 
3.3 Inversão de Transformadas de Laplace 
 
Para se obter a resolução da EDO, é preciso transformar o resultado da equação algébrica 
(em s) para t. Para tal, utiliza-se a EXPANSÃO HEAVISIDE ou EXPANSÃO EM 
FRAÇÕES PARCIAIS. 
 
Seja, F s Q s
P s
( ) ( )
( )
= , onde a ordem de Q(s) e P(s) são, respectivamente M e N (M\u2264 N), a 
inversão é feita em três etapas: 
 
1. Fatora-se P(s) em termos das suas raízes (polos de F(s)), e reescreve-se F(s) como: 
f(t) 
0 t0 
h 
 23
 
F s Q s
P s
A
s p
B
s p
W
s pN
( ) ( )
( ) ( ) ( )
...
( )
= = \u2212 + \u2212 + + \u22121 2 (3.38)
 
 
2. As constantes A, B ... W são calculadas: 
 
A s p F s s p
B s p F s s p
W s pN
F s s pN
= \u2192 \u2212
= \u2192 \u2212
= \u2192 \u2212
lim ( ( ).( ))
lim ( ( ).( ))
...
lim ( ( ).( ))
1 1
2 2
 (3.39)
 
 
3. Pelo uso da Tabela, encontrar a transformada inversa termo a termo. 
 
f t L A
s p
L B
s p
L W
s pN
( ) {
( )
} {
( )
} ... {
( )
}= \u2212 \u2212 +
\u2212
\u2212 + +
\u2212
\u2212
1
1
1
2
1
 (3.40)
 
 
Se pj = ...= pj+m-1 é um pólo com multiplicidade m, a expansão inclui termos da forma: 
 
( ) ( )mj
mj
j
j
j
j
ps
R
ps
R
ps
R
\u2212++\u2212+\u2212
\u2212++ 1
2
1 ... (3.41) 
 
Em resumo, a inversão recai em três possíveis situações de acordo com as raízes da 
Equação Característica P(s) = 0. 
 
Tabela 3.2: Inversão de Transformada de Laplace 
 
Raízes de Equação 
Característica 
Termo da Expansão em 
Frações Parciais 
Termo no Domínio do 
Tempo 
Raiz real não-repetida 
ps
A
\u2212 
ptAe 
Raízes complexas 
conjugadas ( ) 22 wps
CBs
+\u2212
+ )( \u3b8+wtsenDe pt 
22 CBD += 
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b=
C
Ba tan\u3b8 
Raízes Repetidas m vezes \u2211 \u2212=
m
j
j
j
ps
A
1 )(
 \u2211 \u2212=
\u2212
m
j
j
jpt
j
tA
e
1
1
1)!(
 
 
 
A Expansão em Frações Parciais pode ser feita no ambiente MATLAB, conforme 
detalhado no Exemplo 3.7. 
 24
 
Exemplo 3.7 
 
Deseja-se obter x(t) com expansão em Frações parciais para 
 
24 26s 9s s
)( 23 +++
+= sssX
2
 
 
% Coeficientes de P(s) e Q(s) em ordem decrescente de potências de s 
P = [1 9 26 24]; 
Q = [1 1]; 
[R,P,K] = residue(Q,P) 
 
A execução destes comandos fornece : 
 
R = 
 -1.5000 
 2.0000 
 -0.5000 
 
P = 
 -4.0000 
 -3.0000 
 -2.0000 
 
K = 
 [] 
 
 
Logo : 
 
( ) ( ) ( )2
50
3
02
4
51
+
\u2212++++
\u2212=
sss
sX ,,,)( 
 
e, pela entrada 5 da Tabela 3.1 : 
 
x(t) = -1,5e - 4t +2e -3t - 0,5e - 2t 
 25
 
 
4 REPRESENTAÇÃO \u201cENTRADA \u2013 SAÍDA\u201d: FUNÇÕES DE 
TRANSFERÊNCIA 
 
4.1 Funções de Transferência 
 
Existem diversas formas de representar um processo através de um modelo matemático. 
Uma forma muito utilizada é a representação de entrada e saída. Em geral é possível 
descrever um sistema linear como: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + \u2265\u2212 \u2212 \u2212 \u2212L L& & ; (4.1) 
 
onde y e u são funções do tempo e f k é a derivada de ordem k de f. As derivadas de ordem 
um estão representadas acima como y& e u& . 
 
Uma forma de representação muito utilizada em controle de processos é a de &quot;função de 
transferência&quot;. A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo está 
definida como a transformada de Laplace da saída (resposta do sistema) sobre a 
transformada de Laplace da entrada (excitação ou perturbação no sistema), supondo todas 
as condições iniciais iguais a zero. 
 
A definição de variáveis desvio permite obter condições iniciais iguais a zero para 
resolução das equações diferenciais ordinárias (EDO's) do modelo. A &quot;variável desvio&quot; é 
definida como o afastamento da variável do seu valor no estado estacionário ou valor de 
referência, e foi introduzida no texto no Capítulo 2, nos Exemplos 2.1 a 2.5 de 
linearizações. Na continuação do texto, dado que as funções de transferência que serão 
utilizadas estão definidas para variáveis desvio, fica entendido que todas as variáveis são 
variáveis desvio. Esta transformação de variável é representada graficamente na seguinte 
Figura 4.1. 
1
1.5
2
2.5
x(t)
xs
 
Figura 4.1: Variável Desvio 
 26
 
4.2 Resolução de Sistemas Lineares 
 
A função de transferência do sistema representado pela Equação 4.1 é obtida 
transformando-se, em primeiro lugar, a EDO para o domínio de Laplace: 
 
 
( )
a y s s a y s s a y s s a y s b u s s b u s s b u s s b u s
n m
n n
n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + = + + + +
\u2265
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212L L 
 (4.2) 
e, rearranjando, obtém-se: 
 
( )
y s
u s
b s b s b s b
a s a s a s a