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# Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo

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Aplicando-se a Transformada de Laplace a cada termo de uma EDO, obtém-se a Equação
algébrica no domínio de Laplace

\u23aa\u23aa
\u23aa\u23aa
\u23a9
\u23aa\u23aa
\u23aa\u23aa
\u23a8
\u23a7
=
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7
+\u2212=
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7
)()}({
)()()(
])()([)()(
sYtyL
yssF
dt
tdyL
dt
dysysFs
dt
tydL
0
0022
2
(3.17)

obtém-se

01202 22 =++\u2234=++ )()()()()( sYsssYssYsYs (3.18)

3.1 Transformada de Laplace de Funções Básicas

Neste item, a transformada de Laplace de algumas funções úteis em controle de processos

a) Degrau

f(t)
t=0
20

\u23a9\u23a8
\u23a7
\u2264
>==
)(,
)(,
)()(
00
01
tt
tt
ktkutf (3.19)

s
kdtekdtetuktuLktfL stst =\u222b=\u222b==
\u221e \u2212\u221e \u2212
00
1.)())}(({)}({ (3.20)

b) Rampa

\u23a9\u23a8
\u23a7
\u2264
>==
)(,
)(,
)()(
00
0
tt
ttkt
ktkutf (3.21)

\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +\u2212=
\u222b==
\u221e
\u2212
\u221e \u2212
2
0
2
0
1
s
k
ss
tketfL
dttektuLktfL
st
st
)}({
))}(({)}({
(3.22)

c) Seno

)()( wtsentf = (3.23)

\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
+=\u222b +=
\u222b==
\u221e \u2212\u2212
\u221e \u2212
22
0
0
2
1
ws
wdteeesF
dtewtsensFtfL
stwtiwti
st
)()(
)()())((
(3.24)

d) Exponencial

atetf \u2212=)( (3.25)
)(
)())((
as
dteesFtfL stat +=\u222b==
\u221e \u2212\u2212 1
0
(3.26)

k
f(t)
t=0
21

{ } )()()()( sbFsaFtbftafL 2111 +=+ (3.27)

Alguns teoremas são de utilidade na análise dinâmica de processos:

a) Teorema do deslocamento em t

Aplica-se a atrasos de transporte:

\u23a9\u23a8
\u23a7
<
\u2265\u2212=
0
00
0 tt
ttttf
tg
,
),(
)( (3.28)

Ou, em gráfico:

)()()}({ sFedtettfttfL stst 0
0
00
\u2212\u2212\u221e =\u222b \u2212=\u2212 (3.29)

b) Teorema do deslocamento em s

)()()()}({ )( asFdtetfedtetfetfeL tasatstatat \u2212=\u222b=\u222b= \u2212\u2212
\u221e\u2212\u221e
00
(3.30)

c) Teorema do Valor Final

Este teorema permite calcular valor de estado estacionário no domínio de Laplace.

)(lim)(lim ssFtf st 0\u2192\u221e\u2192 = (3.31)

d) Teorema do Valor Inicial

Analogamente, para calcular valor logo após a aplicação de uma perturbação, ainda no
domínio de Laplace.

)(lim)(lim ssFtf st \u221e\u2192\u2192 =0 (3.32)
f(t)
t0
g(t)
22

Exemplo 3.6

Função Pulso

)(,
,
,
,
)( áreahtk
ttt
tth
t
tf 0
0
0
0
0
00
=
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
>\u2264
\u2264\u2264=
<
= (3.33)

)()()()}({ stst e
st
ke
s
h
s
htthuthutfL 01
0
0
\u2212\u2212 \u2212=\u2212=\u2212\u2212= (3.34)

Observe-se que a Função Impulso é o limite do pulso quando t0 tende a zero:

kst
st
ke
st
k
t
st
t ==\u2212 \u2192\u2212\u2192 0
0
0
0
0 0
0
0
1 lim)(lim (3.35)
mas

...
!!
+\u2212+\u2212=\u2212
32
1
33
0
22
0
0
0
ststste st (3.36)

para k=1, tem-se

\u23a9\u23a8
\u23a7
=
\u221e=\u21d2=
1
00
)}({ tL
ht
\u3b4 (3.37)

3.3 Inversão de Transformadas de Laplace

Para se obter a resolução da EDO, é preciso transformar o resultado da equação algébrica
(em s) para t. Para tal, utiliza-se a EXPANSÃO HEAVISIDE ou EXPANSÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS.

Seja, F s Q s
P s
( ) ( )
( )
= , onde a ordem de Q(s) e P(s) são, respectivamente M e N (M\u2264 N), a
inversão é feita em três etapas:

1. Fatora-se P(s) em termos das suas raízes (polos de F(s)), e reescreve-se F(s) como:
f(t)
0 t0
h
23

F s Q s
P s
A
s p
B
s p
W
s pN
( ) ( )
( ) ( ) ( )
...
( )
= = \u2212 + \u2212 + + \u22121 2 (3.38)

2. As constantes A, B ... W são calculadas:

A s p F s s p
B s p F s s p
W s pN
F s s pN
= \u2192 \u2212
= \u2192 \u2212
= \u2192 \u2212
lim ( ( ).( ))
lim ( ( ).( ))
...
lim ( ( ).( ))
1 1
2 2
(3.39)

3. Pelo uso da Tabela, encontrar a transformada inversa termo a termo.

f t L A
s p
L B
s p
L W
s pN
( ) {
( )
} {
( )
} ... {
( )
}= \u2212 \u2212 +
\u2212
\u2212 + +
\u2212
\u2212
1
1
1
2
1
(3.40)

Se pj = ...= pj+m-1 é um pólo com multiplicidade m, a expansão inclui termos da forma:

( ) ( )mj
mj
j
j
j
j
ps
R
ps
R
ps
R
\u2212++\u2212+\u2212
\u2212++ 1
2
1 ... (3.41)

Em resumo, a inversão recai em três possíveis situações de acordo com as raízes da
Equação Característica P(s) = 0.

Tabela 3.2: Inversão de Transformada de Laplace

Raízes de Equação
Característica
Termo da Expansão em
Frações Parciais
Termo no Domínio do
Tempo
Raiz real não-repetida
ps
A
\u2212
ptAe
Raízes complexas
CBs
+\u2212
+ )( \u3b8+wtsenDe pt
22 CBD +=
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b=
C
Ba tan\u3b8
Raízes Repetidas m vezes \u2211 \u2212=
m
j
j
j
ps
A
1 )(
\u2211 \u2212=
\u2212
m
j
j
jpt
j
tA
e
1
1
1)!(

A Expansão em Frações Parciais pode ser feita no ambiente MATLAB, conforme
24

Exemplo 3.7

Deseja-se obter x(t) com expansão em Frações parciais para

24 26s 9s s
)( 23 +++
+= sssX
2

% Coeficientes de P(s) e Q(s) em ordem decrescente de potências de s
P = [1 9 26 24];
Q = [1 1];
[R,P,K] = residue(Q,P)

A execução destes comandos fornece :

R =
-1.5000
2.0000
-0.5000

P =
-4.0000
-3.0000
-2.0000

K =
[]

Logo :

( ) ( ) ( )2
50
3
02
4
51
+
\u2212++++
\u2212=
sss
sX ,,,)(

e, pela entrada 5 da Tabela 3.1 :

x(t) = -1,5e - 4t +2e -3t - 0,5e - 2t
25

4 REPRESENTAÇÃO \u201cENTRADA \u2013 SAÍDA\u201d: FUNÇÕES DE
TRANSFERÊNCIA

4.1 Funções de Transferência

Existem diversas formas de representar um processo através de um modelo matemático.
Uma forma muito utilizada é a representação de entrada e saída. Em geral é possível
descrever um sistema linear como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + \u2265\u2212 \u2212 \u2212 \u2212L L& & ; (4.1)

onde y e u são funções do tempo e f k é a derivada de ordem k de f. As derivadas de ordem
um estão representadas acima como y& e u& .

Uma forma de representação muito utilizada em controle de processos é a de &quot;função de
transferência&quot;. A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo está
definida como a transformada de Laplace da saída (resposta do sistema) sobre a
transformada de Laplace da entrada (excitação ou perturbação no sistema), supondo todas
as condições iniciais iguais a zero.

A definição de variáveis desvio permite obter condições iniciais iguais a zero para
resolução das equações diferenciais ordinárias (EDO's) do modelo. A &quot;variável desvio&quot; é
definida como o afastamento da variável do seu valor no estado estacionário ou valor de
referência, e foi introduzida no texto no Capítulo 2, nos Exemplos 2.1 a 2.5 de
linearizações. Na continuação do texto, dado que as funções de transferência que serão
utilizadas estão definidas para variáveis desvio, fica entendido que todas as variáveis são
variáveis desvio. Esta transformação de variável é representada graficamente na seguinte
Figura 4.1.
1
1.5
2
2.5
x(t)
xs

Figura 4.1: Variável Desvio
26

4.2 Resolução de Sistemas Lineares

A função de transferência do sistema representado pela Equação 4.1 é obtida
transformando-se, em primeiro lugar, a EDO para o domínio de Laplace:

( )
a y s s a y s s a y s s a y s b u s s b u s s b u s s b u s
n m
n n
n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + = + + + +
\u2265
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212L L
(4.2)
e, rearranjando, obtém-se:

( )
y s
u s
b s b s b s b
a s a s a s a